高一数学二倍角公式讲解
北师大版数学高一-3.3素材 二倍角公式常用方法例析
二倍角解方攻略二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。
在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。
同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。
这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。
一、逆用公式法： 例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。
分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。
解法1 (连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12 cos80°cos40°cos20°=14sin20° ·cos80°cos40°·(2sin20°cos20°) =18sin20°·cos80°·(2sin40°cos40°) = 116sin20° ·(2sin80°cos80°) = sin160°16sin20° = 116解法2 (作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12cos80°cos40°cos20°= 12 · sin160°2sin80° · sin80°2sin40° · sin40°2sin20° = sin160°16sin20° = 116 评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2α=2sin αcos α的形式，从而达到求值的目的。
高一数学二倍角的三角函数
当 ＝ 时
二倍角公式：
sin 2 2 sin cos
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3.若
x 2 sin 1 2 ，则 f x 2 tan x x x sin cos 2 2
2
2
8 f _______ 12
x 1 2 sin 2 2 tan x 2 cos x f ( x ) 2 tan x 2 x x sin x 2 sin cos 2 2
S 2
2
cos 2 cos sin
2
C 2
2 tan tan 2 2 1 tan
k ,且 k ，k Z 2 2 4
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T2
二倍角公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos sin 1 2sin 2cos 1
例2．不查表求值： （1）2 cos105 cos15 ；
5 5 2 （2） sin 15 ； 18 9
sin （4）
tan15 （3） 2 ； 1 tan 15
例3．求证：
24
cos
24
cos
12
．
sin 1 sin cos 1 cos sin 1 sin cos 1 cos sin 2
2
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灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
二倍角的三角函数公式课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
9
4
＝
−(2×25−1)×(−5)
3
5
28
＝− 75.
高中数学
必修第二册
北师大版
sin
sin 2+2sin2 sin 2+2sin cos · cos
（方法2） 1−tan ＝
＝sin
1−tan
17π
∵ 12 < <
π
7π
5π
，∴
4
3
1+tan
π
π
2 · 1−tan ＝−cos( 2 + 2)tan( 4 + ).①
1
8
1
8
1
8
＝ cos 70°·cos 10°·cos 50°＝ cos 10°cos 50°cos 70°＝ .
1
1
∵ ≠0，∴ ＝8，即sin 10°sin 50°sin 70°＝8.
tan2 5°−1 sin 20°
2
（4）原式＝2·2tan 5° ·1+cos 20°＝− tan 10°·tan
必修第二册
北师大版
反思
感悟
反思感悟
（1）整体思想是三角函数求值中的常见思想，本题的前两种方法尤为值得注意，更为重要的是本题中的
π
角“2”与“ 4 +”的变换方法，即sin
π
π
π
2＝−cos( 2 +
π
π
2)＝−cos[2( 4
π
π
+ )]＝1-2cos 2 ( 4 +
π
( + )
)＝2sin2 4 -1.
（3）因式分解变形
二倍角的正弦、余弦、正切公式
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
5.5.1第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2
+
1-cos (2 -30°)
2
+cos θsin θ
1
=1+2(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°)
1
1
+2sin 2θ=1-sin 2θsin 30°+2sin 2θ=1.
(2)证明 左边=
(1-cos2 )+sin2
A.2sin 15°cos 15°
B.cos215°－sin215°
C.2sin215°
D.sin215°＋cos215°
2.若 sin
α
3
＝ ，则 cos α等于
2 3
2
1
A.－
B.－
3
3
π
π
3.sin4 －cos4 等于
12
12
1
A.－
2
B.－
3
2
1
C.
3
1
C.
2
2
D.
3
D.
3
2
跟踪训练
4.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于
二倍关系.
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
π
π
2x＝cos2－2x＝cos24－x
＝2cos
②cos
π
π
2x＝sin2－2x＝sin24－x
π
π
＝2sin4－xcos4－x.
高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦,余弦和正切xsb
高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦、余弦和正切【知识梳理】1、二倍角公式： αααc o s s i n 22s i n =；)(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan1tan 22tan -=；)(2αT降幂公式：1cos 22cos 2-=αα αα2sin 212cos -=)(2αC ' 升幂公式：22cos 1sin22cos 1cos 22αααα-=+=2、半角公式：α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan,2cos 12cos,2cos 12sin3、万能公式：2tan12tan2tan ,2tan12tan1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）； （2）三角比名互化(切割化弦)； （3）公式变形使用（ta n ta n αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±；（4）三角比次数的降升(降幂公式：21c o s 2c o s 2αα+=，21c o s 2s in 2αα-=与升幂公式：21c o s 22c o s αα+=，21c o s 22sin αα-=)；【方法总结】 三角比的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！第二看三角比的名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.（5）式子结构的转化(对角、三角比名称、式子结构化同) ； （6）常值变换主要指“1”的变换（221sinc o s x x =+22se cta nta n c o t x x x x=-=⋅ta ns in 42ππ===）（7）正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内在联系――“知一求二”，若sin cos x x t ±=，则sin cos x x =212t -±，特别提醒：[2,2]t ∈-．【例题精讲】例1、不用计算器，求下列各式的值（1）15cos 15sin ； （2）8sin8cos22ππ-； （3）5.22tan 15.22tan 22-； （4）75sin 212-．变式练习：求下列各式的值（１）)125cos125)(sin125cos 125(sin ππππ-+ （２）2sin2cos44αα-（３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例2、已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值例3、已知π<α<π2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β【辅助角公式】()22s in c o s s in a x b x ab x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由2222s in ,c o s b a a ba bθθ==++ ,ta n b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用.变式练习：已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝2π例4、 已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2tanα和tan α的值例5、已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31-，求sin(α + β)的值变式练习：已知12c o s (),s in (),923ααββ-=--=且,022ππαπβ<<<<，求c o s ()αβ+的值。
高一数学二倍角公式的应用
高一数学二倍角公式的应用课题：二倍角公式的应用 教学目标：1. 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明。
2. 增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：灵活运用倍角公式及其变形。
教学过程： 一、 复习公式：例一、（板演或提问）化简下列各式： 1．=αα4cos 4sin42sin 2α2．=-40tan 140tan 280tan 21 3．2sin 2157.5︒ - 1 = 22315cos -=-4．=ππ125sin 12sin416sin 2112cos 12sin =π=ππ 5．cos20︒cos40︒cos80︒ =20sin 80cos 40cos 20cos 20sin20sin 80cos 40cos 40sin 21=8120sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41===例二、求证：[sin θ(1+sin θ)+cos θ(1+cos θ)]×[sin θ(1-sin θ)+cos θ(1-cos θ)] = sin2θ 证：左边 = (sin θ+sin 2θ+cos θ+cos 2θ)×(sin θ-sin 2θ+cos θ-cos 2θ) = (sin θ+ cos θ+1)×(sin θ+cos θ -1) = (sin θ+ cos θ)2 -1 = 2sin θcos θ= sin2θ = 右边∴原式得证二、 关于“升幂”“降次”的应用注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。
在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。
（以下四个例题可视情况酌情选用） 例三、求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域。
解：21)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=x x x y ——降次 ∵1)42sin(1≤π+≤-x ∴]221,221[+-∈y 例四、求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值。
2倍角万能公式
2倍角万能公式一、二倍角公式。
1. 正弦二倍角公式。
- sin2α = 2sinαcosα- 推导：根据两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B，令A = B=α，则sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα = 2sinαcosα。
2. 余弦二倍角公式。
- cos2α=cos^2α - sin^2α- 推导：根据两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，令A = B=α，则cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α。
- 另外，由于sin^2α+cos^2α = 1，所以cos2α = 2cos^2α - 1=1 - 2sin^2α。
3. 正切二倍角公式。
- tan2α=(2tanα)/(1-tan^2)α- 推导：根据正切公式tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1 - tan Atan B)，令A =B=α，则tan2α=tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1-tanαtanα)=(2tanα)/(1-tan^2)α。
二、万能公式（与二倍角公式相关）1. 正弦万能公式。
- 设tan(α)/(2)=t，则sinα=(2t)/(1 + t^2)。
- 推导：- 因为sinα = 2sin(α)/(2)cos(α)/(2)，又sin^2(α)/(2)+cos^2(α)/(2)=1，tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)} = t，即sin(α)/(2)=(t)/(√(1 + t^2))，cos(α)/(2)=(1)/(√(1 + t^2))。
- 所以sinα=2sin(α)/(2)cos(α)/(2)=2×(t)/(√(1 + t^2))×(1)/(√(1 + t^2))=(2t)/(1 + t^2)。
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在高中数学中同学们感到吃力的一部分是三角函数的学习，在这一部分有大量的公式需要同学们熟练记忆，并且在使用的时候不能够混淆。
为了方便同学们能够清楚掌握这部分内容，在考试中能够取得好成绩，下面小编给大家整理了高中书序中二倍角公式推导讲解。
正弦二倍角公式：
sin2α = 2cosαsinα
推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2]
1+sin2A=(sinA+cosA)^2
余弦二倍角公式：
余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：
1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]
2.Cos2a=1-2Sina^2
3.Cos2a=2Cosa^2-1
推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cosA^2-sinA^2=2cosA^2-1
=1-2sinA^2
正切二倍角公式：
tan2α=2tanα/[1-tanα^2]
推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tanA^2]
降幂公式： cosA^2=[1+cos2A]/2
sinA^2=[1-cos2A]/2
tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A]
变式：
sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/4); cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)
以上就是关于高中数学二倍角公式的分享，对于这些公式同学们要掌握他们的推到过程，认真对应三角图形，参考推导过程进行熟练记忆。
最后要强调同学们还是要进行适当的习题训练，加强公式记忆。