全等三角形提高之动态几何探究题学生版教师版有答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯全等三角形提高之动态几何探究题一、三垂直模型1．（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m, CE△直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有△BDA=△AEC=△BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为△BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若△BDA=△AEC=△BAC，试判断△DEF的形状.解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=900．△△BAC＝900，△△BAD+△CAE=900．△△BAD+△ABD=900，△△CAE=△ABD．又AB="AC" ，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE="AE+AD=" BD+CE．（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=1800—α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=600．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△FAE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（AAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DFA+△AFE=△DFA+△BFD=600．△△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=600，FB=FA，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△FAE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DFA+△AFE=△DFA+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．2．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP ＝3由y ＝0得x ＝1， ∴Q （1，0），OQ ＝1， ∵∠QPR ＝45° ∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS ∴PQ ＝SQ∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝3+1＝4，SH ＝OQ ＝1 ∴S （4，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得1k 2b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR 为y ＝﹣12x+3 由y ＝0得，x ＝6 ∴R （6，0）．3．已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B△C 重合），连接CE,△1△在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC=CE+CD△△2△在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC△CE△CD之间存在的数量关系，并说明理由；△3△在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC△CE△CD 之间存在的数量关系．【详解】（1）如图1中，∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD；（2）不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD．理由：如图2，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；（3）如图3，结论：CD=BC+EC．理由：由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴CD=BC+BD=BC+CE，二、半角模型4．△1）如图1，点E△F分别在正方形ABCD的边BC△CD上，△EAF=45°，求证：EF=BE+FD;△2）如图2，四边形ABCD中，△BAD≠90°△AB=AD△△B+△D=180°，点E△F分别在边BC△CD上，则当△EAF与△BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由．△3）如图3，四边形ABCD中，△BAD≠90°△AB=AD△AC平分△BCD△AE△BC于E△AF△CD 交CD延长线于F△若BC=8△CD=3，则CE=.（不需证明）【答案】（1）详见解析；（2）△BAD=2△EAF△理由详见解析；（3△CE=5.5.【解析】试题分析：△1）将△ABE绕点A旋转使得AB与AD重合，然后证明△AFG≌△AFE，再利用全等三角形对应的边相等的性质不难证明；（2△首先延长CB至M，使BM=DF，连接AM△构造△ABM≌△ADF，再证明△F AE≌△MAE△最后将相等的边进行转化整理即可证明.试题解析：△1）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：则△ADG≌△ABE△∴AG=AE△∠DAG=∠BAE△DG=BE△又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°△∴∠GAF=∠F AE△在△GAF和△F AE中，AG AEGAF FAEAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △∴△AFG≌△AFE△SAS△△∴GF=EF△又∵DG=BE△∴GF=BE+DF△∴BE+DF=EF△△2△∠BAD=2∠EAF．理由如下：如图2所示，延长CB至M，使BM=DF，连接AM△∵∠ABC+∠D=180°△∠ABC+∠ABM=180°△∴∠D=∠ABM△在△ABM和△ADF中，AB ADABM DBM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△∴△ABM≌△ADF△SAS△∴AF=AM△∠DAF=∠BAM△∵∠BAD=2∠EAF△∴∠DAF+∠BAE=∠EAF△∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF△在△F AE和△MAE中，AE AEFAE MAEAF AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△∴△F AE≌△MAE△SAS△△∴EF=EM=BE+BM=BE+DF△即EF=BE+DF△△3△CE=5.5点睛：△1△在出现正方形或者等腰直角三角形的题目中，我们多采用旋转构造全等三角形的方法.△2）遇到此类压轴题，第一问的思路方法可以为第二问、第三问所用.三、手拉手模型5．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度．（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【答案】△1△90°△△2△△α+β=180°△△α=β△【解析】试题分析△△1△利用等腰三角形证明ABD ≅ACE,所以∠ECA=∠DBA,所以△DCE =90°.(2)方法类似（1）证明△ABD △△ACE △所以△B=△ACE ，再利用角的关系求αβ180+=︒△ △3）同理方法类似（1△.试题解析： 解：（1△ 90 度.△DAE =△BAC ,所以∠BAD =△EAC,AB=AC,AD=AE ,所以ABD ≅ACE,所以∠ECA=∠DBA∠所以△ECA =90°.△2△△ αβ180+=︒△ 理由：△△BAC =△DAE △△△BAC △△DAC =△DAE △△DAC ,即△BAD =△CAE, 又AB=AC △AD=AE △ △△ABD △△ACE △△△B=△ACE △△△B +△ACB =△ACE+△ACB △△B ACB DCE β∠∠∠+==△△αB ACB 180∠∠++=︒△△αβ180+=︒△△3）补充图形如下， αβ=△6．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB= ；（2）如图2，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；（3）将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB 与α的数量关系，并予以证明．【答案】(1)120°;(2) 180°―α;(3)见解析 【解析】 【分析】（1）求出△ACE =△DCB ，证△ACE △△DCB ，推出△CAE =△CDB ，求出△AFB =△CDA +△DAC ，根据三角形内角和定理求出即可；△2）求出△ACE =△DCB △证△ACE △△DCB △推出△CAE =△CDB △求出△AFB =△CDA +△DAC △根据三角形内角和定理求出即可△△3）求出△ACE =△DCB △证△ACE △△DCB △推出△CAE =△CDB △求出△AFB =△CEB +△CBE △根据三角形内角和定理求出即可△ 【详解】解：（1△△△ACD =△BCE △△△ACD +△DCE =△BCE +△DCE △△△ACE =△DCB ，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△DCB △△△CAE =△CDB △△△AFB =△CDB +△CDA +△DAE∠ =△CDA +△DAE +△BAE =△CDA +△DAC=180°―60°=120°△△2）解：△△ACD =△BCE △△△ACD +△DCE =△BCE +△DCE △△△ACE =△DCB ，在△ACE 和△DCB 中AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△DCB △△△CAE =△CDB △△△AFB =△CDB +△CDA +△DAE∠ =△CDA +△DAE +△BAE =△CDA +△DAC =180°―△ACD =180°―α△△3△△AFB =180-α，证明：△△ACD =△BCE △△△ACD +△DCE =△BCE +△DCE △△△ACE =△DCB ，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△DCB △△△AEC =△DBC △△△AFB =△AEC +△CEB +△EBD =△DBC +△CEB +△EB∠ =△CEB +△EBC =180°-△ECB =180°-α△ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ACE △△DCB △7．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2) 如图2△AN与MC交于点E△BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论.图1 图2【答案】（1）相等，证明见解析；（2）△CEF的形状是等边三角形.【解析】【分析】△1）等边三角形的性质可以得出△ACN△△MCB两边及夹角分别对应相等，；两个三角形全等，得出线段AN△BM△△2）平角的定义得出∠MCN△60°，通过证明△ACE△△MCF，得出CE△CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状.【详解】(1)△△ACM与△CBN都是等边三角形,△AC=MC,CN=CB,△ACM=△BCN=60°.△△MCN=60°,△ACN=△MCB,在△ACN和△MCB中,AC=MC, △ACN=△MCB,CN=CB,△△ACN△△MCB(SAS),△AN=BM.(2)△△ACM=60°,△MCN=60°,△△ACM=△MCN,△△ACN△△MCB,△△CAE=△CMB.在△ACE和△MCF中,△CAE=△CMF，AC=MC, △ACE=△MCF,△△ACE△△MCF(ASA),△CE=CF,△△CEF的形状是等边三角形.【点睛】本题主要考查边角边定理和角边角定理△熟练掌握这两个知识点并熟练运用是解答此题的关键.8．（问题探索）如图1，在Rt△ABC中，△ACB=90°△AC=BC，点D△E分别在AC△BC边上，DC=EC，连接DE△AE△BD，点M△N△P分别是AE△BD△AB的中点，连接PM△PN△MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为__________________________________,最后推理得到BE 与MN的数量关系为__________________________.（深入探究）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（解决问题）若CB=8△CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B△E△D三点在一条直线上时，求MN的长度．【答案】PM△PN△PM△PN；MN；成立，答案见解析；MN11【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)问题探索：M△N△P分别是AE△BD△AB的中点，所以MP、NP分别是∆AEB、∆ADB的中位线，PN AC，PM BC可得AD=EB,所以可得PM,从而得到BE与MN的关系．(2)深入探究：通过连AD，延长BE交AD于点G，将PM△PN放在两个全等的三角形即△ADC△△BEC 来证明PM△PN△再证∠AGB△90°（3）解决问题：【问题探索】M△N△P分别是AE△BD△AB的中点，∴PM△PN分别是∆AEB、∆ADB的中位线，∴PM BC且PM=12BE△PN AC且PN=12AD△ACB=90°,∴PM△PN.又AC=BC△DC=EC∴AD=BE∴PM△PN∴PM△PN△PM△PN△BE与MN的数量关系为MN, PM△PN△PM△PN∴∆PMN为等腰直角三角形，PMBE=2PM∴MN【深入探究】成立，理由：如图连接AD,延长BE交AD与G．已知△ACB=△ACE+△ECB=90°△△DCE=△ACE+△DCA=90°∴△ECB=△DCACA=CB,CD=CE∴△ADC△△BEC∴AD=BEM△N△P仍是AE△BD△AB的中点，∴PM BE且PM=12BE△PN AD且PN=12AD∴PM=PN又△ADC△△BEC∴△DAC=△EBC△EBC+△ABE+△CBA=90°∴△DAC+△CBA+△ABE=90°∴BG AD∴PM△PN因此PM,PM=12BE∴MN 【解决问题】由上题已知MN△△当△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图3的位置时，△ADC△△BEC ,BD AD ⊥,∴AD=EB,AD 2+BD 2=AB 2，设AD=EB=x,CB=8△CE=2△∴（x+2+x 2=(2,解得x=x=（舍去），所以所以，1②当△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图4的位置时，△ADC△△BEC ,BD AD ⊥，∴AD=BE设BE=x ，因为BE AD ⊥,∴△ADB 是直角三角形，∴AD 2+BD 2=AB 2，∴（x-2+2x =128解得x=,x=1所以MN 1-1+四、角平分线模型9．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l ，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90︒+12∠A,理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线 ∴∠1=12∠ABC, ∠2=12∠ACB ∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)= 12(180︒-∠A)= 90︒-12∠A ∴∠BOC=180︒-(∠1+∠2) =180︒-(90︒-12∠A)=90︒+12∠A (1)探究2；如图2中，O 是12∠ABC 与外角12∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠ABC 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A+∠D 有怎样的关系？（直接写出结论）【答案】（1）探究2结论：∠BOC=12A ∠△△2）探究3：结论∠BOC=90°△12A ∠△△3）拓展：结论()12BOC A D ∠=∠+∠ 【解析】 【分析】△1）根据角平分线的定义可得∠1=12△ABC△△2=12△ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12△ACD=12△△A+△ABC△△△BOC=△2-△1，然后整理即可得解；△2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；△3）同（1）的求解思路．【详解】（1）探究2结论：∠BOC=12∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-12（180°+∠A），=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．（3）∠OBC+∠OCB=12（360°-∠A-∠D），在△BOC中，∠BOC=180°-12（360°-∠A-∠B）=12（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=12（∠A+∠D）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．10．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC度数．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．【答案】△1△80°△△2△△△△△△△3△△△△△【解析】【分析】△1△过P作PE∥AB△根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP△∠CPE=∠DCP△再根据APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠进行计算即可；△2△过K 作KE ∥AB △根据KE ∥AB ∥CD △可得∠AKE =∠BAK △∠CKE =∠DCK △得到∠AKC =∠AKE +∠CKE =∠BAK +∠DCK △同理可得，∠APC =∠BAP +∠DCP △再根据角平分线的定义，得1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，进而得到1.2AKC APC ∠=∠ △3△过K 作KE ∥AB △根据KE ∥AB ∥CD △可得∠BAK =∠AKE △∠DCK =∠CKE △进而得到∠AKC =∠AKE −∠CKE =∠BAK −∠DCK △同理可得，∠APC =∠BAP −∠DCP △再根据角平分线的定义，得出1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠，进而得到1.2AKC APC ∠=∠ 【详解】 △△(1)如图1,过P 作PE ∥AB △∵AB ∥CD △∴PE ∥AB ∥CD △∴∠APE =∠BAP △∠CPE =∠DCP △∴602080APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠=+=；(2)1.2AKC APC ∠=∠理由：如图2,过K 作KE ∥AB △∵AB ∥CD △∴KE ∥AB ∥CD △∴∠AKE =∠BAK △∠CKE =∠DCK △∴∠AKC =∠AKE +∠CKE =∠BAK +∠DCK △过P作PF∥AB△同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP△∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K△∴1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴12AKC APC ∠=∠；(3)12AKC APC ∠=∠；理由：如图3,过K作KE∥AB△∵AB∥CD△∴KE∥AB∥CD△∴∠BAK=∠AKE△∠DCK=∠CKE△∴∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−∠DCK△过P作PF∥AB△同理可得，∠APC=∠BAP−∠DCP△∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K△∴1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴1.2AKC APC ∠=∠【点睛】考核知识点：平行线判定和性质综合.添辅助线，灵活运用平行线性质是关键.。