2022年暑假初升高数学第12讲：方程组的解集(教师版)

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数学教案解方程组的方法与应用

数学教案解方程组的方法与应用数学教案：解方程组的方法与应用在数学中，方程组是由一组方程构成的集合，其中每个方程都包含有相同的变量。

解方程组的过程是寻找满足所有方程的变量值。

本教案将介绍解方程组的各种方法及其在实际问题中的应用。

一、方法一：代入法代入法是解方程组最基本的方法之一。

它的核心思想是通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而消去其中的一个变量，从而得到另一个变量的值。

下面我们通过一个例子来说明代入法的具体步骤。

例题1：解方程组：2x + y = 10x - y = 2解答步骤：1. 从第二个方程中解出 x，得到 x = y + 2。

2. 将 x 的值代入第一个方程中，即得到 2(y + 2) + y = 10。

3. 化简得到 3y + 4 = 10。

4. 解方程得到 y = 2。

5. 将 y 的值带入第二个方程中，求得 x = 4。

6. 因此，解为 x = 4，y = 2。

二、方法二：消元法消元法是解方程组常用的方法之一。

它通过将方程组中的一个或多个方程加减乘除等运算，使得方程组中的一个或多个变量的系数相等，从而消去这些变量，将问题转化为只有一个未知数的方程。

具体步骤如下。

例题2：解方程组：2x + 3y = 114x - y = 7解答步骤：1. 将第一个方程的两倍加到第二个方程中，得到新的方程 8x - 2y = 14。

2. 将该方程与第一个方程相减消去y，得到 6x = -3。

3. 解方程得到 x = -0.5。

4. 将 x 的值带入第一个方程中，得到 2(-0.5) + 3y = 11。

5. 化简得到 3y = 12。

6. 解方程得到 y = 4。

7. 因此，解为 x = -0.5，y = 4。

三、方法三：矩阵法矩阵法是解方程组较为高效的方法之一。

它将方程组的系数矩阵和常数向量构造成一个增广矩阵，通过对矩阵进行行变换，使其化为简化行阶梯形矩阵，进而求解未知数的值。

下面是一个示例。

第二章-2.1.3-方程组的解集高中数学必修第一册人教B版

（2）ቊ
5 + 4 = 22 ②.
【解析】① × 5 − ② × 2,得7 = 21,解得 = 3,
把 = 3代入①,整理得2 = 4,解得 = 2.
所以方程组的解集为{ 2,3 }.
【学会了吗|变式题】
1.求下列二元一次方程组的解集:

（1）ቐ4

3
+ = 3,
3 − 2 − 1 = 11;
把 = 4分别代入④和⑤,得 = 6, = 10.
所以三元一次方程组的解集为{ 6,4,10 }.
题型3 求二元二次方程组的解集
2 − 4 2 + − 3 − 1 = 0 ①,
例9 求方程组൝
的解集.
2 − − 1 = 0 ②
【解析】由②，得 = 2 − 1 ③,
把③代入①，得 2 − 4 2 − 1
2.求方程组൞ − + 2 = −1 ②,的解集.
+ 2 − = 5 ③
【答案】① + ③，得 + = ④,
③ × + ②,得 + = ⑤,
+ = ,
= ,
将④⑤联立，得到二元一次方程组ቊ
解得ቊ
= ,
+ = ,
− = 0,
= 2, = −2,
∴ቊ 2
解得ቊ
或ቊ
2

=
2
= −2,
3 − = 8,
∴ 原方程组的解集为{ 2,2 , −2, −2 }.
2
= 0.
【学会了吗|变式题】
解得 = 1,
把 = 1代入①，得3 − 7 × 1 = −1,解得 = 2.

教学设计1：2.1.3　方程组的解集

2.1.3 方程组的解集教学目标1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题．教学知识梳理知识点方程组的解集 1．概念一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．解法求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法． 3．方程组的解集当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．教学小测1．下列方程：①7x －3y ＝5；②x 2－2y ＝1；③2x ＋3y ＝8；④x ＋y ＝z ；⑤2xy ＋3＝0；⑥x 2＋y3＝1.其中是二元一次方程的为________．【答案】①⑥2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2的解集为________．【答案】{(3，－1)} 3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，y ＋z －x ＝7，z ＋x －y ＝9的解集为________．【答案】{(4.5,3.5,8)}【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0， ①y ＋z －x ＝7， ②z ＋x －y ＝9. ③①＋②＋③得x ＋y ＋z ＝16，④ ④－①，得z ＝8； ④－②，得x ＝4.5； ④－③，得y ＝3.5.所以原方程组的解集为{(4.5,3.5,8)}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2－2x －3的解集是________．【答案】{(－1,0)，(4,5)} 教学案例案例一、一次方程组的解集例1 求下列方程组的解集：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，x ＋3y ＝6； (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝3，2x ＋y －3z ＝11，x ＋y ＋z ＝12.解 (1)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1， ①x ＋3y ＝6， ②由①得x ＝2y ＋1，③把③代入②，得2y ＋1＋3y ＝6，解得y ＝1.把y ＝1代入③得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以原方程组的解集为{(3,1)}．(2)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝3， ①2x ＋y －3z ＝11， ②x ＋y ＋z ＝12， ③①＋②，得5x －z ＝14. ①＋③，得4x ＋3z ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －z ＝14 ，4x ＋3z ＝15，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝1. 把x ＝3，z ＝1代入③，得y ＝8. 所以原方程组的解集为{(3,8,1)}．反思感悟 (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法．(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数．跟踪训练1 求方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝6，x －y ＋2z ＝－1，x ＋2y －z ＝5的解集．解已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝6， ①x －y ＋2z ＝－1， ②x ＋2y －z ＝5. ③①－②×2，得5y －3z ＝8，④ ③－②，得3y －3z ＝6，⑤由④⑤组成二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3z ＝8，3y －3z ＝6.解这个二元一次方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－1.把y ＝1，z ＝－1代入②，得x ＝2，所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}．案例二、二元二次方程组的解集命题角度1 “二·一”型的二元二次方程组例2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2xy ＋y 2＝4，x －2y ＝5.解已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2xy ＋y 2＝4， ①x －2y ＝5. ②方法一由②得x ＝2y ＋5， ③ 将③代入①，得(2y ＋5)2＋2y (2y ＋5)＋y 2＝4. 整理，得3y 2＋10y ＋7＝0. 解得y 1＝－73，y 2＝－1.把y 1＝－73代入③，得x 1＝13，把y 2＝－1代入③，得x 2＝3.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x 1＝13，y 1＝－73或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1. 所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，－73，(3，－1). 方法二由①得(x ＋y )2＝4，即x ＋y ＝2或x ＋y ＝－2.原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －2y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，x －2y ＝5解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝－1或⎩⎨⎧x 2＝13，y 2＝－73.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，－73，(3，－1). 反思感悟这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”．如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解(如本例方法二)．跟踪训练2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y －1＝0.解已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， ①x ＋y －1＝0. ②由方程②，得y ＝1－x ，③把方程③代入方程①，得x 2＋(1－x )2＝1. 整理，得x 2－x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝1.把x 1＝0代入方程③，得y 1＝1；把x 2＝1代入方程③，得y 2＝0.原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝0.即其解集为{(0,1)，(1,0)}．命题角度2 “二·二”型的二元二次方程组例3 求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5(x ＋y )，x 2＋xy ＋y 2＝43的解集．解已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5(x ＋y )，①x 2＋xy ＋y 2＝43， ②由①得x 2－y 2－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y )－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y －5)＝0， ∴x ＋y ＝0或x －y －5＝0，∴ 原方程组可化为两个方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －5＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43，解这两个方程组，得原方程组的解集是{(－1，－6)，(6,1)，(43，－43)，(－43，43)}．反思感悟解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组．跟踪训练3 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xy －2y 2＝0，x 2＋2xy ＋y 2－x －y －2＝0.解方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －y )(x ＋2y )＝0，(x ＋y －2)(x ＋y ＋1)＝0，即为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋1＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，x ＋y －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x ＋y ＋1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(1，1)，⎝⎛⎭⎫－12，－12，(4，－2)，(－2，1). 案例三、一次方程组的应用例4 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？解设每餐甲、乙两种原料各需x g ，y g ，则有下表：⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ＝35，x ＋0.4y ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＝350 ①5x ＋2y ＝200. ②①－②，得y ＝30，把y ＝30代入②中，得x ＝28.答每餐需甲种原料28 g ，乙种原料30 g. 反思感悟用一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．(2)设元：用字母表示题目中的未知数． (3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组．(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值． (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．跟踪训练4 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)(1)辆？(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？解 (1)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋8y ＝120，400x ＋500y ＝8 200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝10.答需甲车型8辆，乙车型10辆．(2)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，丙车型z 辆，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝16，5x ＋8y ＋10z ＝120，消去z 得5x ＋2y ＝40，x ＝8－25y ，因为x ，y 是正整数，且不大于16，得y ＝5,10，由z 是正整数，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，z ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝10，z ＝2.有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．随堂演练1．若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，则x ＋y 的值是( )A ．5B ．－1C ．0D ．1 【答案】A【解析】⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7， ①x ＋2y ＝8， ②方法一 ②×2－①，得3y ＝9，解得y ＝3. 把y ＝3代入②，得x ＝2. 所以x ＋y ＝2＋3＝5.方法二由①＋②，得3x ＋3y ＝15. 化简，得x ＋y ＝5.故选A. 2．求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对【答案】B【解析】根据系数特点，先消去y 最简便，故选B.3．如果⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ，3x ＋2y ＝4的解是正数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎫－43，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－2，43 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43 【答案】C【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ，3x ＋2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝4＋2a 5，y ＝4－3a5由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＞0，4－3a ＞0，解得－2＜a ＜43.4．以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x ＋2的解为坐标的点(x ，y )在第______象限．【答案】一【解析】方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫12，32，所以x >0，y >0，所以点(x ，y )在第一象限．5．已知方程12x ＋3y ＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，这个方程可以是________．【答案】x －4y ＝0(答案不唯一)【解析】设所写出的二元一次方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把(4,1)代入y ＝kx ＋b ，得1＝4k ＋b ，令b ＝0，则k ＝14，∴这个方程可以是y ＝14x ，即x －4y ＝0.课堂小结 1．知识清单：(1)求二元一次方程组、三元一次方程组的解集． (2)求二元二次方程组的解集． (3)一次方程组的实际应用．2．方法归纳：代入消元法、加减消元法． 3．常见误区：消元不恰当造成运算烦琐．。

2.1.3方程组的解集教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

答案：将已知的解代入另一个方程，求解得到另一个未知数的值。
2.消元法解方程组：给定一个二元一次方程组，求解其中一个未知数，然后代入另一个方程求解另一个未知数。
答案：通过加减乘除等运算消去一个未知数，求解得到一个未知数的值，然后代入另一个方程求解另一个未知数。
3.图解法解方程组：给定一个二元一次方程组，画出方程组的图像，求解方程组的解集。
本节课的核心素养目标在于培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。通过学习方程组的解集，学生将能够运用逻辑推理分析二元一次方程组的关系，提升分析问题的能力。同时，通过解决实际问题，学生能够将所学知识运用到生活情境中，培养数学建模的能力。此外，通过小组合作探讨和交流解题方法，学生将提升团队合作和语言表达能力。
-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握解方程组的基本方法。
-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。
学生活动：
-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。
-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验解方程组的应用。
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学实施过程
1.课前自主探索
教师活动：
-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕“方程组的解集”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
教学方法与策略
1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：本节课将采用讲授法、案例研究和小组合作相结合的教学方法。讲授法用于解释和阐述方程组的概念和解法，案例研究则通过实际问题引导学生应用方程组解决实际问题。小组合作则有助于学生之间的互动交流和合作探讨。

《 2.1.3 方程组的解集》学历案-高中数学人教B版19必修第一册

《2.1.3 方程组的解集》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题是“方程组的解集”。

通过本课的学习，学生将掌握二元一次方程组的解法，理解解集的概念，并能够通过解集的表示方法，判断方程组是否有解以及解的个数。

二、学习目标1. 知识与理解：掌握二元一次方程组的解法，理解解集的概念，能够用数轴或平面直角坐标系表示解集。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作精神和探究精神。

三、评价任务1. 理解评价：通过课堂提问和小组讨论，评价学生对解集概念的理解程度。

2. 应用评价：通过解决实际问题，评价学生对方程组解法掌握的程度和应用能力。

3. 反思评价：通过课后作业和学后反思，评价学生对本课知识点的掌握情况和学习态度。

四、学习过程1. 导入新课：通过回顾一元一次方程的解法，引出二元一次方程组的概念和解题思路。

2. 新课讲解：（1）讲解二元一次方程组的概念和形式。

（2）介绍解集的概念和表示方法。

（3）演示二元一次方程组的解法，包括代入法和消元法。

（4）引导学生归纳总结解二元一次方程组的步骤和方法。

3. 课堂练习：提供几道二元一次方程组的例题，让学生尝试解答，并引导学生互相讨论、交流解题思路。

4. 小组讨论：分组进行讨论，让学生分享自己的解题经验和技巧，加深对解集概念的理解。

5. 课堂总结：总结本课知识点，强调解集的概念和表示方法，以及解二元一次方程组的步骤和方法。

五、检测与作业1. 检测：布置相关的练习题，检测学生对二元一次方程组解法的掌握情况。

2. 作业：布置适当的作业题，包括填空题、选择题和解答题，让学生巩固所学知识。

六、学后反思1. 学生应反思自己在解题过程中遇到的问题和困难，分析原因并寻找解决方法。

2. 学生应总结本课学习的重点和难点，加深对解集概念的理解和对方程组解法的掌握。

3. 教师应对学生的课堂表现和作业情况进行评估，针对学生的不足之处进行指导和帮助。

2022年初升高暑期数学精品讲义专题12 函数的奇偶性(分层训练)【含答案】

专题12 函数的奇偶性A 组基础巩固1．（江苏省木渎高级中学、苏苑高级中学2022届高三下学期联合适应性检测数学试题）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）A ．B ．C ．D ．3log y x =32y x x =+x y e =3y x -=【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质逐项分析，即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A ：函数是偶函数，故不符合题意；3log y x =对于选项B ：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；32y x x =+对于选项C ：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；x y e =对于选项D ：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意； 3y x -=故选：B2．（2022·湖北武汉·高二期末）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则()f x R ()1f x +()1f x -（）A ．是偶函数B ．()3f x +()()3f x f x =+C ．D ．()30f =()00f =【答案】A【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B 错误；由()()40f x f x ++=()()8f x f x +=推导得到，知A 正确；由已知关系式无法推导得到，()()51f x f x +=-+()()33f x f x +=-+()()3,0f f【详解】是奇函数，；()1f x + ()()11f x f x ∴+=--+是偶函数，，()1f x - ()()11f x f x ∴-=--，，()()()()()121213f x f x f x f x ∴+=+-=-+-=--()()310f x f x ∴--+-+=，，()()40f x f x ∴++=()()()84f x f x f x ∴+=-+=是周期为的周期函数，B 错误；()f x ∴8，，是偶函数，A 正确；()()()511f x f x f x +=-+=-+ ()()33f x f x ∴+=-+()3f x ∴+，，无法得到，C 错误；()()()1530f f f ==-= ()()31f f =--()3f ，无法得到，D 错误.()()()()0224f f f f =-=-=- ∴()0f 故选：A.3．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））已知函数，若，则()3sin 3f x ax b x =++()2f m =（）()f m -=A ．4B ．5C ．7D ．2-【答案】A【解析】【分析】构建可以判断其为奇函数，根据题意结合奇函数定义求解．()()3g x f x =-()()0g m g m +-=【详解】构建在R 上为奇函数，则()()33sin g x f x ax b x =-=+()()0g m g m +-=即，则()()330f m f m --+-=()4f m -=故选：A ．4．（2022·浙江·镇海中学高二期末）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R 的是（）A ．y =x 2B ．C ．y =tan|x |D ．y =|sin x |1||||y x x =+【解析】【分析】由函数的值域首先排除ABD ，对C 进行检验可得．【详解】选项A ，B 中函数值不能为负，值域不能R ，故AB 错误，选项D 值域为，故D 也错误，那么选项C 为偶函数，[]0,1当时，，值域是R ，因此在定义域内函数值域为R ，3(,)22x ππ∈tan tan y x x ==故选：C5．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）函数的部分图像大致为（）()333x x x f x -=+A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性排除选项BD ，再利用函数值排除选项C 即得解.【详解】解：因为，所以为奇函数，排除B ，D ；因为当时，33()()()3333x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x 0x >，排除C ；()0f x >故选：A.6．（2022·新疆·三模（文））函数的部分图象大致为（）()242xf x x =+A．B．C．D ．【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊点进行排除即可求解.【详解】因为函数的定义域为，()242xf x x =+(,)-∞+∞且，()2244()()22x x f x f x x x --==-=--++即是奇函数，其图象关于原点对称，()f x 即排除选项C ；因为，所以排除选项A ；()3140f =>当时，，0x >()24422x f x x x x ==≤=++所以排除选项D ，即B 正确.故选：B.7．（广西南宁市部分校2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试题）已知是定义在上的偶()f x R 函数，且对任意，有，当时，，则x ∈R (1)(1)f x f x +=--[0,1]x ∈2()2f x x x =+-（）(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++= A ．0B ．-2C ．1D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意分析可知，，故的周期为4，且一个周期的和为0，所以()4()f x f x +=()f x ，求出，代入即可得出答案.(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++= (2021)(2022)f f +(2021),(2022)f f 【详解】依题意，为偶函数，且关于对称，()f x (1)(1)()f x f x f x +=--⇒(1,0)则(4)(1f x f x +=+3)(1(3))(2)((2))f x f x f x +=--+=---=--+，故的周期为4.(11)(1(1))()f x f x f x =-++=-+=-()f x =()f x 由的周期为4，且一个周期的和为0，()f x .(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++= (2021)(2022)f f +又，，(2021)(1)0f f ==(2022)(2)(0)2f f f ==-=故.(1)(2)(3)f f f +++ (2022)(2021)(2022)2f f f +=+=故选：D.8．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）已知定义在上的函数满足，且在上是R ()f x ()()f x f x =-[)0,∞+增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是（）()()32f ax f +≤-[]1,2x ∈a A ．B ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．D ．51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数可得的单调性，将恒成立的不等式化为，分别在、和()f x 232ax -≤+≤0a =0a >的情况下，根据函数最值可构造不等式组求得结果.0a <【详解】由知：为上的偶函数，图象关于轴对称，()()f x f x =-()f x R y又在上是增函数，在上是减函数；()f x [)0,∞+()f x ∴(],0-∞对于恒成立，，()()32f ax f +≤- []1,2x ∈32ax ∴+≤即对于恒成立；232ax -≤+≤[]1,2x ∈当时，不等式不成立，不合题意；0a =当时，，解得：（舍）；0a >32232a a +≥-⎧⎨+≤⎩152a -≤≤-当时，，解得：；0a <23232a a +≥-⎧⎨+≤⎩512a -≤≤-综上所述：的取值范围为.a 5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B.9．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）A ．B ．()e e 2x xf x -+=()5sin f x x =C ．D ．()f x x =()323f x x x=+【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义，单调性的定义判断，从而可得答案．【详解】对于A ，因为，定义域为R ，所以，所以是偶函数，所以不正()e e 2x x f x -+=()()e e 2-+-==x x f x f x ()f x 确；对于B ，因为定义域为R ，，所以是奇函数，但在()5sin f x x =()()5sin -=-=-f x x f x ()f x ()f x 上是减函数，所以不正确；()π3π2π,2π22⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦x k k k Z对于C ，因为不关于原点对称，所以不具备奇偶性，所以不正确；()f x x ={}|0x x ³()f x对于D ，因为，定义域为R ，，()323f x x x =+()()()323-=-+=-f x x x f x 是奇函数，设，则，()f x 12x x >()()()()()33331211221212232323=+-+=-+--f x f x x x x x x x x x 因为，所以，，12x x >120x x ->3312x x >所以，即，是定义域为R 的单调递增函数，所以正确.()()120f x f x ->()()12f x f x >()f x 故选：D ．10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知函数是偶函数，且函数的图象关于点()()1R f x x -∈()f x （1，0）对称，当时，则（）[]1,1x ∈-()1,f x x =-()2022f =A ．B ．C ．0D ．22-1-【答案】B【解析】【分析】由条件确定函数的周期，根据条件及周期的性质求.()2022f 【详解】根据题意，函数是偶函数，()()1R f x x -∈则函数的对称轴为，()f x 1x =-则有，()()2f x f x =--又由函数的图象关于点成中心对称，()f x ()1,0则，()()2f x f x =--则有，即，()()22f x f x --=--()()4f x f x +=-变形可得，()()8f x f x +=则函数是周期为8的周期函数，，()()()()202222538201f f f f =-+⨯=-==-故选：B.11．（2022·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m 的取值范围是()22f x x x =-()()213f m f +<____________．【答案】()2,1-【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象可得，从而可求出实数m 的取值范围3213m -<+<【详解】因为()()22()22f x x x x x f x -=---=-=所以是偶函数，作出的图象如下：()f x ()f x由得，，()()()2133f m f f +<-=3213m -<+<∴．21m -<<故答案为：()2,1-12．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数为奇函数，为偶函数，且，(2)y f x =-(1)y f x =+(0)(6)4f f -=则___________.(2022)f =【答案】2-【解析】【分析】根据题意可得，进而推出，可得函数的周期，结()()()()22,11f x f x f x f x --=---=+(6)()f x f x +=-合求得，由此利用函数的周期即可求得答案.(0)(6)4f f -=(6)2f =-【详解】因为函数为奇函数，为偶函数，(2)y f x =-(1)y f x =+所以，()()()()22,11f x f x f x f x --=---=+即，(4)(),(2)()f x f x f x f x --=--=故，即，(4)(2)f x f x --=--(6)()f x f x -=-故，即，(6)()f x f x +=-(12)()f x f x +=令，则由可得，0x =(6)()f x f x +=-(6)(0)f f =-结合得，，(0)(6)4f f -=(6)2f =-所以，(2022)(168126)(6)2f f f =⨯+==-故答案为：2-13．（2022·江西·临川一中高一期中）奇函数的定义域为R ，若为偶函数，且，则()f x ()2f x +()12f =______．()()20202021f f +=【答案】2-【解析】【分析】双对称性可以推出周期性，利用周期性改变自变量的大小，利用奇偶性调自变量的符号，即可求解【详解】由函数为偶函数可得，，()2f x +()()22f x f x +=-又，()()f x f x -=-故()()22f x f x -=--所以，()()22f x f x +=--即()()4f x f x +=-所以()()()84f x f x f x +=-+=故该函数是周期为8的周期函数．又函数为奇函数，故，．()f x ()00f =()()400f f =-=所以．()()()()()()()2020202145030312f f f f f f f +=+=+-=-=-=-故答案为：2-14．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知定义域为的函数在上单调递增，且[]22-,()f x []2,0-，若，则不等式的解集为___________.()()0f x f x +-=1(1)2f -=-()1212f x -≤【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数在上单调递增，再利用单调性的定义求解.()f x []22-,【详解】解：因为定义域为的函数在上单调递增，且，[]22-,()f x []2,0-()()0f x f x +-=所以函数在上为奇函数，且在上单调递增，()f x []22-,[]2,2-又，所以，()112f -=-()112f =又不等式等价于，()1212f x -≤()()211f x f -≤所以，解得，2211x -≤-≤112x -≤≤所以不等式的解集为.()1212f x -≤1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．（2021·江苏·高一专题练习）若函数为奇函数，则_______()(ln f x x=+=a 【答案】1【解析】【分析】由为奇函数便可得到，进行分子有理化和对数的运算便可得到()f x ((ln ln xx -+=-，从而便可得出，这便得到．((ln ln ln x a x -==-0lna =1a =【详解】因为为奇函数，()f x ，()()f x f x ∴-=-即，((ln ln x x -=-，((ln ln ln x a x -==-又因为所以=，(ln x -+(ln ln a x -所以，ln 0a =．1a \=故答案为：．116．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知是定义在R 上的偶函数，且在区间上单调递增，()f x (],0-∞若实数满足，则的取值范围是______．a ()(212a f f ->a 【答案】13(,)44【解析】【分析】根据偶函数和单调性的关系，可判断出在区间上单调递减，然后根据偶函数的性质将不等式进()f x (0,)+∞行转化求解即可．【详解】是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，()f x R (,0]-∞在区间上单调递减，()f x ∴[0,)+∞则，等价为，21(2)(a f f ->21(2)(|a f f ->即，212a -<则，得，1|21|2a -<1344a <<即实数的取值范围是，a 13(,)44故答案为：13(,)4417．（2021·安徽·高一阶段练习）设是定义在R 上的奇函数，且时，，若对于任意的()f x 0x ≥()3f x x =，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.[]1,x t t ∈-()()127f t x f x -≤t 【答案】[)4,+∞【解析】【分析】先根据是定义在R 上的奇函数，且时，，解得的解析式，得到其单调性求解.()f x 0x ≥()3f x x =()f x 【详解】是定义在R 上的奇函数，且时，，()f x 0x ≥()3f x x =设，则，，0x <0x ->()()()3f x x f x -=-=-∴，()3f x x =∴在R 上单调递增，且，()f x ()11273f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为对于任意的恒成立，()()11273f t x f x f x ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭[]1,x t t ∈-所以，对于任意的恒成立，13t x x -≤[]1,x t t ∈-即，对于任意的恒成立，43t x ≤[]1,x t t ∈-∴，()413t t -≤解得.4t ≥故答案为；[)4,+∞18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________.()2228xf x x =+-()234f x x -≤【答案】[]1,4-【解析】【分析】分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关()f x [)0,∞+()()234f x x f -≤于的不等式，解之即可.x 【详解】函数的定义域为，，()f x R ()()()22228228x x f x x x f x --=+--=+-=所以，函数为偶函数，()f x当时，为增函数，0x ≥()2228x f x x =+-因为，则，()42424284f =+-=()()2344f x x f -≤=所以，，所以，，所以，，()()234f x x f -≤234x x -≤2434x x -≤-≤因为，故恒成立，223734024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭234x x -≥-由可得，解得.234x x -≤2340x x --≤14x -≤≤因此，原不等式的解集为.[]1,4-故答案为：.[]1,4-19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且当x ＞0时，，则______.()f x ()21f x x x =+()1f '-=【答案】－1【解析】【分析】根据偶函数的性质求出时函数的解析式，求导计算即可.0x <【详解】设时，则，0x <0x ->，21()()f x f x x x ∴=-=-，21()2f x x x '∴=+.()1211f '∴-=-+=-故答案为：－120．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知定义域为的函数在上单调递增，且R ()f x (],0-∞，若，则不等式的解集为___________.()()0f x f x +-=()112f -=-()1212f x -≤【答案】(],1-∞【解析】【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数在R 上单调递增，再利用单调性的定义求解.()f x【详解】因为定义域为的函数在上单调递增，且，R ()f x (],0-∞()()0f x f x +-=所以函数在R 上单调递增，()f x 又，()112f -=-所以，()112f =又不等式等价于，()1212f x -≤()()211f x f -≤所以，解得，211x -≤1x ≤所以不等式的解集为，()1212f x -≤(],1-∞故答案为：(],1-∞21．（2022·江西吉安·高三期末（理））已知为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满()f x [1,1]-[1,0]-足不等式的a 的取值范围是__________．（用区间表示）(2)(41)f a f a <-【答案】10,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据偶函数的性质可知在上的单调性，再由求解即可.[0,1](|2|)(|41|)f a f a <-【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减，()f x [1,1]-[1,0]-所以在上单调递增，()f x [0,1]所以，，，121a -≤≤1411a -≤-≤|2||41|a a <-所以．106a ≤<故答案为：10,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 组能力提升22．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：(1)；()f x =(2)；()22,0,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩(3)．()(2log f x x =【答案】(1)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数(3)奇函数【解析】【分析】（1）求出函数定义域后化简函数式，由奇偶性定义可得；（2）根据奇偶性定义分类讨论判断与的关系；()f x -()f x （3）确定定义域后，根据奇偶性定义及对数运算法则变形可得．(1)由得x 2=3，解得x2230,30,x x ⎧-≥⎨-≥⎩即函数f (x )的定义域为，{从而f (x 因此f (－x )=－f (x )且f (－x )=f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )=－(－x )2－x =－x 2－x =－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )=(－x )2－x =x 2－x =－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )=－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为R ，f (－x )=log 2[－x ]=log 2－x )=log 2＋x )－1=－log 2＋x )=－f (x )，故f (x )为奇函数．23．（2022·天津天津·高二期末）求证：(1)是上的偶函数；()|3||3|f x x x =++-R (2)是上的奇函数.()|3||3|g x x x =+--R 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义证明即可(1)由题意函数定义域为()f x R且()|3||3||3||3|()f x x x x x f x -=-++--=-++=故是上的偶函数()|3||3|f x x x =++-R (2)由题意函数定义域为()g x R且()|3||3||3||3|()g x x x x x g x -=-+---=--+=-故是上的奇函数()|3||3|g x x x =+--R 24．（2022·安徽阜阳·高一期末）设a 为实数，已知函数是奇函数．()()2R 21x f x a x =-∈+(1)求a 的值；(2)若对任意实数x ，恒成立，求实数m 的取值范围．()()260f mx m f mx ++->【答案】(1)1a =(2)（8，＋∞）【解析】【分析】（1）因为是奇函数，由即可求出a 的值.())2R 2(1x f x a x =-∈+()()0f x f x +-=（2）由定义法证得函数f (x )在上单调递增，由恒成立结合f (x )得是奇函数得R ()()260f mx m f mx ++->，转化为对任意实数x ，恒成立，所以，()()26f mx m f mx +>-+260mx mx m ++->2Δ4(6)00m m m m ⎧=--<⎨>⎩解不等式即可得出实数m 的取值范围．(1)因为是奇函数，())2R 2(1x f x a x =-∈+所以对任意实数x ，，即．()()f x f x =--()()0f x f x +-=所以，即，2202121x x a a --+-=++222222*********x x x x x a -⋅=+=+=++++所以．1a =(2)由（1）得，()2121x f x =-+设，为上的任意两个实数，且，1x 2x R 12x x <则，()()()()()1212212112222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -æöæöç÷ç÷-=---=-=ç÷ç÷++++++èøèø因为，所以，，12x x <1210x +>212210,22x x x+><所以，即，()()()122122202121x x x x -<++()()12f x f x <所以函数f (x )在上单调递增．R 由，得，()()260f mx m f mx ++->()()26f mx m f mx +>--因为f (x )为奇函数，所以，()()26f mx m f mx +>-+所以，即，26mx m mx +>-+260mx mx m ++->所以对任意实数x ，恒成立，260mx mx m ++->所以，2Δ4(6)00m m m m ⎧=--<⎨>⎩解得，所以实数m 的取值范围为（8，＋∞）8m >25．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在上的函数是奇函数．R ()22x x f x k -=-⋅(1)求实数的值；k (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．R x ∈()()240f x tx f x ++->t 【答案】(1)1k =(2)()3,5-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可取出，再代入检验即可；()00f =k （2）首先判断函数的单调性，依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围；()2140x t x +-+>∆<0(1)解：函数是定义域上的奇函数，()22x x f x k -=-⋅R ，即，解得．∴(0)0f =()000220f k =-⋅=1k =此时，则，符合题意；()22x x f x -=-()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-(2)解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，()22x x f x -=-2x y =R 2x y -=R 所以在定义域上单调递增，()22x xf x -=-R 则不等式恒成立，()()240f x tx f x ++->即恒成立，()()24f x tx f x +>-即恒成立，24x tx x +>-即恒成立，()2140x t x +-+>所以，解得，即；()21440t ∆=--⨯<35t -<<()3,5t ∈-26．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.()21mx f x x n -=+()322f =(1)求实数的值；,m n (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；()f x ()0,∞+(3)当时，解关于的不等式：.0x >x ()()223f x f x >+【答案】(1)，，1m =0n =(2)证明见解析，(3)(3,)+∞【解析】【分析】（1）由题意可得，求出，再由可求出，22()11m x mx x nx n ---=--++0n =()322f =1m =（2）任取，且，然后求，化简变形可得结论，12,(0,)x x ∈+∞12x x <21()()f x f x -（3）由（2）可知在上单调递增，所以原不等式可化为，解不等式可得结果()f x ()0,∞+223x x >+(1)因为函数是奇函数，()21mx f x x n -=+所以，即，()()f x f x -=-22()11m x mx x n x n ---=--++，2211mx mx x n x n --=--++所以，解得，()x n x n -+=-+0n =所以，()21mx f x x -=因为，()322f =所以，解得，41322m -=1m =(2)证明：由（1）可知()211x f x x x x -==-任取，且，则12,(0,)x x ∈+∞12x x <21212111()()f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()211211x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()212112x x x x x x -=-+，()211211x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为，且，12,(0,)x x ∈+∞12x x <所以，，210x x ->12110x x +>所以，即，21()()0f x f x ->21()()f x f x >所以在上单调递增；()f x ()0,∞+(3)当时，，0x >20,230x x >+>由（2）可知在上单调递增，()f x ()0,∞+因为，()()223f x f x >+所以，即，解得（舍去），或，223x x >+2230x x -->1x <-3x >所以不等式的解集为(3,)+∞。

课件1：2.1.3　方程组的解集

探究二解二元二次方程组 [例 2] 解方程组x3yx＋y＋x＝y＝3， 8. 2 1
[解] (1)×3－(2)得： 3x－y＝1⇒y＝3x－1， (3) 代入(1)得：x(3x－1)＋x＝3⇒3x2＝3⇒x1＝1 或 x2＝－1. 分别代入(3)得：y1＝2 或 y2＝－4. ∴ 原方程组的解是：xy11＝＝12 或xy22＝＝－－14 .
所以 x>0，y>0，所以点(x, y)在第一象限．
【答案】一
探究一解三元一次方程组
[例 1]
3x－y＋2z＝3， ① 解方程组2x＋y－3z＝11， ②
x＋y＋z＝12. ③
[解] ①＋②，得 5x－z＝14.④ ①＋③，得 4x＋3z＝15.⑤ 解方程组 54xx－＋z3＝z＝141， 5，得xz＝＝13.，把 x＝3，z＝1 代入③，得 y＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,8,1)}.
【答案】B
2x－y＋3z＝5， 3．解方程组4x－y＋2z＝9，若要使运算简便，消元应选( )
5x＋y＋7z＝1，
A．先消未知 x
B．先消未知数 y
C．先消未知数 z
D．先消常数项
【答案】B
4．以方程组yy＝＝x－＋x1＋，2 的解为坐标的点(x，y)在第__________象限．
【解析】解方程组得xy＝＝1232，，
方法提升用二元一次方程组解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系； (2)设元：用字母表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据 2 个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．

《 2.1.3 方程组的解集》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册

《2.1.3 方程组的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业旨在帮助学生深入理解方程组的解集概念，掌握求解方程组解集的方法，提高解决实际问题的能力。

二、作业内容1. 基础题：写出三个二元一次方程组，并求出它们的解集。

通过求解过程，体会解集的含义和求法。

2. 中等题：给出一组二元一次方程组，求出其解集，并尝试用图形方式表示出解集的包含关系。

3. 拓展题：给出三个三元一次方程组，求出它们的解集，并分析解集之间的关系。

尝试总结求解方程组解集的一般方法。

4. 思考题：结合实际，提出一个需要求解方程组解集的问题，尝试自行解决，并总结求解过程中的心得体会。

三、作业要求1. 独立完成：所有题目需独立完成，不得抄袭。

2. 正确率：要求正确解答所有题目，错误部分需注明思路。

3. 质量：在解答过程中，要求能够准确理解题意，运用所学知识进行解答，字迹工整。

4. 完成时间：所有题目需在规定时间内完成，超时将影响总成绩。

四、作业评价1. 批改方式：教师批改后，对错误部分进行标注，给出总体评价和改进建议。

2. 评价标准：正确率、解题方法、字迹工整、完成时间。

3. 反馈方式：学生根据教师批改和评价，针对自己的作业进行反思和改进，对于思考题，学生需写出解题思路和心得体会。

五、作业反馈通过作业反馈，学生可以了解自己对知识的掌握程度，发现自己存在的问题，从而进行针对性的改进。

教师也可以根据学生的作业情况，了解学生对知识的掌握程度，调整教学策略，提高教学质量。

对于基础题，学生需要进一步理解解集的含义，掌握求解方法；对于中等题，学生需要学会用图形方式表示解集的包含关系，提高自己的解题能力；对于拓展题，学生需要总结一般方法，提高自己的解决问题的能力；对于思考题，学生需要深入思考，提高自己的知识运用能力和创新能力。

总之，本次作业旨在帮助学生加深对方程组解集概念的理解，掌握求解方法，提高解决问题的能力，同时也希望通过思考题培养学生的创新能力和知识运用能力。

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2022年暑假初升高数学第12讲：方程组的解集学习目标核心素养1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养． 2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.1．方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法． 3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x ，y )|(a ，b )，…}，其中a ，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y ，z )|(a ，b ，c )，…}，其中a ，b ，c 为确定的实数．1．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝1－xx －2y ＝4时，代入正确的是( )A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝4C [⎩⎨⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4，②把①代入②得，x －2(1－x )＝4，去括号得，x －2＋2x＝4.故选C.]2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，解集为( )A ．{(x ，y )|(2,3)}B ．{(x ，y )|(3,2)}C ．{(x ，y )|(－2,3)}D ．{(x ，y )|(－2，－3)}A [⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，①x ＋2y ＝8，②①＋②得：3x ＋3y ＝15，解得x ＝2，y ＝3，解集为{(x ，y )|(2,3)}，故选A.] 3．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝5}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝4}，则A ∩B ＝( ) A ．{(x ，y )|(1,4)} B ．{(x ，y )|(2,3)} C ．{(x ，y )|(3,2)}D ．{(x ，y )|(4,1)} C [根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4，由代入消元法可求得x ＝3，y ＝2，故A ∩B ＝{(x ，y )|(3,2)}. ] 4．已知⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x －y 的值是________．－1 [两式相减可得结果x －y ＝－1.]二元一次方程组的解集【例1(1)⎩⎨⎧x ＋y ＝4，①2x －3y ＝3.② (2)⎩⎨⎧3x －7y ＝－1，①3x ＋7y ＝13.②[解] (1)由①，得y ＝4－x .③ 把③代入②，得2x －3(4－x )＝3. 解这个方程，得x ＝3. 把x ＝3代入③，得y ＝1.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(3,1)}． (2)法一：①＋②，得6x ＝12，所以x ＝2.把x ＝2代入②，得3×2＋7y ＝13，所以y ＝1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}．法二：①－②，得－14y ＝－14，所以y ＝1. 把y ＝1代入①得，3x －7×1＝－1，所以x ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.1．求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧ 4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.② (2)⎩⎨⎧8x ＋9y ＝73，①7x ＋18y ＝2.②[解] (1)由②，得2y ＝3x －5.③把③代入①，得4x ＋4(3x －5)＝12，解得x ＝2. 把x ＝2代入③，得y ＝12.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. (2)由①×2，得16x ＋18y ＝146，③ 由③－②，得9x ＝144，解得x ＝16.把x ＝16代入①，得8×16＋9y ＝73，解得y ＝－559.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－559.三元一次方程组的解集【例2(1)⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③(2)⎩⎨⎧2x ＋y ＋3z ＝11，①3x ＋2y －2z ＝11，②4x －3y －2z ＝4.③[解] (1)法一：将③分别代入①②，得 ⎩⎨⎧ 5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法二：②－①，得y ＋4z ＝10，④ ②－③，得6y ＋5z ＝22，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ y ＋4z ＝10，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法三：①×5，得5x ＋5y ＋5z ＝60，④ ④－②，得4x ＋3y ＝38，⑤联立③⑤，得⎩⎨⎧ x ＝4y ，4x ＋3y ＝38，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝2，把x ＝8，y ＝2代入①，得z ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x ＋8z ＝11，④ ①×3＋③，得10x ＋7z ＝37，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ x ＋8z ＝11，10x ＋7z ＝37，解得⎩⎨⎧x ＝3，z ＝1，把x ＝3，z ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(3,2,1)}．求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，①y ＋z ＝6，②z ＋x ＝3 ③的解集．[解] ①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z )＝10，即x ＋y ＋z ＝5.④④－①，得z ＝4；④－②，得x ＝－1；④－③，得y ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(－1,2,4)}．待定系数法求函数的解析式【例3】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．[思路点拨] 把a ，b ，c 看成三个未知数，分别把三组已知的x ，y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值．[解]根据题意，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝2，①4a ＋2b ＋c ＝8，②25a ＋5b ＋c ＝158，③②－①，得a ＋b ＝2，④ ③－①，得4a ＋b ＝26，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，4a ＋b ＝26，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝－6，把a ＝8，b ＝－6代入①，得c ＝－12. 因此所求函数的解析式为y ＝8x 2－6x －12.解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．[解]根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4，9a ＋3b ＋c ＝－20，a －b ＋c ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝8，c ＝1，因此所求函数的解析式为y ＝－5x 2＋8x ＋1.二元二次方程组的解集【例4(1)⎩⎨⎧x ＋y ＝8，①xy ＝12.②(2)⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，①3x ＋2y －11＝0.② [解] (1)由①得y ＝8－x ，③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0. 解得x 1＝2，x 2＝6. 把x 1＝2代入③，得y 1＝6. 把x 2＝6代入③，得y 2＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,6)，(6,2)}． (2)由①得(x －2y )2＋(x －2y )－2＝0，解得x －2y ＝1或x －2y ＝－2，由⎩⎨⎧ x －2y ＝1，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1. 由⎩⎨⎧x －2y ＝－2，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪(3，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178.求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.4．求方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，①2xy ＝－21②的解集．[解] ∵方程①是x 与2y 的和，方程②是x 与2y 的积，∴x 与2y 是方程z 2－4z －21＝0的两个根，解此方程得z 1＝－3，z 2＝7， ∴⎩⎨⎧ x ＝－3，2y ＝7或⎩⎨⎧x ＝7，2y ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝72或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，72，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，－32.方程组的实际应用【例5】匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h ，从乙地到甲地需要2.3 h ．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km ，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km ，y km 和z km.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km ，平路是54 km ，下坡路是4 km.根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，①5x ＋3y ＋z3＝100.②②×3－①，得7x ＋4y ＝100，y ＝100－7x 4＝25－74x .因为x ，y 均为正数，所以x 一定是4的倍数，且x 是小于1007的正整数，所以x 的取值只能为4,8,12.若x ＝4，则y ＝18，z ＝78；若x ＝8，则y ＝11，z ＝81；若x ＝12，则y ＝4，z ＝84.故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.1．二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解集是( )A ．{(x ，y )|(1,2)}B ．{(x ，y )|(1,0)}C ．{(x ，y )|(－1,2)}D ．{(x ，y )|(1，－2)}A [由加减消元法可求得x ＝1，y ＝2，故所求方程组的解集为{(x ，y )|(1,2)}．]2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对B [根据系数特点，先消去y 最简便，故选B.]3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差( )A ．80毫升B ．110毫升C ．140毫升D ．220毫升B [设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水 b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，依题意有⎩⎨⎧a ＋c －40＝2a ，①a ＋b ＋c ＋180＝3b ，②②－①，得b －a ＝110，故选B.]4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.试写出符合要求的方程组________． ⎩⎨⎧xy ＝6x －y ＝－1[由于这两组解都有：xy ＝2×3＝6，x －y ＝－1，⎧xy＝6，x－y＝－1(答案不唯一)．]故可组成方程组为⎩⎨。