蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题

蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题特级教师吴乃华梯形的两条对角线，把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分，这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系，都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。

由于这四个部分形状有点像蝴蝶，揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、“右”四个部分的关系，以及这四个部分相互之间规律的理论，就叫做“梯形蝴蝶定理”。

它的奇妙之处在于，运用这种理论解答图形问题，轻松便捷，化难为易。

下面以几道小学竞赛题的解答，就定理的部分内容作浅显的解读，敬请校正。

一、紧盯翅膀求答案梯形的左右两个三角形，就像蝴蝶的一对翅膀，它们的面积是相等的，这是因为它们分属于同底同高的两个三角形，并且共有一个“上”（或者“下”）三角形。

简记为：“左＝右”。

在有关梯形的图形里，关注这一部分的情况，有时能得到答案，有时为解答提供思路。

例1、如图的梯形ABCD中，三角形ABP的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求四边形MPNQ的面积。

解：连接MN，这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。

由“左＝右”知道：S△MNQ＝S△CDQ＝35；S△MNP＝S△ABP＝20。

所以，四边形MPNQ的面积是：20＋35＝55（平方厘米）。

例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少？（第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)解：连接AM。

把四边形CPMN以外的部分，分成了AMND和ABGM两个梯形。

由“左＝右”知道：S△AFM＝22；S△AEM＝36－22＝14。

所以，三角形BNE 的面积是14。

二、上底下底藏玄机梯形上、下底的长度，决定了对角线交叉所成的角度。

上、下底的比，决定了对角线上、下段的比，也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。

所以相应边长的比，等于边长所在的三角形面积的比，反之，三角形面积的比，等于三角形相应边长的比。

简记为：AO ∶OC ＝上∶左＝右∶下。

例3、梯形ABCD 的上底AD 长3厘米，下底BC 长9厘米，两对角线相交于O 。

已知三角形ABO 的面积为12平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？（1999年小学数学奥林匹克决赛试题）解：因为AD ∶BC ＝3∶9＝AO ∶CO ＝EO ∶OF ＝DO ∶BO ＝1∶3；所以，S △AOD ∶S △AOB ＝S △DOC ∶S △BOC ＝1∶3。

已知三角形ABO 的面积为12平方厘米，知S △AOD ＝ 12÷3＝4（平方厘米）； S △BOC ＝12×3＝36（平方厘米）。

所以，梯形ABCD 的面积为：4＋12×2＋36＝64（平方厘米）。

例4、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

已知AB ＝5，CD ＝3，梯形ABCD 的面积为4，求三角形ABO 的面积。

（第十四届“华杯赛”小学组决赛A 卷试题）解：已知CD ∶AB ＝3∶5，如果S △COD 为3份， S △AOD 为5份，S △BOC 为5份，则S △AOB 为553⨯＝253份梯形ABCD 共分了：3＋5＋5＋253＝643份；三角形ABO 的面积是梯形面积的253÷643＝2564所以，三角形ABO 的面积为：4×2564＝2516。

三、细研定理多思路（1）、梯形中，面积的比等于相应的边长平方的比，简记为：22::a b =上下。

例5、如下图，在梯形ABCD 中，三角形ABO 和三角形CDO 的面积分别是16和4，那么DC ∶AB 是几比几？（第十五届“华杯赛”小学组决赛B 卷试题）解：由三角形ABO 和三角形OCD 的面积分别是16和4，知：16＝4×4，4＝2×2。

根据“22上下”，::a b可知，DC∶AB＝2∶4＝1∶2。

（2）、由“上∶左＝右∶下”，根据比例的基本性质，推知“上×下＝左×右”。

例6、如图，BD、CF将长方形ABCD分成四块。

红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?（第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试题）解：连接B、F两点．根据“上×下＝左×右”，知，S△BCE＝6×6÷4＝9（平方厘米）。

对角线BD把长方形ABCD分成相等的两半，可知，S△ABD＝S△BCD＝6＋9＝15（平方厘米）。

所以，四边形ABEF的面积为：15－4＝11（平方厘米）。

例7、如图，ABCD是个梯形，已知三角形ABD的面积是12 cm²，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12 cm²。

那么，梯形ABCD的面积是多少cm²？解：设三角形AOD的面积为x. 依题中条件S△AOB＝12－x；S△BOC＝12＋x。

根据“上×下＝左×右”，得方程：x×（x＋12）＝（x－12）×（x－12）解得x＝4。

所以，梯形ABCD的面积是：4＋16＋8＋8＝36（cm²）。

例8、在右图的梯形ABCD中，三角形AOD面积是27 平方厘米，三角形COD的面积是45平方厘米，三角形BCE的面积是55平方厘米。

那么，阴影部分面积是多少平方厘米？解：根据“上×下＝左×右”，可知，S△BOC＝45×45÷27＝75（平方厘米）。

而S△BCE＝55 cm²，所以S△EOC＝75－55＝20（平方厘米）。

根据高相同，面积的比等于底边的比，知，，EO长是BO长的20÷75＝415所以，阴影部分的面积是：（45＋75）×4＝32（平方厘米）。

15（3）、一条对角线上段与下段的比＝上、右两个三角形的面积和与左、下两个三角形面积和的比。

简记为：AO ∶OC ＝（上＋右）∶（左＋下）。

例9、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若S △AOD ∶S △ACD ＝1∶3，若S △AOD ＝1.8平方厘米，则梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？解：由S △AOD ∶S △ACD ＝1∶3， 知，S △ACD ＝1.8×3＝5.4（平方厘米）。

S △AOD ∶S △DOC ＝1∶（3－1）＝1∶2，设S △ABC 为x 平方厘米。

1∶2＝5.4∶x 解得 x ＝10.8。

所以，梯形ABCD 的面积是：5.4＋10.8＝16.2（平方厘米）。

四、综合思考少难题所谓综合思考，就是善于根据梯形中各部分的面积与相应的边长的比例关系，综合运用，不以一种关系的运用而满足。

例10、E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，BD 与AE 的交点为F ，那么，右图中阴影部分（三角形FAB ）与矩形ABCD 的面积之比是多少？（1997年小学数学奥林匹克总决赛题）解：设矩形ABCD 的面积为1. 连接DE.由E 是BC 边的中点，知S △CDE 是矩形面积的12×12＝14，梯形ABED 的面积为 1－14＝34。

由梯形上、下底长度的比是1∶2，可知，上、下、左、右四个三角形面积所占的份数的和为 2（1+2）＝9份，S △ABF 占梯形面积的29。

图中阴影部分（三角形FAB ）是矩形ABCD 的面积的：34×29＝16，即1∶6。

例11、如右图 ABCD 为平行四边形，AE ＝2ED ，若三角形CEF 的面积为1，那么平行四边形ABCD 的面积是多少？（第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛深圳赛题）解：因为AE ＝2ED ，知S △CDE 是平行四边形面积的12×13＝16，则梯形面积是平行四边形面积的 1－16＝56。

由AE ＝2ED ，知AE ∶BC ＝2∶3。

则“上”的面积为2份，“左”为3份，“右”为3份，“下”为3÷2×3＝4.5份，则梯形面积共分为：2＋3＋3＋4.5＝12.5份。

三角形CEF的面积是梯形ABCE面积的3÷12.5＝625。

已知三角形CEF的面积为1，则梯形面积为1÷625＝256。

所以，平行四边形ABCD的面积是：625÷56＝5。

例12、下图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在CD边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点。

已知平行四边形的面积是1，AE∶EB＝1∶4，三角形BHC的面积为18，求三角形ADG的面积。

（2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛C卷试题）解：已知平行四边形ABCD的面积是1，根据面积一定，底和高成反比例，所以底和高的长度，凡是积为1的两个数都成。

为了省事，我们设平行四边形ABCD的底和高都为1。

连接EF，把平行四边形分成AEFD和EBCF两个梯形。

在梯形EBCF中，S△BEF＝12×41+4×1＝25，S△BEH＝25－18＝1140；设CF长为x。

根据梯形中三角形面积的比，等于三角形相应边长的比，得比例式1140∶18＝41+4∶x解得x＝411.则DF是CD的1－411＝711。

在梯形AEFD中，S△AED＝S△AEF＝12×11+4×1＝110。

DF∶AE＝DG∶GE＝711∶11+4＝3511。

所以，三角形ADG的面积是：110÷（1＋3511）×3511＝792。