【精品】2019年高考数学中的待定系数法与均值不等式
2019年高考数学(理)精品资料：3.3 待定系数法(讲)含解析
2019年高考数学（理）精品资料：3.3 待定系数法（讲）一、待定系数法：待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.二、待定系数法解题的基本步骤：使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.1．用待定系数法求曲线方程确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决.例1.【北京市朝阳区2019届高三上期末】在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D ＝﹣4，E ＝﹣4，F ＝0，即圆M 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣4y ＝0，令y ＝0可得：x 2﹣4x ＝0，解可得：x 1＝0，x 2＝4，即圆与x 轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x 轴截得的弦长为4；故选：A ．例2.【湖北省2019届高三1月联考】过点和，且与轴相切的圆的方程为__________．【答案】或 （或）例3.【2018届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷（一）】已知椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，且点1F 到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆相交于C 、D，且CDAB =l 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）.【解析】(1)设1F ， 2F 的坐标分别为(),0c -， (),0c ，根据椭圆的几何性质可得3{ 12a c c a +==，解得2a =，。
高三数学均值不等式(2019年11月)
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
3.我们把不等式 称为基本不等式
(a≥0,b≥0)
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
ab
根据均值不等式得
b a≥2 ba 2
ab
ab
即 b a≥2
ab
当且仅当 b a 时，即a2=b2时式中等号
成立， a b
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成
立的条件是a=b.
例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问 这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周 长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这个矩 形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 （当且仅当a=b 时，式中等号成立）
证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴a b 2 ab 即：a b a b为a，b 的算术平均数，
2
称 ab 为a，b 的几何平均数。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
图的方法，作出长度为 a b 和 ab
2
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
待定系数法的妙用
不等式不能成功. 先做一个换元, abc = 2a(5 − 2a)(4 − a), 此时既要保证三个乘积项的和是一个常数, 还要保证取等号
时三项要相等, 可设置两个参数 m, n (m, n > 0), 再根据需
要的条件列出等式解出参数.
2
证 明 设 m, n > ma(5−2a)(4n−na)
0,
差或等比数列, 问题就迎刃而解．而如何构造新数列, 待定系
数法可以大显身手．
例 3 已知数列 {an} 满足 a1 = 2, an+1 = 3an + 5, 求
{an} 的通项公式.
分 析 型 如 an+1 = pan + q (p ̸= 1) 的 数 列, 可 设
q
an+1
−x
=
p (an
−
x),
4
9
99
3
4
1 B2, sin2 α
=
A, cos2 α
=
B, 解得:
A
=
2 ,B
=
3 , 所以
3
5
5
1 sin6 α + 1 cos6 α + 4 + 6
3 , 所 以 1 sin6 α +
4
9
125 125 25
4
1 cos6 α
1 .
9
25
二、待定系数法在数列中的应用
在递推数列中, 如何构造新的数列, 使得新数列即为等
4
4
4
3 A2 sin2 α, 1 cos6 α + 1 B3 + 1 B3 1 B2 cos2 α, 再由右端
4
2019年高考数学(文科)考试大纲解读专题10不等式、推理与证明(含解析)
（十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.样题3 若不等式的解集为,则不等式的解集为A．或B．C．D．或【答案】B考向三 目标函数的最值问题样题4 （2018新课标I 文科）若x ，y 满足约束条件，则32z x y =+的最大值为_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得()2,0B ，此时，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.样题5 已知,x y 满足，则的取值范围是A ．121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．121,732⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]65,73 D ．[]65,81【答案】A考向四 利用线性规划解决实际问题样题6 某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为 A ．14000元 B ．16000元 C ．16000元 D ． 20000元【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A．考向五推理样题7 （2017新课标全国Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．。
高考数学总复习 第六章第2课时 均值不等式课件 新人教版
思考探究
上述四个不等式等号成立的条件是什么? 提示：满足a＝b.
课前热身 a＋b 1.“ a>0 且 b>0” 是 “ ≥ 2
( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
ab ” 的
答案：A
1 2.当 x>1 时 ,关于函数 f(x)＝ x＋ ,下列叙 x－1 述正确的是( ) A.函数 f(x)有最小值 2 B.函数 f(x)有最大值 2 C.函数 f(x)有最小值 3 D.函数 f(x)有最大值 3
条件是否满足均值不等式的应用环境,若
不满足,
则应通过添项、拆项、配系数等方法,
使其满足应用条件,再结合不等式的基 本性质,达到证明的目的.
例1
证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd. 利用a2＋b2≥2ab两两
【思路分析】
结合即可求证.但需两次利用不等式,注
意等号成立的条件.
【证明】 2c2d2
4.(2010· 高考重庆卷)已知 t>0,则函数 t2－4t＋1 y＝ 的最小值为________. t
答案：－2
5.长为24 cm的铁丝做成长方形模型,则
模型的最大面积为________. 答案：36 cm2
考点探究 • 讲练互动
考点突破
考点1 利用均值不等式证明不等式 利用均值不等式证明不等式,先观察题目
考点2
利用均值不等式求最值
利用均值不等式求最值时,要注意其必
须满足的三个条件：一正二定三相
等.“一正”就是各项必须为正数.“二 定”就是要求和的最小值,必须把构成 和的二项之积转化成定值;要求积的最 大值,则必须把构成积的因式的和转化
成定值.
均值不等式的待定系数法.doc
不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。
在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。
这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。
我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 uxy yz的最大值。
x 2y 22z解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得：xy yzyx y 1 [ 2 x 2y 22y 2z 2]12 x 212) y 22x 2y 2x2( )( ) [( 22]2令2121，解得：4 2 ，1 ，于是224 222 ( x 2xy yz2 ( x 2 y 2 z 2 )y 2 z 2 )2xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2所以 u2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成x2y2z2x 2 y 2 z 2 2立。
推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则axy byz 的最大值x 2y 22z为 a 2 b 2 ，最小值为a 2b 2 。
2 2简析：即证 2 xay2 zby b 2 x 2a 2 y 2z 2b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。
a 2b 2a 2a 2b 2a 2b 21. 设是不全为零的实数，求 的最大值分析：显然只需考虑 的情形直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数满足故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大值。
消去我们得到一个方程此方程的最大根为我们所求的最大值解之得我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了2.设是不全为零的正实数，求的最大值是的同我们依然可以引进参数使其满足依据取等条件我们有消去参数我们得到一个方程这个方程的最大根为我们所求的目标。
2019高考数学一轮复习7.2均值不等式及其应用课件理新人教B
-9-
考点1 考点2 考点3
考点 1 利用均值不等式证明不等式
例
1(1)设
a,b,c
都是正数,求证:������������������
+
������������ ������
+
������������������≥a+b+c.
(2)已知
a>0,b>0,a+b=1,求证:1������
+
1 ������
+
1 ������������
=2
1+1
������ ������
.
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴1
������
+
1 ������
=
������ +������ ������
+
������+������ ������=2+������������
+
������������≥2+2=4,当且仅当
a=b=12时,等号成立.
a=b
时取等号.
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知识梳理 考点自测
12345
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)当 a≥0,b≥0 时,������+2������ ≥ ������������.
()
(2)两个不等式
a2+b2≥2ab
与������+������
2
≥
������������成立的条件是相同的.
������ ������ ������
≥2(a+b+c),
专题06不等式选讲-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(八)Word版含解析
不等式选讲的主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.重点考查内容有解含绝对值的不等式、含绝对值函数的作图及函数图象间的关系、解含绝对值不等式的参数问题以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明.要重视数形结合思想、分类讨论、转化化归思想等数学思想在解题中的应用.考点1绝对值不等式的解例1.已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．点评：《考试说明》要求“会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：“”其体现的是数形结合的思想，高考命题中将主要以解不等式（或<a）和其简单的应用为主。
例2解不等式x+|2x+3|≥2．【思路分析】思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g （x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g （x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．考点2含绝对值函数的作图与解绝对值不等式例3已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解析】（1）f（x）=，y=f（x）的图象如图所示：（2）由f（x）的表达式及图象，当f（x）=1时，可得x=1或x=3,当f（x）= -1时，可得x=或x=5,故f（x）>1的解集为f（x）<-1的解集为所以|f（x）|＞1的解集为【点评】解决含绝对值不等式问题的基本思路是去绝对值，一般采用“零点分段法”或“数形结合法”，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法．考点3 绝对值不等式的证明例4已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【解析】（1）：f（x）=【点评】含绝对值不等式的证明问题是高考的考查热点，常运用绝对值不等式的性质、平方法和基本不等式进行证明，在解题时要重视综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等基本数学方法的应用 ,还要善于运用配凑、拆项、换元、构造、特殊化、等分区间、分类讨论等一些常用的解题技巧与策略 .例5设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【思路分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．例6设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．考点4 求参数的值（范围）例7已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【点评】求参数的值或取值范围问题是绝对值不等式中的常见问题，要根据不等式的解法进行求解，在解题时要注意分类讨论思想的应用.例8设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解析】（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．考点5 柯西不等式的应用例9已知a>0,b>0,c>0,函数的最小值为4.(1)求的值;(2)求的最小值.【点评】柯西不等式是一个非常重要的不等式，在不等式证明、求最值、求参数范围等问题中有广泛的应用，在解题时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．考点6.绝对值不等式的几何意义；例10.根据绝对值的几何意义可求得：函数的最小值为0；函数的最小值为1；函数的最小值为2，则函数的最小值为_______.【解析】本题最大的特色是逐步引导研究函数的最小值，因此必须先分析前面所给三个例子取得最小值的特点，不难发现，的最小值在x=1时取到，的最小值在x=1或x=2时取到，而的最小值在x=2时取到，由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，取得最小值是其中间项，而偶数项则取中间两项结果一样，因此，对于函数，当x=5或x=6时取得最小值，此时最小值为25. 【点评】《考试说明》中要求“理解绝对值的几何意义”这是选考这，两个理解之一，可见其重要性，要求结合图像，加深对绝对值几何意义的理解。