第六讲 函数与方程
函数与方程知识点总结资料
函数与方程知识点总结资料函数与方程是数学中的重要概念，是许多其他数学分支的基础。
本文将对函数与方程的知识点做一个总结，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、函数的基本概念1. 函数定义函数是一种特殊的关系，即将一个自变量映射到一个因变量上的过程。
函数的定义方式可以有多种，最常见的定义方式是：f(x)=y\qquad y=f(x)其中，x 是自变量，f 是函数名，y 是因变量。
2. 函数的图像函数的图像是指函数在直角坐标系中的表现形式，即以自变量x 为横坐标，对应的因变量 y 为纵坐标所构成的图形。
函数的图像可以用数学软件绘制，也可以手绘出来。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，是使函数有意义的自变量的集合。
函数的值域是函数在定义域内的所有可能输出值的集合。
函数的定义域和值域可以用数学符号表示，例如：\text{定义域：}D(f)=\{x\mid x\text{ 是实数}\}\text{值域：}R(f)=\{y\mid y\text{ 是实数}\}4. 奇偶性、单调性和周期性函数的奇偶性指函数图像相对于 y 轴的对称性，分为偶函数和奇函数。
偶函数满足 f(-x)=f(x)，奇函数满足 f(-x)=-f(x)。
函数的单调性指函数图像在定义域内是否单调递增或单调递减。
如果对于任意 x_1<x_2，都有 f(x_1)<f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递增的；如果对于任意 x_1<x_2，都有f(x_1)>f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递减的。
函数的周期性指函数在定义域内是否有重复的输出值。
如果存在一个正数 T，使得对于任意 x\in D(f)，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f 是周期函数，T 称为函数的周期。
5. 复合函数和反函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到新函数的过程。
反函数是指对于一个函数 f，存在一个函数g，使得 g(f(x))=x 在定义域内成立。
初中数学函数与方程
初中数学函数与方程函数与方程是初中数学中的重要内容，它们在数学中起着重要的作用。
本文将详细介绍函数和方程的概念、性质以及其在解决数学问题中的应用。
一、函数的概念函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
在数学中，我们用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是与之对应的因变量。
函数可以用图像、表格、公式以及文字描述等形式来表示。
1.1 函数的定义函数就是一种映射关系，它使得每一个自变量x都对应唯一的因变量f(x)。
用数学语言描述就是：对于一个定义域D中的每一个x，都有一个唯一的函数值f(x)。
其中，D表示自变量的取值范围。
1.2 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
（2）单调性：函数的单调性可以分为增函数和减函数两种。
增函数表示随着自变量的增大，因变量也增大；减函数则表示随着自变量的增大，因变量减小。
（3）奇偶性：函数的奇偶性根据函数关于y轴对称性来判断。
奇函数表示关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数表示关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
1.3 函数的图像函数的图像是表示函数关系的一种形式。
通过绘制函数的图像，可以更直观地了解函数的性质和特点。
函数的图像可以通过手绘或者利用计算机绘图软件来实现。
二、方程的概念方程是含有未知数的等式，需要找到使得等式成立的未知数的值。
方程是数学问题中解决未知数的重要工具。
2.1 线性方程线性方程是一个未知数的一次方程，可表示为ax + b = 0。
其中，a 和b是已知数，x是未知数。
2.2 二次方程二次方程是一个未知数的二次方程，可表示为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c是已知数，x是未知数。
2.3 方程的解方程的解即使能够使得等式成立的未知数的值。
对于线性方程，解可以用一次函数来表示；对于二次方程，解可以用二次函数来表示。
三、函数与方程的应用函数与方程在数学问题中有广泛的应用。
第6讲-函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。
从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。
事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。
另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。
2、连续函数的零点存在性定理。
如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。
【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。
3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。
例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。
函数与方程的基本概念
函数与方程的基本概念函数与方程是数学中两个重要的概念，它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数与方程的基本概念，包括定义、特点以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体来说，对于集合A和B，如果存在一个映射f，它将A中的每个元素映射到B中唯一的元素上，则称f为从A到B的函数。
1.2 函数的特点函数具有以下特点：（1）每个元素都有且只有一个对应元素；（2）对于集合A中没有的元素，其在B中也没有对应元素；（3）函数的定义域和值域决定了其有效的输入和输出范围。
1.3 函数的表示方法函数可以用多种方式进行表示，包括：（1）显式定义：例如，y = 2x + 1表示了一个线性函数；（2）隐式定义：例如，x² + y² = 1表示了一个圆的方程；（3）图表表示：函数可以通过绘制图像来进行表示，直观地展示函数的性质。
二、方程的基本概念2.1 方程的定义方程是数学中表示等式的一种方式。
它由未知数、已知数、运算符和等号组成。
方程的解是使得等式成立的未知数的值。
2.2 方程的特点方程具有以下特点：（1）方程中包含一个或多个未知数；（2）方程中使用运算符和等号进行数学运算；（3）方程的解是使得等式成立的未知数的值。
2.3 方程的类型方程可以分为各种类型，如一次方程、二次方程、线性方程组等。
每种类型的方程都有其独特的解法和特点。
三、函数与方程的应用3.1 函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，一些常见的应用包括：（1）物理学中的运动学公式：例如位置函数、速度函数和加速度函数；（2）经济学中的成本函数和收益函数：用于计算成本和收益的关系；（3）生物学中的生长模型：用于描述生物体在不同条件下的生长规律。
3.2 方程的应用方程在实际问题中也有着广泛的应用，常见的应用有：（1）物理学中的力学方程：例如牛顿第二定律和万有引力定律；（2）化学中的反应方程：用于描述化学反应的物质转化过程；（3）工程学中的电路方程：用于分析电路中的电流和电压关系。
第讲函数与方程
②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( C )
A.－14，0
B.0，41
C.14，12
D.12，34
解析：因为
f14＝e
1 4
－2<0，f12＝e
1 2
－1>0，所以
1 1 f4·f2<0.
又因为函数 y＝ex 是单调增函数，y＝4x－3 也是单调增函数，
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程 2x＝x2 的一个根位于下列哪个区间( )
A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2)
B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)
解题思路：判断函数f(x)＝2x－x2 在各个区间两端点的符号． 解析：①由f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，排除 A；由 f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，排除B；由 f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上． 答案：C
给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点近似值 的步骤如下：
(1)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε； (2)求区间[m，n]的中点x1； (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点； ②若f(m)f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]； ③若f(x1)f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．
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5．用二分法求函数 f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0 ，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)； ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)<0 ，则令 b＝x1，(此时零点 x0∈(a，x1))； ③若 f(x1)·f(b)<0 ，则令 a＝x1，(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)－(4)．
答案 C
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3．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 由已知得 f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增， 又 f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此 f(x)的零点个数是 1， 故选 B.
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4．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数 是________．
答案 2 解析 ∵c＝f(0)，∴a·c＝af(0)<0，即 a 和 f(0)异号． ∴a>0， f0<0 或a<0， f0>0.
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中重要的概念，在数学学习过程中起着重要的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、函数函数是数学中一个非常基础且重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
通常情况下，我们将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以以不同的形式和方式进行表示，例如数学公式、图表、表格等。
1. 定义与符号函数的定义可以简单表示为：给定一个自变量x的集合，对于这个集合中的每一个x，都存在这样一个唯一的因变量f(x)与之对应。
函数的符号一般使用小写字母f(x)表示。
2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域与值域：定义域是自变量x的取值范围，值域是因变量f(x)的取值范围。
（2）奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称（偶函数）或关于原点对称（奇函数）。
（3）单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减特性。
（4）周期性：周期函数是指函数在一定区间内重复出现的函数。
3. 常见函数类型（1）线性函数：线性函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
（2）二次函数：二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
（3）指数函数：指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
（4）对数函数：对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为大于1的常数。
二、方程方程是描述等式的数学语句，它通常包含未知数和已知数，并以等号连接。
方程的解是使得方程成立的未知数的值。
1. 一元一次方程一元一次方程是一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过移项和化简，将方程转化为x的形式。
2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数和一次方程的方程。
一般形式为ax + by + c = 0，其中a、b、c为已知数，x和y为未知数。
初中数学教案：函数与方程的关系解析
初中数学教案：函数与方程的关系解析函数与方程的关系解析一、引言函数与方程是初中数学中的重要概念，它们之间有着紧密的联系与关系。
本文将解析函数与方程的关系，探讨它们的性质与应用，帮助学生更好地理解和掌握这两个概念。
二、函数与方程的定义1. 函数的定义函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 方程的定义方程是一个包含一个或多个变量的等式。
通过解方程，可以找到使等式成立的变量的值。
三、函数与方程的关系函数与方程是密不可分的。
函数可以描述方程的解集，而方程可以描述函数的性质。
1. 函数描述方程的解集对于一个以x为自变量、f(x)为因变量的函数，可以通过方程f(x) = y来描述函数中使等式成立的解集。
例如，对于函数f(x)=2x+1，方程2x+1=y可以描述函数中使等式成立的解集。
2. 方程描述函数的性质可以通过方程来描述函数的性质。
例如，对于函数f(x)=2x+1，可以通过解方程2x+1=0来求得函数的零点，即使f(x)=0的x的值。
这个零点对应了函数图像上的横坐标值，反映了函数与x轴的交点。
四、函数与方程的性质1. 函数的性质函数具有一些重要的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
这些性质可以通过方程来求解，帮助我们对函数有更深入的理解。
2. 方程的性质方程也有一些重要的性质，包括根的个数、根的性质等。
这些性质与函数的图像有密切的关系，通过解方程可以了解函数图像的特点。
五、函数与方程的应用函数与方程在现实生活中具有广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 函数的应用函数可以用来描述各种自然现象和数学模型，例如，上抛运动中物体的高度随时间的变化、人口增长模型等。
通过解方程可以求解出其中的未知量，帮助我们预测和分析现象。
2. 方程的应用方程用于解决各种实际问题。
例如，在商业领域中，可以通过建立方程模型来解决成本、收益等问题。
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函数与方程
一、函数的零点：
定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：
函数零点个数的确定方法：
1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；
2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；
3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[]
,a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：
定义：对于区间[]
,a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：
用二分法求函数零点的近似值
第一步：确定区间[]
,a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[]
,a b 得中点1x ；
第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；
若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =
第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则
重复第二、三、四步。
（20-40分钟） 类型一求函数的零点
例1：求函数y ＝x －1的零点：
类型二 零点个数的判断
例2：判断函数f (x )＝x 2
－7x ＋12的零点个数
【小试牛刀】
练习1：求函数y ＝x 3
－x 2
－4x ＋4的零点．
练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7
B ．72
C ．－72
D ．－7
练习3：二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个
B ．2个
C ．0个
D ．无法确定
练习4：已知二次函数f (x )＝ax 2
＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9
D ．a >0或a <0
【典题导入】【亮点题】
类型三 函数零点的应用
例3：若关于x 的方程x 2
＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．
类型四 二分法的概念
例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．
类型五用二分法求函数零点的近似值
例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．
【小试牛刀】
练习1：已知方程x2＋2px＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值范围为__________．
练习2：函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．练习3：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
A．只有一个变号零点
B．有一个不变号零点
C．至少有一个变号零点
D．不一定有零点
练习4：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
练习5:试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．
（20-40分钟）
1、(2014·湖北文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}
2、已知x＝－1是函数f(x)＝a
x
＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是( )
A．－1或1 B．0或－1
C．1或0 D．2或1
3、三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
基础巩固
1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．一个B．两个
C．至少两个D．无法判断
2．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx2＋bx＋a的零点为( )
A．1,2 B．－1，－2
C．1，1
2
D．－1，－
1
2
3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
4．下列命题中正确的是( )
A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1
C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数
D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的
5．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
（5分钟）
课后作业可以在练习题里选，题量根据学生接受能力而定，建议完成时间控制30分钟以内。