t高一二倍角公式

高一（上）数学专题讲座：倍角公式与半角公式小结：试卷较难1. 二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan2α＝2tanα1－tan 2α．2. 降幂公式sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2；sin αcos α＝sin2α2．注意：1、 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．2. 降幂公式是解决含有cos 2x 、sin 2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．基础题1. 已知sin α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin2α＝__________．α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝35.∴ sin2α＝2sin αcos α＝－2425.2. 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝________．解析：∵ sin α＋cos α＝33，∴ (sin α＋cos α)2＝13，∴ 2sin αcos α＝－23，即sin2α＝－23.∵ α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0，∴ 2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴ 4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴ 2α为第三象限角，∴ cos2α＝－1－sin 22α＝－53.3若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝________．解析：∵ sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴ cos θ＝35，∴ cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.4. 函数f(x)＝sinxcosx 的最小正周期是________．解析：∵ f(x)＝sinxcosx ＝12sin2x ，∴ T ＝2π2＝π.难5若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α＝________．解析：∵ 5π2≤α≤7π2，∴ 5π4≤α2≤7π4.∴ 1＋sin α＋1－sin α＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝－(sin α2＋cos α2)－⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－2sin α2.6. 设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α＝________．解析：由sin2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，∴ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3.本题求出角来，再代值7. 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝________．解析：sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79.8. (2014·常州期末)函数y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4的最小正周期为__________．：由降幂公式知y ＝(1－cos2x)＋32(1＋cos2x)－4＝12cos2x －32，所以周期T ＝2π2＝π.9 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α＝________．解析：3sin α＋cos α＝0 cos α≠0 tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝103.10．[2014·大连模拟]2＋2cos8＋21－sin8化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4D ．－2sin4解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4，故选D.考向一 化简求值1、 计算：(tan10°－3)·sin40°.1，2为同一类型 解：原式＝sin10°－3cos10°cos10°·sin40°＝2（sin10°cos60°－cos10°sin60°）sin40°cos10°＝－2sin50°sin40°cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.2、sin50°(1＋3tan10°)．解：原式＝sin50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝2sin50°·sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝2sin50°·sin40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1.3、 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求：(1) tan2α的值；(2) sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解：(1) 因为tan α＝12，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43. (2) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2αcos π3＋cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.考向二 给值求角1 已知α、β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵ tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴ 0<α<π2.∵ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴ 0<2α<π2， ∴ tan (2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵ tan β＝－17<0，∴ π2<β<π，－π<2α－β<0，∴ 2α－β＝－3π4.考向三 二倍角公式的综合应用1、 已知函数f(x)＝4sinxcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋ 3.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．解：(1) f(x)＝4sinx(cosxcos π3－sinxsin π3)＋3＝2sinxcosx －23sin 2x ＋3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.所以T ＝2π2＝π.(2) 因为－π4≤x ≤π6，所以－π6≤2x ＋π3≤2π3，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2.当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f(x)min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f(x)max ＝2.2. (2014·扬州期末)函数y ＝sin 2x ＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递增区间是________．解析：用降幂公式化简可得y ＝12(1－cos2x)＋12[1＋cos(2x －23π)]＝1＋32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，从而令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )．3. 已知函数f(x)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4sin ⎝⎛⎭⎫π2－x .(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎭⎫－π4，π2上的最大值与最小值．解：(1) 由题意sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ≠0，即sin ⎝⎛⎭⎫x －π2≠0，从而x －π2≠k π(k ∈Z )，即x ≠k π＋π2(k ∈Z )，故所求f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2) f(x)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4sin ⎝⎛⎭⎫π2－x＝1＋cos2x ＋sin2x cosx＝2cos 2x ＋2sinxcosx cosx ＝2cosx ＋2sinx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.∵ －π4≤x ＜π2，∴ 0≤x ＋π4＜3π4，∴ 当x ＋π4＝0，即x ＝－π4时，f(x)在区间⎣⎡⎭⎫－π4，π2上的最小值是0；当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f(x)在区间⎣⎡⎭⎫－π4，π2上的最大值是2 2. 4. (2014·天津卷)已知函数f(x)＝cosx ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．f(x)＝cosx ·⎝⎛⎭⎫12sinx ＋32cosx －3cos 2x ＋34＝12sinx ·cosx －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x)＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2) 因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.作业：1、已知函数f(x)＝－2sin 2x ＋23sinxcosx ＋1. (1) 求f(x)的最小正周期及对称中心；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f(x)的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.令sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )．(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x ＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x ＝π6时，f(x)的最大值为2.2 (2014·全国)若函数f(x)＝cos2x ＋asinx 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，2]解析：f(x)＝cos2x ＋asinx ＝－2sin 2x ＋asinx ＋1，令sinx ＝t ，则f(x)＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f(x)＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f(x)＝cos2x ＋asinx 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f(x)＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数．又对称轴为x ＝a 4，所以a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]． 3. 已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x ∈R )，则f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．解析：因为f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故所求的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.4. 若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tanx 的值． 解：由1712π＜x ＜74π，得53π＜x ＋π4＜2π.又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45.，，cosx ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210，从而sinx ＝－7210，tanx ＝7. 故原式＝2sinxcosx ＋2sin2x 1－tanx ＝2⎝⎛⎭⎫－7210·⎝⎛⎭⎫－210＋2⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.3．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A 的值为________．由题意知，C －A ＝π2，且C ＋A ＝π－B ，∴A ＝π4－B 2，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2－sin B 2， sin 2A ＝12(1－sin B )＝13，又sin A ＞0，∴sin A ＝33.。