不等式的证明方法待定系数放缩与估值
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
证明不等式的几种方法
昭通学院学生毕业论文论文题目证明不等式的几种方法姓名学号 201103010128学院数学与统计学院专业数学教育指导教师2014年3月6日证明不等式的几种方法摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。
本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。
关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。
证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。
主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。
2.不等式证明的常用方法2.1 比较法比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。
具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小[]1。
差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则b a ≤.”其一般步骤为：1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。
2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。
其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。
3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。
商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若ba1≤则b a ≤.”其一 般步骤为：1.作商：将左右两端作商。
2.变形：化简商式到最简形式。
3.判断：商与1的大小关系，就是判定商大于1还是小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂指数式时，一般使用商值比较法。
高中数学：不等式题目的七种证明方法
高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
我就来总结一下不等式的证明方法。
01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。
04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
放缩法的目的性强,必须恰到好处,。
同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。
不等式证明放缩法
不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。
1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。
假设不等式是要证明的命题P，即P成立。
我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。
2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。
这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。
3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。
放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。
常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。
4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。
这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。
5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。
证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。
下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。
例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。
解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。
例二：证明对于任意的正实数x。
解：假设P为要证明的不等式。
针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。
证明不等式的八种方法
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
不等式证明使用技巧
不等式证明使用技巧不等式证明是高中数学中的一个重要内容，掌握不等式证明的技巧对于解题和提升数学水平都有很大的帮助。
下面我将介绍一些常用的不等式证明技巧。
一、代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。
我们可以先假设不等式成立，然后进行推导得出结论。
如果得到的结论与原不等式一致，就证明了不等式的成立。
例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge q 9$。
我们可以假设$a\leq b\leq c$，然后代入得到：$a^2+b^2+c^2=2a^2+(b^2-a^2+c^2)\geq 2a^2=2(a\cdot a)\geq2(ab)$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\fra c{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3(\frac{1}{ab})=\frac{3}{ab}$。
然后，将两个不等式代入原不等式得到：$(2ab)(\frac{3}{ab})=6\geq 9$。
由此可见，原不等式成立。
二、放缩法放缩法是另一种常用的证明不等式的方法。
我们可以通过放缩不等式的各个部分来改变不等式的形式，从而得到更容易证明的形式。
例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$。
我们可以通过放缩的方法，将不等式的各个部分放缩至一个更容易证明的形式。
我们注意到，$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$。
然后，我们可以通过平方展开和放缩的方法，得到：$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3$。
不等式证明中的几种新颖方法
不等式证明中的几种新颖方法
以下是 8 条关于不等式证明中的新颖方法：
1. 放缩法简直太神奇啦！比如说，要证明
1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)，咱就可以通过巧妙地放大或缩小一些项
来达到目的。
这就好像建房子，一点一点把合适的材料放上去就能建成稳固的大厦呀！
2. 构造函数法真的是绝了！像证明x²+5>2x+3 ，咱可以构造函数
f(x)=x²-2x+2 ，通过研究函数的性质来得出不等式的结论，这多像给不等
式穿上了一件量身定制的衣服！
3. 数学归纳法也很厉害的哟！比如要证明一个关于 n 的不等式，先证
明当 n=1 时成立，然后假设 n=k 时成立去推出 n=k+1 时也成立。
这就像爬楼梯，一步步稳稳地往上走！“嘿，这不就证明出来啦！”
4. 利用均值不等式来证明，哇哦，那可太好用啦！例如证明
(a+b)/2≥√(ab) ，这就像是给不等式找了个平衡的支点！
5. 换元法也有意思呀！把复杂的式子通过换元变得简单明了，再去证明。
就好像把一团乱麻理清楚，然后就能看清它的真面目啦！“哇，原来这么简单！”
6. 反证法也超棒的呢！先假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原来的不等式是对的。
这不是和找错一样嘛，找到错的就知道对的在哪啦！
7. 排序不等式更是一绝！在一堆乱序的数中找到规律证明不等式，就像在一堆杂物中找到宝贝一样让人惊喜！
8. 柯西不等式也是很牛的哦！通过它独特的形式来证明不等式，真的是让人眼前一亮呀！“哇塞，还有这种神奇的方法！”
我觉得这些新颖的方法就像是一个个神奇的工具，能让我们在不等式的证明中如鱼得水，轻松搞定各种难题！。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
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不等式的证明方法：待定系数放缩与估值
不等式证明方法：
待定系数放缩与估值
前几天无聊时突发奇想能不能从图像隔离的角度来证明一类较紧的不等式，动笔试了一下，感觉是个不一定简便但是挺有意思的办法。
这个办法还不成熟，之后可能会请教些大神来完善~
（方法是无限多个的~）
做一下解释：先来看看这两个函数吧~
从图上可以清晰的看到两个函数图像的位置关系，直观感受下应该是可以找到一条直线来隔离两个函数图像的，如果找到了这么一条直线，也就解决了问题，下面我们做一个尝试：
考虑在两个函数之间插入直线即有
先考察函数这个函数的极值点是唯一但是不可求的，因此可以采取隐零点的办法，但是这不是今天的主题。
简单估算下极值点在0.5左右，那不妨就取0.5，令，
我们有：然而我们知道对于有
这时取可以知道而这种世界共识就不说了，所以通过这两个松松垮垮的估值，我们可以找到这个中间值。
接下来直接看一下更为简单的右半边;构造有
直接令有了这一组很好的数值之后，我们来检验一下左半边的构造有发现这个函数的极大值点正好是则没问题。
待证不等式移项之后一加一减就是我们的过程：
通过图像来验证一下我们的猜想：
Emmm,还是比较成功的 ! 在这里澄清一个问题：如果我们向上面那样断章取义算出一组数值带入左边不对怎么办？事实上这个问题有办法直接避免：直接分析左边得到：，这时我们可以分离出参数再弱化范围最后带入右边检验（右边函数很简单可以随意调整~）。
因为之前我们有两个参数和的关系，所以分离是可行的。
就不在这里给出具体过程了，想了解的话注意看一下下面一题就好。
再来看法二：法二干了啥事呢，看这张图就明白啦~
看到这里相信大家都明白了，说白了就是这个方法的好处在于把以x轴为核心的讨论转移到了y轴。
（这个思想在历史上有过:德国数学家率先提出将对x轴的划分改为对y轴的划分，这样修补了经典积分的缺陷。
积分的思想也奠定了现代分析学的基础）
比较和，法二的过程背后就是这样的。
那么是怎么得到的呢？
直接考虑一般情况：我们希望
常规分析就好：左侧函数求导得最小值
右侧函数求导得最大值
只要 > （不管他取不取等了）即取 .
反过来写一遍就是法二的过程。
当然考试的话也是要体现求两边最值的过程的，这个时候就不需要再算了，直接带到你草稿纸上的式子里反过来抄一遍就可以。
韶两句：
1.插值方法不唯一，你比如法一取也可以；法二你取也可以，就是不一定好看。
2.这是2018年杭州高级中学期中考试题，适不适合考场的问题自己把握，觉得待定插值的办法小题大做的欢迎
Ctrl+W.
证明：
这是两条看似有交点但是永远分离的曲线，那么我们来当一回西王母，用玉簪划出一道“天河”把“牛郎”和“织女”分开吧！（Emmm）上道题介绍了直线隔离，这道题就采用一个曲线隔离好了。
我们考虑在这两个凹凸性相反的曲线间插入一个二次函数
同样的我们有：那么考虑到函数的极值点在1附近，就
取 .有
先介绍个对数双边不等式:
提高精度的话可以将对数值进行拆分，具体不展开了~带知道而
那么尝试下（A）
右侧不等式：有： (B).
由A,B两个式子消去b,c再回带左侧不等式：
单独讨论后采取参分，在时我们有：令右侧函数为Emmm,按道理应该求的下界了，我懒了233……
稍微放一下算了：（因为极值点是大于零，只要考虑的情形就好）
尝试下得到没问题。
即找到
进而： ,
这样就找到了"天河”二次函数
通过图像验证一下：
当然还有更多的二次函数可以选择，刚才我是找了个很模糊的，事实上的下界是可以精确一些的：
所以我们可以取，即：
或者在弱化些，比如取 :
也可以再弱点，比如取 :
可以看到当我们分析到这里，寻找在“夹缝中生存”的“天河”二次函数其实很简单！
待定插值的办法可能计算量比较大，毕竟是带参运算嘛，然而大多数情况下我们不一定要算的那么精确，看出近似的极值点之后取好算的值验证就可以了；另外是对函数的走势判断要清晰，这个的话考试中出现的都应该比较简单，求导就可以搞定大部分；最后就是对估值的要求比较高，海明哥哥写过一篇文章非常的好：
对于估值的一点小心得
函数不等式这几年发展的有点快，印象中高中刚毕业那会还没有这么多人玩，对估值更是没什么概念. 从16年年中决定写本放缩的书到现在已经收集了3900多道涉及到放缩的题目，其中接近四成是函数不等式的证明（另一个大块头是数列不等式）.
很多题目，如果出题者只是用软件画个图看了下函数上下界比较接近哪个数字，就取了这个结果，但是却极大地失去了
可做性（也因此我把手里的很多题目直接改为了估计函数的上下界），比如说很著名的一个题目：
事实上利用可以迅速得到一个精度相当不错的结果. 但是为了找回剩下的那精度，却要使用大型分数，这让题目变得非常不好看.
当然话说回来，如果考试遇到了这样的教研员出模考题（或者再来那么一次2014国II压轴题），总不能不要分吧，谁知道教研员用的啥数值出的题，所以还是需要掌握一点估值的小技巧的.
正常来讲，估值都是通过先证明一个函数不等式，再对不等式内的变量赋值，得到两个数值的大小关系. 这里只讲对数的估值（指数的可以转化为对数，三角的以后再作讲解）例如对的估计：
当然，我省略了不等式的证明过程，作差直接求导就可以了，这不是重点. 重点是，这个结果非常的水啊，下界误差，上界误差接近（事实上在的附近用这两个不等式赋值得到的误差基本都是，一会会说到），这在高精度的函数不等式中一点用处都没有，我们得考虑下如何提高精度.
一般的，有两种办法可以提高估值的精度：
1、将对数进行拆分
看起来有很少的人会注意到这一点，我们是可以进行拆分的，比如说，简单的，我们有
而在前面的不等式中分别令可以得到
精度有了明显的提高，如果继续拆分，可以得到更好的结果. 当然，对数的拆分是自由度很大的事情，比方说对于，很
容易得到不同的拆分方法：
实际代入一下会发现，前一种拆分得到的上下界（和）结果要好于后一种（和），很自然的可以引出这样一个问题：如何拆分才能在计算量相近的情况下得到更好的结果？对于这个问题，我在16年底证明了如下结论：
将分数作阶拆分，意即拆分成个分数的乘积：，
称为在此拆分下的均匀度，如果，其中，则若越接近于，在同阶拆分、同不等式赋值下，精度越好.
那么很明显，把拆成会得到拆分成两个对数的情况下最好的估计结果，但是由于根号会导致二次估值等问题，很多时候我们并不会使用，而是使用较为相近的两个体积较小的分数. 哎呀，其实都是空话，这个手段自由度太大了，如何平衡“精度”和“计算量”，是需要大量练习去感悟的.
2、换用精度更高的不等式
刚刚提到，在这个不等式中，上下界的误差之比约为，那如果，两倍的下界不等式，加上一倍上上界不等式，是不是可能精度会有提高呢？恩的确如此，因为
所以按的权重相加，可以直接得到附近的五阶精度的结果，直接赋值可以得到，若是辅以拆分的手段，可以迅速得到四位精度以上的结果（因为大于的部分越小，次方之后就越微不足道）. 例如前面的例子，将拆分成，就有，便具有了四位精度.
另外再附几个精度不错的不等式：
恩...最后一个是郑小彬老师给出的，证明事实上非常容易，直接求导就可以了，别怕，求导有惊喜. 最后一个不等式中令可以直接得到六位精度的结果.。