一元一次不等式组的竞赛题巧解举例
初中数学 文档：一元一次不等式问题解题技巧五则 省赛一等奖
一元一次不等式问题解题技巧五则一、巧用不等式性质解题：例1、已知a b a ->，a b b +>，求、的取值范围．解：由a b a ->两边同减去得0b ->，∴；由a b b +>两边同减去得； ∴、的取值范围为，．例2、已知0ax a -的解集是，求的取值范围． 解：移项得ax a ，∵当时，原不等式的解集为1a xa =，∴满足条件的的取值范围为．评注：不等式的性质有——①、若，则a c b c ±>±；②、若，且，则ac bc >，a b c c >；③、若，且，则ac bc <，a b c c <．以上不等式的三个性质是解不等式的重要依据，其中性质③涉及到不等号方向的改变，解题时尤需注意．二、巧用有理数符号法则解题：例3、求不等式301x ->-的解集． 解：由30-<且301x ->-可知，代数式10x -<，即，∴原不等式的解集为． 例4、求不等式21021a x +>+的解集． 解：由20a 可得2110a +>，∵21021ax +>+，∴代数式210x +>，即12x >-，∴原不等式的解集为12x >-．评注：有理数的符号法则包括——①、有理数积的符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负；②、有理数商的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负．熟练掌握以上两个法则特别是商的符号法则是解决特殊类型不等式（如上例中的分式不等式等）问题的重要手段．三、巧用绝对值相关知识解题：例5、已知2112x x -=-，求的取值范围．解：∵12(21)x x -=--，即21(21)x x -=--；∴由绝对值的性质可知210x -，解之有12x ；∴满足条件的的取值范围为12x ． 例6、求下列不等式的解集：⑴、3x <；⑵、5x ；⑶、13x -． 解：⑴、原不等式即03x -<，由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离原点不足3个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为33x -<<；⑵、原不等式即05x -，由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离原点不小于5个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为5x或5x -；⑶、由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离“+1”不超过3个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为24x -． 评注：绝对值知识点包含两个方面——①、绝对值的性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；②、绝对值的几何意义：从数轴上看，即表示到原点的距离．以上两方面知识既是进行绝对值化简运算的依据，也是解决绝对值方程及绝对值不等式问题的重要思想方法．四、巧用等式变形思想解题：例7、已知、满足方程230x y --=，试求：⑴、当为何值时，？⑵、当为何值时，12x <？ 解：⑴、由方程230x y --=移项得23y x =-．令得230x ->，解之得32x >，∴当32x >时，； ⑵、由方程230x y --=移项得23x y =+，∴32y x +=．令12x <得3122y +<，∴31y +<，解之得2y <-，∴当2y <-时，12x <．例8、已知方程3(2)21x a x a -+=-+的解适合不等式2(5)8x a ->，求的取值范围．解：由方程3(2)21x a x a -+=-+去括号得3621x a x a -+=-+，移项得3612x x a a -=-+-，∴512a x -=．解不等式2(5)8x a ->得54x a >+，由题意有51542a a ->+，解之得113a <-． 评注：等式的变形包括——移项、合并同类项、化系数为1等步骤，等式变形的依据是等式的两个基本性质．在方程与不等式组合型问题中，通过对方程进行合理变形，从而建立不等式进行求解是解决此类问题的一种常用思想方法．五、巧用分类讨论思想解题：例9、试判断下列代数式的大小：⑴、与x ；⑵、37x y +与28x y +． 解：⑴、x y x y +-=，①、当时，0x y x +->，∴x y x +>；②、当时，0x y x +-=，∴x y x +=；③、当时，0x y x +-<，∴x y x +<．⑵、37(28)x y x y x y +-+=-，①、当0x y ->即x y >时，37(28)0x y x y +-+>，∴3728x y x y +>+； ②、当0x y -=即x y =时，37(28)0x y x y +-+=，∴3728x y x y +=+； ③、当0x y -<即x y <时，37(28)0x y x y +-+<，∴3728x y x y +<+． 例10、解关于x 的不等式：⑴、20ax a -；⑵、1()122a x a ->-． 解：⑴、原不等式可化为2ax a ， ①、当时，原式即00x ⋅，此时可取任何有理数．②、当时，原式两边同除以得2x ；③、当时，原式两边同除以得2x．⑵、原不等式可化为11()2()22a x a ->--，易知12a ≠， ①、当即102a ->时，原不等式两边同除以1()2a -得2x >-； ②、当12a <即102a -<时，原不等式两边同除以1()2a -得2x <-． 评注：在用作差法比较代数式的大小及求解含有未知字母不等式问题的过程中，若题中涉及到的未知字母的取值范围不明确，则解决的办法通常是对其进行分类讨论．。
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例知识讲解
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。
根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。
一、 巧用不等式的性质例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）A.0＜a ＜1B. a ＞1C.－1＜a ＜0D. a ＜－1分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。
故选D点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。
例2 已知6＜a ＜10，2a ≤b ≤a 2，b ac +=，则c 的取值范围是 。
分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。
二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围例3 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 01456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。
分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。
由②得 m x ＜-。
因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。
点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。
若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。
对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。
例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。
优质课比赛：用一元一次不等式解决问题(1)ppt课件
按上图的搭法，用4根火柴棒可以搭1 个正方形，用7根火柴棒可以搭2个正方形， 用10根火柴棒可以搭3个正方形。照此搭 法，用少于50根火柴棒最多可以搭出多少 个正方形？
按上图的搭法，用4根火柴棒可以搭1
个正方形，用7根火柴棒可以搭2个正方形， 用10根火柴棒可以搭3个正方形。照此搭
法，用少于50根火柴棒最多可以搭出多少
题目中的不等关系是什么？
纸箱的质量+苹果的总质量≤ 10kg
一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹
果后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.
假设每个苹果的质量为0.25kg，这只纸
箱内最多能装多少个苹果？
解：设这只纸箱内装了x只苹果， 根据题意，得： 0.25x+1≤10
解这个不等式，得： x≤ 36
答：这只纸箱最多能装36的 条数
火柴棒 根数
1 2 3 4 5 67 8…n 8 14 20 26 32 38 44 50 … 6n+2
像这样的搭法，用少于50根的火柴棒， 最多可以搭多少条小鱼？你能从表格中看 出来吗？
用火柴棒 搭小鱼
小鱼的 条数
1 2 3 4 5 67 8…n
火柴棒 根数 8 14 20
高处不胜寒
600米 500米 400米 300米 200米 100米 0米
16.4℃ 17.0℃ 17.6℃ 18.2℃ 18.8℃ 19.4℃ 20℃
问题
某种杜鹃花适宜生长在平均气温为 17℃到20℃之间的山区，已知某山区山 脚下的平均气温为20℃ ，并且每上升 100米，气温下降0.6℃,求该山区适宜种 植这种杜鹃花的山坡的高度。
3n+1 ＜49
解这个不等式得：n ＜16 答：最多可以搭 15 个正方形。
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例
一元一次不等式（组）的竞赛题巧解举例 一元一次不等式（组）是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。
根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。
一、 巧用不等式的性质例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）A.0＜a ＜1 B 。
a ＞1 C.－1＜a ＜0 D 。
a ＜－1分析:由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。
故选D点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。
例2 已知6＜a ＜10,2a ≤b ≤a 2,b a c +=，则c 的取值范围是 . 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30点评：本题应用不等式的基本性质，在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。
二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围例3 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 01456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。
分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。
由②得 m x ＜-。
因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。
点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。
若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。
对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。
例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。
一元一次不等式组应用题及答案复习过程
一元一次不等式组应用题及答案精品文档一元一次不等式应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：⑴审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意的值；⑹作答一．分配问题：1.把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？2 .把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
4．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？5. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
（1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：（2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二速度、时间问题1爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三工程问题1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？2 .用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
一元一次不等式组应用实例及答案
一元一次不等式组应用实例及答案本文介绍了一元一次不等式组的应用实例及其答案。
一元一次不等式组是用来解决不等式问题的数学工具。
它由多个一元一次不等式组成，其中每个不等式都含有一个未知数，并且未知数的指数为1。
应用实例下面是一些应用实例，展示了如何使用一元一次不等式组解决实际问题。
实例1：商店促销某商店打折销售苹果和橙子，苹果每个1元，橙子每个2元。
现有100元购物券，问最多可以购买多少个苹果和橙子？解析：设购买苹果的个数为x，购买橙子的个数为y。
根据题意，我们可以列出以下两个一元一次不等式：- 苹果总价为x元：1 * x ≤ 100- 橙子总价为2y元：2 * y ≤ 100接下来，我们可以求解这个不等式组，找到满足约束条件的x和y的取值范围。
实例2：生产计划某工厂有两个生产部门A和B，每天生产产品的数量不等。
已知部门A每天最多生产50个产品，部门B每天最多生产30个产品。
同时，工厂每天总共生产的产品数量不得超过80个。
问部门A和部门B每天生产的产品数量应如何分配，使得生产数量最大化？解析：设部门A每天生产的产品数量为x，部门B每天生产的产品数量为y。
根据题意，我们可以列出以下三个一元一次不等式：- 部门A每天最多生产50个产品：x ≤ 50- 部门B每天最多生产30个产品：y ≤ 30- 总产量不得超过80个产品：x + y ≤ 80通过求解这个不等式组，我们可以找到生产数量最大化时部门A和部门B每天生产的产品数量的合理分配方案。
答案实例1的答案：- 苹果总价不得超过100元：1 * x ≤ 100，解得x ≤ 100- 橙子总价不得超过100元：2 * y ≤ 100，解得y ≤ 50根据题意，购买苹果和橙子的个数必须是整数，所以最多可以购买的苹果个数为100个，最多可以购买的橙子个数为50个。
实例2的答案：- 部门A每天最多生产50个产品：x ≤ 50，解得x ≤ 50- 部门B每天最多生产30个产品：y ≤ 30，解得y ≤ 30- 总产量不得超过80个产品：x + y ≤ 80，解得x + y ≤ 80通过求解这个不等式组，我们可以得到合理的生产方案，例如部门A每天生产50个产品，部门B每天生产30个产品，总产量为80个产品。
一元一次不等式组的解法步骤例题
一元一次不等式组的解法步骤一元一次不等式组是数学中常见的一类问题，它可以通过一定的方法和步骤得到解决。
在本文中，我们将针对一元一次不等式组的解法步骤进行全面评估，并提供例题来帮助读者更深入理解。
解法步骤：1. 确定不等式组的条件：我们需要明确所给出不等式组的条件。
不等式组通常包括多个不等式，我们需要确保每个不等式都满足一元一次不等式的标准形式，即ax+b>c或ax+b<c。
2. 求出每个不等式的解集：针对每个不等式，我们需要求出其解集。
这一步骤需要运用代数式的加减乘除法，并结合不等式的性质来确定不等式的解集。
3. 得出整体的解集：在求出每个不等式的解集之后，我们需要将这些解集合并起来，求得整体的解集。
在合并解集的过程中，需要注意考虑每个不等式的关系，以确保得出正确的整体解集。
下面我们通过一个具体的例题来展示以上的解法步骤：例题：求解不等式组 {2x+1>5, 3x-2<7}解法步骤：1. 确定不等式组的条件：给出的不等式组已经满足一元一次不等式的标准形式，因此不需要进行进一步的调整。
2. 求出每个不等式的解集：分别对每个不等式进行求解，得到2x>4和3x<9。
通过简单的代数运算，我们可以得到x>2和x<3。
3. 得出整体的解集：通过整合每个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为2<x<3。
个人观点和理解：从上面的例题中可以看出，解决一元一次不等式组主要是通过逐步求解各个不等式，然后再将它们的解集合并起来，得到最终的整体解集。
在这个过程中，需要注意准确地运用代数运算，同时也要考虑不等式之间的关系，确保最终的解集是正确的。
总结回顾：通过本文的讲解和例题，我们对一元一次不等式组的解法步骤有了更深入的了解。
从确定条件、求解各个不等式到得出整体的解集，这些步骤是解决一元一次不等式组问题的关键。
我们也注意到在解题的过程中，需要不断地练习和总结，才能更熟练地应对各种类型的不等式组问题。
一元一次不等式组的概念及例题(例题有解答过程)
一元一次不等式（组）●了解知识结构知识框图.●明确课标要求1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义；理解一元一次不等式组、不等式组的解集的概念.2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.3.会用数轴表示出不等式（组）的解集.4.掌握一元一次不等式（组）的解法.5.体会运用不等式（组）解决简单实际问题的过程，渗透不等式模型思想.●把握重难点重点：一元一次不等式（组）的解法.难点：不等式组解集的几种情况，运用不等式（组）模型解决实际问题.●领悟思想方法1.类比的方法：在学习不等式的基本性质时，应将其与等式的基本性质进行类比，学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比.2.数形结合的思想方法：（1）把不等式或不等式组的解集在数轴上表示出来体现了数形结合的方法；（2）利用函数图象确定不等式的解集也是数形结合思想的重要体现.3.分类讨论的思想方法：在用不等式解决一些方案决策的应用题时要经常分情况讨论.4.转化思想：有的方程组在求所含字母取值范围时，需要转化为不等式（组）进行求解.●精读知识要点一、一元一次不等式1.不等式的概念用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：x－1＜2，3－4≠4－3，a＞0，a2≥0等都是不等式．2.不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个使这个不等式成立的数叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3.用数轴表示不等式的方法一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况．用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号（≥ ，≤）画实心点，无等号（>，<）画空心圈．4.不等式的基本性质不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.一元一次不等式的概念及解法一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将项的系数化为1．注意：解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤．6.一元一次不等式组的概念及解法一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集． 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集．一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找.●掌握基本题型本部分内容的考查形式多样，中考中常常以不等式与方程、函数综合解答题型的命题形式进行考测，有时也出现于填空选择题中，考查对不等式解法的掌握情况，题量为2~3题，分值为5~10分左右.但贴近社会热点的不等式（组）应用题,一般很少以选择题、填空题出现，而以解答题出现，主要考查数形结合以及通过分析数量关系建立不等式（组）模型的解题思想.1.考查不等式的基本性质【例1】如果a ＞b ，那么下列结论中，错误的是 （ ）A 、a-3＞b-3B 、3a ＞3bC 、33b a D 、－a ＞－b 【分析】不等式的性质是解不等式的关键，只有理解了不等式的性质才能正确求出不等式（组）的解集和解决与不等式有关的一些问题.利用不等式的基本性质（1）可知A 正确；利用基本性质（2）可知B ，C 正确.解：D ．【例2】已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）.Ａ.ab>b 2 Ｂ.a+c>b+c Ｃ.611 a Ｄ.ac>b 【分析】 ∵ a>b>0，∴ 根据不等式的性质A 项一定成立，B 项一定成立，C 项也成立，而D 项当c>0时才成立. 解：D.【小结】 本题考查了不等式的三个性质，要求我们必须掌握.2.用数轴表示不等式的解集问题【例3】不等式2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）解： 移项，合并，得2x≥2，将x 的系数化为1，得x≥1.故选D. 3.根据不等式（组）的解集的情况，确定字母的取值【例4】若不等式组的解集是－1＜x ＜1，则（ａ＋ｂ）2008＝___．【分析】本题应先求出不等式组的解集，再与已知解集对照比较，从而确定a 、b 的值． 解：由不等式x －a ＞2得x ＞a ＋2；由不等式b －2x ＞0得 x ＜2b ．对比题目给出的不等式组的解集为－1＜x ＜1，得 a ＋2＜x ＜2b ，所以a ＋2＝－1，2b ＝1，所以a ＝－3，b ＝2. 所以（ａ＋ｂ）2008＝（－1）2008＝1.4.综合应用类 【例5】已知且－1＜x －y ＜0，则k 的取值范围为（ ） Ａ．－1＜k ＜－21 Ｂ．0＜k ＜21 Ｃ．0＜k ＜1 Ｄ．21＜k ＜1 【分析】 解答本题只需要把不等式中的x －y 用含k 的代数式表示即可，可考虑整体思想． 解：把方程组中两方程相减得x －y ＝－2k ＋1，代入－1＜x －y ＜0中有，－1＜－2k ＋1＜0，解得21＜k ＜1，故本题应选D ． 5.考查不等式（组）的解法 【例6】解不等式31 x ≤5-x ，并把解集表示在数轴上. 解：去分母，得 x-1≤3（5-x ）.去括号，移项，得 4x≤16.系数化为1，得 x≤4.解集在数轴上表示如下：【小结】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤相同，只是在化系数为1这一步要注意系数的正负.【例7】解不等式组并写出不等式组的正整数解.【分析】 先求出不等式组的解集，然后在解集范围内找出所有的正整数，即其正整数解. 解：解不等式①，得 x≤3.解不等式②，得 x>-2.∴ 不等式组的解集为-2<x≤3.∴ 原不等式组的正整数解是：1，2，3.6.生活应用类【例8】双蓉服装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若销售1件A 型服装可获利18元，销售一件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A 型服装的数量要比购进B 型服装数量的2倍还多4件，且A 型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？【分析】 本题的题目较长,需要仔细的读题,找到题目中的不等关系,通过设适当的未知数求解. 解：设Ｂ型服装购进ｘ件，则Ａ型服装购进（２ｘ＋４）件，根据题意，得解这个不等式组，得921≤x≤12. 因为ｘ为整数，所以ｘ＝１０，１１，１２.所以２ｘ＋４＝２４，２６，２８．所以有三种进货方案：Ｂ型服装购进１０件，Ａ型服装购进２４件；B型服装购进１１件，Ａ型服装购进２６件；Ｂ型服装购进１２件，Ａ型服装购进２８件．【例9】王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售，两商场采用促销方式不同.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？【分析】题目中要求的“多少元”是指商场中商品的标价，而在算甲商场比乙商场优惠时计算的是王女士的实际花费，理清关系可列不等式进行计算.解：设她在甲商场购物x元（x>100）就比在乙商场购物优惠.根据题意，得 100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50），解这个不等式，得x>150.答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠.7.学科综合类【例10】某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？【分析】计算公司获得的总利润时先计算生产1吨甲产品和1吨乙产品获得的利润，其中“生产1吨甲产品获得的利润＝甲产品每吨售价－生产1吨甲产品需要的矿石费用－生产1吨甲产品需要的煤的费用－其它费用”.解：（1）根据题意，得10x+4m=300，∴ m=410300x（x≤30）．（2）生产1吨甲产品获利为：4600-10×200-4×400-400=600；生产1吨乙产品获利为：5500-4×200-8×400-500=1000；∴ y与x的函数关系式为：y=600x+1000×410300x-=-1900x+75000.（3）∵ 4x+8×410300x-≤200，∴25≤x≤30.∴当生产甲产品25吨时，公司获利最大.y最大=-1900×25+75000=27500（元）．【小结】本题是运用不等式与一次函数关系解应用题，应用函数知识解答的关键是建立函数模型，运用不等式知识求解.●剖析应考策略1.对不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习，应复习对比等式的性质和解一元一次方程的内容，以比较异同.2.在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，特别是该数是负数时，一定不要忘记改变不等号的方向，如果不对该数加以限制，可有三种可能.3.不等式的解集x<a与x≤a（x>a与x≥a）用数轴表示时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别.4.如果一个一元一次不等式组的各个一元一次不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.5.近几年中考注重对“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例
一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。
根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。
一、 巧用不等式的性质
例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）
A.0＜a ＜1
B. a ＞1
C.－1＜a ＜0
D. a ＜－1
分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a
两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。
故选D
点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。
例2 已知6＜a ＜10，
2
a ≤
b ≤a 2，b a
c +=，则c 的取值范围是 。
分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30
点评：本题应用不等式的基本性质，在2
a ≤
b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示
c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。
二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围
例3 若关于x 的不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 0
1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。
分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。
由②得 m x ＜-。
因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。
点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。
若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。
对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理
解。
例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是4
9x ＞
，则不等式 的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。
分析：原不等式可化为a b x ＜b a 342--)(。
因为4
9x ＞，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=---②b a a b ①b ＜a 49
23402
由②得 b a 7
8=，代入①得 b ＜0， 所以04784b ＞b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-)(。
由a b x ＞b a 234--)( 得b
a a
b x ＞
423--。
把b a 78=代入b a a b x ＞423--得 41-x ＞。
点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断b a -2＜0，从数值上判断4
9234=--b a a b ，从而确定b a 与的关系及b 的符号。
不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。
三、 利用不等式求代数式的最大值
例5 设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又
159721=+++x x x ，则321x x x ++的最大值是 。
分析：7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，
所以在7321x x x x ,,,, 这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，
159=21762111111721+=+++++++
≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ，
7
5191≤x ，所以1x 的最大值为19。
当1x 取最大值时，15919732=++++x x x ，
140≥1565212222+=+++++++x x x x x )()()( ，
6
5202≤x ，所以2x 的最大值为20。
当1x 、2x 都取最大值时，
120=10542133333743+=+++++++
≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ， 所以223≤x ， 所以3x 的最大值为22。
所以321x x x ++的最大值是19+20+22=61。
点评：本题根据已知条件先分别确定1x 、2x 、3x 的最大值，再求出321x x x ++的最大值。
其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于1x 、2x 、3x 的不等式。
例6 在满足32≤+y x ，00≥≥y x ，的条件下，y x +2 能达到的最大值是 。
分析：将y x 2+转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。
∵32≤+y x ，∴y x 23-≤，y x 462-≤。
∴632+-≤+y y x 。
∵，0≥y ∴03≤-y ，∴663≤+-y 。
即6632≤+-≤+y y x
故y x +2 能达到的最大值是6。
点评：由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。
例７ 若整数c b a 、、满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<<+<b c ＜a b a c ＜b a c
b a
c 4112
5352
32611 试确定c b a 、、的大小关系
分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++<++<<++<b c ＜b a b a c ＜b a a c
c b a c 4152
7382
53617， 所以c b c a 32
761738<>,， 即c c b c c a <<>>7
6,1617。
所以a c b <<。
点评：本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有c b a ++，利用不等式的传递性，得到c b a 、、的大小关系。