2.待定系数法
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
标度不准温度计的三种求法
标度不准温度计的常用求法：求法1： 一般方法： 物体的真实温度=）（混混沸///100t T t t c -⨯-︒ 其中：沸/t 表示物体在沸水中的示数；混/t 表示物体在冰水混合物中的示数；T 表示物体在某一时刻的温度计示数。
例1： 有一支温度计刻度均匀但读数不准。
放入冰水混合物中示数为5℃，放入一标准大气压下的沸水中示数为95℃，若该温度计示数为32℃，则实际温度是多少？ 解：物体的真实温度C C t ︒=-⨯︒-=30)532(595100 求法2： 待定系数法： 设真实温度t ，与示数T 之间的函数关系为：b kt T +=其中：T 代表温度计在不同时刻的示数，t 代表温度计在该时刻的实际温度；代入相关的数值，联立方程组即可。
则根据这个式子，上题可以这样解答：⎩⎨⎧+⨯=+⨯=bk b k 1009505，解得⎪⎩⎪⎨⎧==5109b k ，则该函数的解析式为5109+=t T ，当T=32时，代入式子中得：t=30℃ 求法3： 图示结合比例法： 由于部分同学的逻辑思维能力、推理能力不强，想象力不太丰富，对有些物理问题仅从文字上进行理解会不够全面，不够透彻，结合图象就可以帮助我们解决问题。
例2 一只刻度均匀但读数不准的温度计，将它放在冰水混合物中测量结果是2℃；若外界气温为23℃，该温度计示数是27℃。
若用该温度计测量一杯热水的温度，示数为40℃，则这杯热水的实际温度是（ B ）A. 31.4℃B.35℃C. 36.8℃D. 37.8℃解析：如图所示，图中在左边自下至上的2℃、27℃、40℃分别是温度计在冰水混合物、外界气温和热水中的温度值，右边自下至上的0℃、23℃、t 1℃分别是它们所对应的实际温度。
从图中可以看出：冰水混合物的实际温度是0℃，而温度显示2℃；外界气温是27℃，而温度计显示23℃；当温水的实际温度为t 1时，温度计显示40℃。
由于温度计的刻度是均匀的，所以示数不准温度计上的显示温度的变化量跟对应的实际温度的变化量是成正比例的，则有： C0C t C 2C 40C 0C 23C 2C 271︒-︒︒-︒=︒-︒︒-︒ 解得：C 35C 34.961︒≈︒≈t 所以，若放在温水中的示数是40℃，那么温水的实际温度是35℃。
高中数学：第2章 2.2 2.2.3 待定系数法
2.2.3 待定系数法学习目标：1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)2.掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．思考：待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？[提示] (1)根据题设条件，设出含有待定系数的该函数解析式的恰当形式． (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)． (4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．[基础自测]1．思考辨析(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y ＝－16x .( ) (3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y ＝12x ＋52.( ) [解析] (1)√ 确定一次函数的解析式，即确定k ，b 的值，因此需要列关于k ，b 的两个二元一次方程求解．(2)× 反比例函数图象过点(2,8)则其解析式为y ＝16x .(3)√ 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(1,3)，(3,4)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝33k ＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，所以解析式为y ＝12x ＋52.[答案] (1)√ (2)× (3)√2．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1D [把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝1.所以y ＝－x ＋1，故选D.]3．已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )【导学号：60462146】A ．y ＝14x 2＋1 B ．y ＝14x 2＋4 C ．y ＝4x 2＋1D ．y ＝x 2＋4D [设该二次函数的解析式为y ＝a (x －0)2＋4，即y ＝ax 2＋4，(1,5)代入，得a ＋4＝5，所以a ＝1，故解析式为y ＝x 2＋4.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为________． 5 [∵f (3)－f (－1)＝8a ＋4b ＝0， ∴4a ＋2b ＝0， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋5＝5.][合 作 探 究·攻 重 难]待定系数法求一次函数的解析式【导学号：60462147】(2)已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为______．[解析] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－3.所以函数的解析式为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0和(1,5)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝－32k ＋b ，5＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝3，所以y ＝2x ＋3.[答案] (1)2x ＋1或－2x －3 (2)y ＝2x ＋3[规律方法] 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可． [跟踪训练]1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________． y ＝－14x ＋12 [设函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，得⎩⎨⎧0＝2k ＋b ，1＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.所以函数的解析式为y ＝－14x ＋12.]待定系数法求二次函数的解析式2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．[思路探究] 设二次函数的解析式→列出含参数的方程(组)→解方程(组)→写出解析式[解] (1)由题意设二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)(x －4)，整理，得y ＝ax 2－6ax ＋8a .又∵图象过点(0,3) ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 又∵图象过点(0,4) ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2. (3)设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题设知⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.[规律方法] 求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0.(2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，a ≠0.(3)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，a 为常数，且a ≠0.)[跟踪训练]2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式.【导学号：60462148】[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)由f (0)＝1得，c ＝1 ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x 即2ax ＋a ＋b ＝2x∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1待定系数法的综合应用[1．根据函数图象求函数解析式的关键是什么？ 提示：观察函数图象的形状．图2-2-32．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-2-3所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．提示：设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2－1，(a ＞0)． 又函数过点(0,0)，故a ＝1，所以所求函数的解析式为y ＝(x －1)2－1(0≤x ＜3)． 由图可知该函数的取值满足－1＝f (1)≤f (x )＜f (3)＝3， 即该函数的值域为[－1,3)．如图2-2-4，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．图2-2-4[解] 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎨⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)， 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)； 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：(顶点式)设抛物线的方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 法二：(一般式)设抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2，所以抛物线对应的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，(x <1)，－x 2＋4x －2，(1≤x <3)，x －2，(x ≥3).[规律方法] 1.由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后再在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值． [跟踪训练]3．已知二次函数图象与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)，求二次函数解析式. 【导学号：60462149】[解] 法一：(一般式)设二次函数的表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 因为函数f (x )经过点(－2,0)，(3,0)和(－1,8)，所以⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0a －b ＋c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝2c ＝12.所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.法二：(两根式)设二次函数解析式为f (x )＝a (x ＋2)(x －3)，又因为二次函数图象经过(－1,8)，所以－4a ＝8，即a ＝－2，所以二次函数解析式为f (x )＝－2(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2A [2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b ，根据恒等式⎩⎨⎧a ＝2，b －a ＝1，－3＝－b ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.] 2．已知函数f (x )＝ax 2＋k 的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝3x 2＋4B ．f (x )＝2x 2＋5C ．f (x )＝3x 2＋2D ．f (x )＝5x 2＋4A [将(1,7)与(0,4)代入函数f (x )＝ax 2＋k 可得a ＝3，k ＝4.]3．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________.【导学号：60462150】y ＝－4x 2＋16x －13 [由题意设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋3， 则－1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－4.]4．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.2 [f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3， 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎨⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－7.∴5a －b ＝2.]5．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．[解] 法一：(一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．将三个点的坐标代入，得⎩⎨⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：(两根式)∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)． ∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)， 把顶点(4，－3)代入得－3＝a (4－1)×(4－7)， 解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.。
求数列通项公式的十种方法 (2)
总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法适用于：1()n n a a f n +=+转换成1()n n a a f n +-=，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若③若④若例1解：由n a 例2解；由n a 3221((2333(1)3(1)3n a a a n n =++-=++⨯=++++-+=-+==练习1.已知数列{}n a的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=二、累乘法1.适用于：1()n n a f n a +=----------这是广义的等比数列2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例4例4.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知1=+n a n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式三.。
例2n 满足S n 点评②数列{a 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n {+a n dn +-1,式.a 例6解法一：2n n a a -=又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列12n n a ∴+=，即21n n a =-练习．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a 。
二阶非齐次微分方程解法总结
二阶非齐次微分方程解法总结一、引言微分方程是数学中非常重要的一个分支，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
其中，二阶非齐次微分方程是比较基础的一种类型，解法也比较多样化。
本文将对二阶非齐次微分方程的解法进行总结和归纳。
二、基本概念1. 二阶非齐次微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的微分方程。
2. 齐次线性微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=0的微分方程。
3. 非齐次线性微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的微分方程。
4. 常系数线性微分方程：系数p(x)和q(x)都是常数的线性微分方程。
三、特解法特解法是求解非齐次线性微分方程最常用的方法之一。
其基本思路是先求出对应齐次线性微分方程的通解，再通过待定系数法求出一个特解，将通解和特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
1. 对应齐次线性微分方程通解：（1）若r1≠r2，通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)；（2）若r1=r2，通解为y=(C1+C2x)e^(rx)；（3）若r1,r2为复数，设r=a+bi，则通解为y=e^(ax)(C1cosbx+C2sinbx)。
其中，C1、C2为任意常数。
2. 待定系数法求特解：（1）当f(x)为常数、多项式、正弦函数、余弦函数时，可根据f(x)的形式分别猜测特解的形式，并通过待定系数法求出特解；（2）当f(x)为指数函数或三角函数的乘积时，可通过猜测特解的形式，并利用欧拉公式将其转化成指数函数或三角函数的和的形式，再通过待定系数法求出特解。
四、常数变易法常数变易法是另一种求解非齐次线性微分方程的方法。
其基本思路是假设非齐次线性微分方程的一个特解可以表示成原齐次线性微分方程通解乘以一个待定函数的形式，将此代入非齐次线性微分方程中，并确定待定函数使得等式成立。
具体步骤如下：（1）先求出对应齐次线性微分方程的通解；（2）假设非齐次线性微分方程的特解为y1(x)，可以表示成对应齐次线性微分方程的通解乘以一个待定函数u(x)的形式，即y1(x)=u(x)y0(x)，其中y0(x)为对应齐次线性微分方程的通解；（3）将y1(x)代入非齐次线性微分方程中，并确定待定函数u(x)使得等式成立；（4）将求出的特解y1(x)与对应齐次线性微分方程的通解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
待定系数法拆分分母
待定系数法拆分分母摘要：1.待定系数法拆分分母的概述2.待定系数法的基本原理3.待定系数法在分母拆分中的具体应用4.待定系数法拆分分母的步骤和注意事项5.待定系数法拆分分母的实际案例分析6.总结与展望正文：【1.待定系数法拆分分母的概述】待定系数法拆分分母是一种常用的数学方法，主要用于将分式进行简化和变形，以便于进行计算和求解。
这种方法的核心思想是设定一个或多个待定系数，通过一系列的等式推导，将分母进行拆分，从而实现分式的简化。
【2.待定系数法的基本原理】待定系数法的基本原理是设一个或多个待定系数，通过设定的系数与分母中的其他项进行组合，构建一个新的等式，然后通过解这个等式，求得待定系数的值，从而实现分母的拆分。
【3.待定系数法在分母拆分中的具体应用】在分母拆分中，待定系数法通常用于解决以下问题：一是分母中含有复杂的函数，二是分母中含有多个变量，三是分母中存在难以处理的项。
在这些情况下，通过待定系数法，可以将分母进行拆分，从而简化分式，便于计算和求解。
【4.待定系数法拆分分母的步骤和注意事项】待定系数法拆分分母的步骤主要包括：设定待定系数，构建新等式，解新等式，求得待定系数的值，将待定系数的值代入原分母，实现分母的拆分。
在使用待定系数法时，需要注意以下几点：一是待定系数的个数应与分母中需要拆分的项的个数相等；二是在构建新等式时，需要保证等式的两边相等；三是在解新等式时，需要保证解出的待定系数的值满足原分母的约束条件。
【5.待定系数法拆分分母的实际案例分析】例如，对于分式1/(x^2+3x)，我们可以通过待定系数法进行分母拆分。
首先，设定待定系数a，构建新等式a(x^2+3x)=x^2+3x，解这个等式，得到a=1。
将a 代入原分母，得到分母为x(x+3)，从而实现了分母的拆分。
【6.总结与展望】待定系数法拆分分母是一种有效的数学方法，可以帮助我们简化分式，便于计算和求解。
在实际应用中，我们需要灵活运用待定系数法，根据分母的具体情况，设定合适的待定系数，构建适当的等式，从而实现分母的拆分。
待定系数法的三个公式
待定系数法的三个公式一、线性方程公式：设原方程为Ax+B=C，其中A、B、C为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0+B=C；2.待定系数法的关键在于选取合适的x0，使得Ax0+B=C的解存在。
一般而言，通过观察和猜测来确定x0的值；3.令Ax0+B=C成立，解得x0=(C-B)/A；4.带入x=x0，即可得到方程的解。
二、二次方程公式：设原方程为Ax^2+Bx+C=0，其中A、B、C为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0^2+Bx0+C=0；2.同样，通过观察和猜测来选取合适的x0，使得方程有解；3.令Ax0^2+Bx0+C=0成立，解得x0=(-B±√(B^2-4AC))/(2A)；4.带入x=x0，即可得到方程的两个根。
三、三次方程公式：设原方程为Ax^3+Bx^2+Cx+D=0，其中A、B、C、D为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0^3+Bx0^2+Cx0+D=0；2.同样，通过观察和猜测来选取合适的x0，使得方程有解；3.令Ax0^3+Bx0^2+Cx0+D=0成立，解得x0为方程的一个根。
将方程除以(x-x0)后，得到一个二次方程Ax^2+(Ax0+B)x+(Bx0^2+Cx0+D)=0；4.使用二次方程公式，求解该二次方程即可得到方程的其他两个根。
以上就是待定系数法的三个公式及其应用方法。
通过选择合适的待求解的x值，将其带入方程后求解，可以得到方程的解。
待定系数法在解决一元多次方程问题中具有较高的实用性，能够有效地简化求解过程。
专题2：待定系数法应用探讨
七年级数学（下）教学教案（人教版）专题2：待定系数法应用探讨一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】A ．9B ．－9C ．±9D ．±3【答案】A 。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设()22x 6x k=x+A ++，则222x 6x k=x 2Ax A ++++，∴22A=6A=3k=9A =k ⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩。
故选A 。
练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【 】 A ．64 B ．48 C ．32 D ．162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x 2﹣kx+9是一个完全平方式，则k 的值是 ▲ 。
3.（2011江苏连云港3分）计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为【 】 A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44.（2011湖北荆州3分）将代数式2x 4x 1+-化成2(x p)q ++的形式为【 】A.2(x 2)3-+ B.2(x 2)4+- C.2(x 2)5+- D.2(x 4)4++二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。
典型例题：例：（2012四川凉山4分）已知b 5a 13=，则a b a b -+的值是【 】 A ．23B ．32C ．94D ．49【答案】D 。
【考点】比例的性质。
【分析】∵b 5a 13=，∴设b 5k a 13==，则b=5k ， a=13k ，把a ，b 的值代入a ba b-+，得，a b 13k 5k 8k 4===a b 13k 5k 18k 9--++。
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2.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】函数式变形为： (y－m)x2－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0 即： y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：1120497120+++-=-++-=⎧⎨⎩()()m n mnm n mn解得：mn==⎧⎨⎩51或mn==⎧⎨⎩15∴ y＝5431122x xx+++或者y＝x xx224351+++此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：m nmn+=-=-⎧⎨⎩6127，解出m、n而求得函数式y。
【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。
两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。
本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例8. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。
设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a∴a b ca a ba c2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()解得：ab==⎧⎨⎪⎩⎪105∴所求椭圆方程是：x210＋y25＝1也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：b ca ca b c=-=-=+⎧⎨⎪⎩⎪105222，更容易求出a、b的值。
【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。
在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例9. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n n()+112(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。
（89年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在。
由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝16(a＋b＋c)；n＝2，得22＝12(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。
整理得：a b ca b ca b C++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370,解得abc===⎧⎨⎪⎩⎪31110，于是对n＝1、2、3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n n()+112(3n2＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：假设对n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝k k()+112(3k2＋11k＋10)；y B’当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝k k()+112(3k2＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)2＝k k()+112(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2＝()()k k++1212（3k2＋5k＋12k＋24）＝()()k k++1212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。
此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。