均值不等式的待定系数法

不等式讲座系列之均值不等式的待定系数篇撰写人：张平在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。

在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。

这个纯属个人一些观点，高手直接pass 掉。

我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不至于有那么多，啊！啊！啊！1. 设,,,x y z w 是不全为零的实数，求22222xy yz zw x y z w +++++的最大值 分析：显然只需考虑0,0,0,0x y z w ≥≥≥≥的情形直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数,αβ满足2222222222()(1)(1)x y z w x y y z z w ααββ+++=++-++-+≥++t === 显然参数t 就是我们要求的最大值。

消去,αβ我们得到一个方程24410t t --= 此方程的最大根为我们所求的最大值解之得12t = 我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了2. 设,,x y z是的同我们依然可以引进参数,,αβγ使其满足2(1)(2)(1)x y z x x y x y zx αβαγβγαβ++=--++++-+≥--+依据取等条件我们有161t αβ===-- 消去参数,,αβγ我们得到一个方程5432(18)(16224584144013771458)0t t t t t t----+-=这个方程的最大根为我们所求的目标。

解之得18t=呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。

有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。

你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。

3318361618223(18)18361622182x y zx x yx y zx y x y zxx y z++=+++++++≤=++当且仅当::1:18:36x y z=取等。

好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们开始来处理下面的几个问题吧！3.设,,x y z是正实数，求2221010x y zxy yz zx++++的最小值。

解：我们考虑引进参数k使其满足：2222222221010(10)(10)2)22z zx y z kx ky k x k y kxy xz yz ++=++-++-+≥+依据取等条件我们有：24k t t=⇒=故2221010x y zxy yz zx++++的最小值为44.设,,x y z是正实数且满足3x y z++=，求223x y z++的最小值解：观察题目的结构考虑到,x y地位的平等性，引进参数,k l22222232323332222()2()33xk xky k yk x yz k l k x y l zz l l zl⎧+≥⎪+≥⇒++++≥++⎨⎪++≥⎩由取等条件我们有：223,,,k l x k y k z l====⇒23k l+=解之得191126k l-+==所以223223233172()32()62()108x y z k x y l z k l k k l +++≥++-+=-+=当然了这个题目明显可以拉格朗日数乘法来解决，这也从另外一个角度启示我们某些条件极值是可以用待定系数均值来解决的……….5．设,x y 为正实数，且1x y +=，求2218x y+的最小值 分析：这个题玩过不等式的会说权方和秒！今天我们从待定系数均值的角度也来玩一玩。

考虑1x y +=和为定值，我们为了使用均值，可以这样引进参数()k k x y =+ 因此2218x y ++k=22221818()2222kx kx ky ky k x y x y x y +++=+++++≥由取等条件：22128154231kx x ky k yx y ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⇒=⎨⎪⎪+=⎪⎩所以221827k x y +≥= 6.若()x a x y +≤+对任意0,0x y >>恒成立，求a 的最小值。

解：()x a x y +≤+对任意0,0x y >>恒成立a ≤对任意0,0x y >>恒成立 下面我们依然可以待定均值(1)(1)x y k x kx y k x +=-++≥-+由取等条件：11t k ==- 消去k 我们得到：210t t --=方程的最大根及为我们所求解之得12t =因此a的最小值为12读到这里也许有读者会说：你每次解那个比例式方程为什么说那个比值就是我们要求的目标呢？这个问题我想不用我解释吧，这太显然了！是不是？为了加深对这个方法的认识和应用，我们来看一个大家都很熟悉的问题：7.若11,22a b≥-≥-且1a b+=≤好吧！你也许会说哥用柯西一行就秒了。

是的，今天在这里我用待定系数来处理一下这个问题。

考虑这样引进参数m22222222222121212221222ama bmm mm m mb mmm+⎧+++ =≤++⇒≤+=+⎨+⎪+=≤考虑取等条件：2222221211,21ammbm a b mma b+⎧=⎪⎪+⎪=⇒===⎨⎪+=⎪⎪⎩222mm≤+=8.有一边长为a和()b a b≥的长方体纸板，在四个角各裁去一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使纸盒的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？分析：这是一个很old的问题了，大多可以建立函数模型用导数解决之。

今天我们换个角度用均值，对还是用均值来kill it！解：设裁去正方形的边长为x则做成的无盖长方体容积为(2)(2) (0<)2bV x a x b x x=--<同样引入参数,m n33(2)(2)()1((22))3()(2)(2)27mx n a x b xm n x na bV mx n a x b xmn mn mn+-+---++ =--≤=考虑取等情况：(2)2mx n a x b x=-=-当220m n --=时，右边为常数故当二者同时成立时函数有最大值。

消去参数得到：2124()0x a b x ab -++=解之得：(),(0)62a b b x x +±=<<故()6a b x +-=33222max ()[()(2)(2)()](2)(2)2754na b a b a b b a a ab b V x a x b x mn ++--+-+=--== 9.求函数21(0)2y x x x x=++>的最小值。

分析：这个单变量的函数，话说单变量都可以导数的嘛，你明白的在这里我还是想说均值可以kill it解：考虑引进参数0λ>222111()()222442y x x x x x x x x x x x x λλλλλ--=++=+++=++++≥ 由取等条件：21,42x x x xλλ-==消去参数得：324210x x +-= 即2(21)(221)0x x x -++= 解得12x =此时12λ=，min 74y = 10.问θ(0)2πθ≤≤取什么值时，2cos sin y θθ=取最大值。

解：考虑引进参数,0a b >321((1)sin )cos sin (1sin )(1sin )sin 27a b b a y a b ab ab θθθθθθ+++-==-+≤考虑取等条件：2(1sin )(1sin )sin 101sin ,[0,]32a b b a a b θθθπθθθ-=+=⎧⎨+-=⎩⇒=∈⇒===32()cos sin 279a b y ab θθ+=≤=在本篇即将结束之际，我想说的是限于水平如有不当请高手予以指点，在此表示感谢。

题目是死的，人是活的，我们不能只拘泥于此。

只要有所思考，就会有所悟，从而能够站在更高的观点上看问题。

如果这能帮助到一些朋友的话，本人考虑继续发讲座系列。

V6于2011-11-25书。