江苏省盐城市2011届高三第一次调研考试—答案 推荐

江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}0,22.22+i3.,sin 2∃∈≥x R x4.55.346.617.π8.90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=o当时 9. 22(2)(2)10-+-=x y 10.8 11.②④ 12.71313.4 14.9 二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．解：（Ⅰ）因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==………………6分 （Ⅱ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=o,所以cos cos(60)∠=∠+oBOC AOC310-=10分同理, 4sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为34(1010-+…………………14分 16．（Ⅰ）证明:因为E 、F 分别为11A C 、11B C 的中点,所以11////EF A B AB ……………4分而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,所以直线EF ∥平面ABD …………………… ……7分 （Ⅱ）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥,而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B =I ,所以AB ⊥面11BCC B …… 11分 又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B ………………………………………14分17．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=o ,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =… 2分 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=o,所以M e 的方程为22(2)4x y -+=……… 5分 （Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----u u u u r u u u r =222322x x y x x -++=++…8分所以当0x =时, PM PF ⋅u u u u r u u u r有最小值为2 ……………………………………………10分（Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦………… 11分设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+…13分 从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)…………………………………………14分因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)3 …16分18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩……………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤……………………… 3分 当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤…………………………5分 综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………6分 （Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414ax a x-+---, 因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,所以[4,8],故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - …………12分令44a -≥,解得244a -≤,所以a的最小值为24 1.6-≈ ………14分19．解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =--……4分（Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列…………5分 理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+, 所以12(12)n n n c n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列； 当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列 …………………………………………………… 9分 （Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---………………10分因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) ……………………………12分212(10)1n n S c +-=Q ，244164n n n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484xg x f x x '==--，2()(ln 4)480xg x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠，∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立………………………………………16分20．解：（Ⅰ）当1a =,[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+,1()2(1)1f x x f x''=-≥=, 所以()f x 在[1,]e 递增,所以2max ()()f x f e e ==……………………………………4分（Ⅱ）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a Θ，0)(>∴x f 恒成立, )(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y ==………………………………5分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='， （i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数, 故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e ………………………………7分 (ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数, 所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a上为增函数, 故当2a x =时，2ln 223min aa a y -=，且此时)()2(e f a f <2=e …………………8分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数， 故当e x =时，2min )(e e f y ==……………………………………………………9分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min 2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y ………………10分 所以当312a a +≥时,得02a <≤；当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解；当232e a ≥（22a e ≥）时,得a ≤不成立. 综上,所求a 的取值范围是02a <≤…………………………………11分（Ⅲ）①当02a <≤时,()g x 在[2,)+∞单调递增,由(2622ln 21g a a =--≤+）,得52ln 2233a -≤≤…………………………………………………………12分 ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增,由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a ag a ,得ln 22ln 20222a a a +--<, 设()ln 22ln 2()2ah t t t t t =+--=,()2ln 0(12)h t t t '=+><<, 所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()0h t <恒成立得24a <<…………14分 ③当222a e <<时,()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2aa 递减，在[,)a +∞递增, 所以由()2a g 3ln 222a a a <-,得23ln 22ln 204222a a a a -++-<,设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-,则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈,所以()m t 递增，且(2)0m =, 所以()0m t >恒成立，无解.④当22a e >时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由()2ag e <得2222ln 204a e -+-<无解. 综上,所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-……………………16分数学附加题部分21．A.证明：连结OF ,因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°,所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ,又因为CO ⊥AB 于O ， 所以∠OCF +∠CEO =90°………………………………………………………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ,因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ………………………………………………………………………………10分 B. 解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量………………………………8分同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量． 综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………10分C. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= …………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--…………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC =分所以1MN MC r +=≤………………………………………………………………10分D. 因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mb a mb m m++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立， 故()22211a mba mb mm++≤++……………10分 22.解：（Ⅰ）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-………………4分 （Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m n C C +2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+………7分 所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85…………………10分23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A=⋅=………………4分（Ⅱ）由题意得,ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4pξ==,9(1)64pξ==,(2) pξ==3135641664⋅⋅273512=, (3)pξ==313841664⋅⋅39512=,即随机变量ξ的概率分布列为:分所以,19273397350123464512512512Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (10)。