利用对称，平移求面积，你也会爱上数学难题
运用对称、平移等数学知识,制作一副精美的立体建筑画
运用对称、平移等数学知识,制作一副精美的立体建筑画【原创版】目录1.对称与平移在数学中的定义与应用2.如何运用对称与平移制作立体建筑画3.制作过程中的技巧与注意事项4.完成作品后的欣赏与反思正文一、对称与平移在数学中的定义与应用对称是指图形或物体围绕某一条直线或点进行翻转后，能够与原图形或物体完全重合的性质。
在数学中，对称常常被应用于解决各种几何问题，如轴对称图形、中心对称图形等。
平移是指将一个图形或物体沿着某一方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移在数学中也有广泛的应用，如平移变换、向量平移等。
二、如何运用对称与平移制作立体建筑画1.确定主题和构图：首先，要确定立体建筑画的主题和整体构图，思考建筑物的外形、结构和空间关系。
这有助于在制作过程中更好地运用对称和平移技巧。
2.绘制基本图形：根据主题和构图，先绘制建筑物的基本图形，如立方体、长方体、圆柱体等。
这一步骤可以运用对称技巧，使图形更加美观和谐。
3.运用平移技巧：将基本图形进行平移，使其形成一个完整的立体建筑。
在平移过程中，要注意保持图形的大小和形状不变，同时控制好移动的方向和距离。
4.添加细节：在完成立体建筑的基本框架后，可以运用对称和平移技巧，添加建筑物的窗户、门、屋顶等细节部分，使画面更加丰富。
三、制作过程中的技巧与注意事项1.保持画面整洁：在制作过程中，要注意保持画面整洁，避免过多的线条和笔触。
可以使用橡皮擦工具对错误部分进行修改。
2.掌握对称和平移的度：在运用对称和平移技巧时，要注意掌握一个合适的度。
过度的对称和平移可能会使画面显得死板，不够生动。
3.多角度观察：在制作立体建筑画时，可以多角度观察建筑物，寻找不同的视角和构图，使画面更具有创意和艺术感。
四、完成作品后的欣赏与反思在完成立体建筑画后，可以欣赏自己的作品，观察其优点和不足之处。
反思在制作过程中，哪些地方可以进一步改进，如何提高自己的绘画技巧和对称平移的运用能力。
平移旋转对称变换的性质与计算
平移旋转对称变换的性质与计算平移、旋转和对称变换是几何中常用的变换方式，它们通过改变图形的位置或方向来实现形状的改变。
在本文中，我们将探讨平移、旋转和对称变换的性质，并介绍它们的计算方法。
一、平移变换的性质与计算平移变换是将图形沿着指定的方向平行地移动一个固定的距离，保持图形内部线段的相对位置始终不变。
平移变换的性质如下：1. 平移变换不改变图形的大小、形状、角度和面积。
2. 平移变换保持图形之间的距离和相对位置关系不变。
3. 平移的矢量可以表示为 (a, b)，其中 a 为横向平移的距离，b 为纵向平移的距离。
计算平移变换的方法如下：1. 将原始图形的每个顶点坐标分别加上平移矢量。
2. 连接新的顶点坐标，得到平移后的图形。
二、旋转变换的性质与计算旋转变换是将图形绕着一个固定点旋转一定角度，使得图形的每个点都相对于旋转中心点发生位置变化。
旋转变换的性质如下：1. 旋转变换不改变图形的大小、形状和面积，但可能改变图形的角度。
2. 旋转变换保持图形内部线段的相对位置关系不变。
3. 旋转的角度可以表示为θ，其中正值表示逆时针旋转，负值表示顺时针旋转。
计算旋转变换的方法如下：1. 将原始图形的每个顶点坐标绕旋转中心点旋转指定角度。
2. 连接新的顶点坐标，得到旋转后的图形。
三、对称变换的性质与计算对称变换是通过将图形绕一个轴或一个点进行翻转，使得图形的每个点到轴或点的距离保持不变。
对称变换的性质如下：1. 对称变换保持图形的大小、形状和面积不变。
2. 对称变换可以是关于 x 轴、y 轴、原点或直线的。
3. 对称变换的轴可以表示为 l，对称变换的点可以表示为 P。
计算对称变换的方法如下：1. 关于 x 轴对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 y 坐标变为原来的相反数。
2. 关于 y 轴对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 x 坐标变为原来的相反数。
3. 关于原点对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 x 和 y 坐标都变为原来的相反数。
数学中的平移和对称解决几何问题
数学中的平移和对称解决几何问题数学中的平移和对称是解决几何问题的重要工具。
平移和对称在几何学中起到了至关重要的作用，可以帮助我们研究和解决各种几何问题。
本文将介绍平移和对称的基本概念和性质，并探讨它们在解决几何问题中的应用。
一、平移的概念和性质平移是指将一个图形沿着直线方向移动一段固定的距离，使得移动后的图形与原图形形状相同，大小相等，但位置发生了改变。
平移可以保持图形的面积、周长、角度等性质不变。
在平面几何中，平移可以用向量来描述。
如果有一个向量u，它的起点是图形上的一个点A，终点是另一个点B，那么通过平移，可以将图形上的每个点P都移动到与之对应的点Q，使得向量AP等于向量BQ。
平移可以通过向量的加法来实现，即通过给图形上的每个点的坐标加上向量u的坐标来得到移动后的点的坐标。
平移具有以下性质：1. 两个平移可以进行复合，复合后的结果还是一个平移。
2. 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
3. 平移保持图形的面积、周长、角度等性质不变。
4. 平移是可逆的，即可以通过反向平移将图形还原。
二、对称的概念和性质对称是指图形相对于某一直线、某一点或某一平面呈镜像关系。
对称可以分为轴对称和中心对称两种类型。
轴对称是指图形相对于某一直线呈镜像关系。
对称轴是将图形分为两个对称的部分的直线，图形上的每个点与其对称点关于对称轴对称，即对称轴上任意一点A，图形上的点P与A关于对称轴的镜像点P'，则点P和点P'关于对称轴对称。
轴对称可以保持图形的大小、形状、面积、周长等性质不变。
中心对称是指图形相对于某一点呈镜像关系。
对称中心是将图形分为两个对称的部分的点，图形上的每个点与其对称点关于对称中心对称，即对称中心O，图形上的点P与O关于对称中心的镜像点P'，则点P和点P'关于对称中心对称。
中心对称同样可以保持图形的大小、形状、面积、周长等性质不变。
对称具有以下性质：1. 两个对称可以进行复合，复合后的结果还是一个对称。
巧用平移妙求面积
巧用平移妙求面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解.例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）.想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）.想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）.想一想：直接求小路的面积是无法求解的， 那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下.一、计算三角形的面积例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积.分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边.图3-（1）图3-（2）yB CA O 11 图1解：因为AB=0-（-4）=4，AB 边上的高为h=1-（-3）=4，所以三角形ABC 的面积是：21AB ·h=21×4×4=8. 评注：当两点在平行于x 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.如果三角形中有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可以直接利用三角形的面积公式求解.例2 如图2所示，在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积.分析：三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角系的特点，可以将三角形的面积转化为正方形EFCD 的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求出此三角形的面积.解：如图2，作正方形EFCD ，则该正方形的面积为EF ·FC=3×3=9.因为三角形AEB 的面积是：21×AE ·EB=21×2×1=1，三角形BFC 的面积是：21BF ·FC=21×2×3=3，三角形ACD 的面积是：21×AC ·AD=21×3×1=23，所以三角形ABC 的面积是：9-1-3-23=27.点评：如果三角形的三边中没有任何一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，则应将其进行转化为几个规则图形的面积和或差.二、计算四边形的面积E FD图2例3 如图3，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A（-2，2），B （-3，-3），C （3，3），D （2，1），求四边形ABCD 的面积.分析：四边形ABCD 不是规则的四边形，要求其面积，可将该四边形的面积转化为两个直角三角形和一个梯形的面积的和来计算.解：作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则四边形ABCD 的面积=三角形ABE 的面积+梯形AEFD 的面积+三角形DFC 的面积，因为三角形ABE 的面积为：21BE ·AE=21×1×5=25，梯形AEFD 的面积为：21（DF+AE ）·EF=21×（4+5）×4=18，三角形DFC 的面积为：21FC ·DF=21×1×4=2，所以四边形ABCD 的面积为：25+18+2=2221. 点评：解决平面直角坐标系中的四边形的面积问题，一般思路是将不规则的图形转化为规则的图形，再利用相关的图形的面积公式求解.。
平移、对称、旋转——三大几何变换解题全攻略
平移、对称、旋转——三大几何变换解题全攻略
平移、对称、旋转——三大几何变换解题全攻略，适合几何一轮复习使用。
目录
一、怎样解图形的轴对称问题
“轴对称”主要考查轴对称、轴对称图形的定义、性质，以及图形翻折后线段和角的计算，难点是运用轴对称的知识作图求最值。
•1.见等腰构造三线合一。
•2.见垂直平分线构造等腰三角形•3.角平分线构造全等
二、怎样解图形的平移问题
平移问题是指在同一个平面内，将一个图形(含点、线、面)整体按照某个方向移动定的距离。
平移是由平移的方向和距离决定。
平移前后图形的形状、大小不变。
平移前后图形的对应点所连的线段相等且平行（或共线）；平移前后图形的对应线段平行（或共线）且相等，
对应角相等。
三、图形的旋转问题
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初中数学知识归纳平移旋转与对称的应用与综合计算
初中数学知识归纳平移旋转与对称的应用与综合计算初中数学知识归纳：平移、旋转与对称的应用与综合计算在初中数学学科中，平移、旋转与对称是一些基本的几何概念和操作。
这些概念和操作在几何图形的变换、应用问题的解决以及计算题的求解中起到了重要的作用。
本文将对平移、旋转和对称的应用与综合计算进行归纳总结，以帮助初中生更好地理解和掌握这些知识点。
一、平移的应用平移是指在平面上将一个图形整体移动到另一个位置的操作。
在实际生活中，平移常常用于描述物体的移动和位置的改变。
在数学中，平移的应用主要包括以下几个方面：1. 图形的平移：通过平移操作，我们可以将一个图形沿着指定的方向和距离移动。
这在几何问题的解决中非常常见。
例如，在求解两个几何图形是否相似的问题中，我们可以通过平移一个图形后与另一个图形重合来判断它们是否相似。
2. 坐标的平移：在坐标系中，平移操作可以改变点的位置。
通过平移坐标系的原点或者改变坐标轴的位置，我们可以简化一些计算问题。
例如，在求解平面上两点之间的距离时，我们可以通过将其中一个点平移至原点，然后计算另一个点的坐标来简化计算。
二、旋转的应用旋转是指将一个图形绕着一个中心点转动一定角度的操作。
旋转在几何图形的变换和应用问题的解决中经常被使用。
以下是旋转的一些常见应用：1. 图形的旋转：通过旋转操作，我们可以改变图形的方向和形状。
在几何图形的变换中，旋转是一种重要的操作。
例如，在判断一个图形是否具有对称性时，我们可以通过旋转它一定角度后是否与原来一致来判断。
2. 坐标的旋转：在坐标系中，旋转操作可以改变点的位置和方向。
通过旋转坐标系或者旋转点的位置，我们可以简化一些计算问题。
例如，在求解一个点关于另一个点的对称点时，我们可以通过将坐标系旋转一定角度来简化计算。
三、对称的应用对称是指图形围绕某一中心线或中心点的镜像对称关系。
对称性在几何图形的分类和问题的解决中起到了重要的作用。
以下是对称的一些应用：1. 图形的对称性：通过对称性的判断，我们可以将几何图形进行分类，如点对称、线对称、中心对称等。
中考数学中的形变换与对称性质应用实例总结
中考数学中的形变换与对称性质应用实例总结数学作为一门学科，涉及到了许多知识点和概念。
在中考数学中，形变换和对称性质是学生需要掌握和应用的重要内容之一。
形变换是指图形在平面上通过平移、旋转和翻转等操作而变成新的图形的过程，而对称性质则是指图形在某种变换下保持不变的性质。
本文将通过几个实例来总结中考数学中形变换和对称性质的应用。
实例一：研究一座公园的对称性质某座公园的图示如下：（图示内容不给出，需要自行插图，要求美观）从图中可以观察到，公园的形状具有对称性质。
我们可以分别以公园的中心点为对称中心，通过旋转和翻转操作，找到公园的对称图形。
这种对称性质的应用可以帮助我们简化分析问题的过程，比如计算公园的面积或者寻找公园中某个位置的对称点等。
实例二：运用形变换解决几何问题考虑以下问题："已知平面上一个三角形ABC，以线段BC为固定轴，将该三角形绕轴BC向右旋转120°，记作A’B’C’。
若线段BC的长度为10cm，则连接线段AA’，线段BB’和线段CC’的长度分别为多少？"解决这个问题首先需要理解旋转是一种形变换，通过旋转点的位置和旋转角度，可以得到新的图形。
我们知道，以线段BC为轴旋转120°，旋转后的点A'也就确定了。
根据旋转的性质，我们可以推导出线段AA'的长度与线段BC的长度相等。
同理，线段BB'和线段CC'的长度也与线段BC的长度相等。
因此，线段AA'、线段BB'和线段CC'的长度均为10cm。
实例三：应用对称性求解平面几何问题考虑以下问题："平面上有一个图形，它与图形的镜像重合。
这个图形是什么？"这个问题需要我们理解对称性质的应用。
根据问题描述，我们知道该图形与其镜像是重合的，也就是说，该图形具有一个对称中心。
我们可以根据对称性质中的点对称或者轴对称的定义，寻找图形可能的对称中心或者对称轴。
一次函数平移对称面积问题
总结：已知直线：y=kx+b，将直线向上(向下)平 移m个单位长度得到直线的解析式为
直线y kx b 向上平移m（m0）个单位长度 直线y kx b m 直线y kx b 向下平移m（m0）个单位长度 直线y kx b m
4 已知直线：y=3x-12，将直线向右平移5个单位长度得到直线，求直 线的解析式．
总结 已知直线：y=kx+b，将直线向左（向右） 平移m个单位长度得到直线的解析式为
直线y kx b 向左平移m（m0）个单位长度 直线y k(x m) b 直线y kx b 向右平移m（m0）个单位长度 直线y k(x m) b
练习1、将y=8/3x+5图像向上平移3个单位长度，求现在的直线解析式。
2、将一个一次函数的图像向下平移2个长度单位后，所得的直线的关 系式为y=5x-4,求原函数的关系式。
3 已知直线：y=3x-12，将直线向左平移5个单位长度得到直线，求直 线的解析式
简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线的 解析式为y=3x+b，直线交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为 (-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线的解析式为 y=3x+3．
4
A
3
2
1
01
2
3
4
B
2.已知，一次函数的图象经过点B (0，3)，与轴交于正半轴，且
9
与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为 解析式。
2
，求此一次函数的
练习1、求直线y=-5x-12向左平移2个单位长度后得到的直线解析式。
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利用对称，平移求面积，你也会爱上数学难题
小学数学的几何题往往是比较简单的几本图形的计算，这样学生对于添加辅助线解题方法就比较陌生了。
但初中同学学习数学，添加辅助线是解决问题常用手段。
从小训练孩子接触一些添加辅助线方法解决问题是有必要的，更好的为初中数学做好准备。
1、正六边形A1、A
2、A
3、A
4、A
5、A6的面积为2009，B1、B2、B3、B4、N5、B6分别为正六边形的边的中点，求图中阴影部分的面积。
分析：连接CA5，如下图，CD=2倍的CA6，所以三角形A6A5B4的面积=三角形A6B5C面积的7倍，三角形A6A5D为三角形A6A5B4面积的6/7。
三角形A6A5B4的面积为大六边形的面积的1/12，
列式为：2009✖️（1－1/12✖️6/7✖️6）=1148
2、正12边形的边长为1厘米，求图中空白部分的面积积。
分析：如图转化后，可以清楚的看到空白部分的面积正好是六个边长为1厘米的正方形的面积。
1✖️1=6（平方厘米）。