超几何分布期望计算公式
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。
在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。
一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
超几何分布的期望和方差证明
超几何分布的期望和方差证明
超几何分布是许多抽样模型的核心，可以用来求解不均匀选择的概率，从而得出结论。
它通常用于研究一组不同分类的组合中的元素的特征。
超几何分布的期望和变异系数的证
明是一个抽样问题，可以用此方法来描述一组总体，如果对这组总体进行抽样，那么抽样
结果如何概率可以用超几何分布表示。
期望与方差证明是一种常用的证明概念，可以用来衡量一组总体观察精度的好坏。
在
超几何分布的情况下，可以通过期望和变异系数的证明来衡量一组总体的抽样可信度以及
抽样结果的可比性。
超几何分布期望证明是求解一组总体中各单位被抽出来的概率，超几何分布期望指的
是在这组总体中，抽取各个单位的期望数目，期望即抽取的时候，每个单位出现的可能次数。
超几何分布期望公式为：
E(x)=(Np)/n，
其中:
E(x) 为期望值，
N 为所抽取的总样本数，
n 为单个抽取的样本数，
p 为同一类中的元素的概率。
超几何分布的方差证明则是求解一组总体中，每个单位被抽取出来的次数之间的方差，超几何分布方差公式为：
V(x)=(Npq)/n，。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
几何分布的期望方差
几何分布的期望方差
几何分布的期望和方差是EX=nM/N，超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关，超几何分布中的参数是M，N，n，上述超几何分布记作X-H(n，M，N)。
在伯努利试验中
成功的概率为p，若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量，它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p
(k=1，2，…，0<p<1)，此时称随机变量ξ服从几何分布。
它的期望为1/p，方差为(1-p)/(p的平方)。
超几何分布的期望和方差 (1)
n 超几何分布列的数学期望和方差（030012 太原五中王志军）一、准备知识:1.组合数性质：(1)C m =C n−m；(2)C m +C m+1 =C m+1 ；(3)C k−1=kC k（即k C k =nC k−1 ）；n n n n n+1 n−1 n n n n−12.二项式定理和二项式系数的性质：(1) (C0 )2 + (C1)2 + (C2 )2 +…+(C n)2 =C nn n n n 2n证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)n(1 +x)n=(1 +x)2n中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.(2) C0 C n+ C1 C n−1 + C2 C n−2 +…+C m C n−m = C nM N−M M N−M M N−M M N−M N证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)M(1 +x)N−M=(1 +x)N中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.3.方差的性质（1）D(aX +b) =a2D X ；（2）D X =E X2−(E X)2；4.二项分布及其数学期望和方差（1）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数X 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是P(X=k)=C k p k q n−k ，（其中n nk＝0,1,2,…，n，q =1 −p）．于是得到随机变量X 的概率分布如下：X 0 1 …k …nP C0 p0q nn C1 p1q n−1n…C k p k q n−kn…C n p n q0n并记b(k;n, p) = C k p k q n−k ．（2）若X ～Β(n，p)，则E X=np（3）若X ～Β(n，p)，则D X=np(1—p)二、超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为C n Cn C C C mk C C C C k C n −k ∗P (X = k ) = M N −M,k = 0,1, 2,⋯,m ,其中m = min{M ,n } ，且n ≤ N , M ≤ N ,n , M , N ∈ N ．N为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 （ hypergeometriC distribution )，记 X ～ H (n ;M , N ) .C k C n −k可知其满足随机变量的分布列性质：（1）非负性P (X = k ) =M N −MN≥ 0,k = 0,1,2,⋯,mC 0 C nC 1 C n −1 C m C n −m （2）可 加 性 M N −M + M N −M +…+ M N −M =1 n n nN N NmkC kCn −k （3）X 的数学期望EX = ∑M N −M= 1（ 0 ⋅C 0Cnk =0+1⋅C 1Cn −1n N+ 2 ⋅C 2Cn −2+…+ k ⋅C k C n −k+…+ m ⋅C m Cn −m）n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −M= 1（ M ⋅CCn −1 + M ⋅C 1Cn −2+…+ M ⋅C k −1 C n −k+…+ M ⋅Cm −1C n −m ）n M −1NN −MM −1N −MM −1N −MM −1N −M=M（ C 0C n −1+ C 1C n −2 +…+C k −1 C n −k +…+ C m −1C n −m ） nM −1 NN −MM −1N −M M −1 N −M M −1 N −M=MC n −1 nN −1NnM =，因此， NEX =nMN（4） X 的方差D X = E X 2− (E X )22 kn −k＝ ∑ M N −M － (nM )2 k =0 NN=1（ 02 ⋅C 0Cn+12⋅C 1 Cn −1 + 22⋅C 2 Cn −2+…+ k 2 ⋅C k C n −k+…+ m 2 ⋅C m Cn −m）－ (nM)2n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −MN＝ 1（1⋅ MCCn −1 + 2 ⋅M C 1Cn −2+…+ k ⋅ MC k −1 Cn −k+…+ m ⋅M C m −1Cn −m）－ (nM)2n M −1NN −MM −1N −MM −1 N −MM −1 N −MNn C C CC CCCM ＝［ （ C 0C n −1 + C 1 C n −2 + … + C k −1 C n −k + … + C m −1C n −m ） ＋ （ nM −1 NN −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M 0 ⋅C 0 C n −1 +1⋅C 1 C n −2 +…+ (k − 1) ⋅C k −1 C n −k +…+(m − 1) ⋅C m −1C n −m ）］－ (nM)2 M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −MN＝ M ［ C n −1 ＋（ M − 1)C n −2 ］－ (nM )2nN −1 NnM n (n − 1)M (M − 1)=N +N (N − 1) N −2 NnM － ( )2 N= nM － (nM )2 N N n (n − 1)M (M − 1) +N (N − 1) ，因此， X 的方差DX = nM N － (nM )2 Nn (n − 1)M (M − 1) + N (N − 1)三、超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的 关系根据极限知识，很容易得到：1. 在超几何分布中，当N → +∞ 时， M→ p （二项分布中的 p ）N2. 当N → +∞ 时，超几何分布的数学期望EX = nM→ np = E X （二项分布的数学期望）N3. 当 N → +∞时 ， 超 几 何 分 布 的 方 差 DX = nM－ N(nM )2 + n (n − 1)M (M − 1) → np − (np )2 + n (n − 1) p 2 = np (1 − p ) = D X （二项分布的方差） N N (N − 1)4. 当N → +∞ 时，超几何分布可近似为二项分布.C C。
超几何分布的数学期望
超几何分布的数学期望
离散型随机变量的分布列及数学期望是理科数学的一个必考题，而超几何分布也是一个重要内容。
对超几何分布的数学期望的计算，按定义计算量大，有没有公式快速计算呢？一次偶然，我的学生杨刚毅便有了新发现，也如二项分布一样，超几何分布的数学期望也是有公式可表示的。
现从公式、证明及简单应用三个方面予以叙述，大家共享。
一、超几何分布的定义
一般地，在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰好有x 件次品，则事件（x=k）发生的概率
例2：若100件产品中含10件次品，从中抽取n件产品，若随机变量x表示抽取的次品数，且，则。
解：此题若从定义入手，很难。
而由公式得
练1：设有100个大小相同的球，其中5个黑球，95个白球，从中任取20个球，求取出的球中黑球的个数x的数学期望。
练2：设10件产品中有次品a件，从中抽取3件，抽得次品件数x，且，求a的值。
收稿日期：2012-03-12。
超几何分布的概率计算公式
超几何分布的概率计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：超几何分布是概率论中的一种重要分布，用来描述在有限大小的总体中选择样本的过程中某一类别的出现次数的概率分布。
它通常涉及两个参数：总体大小N、总体中成功的个数K，以及样本大小n。
在这篇文章中，我们将详细介绍超几何分布的概率计算公式及其应用。
一、超几何分布的概率计算公式设总体中有N个单位，其中成功的单位有K个，失败的单位有N-K个。
从这N个单位中抽取n个单位，不放回地抽取，求这n个单位中成功的单位的个数X的概率分布。
那么X服从超几何分布，记为X~H(N,K,n)。
超几何分布的概率质量函数如下：P(X=k)=C(K,k) * C(N-K,n-k) / C(N,n)C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数，计算公式为：C(n,m)=n! / [m!(n-m)!]超几何分布的期望和方差分别为：E(X)=n*K/NVar(X)=n*K*(N-K)*(N-n)/(N^2*(N-1))二、超几何分布的应用1. 目标检测：在机器学习和计算机视觉中，超几何分布可以用来描述和分析目标检测算法的性能。
在图像中检测某一类物体的次数。
2. 质量控制：在生产中，可以利用超几何分布来分析产品的合格率。
在抽检中，检测到的次数符合超几何分布。
3. 抽样调查：在社会调查和市场研究中，超几何分布可以用来估计人口中某一类别的比例。
在问卷调查中，统计某类人群的比例。
4. 生物统计学：在生物学中，超几何分布可用于描述种群中某一基因型的频率。
在遗传学研究中，分析某一基因型在人群中的分布。
超几何分布作为离散分布之一，在实际应用中具有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析概率事件发生的规律。
通过掌握超几何分布的概率计算公式和相关知识，我们可以更好地运用概率论的工具来解决实际问题，为科学研究和决策提供支持。
希望本文的介绍对你有所帮助。
第二篇示例：超几何分布是一种描述由有限个对象组成的总体中成功对象的数量的概率分布。
超几何分布期望与方差
超几何分布期望与方差
超几何分布是上经典几何分布的推广，是模拟含有有限抽样性质的随机变量在各种要求下
的概率分布。
超几何分布用来表示成功率不确定的偶然性试验结果，是常用的概率分布之一。
超几何分布的期望和方差是给定参数下概率分布的两个基本参数。
期望是一类随机变量连续出现的概率；而方差表示随机变量的偏离实际出现次数的距离。
超几何分布的期望是由实验中的随机变量的总体的期望得出的，其期望可以表示为nk/N，其中n为试验成功后观察到的总体大小，N表示总实验次数，K表示成功次数。
超几何分布的方差则可以用nk(N-n)/N(N-1)表示，其中 n 和 K 同样为试验成功后观察到
的总体大小和成功次数，N则是实验的总次数。
可以看出，超几何分布的期望和方差均与试验的总次数、成功次数和总任务数有关。
因此，超几何分布的期望和方差的计算也十分重要，可以辅助我们评估实验的准确性与测试的有
效性。
另外，在超几何分布的期望和方差b计算中，抽样的1/n值也是值得关注的，它可以表示成功率的大小，即成功率越大，1/n值就越大，连续抽样概率也就越大，超几何分布的期
望和方差也就越大。
总之，超几何分布的期望和方差是表示含有有限抽样性质的随机变量在各种要求下的概率分布的两个基本参数，其期望可以用nk/N表示，方差可以用nk(N-n)/N(N-1)表示，在超
几何分布的期望和方差计算中，抽样的1/n值也是值得关注的。