第06讲 函数与方程
高三新数学第一轮复习教案（讲座6）
函数与方程
一．课标要求：
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向
函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；
（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．要点精讲
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：
１）△＞０，方程02
=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
0)()(
就是方程的根。 2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f 〃)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)
(x f
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f 〃)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：
①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；
②若)(a f 〃)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f 〃)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；
即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f 〃)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
3．二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2
+n 。
（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=2
1
(p +q )。 若－
a
b
2
2)=m ，f (q )=M ；
若x 0≤－a b 2 2)=m ； 若－a b 2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。 （3）二次方程f (x )=ax 2 +bx +c =0的实根分布及条件。 ①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a 〃f (r )<0； ②二次方程f (x )=0的两根都大于r ????????>?>->-=?0)(, 2,042r f a r a b ac b ③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根??????? ??>?>?<- <>-=??; 0)(,0)(,2, 042p f a q f a q a b p a c b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根?f (p )〃f (q )<0，或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检 验另一根若在(p ，q )内成立。 四．典例解析 题型1：方程的根与函数零点 例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+≦) （2）设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。 解析： （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图)。它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至 于选B 还是选C ， 比较0x 与2的大由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要小。当x =2时，lg x =lg2，3-x =1。由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2， 3)，故本题应选C 。 （2）原方程等价于???? ???-=-->->->-x a x x x a x x )3)(1(00301 即?? ?<<-+-=3 1352 x x x a 构造函数)31(352 <<-+-=x x x y 和a y =，作出 它们的图像，易知 平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得： ①当31≤ 13= a 时，原方程有一解； ②当4 133< 13> a 时，原方程无解。 点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程 a lg x +x =3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 例2．（2005广东19）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==。 （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性； （Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。 解析：由f (2－x )=f (2+x ),f (7－x )=f (7+x )得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数, 由)14()4() 14()() 4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=??? ?+=-+=- )10()(+=?x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T 又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数; (II)由)14()4() 14()() 4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=??? ?+=-+=- )10()(+=?x f x f (III) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f 故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[－2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[－2005,2005]上有802个解。 点评：解题过程注重了函数的数字特征“(1)(3)0f f ==”，即函数的零点，也就是方程的根。 题型2：零点存在性定理 例3．（2004广东21）设函数()ln()f x x x m =-+，其中常数m 为整数。 （1）当m 为何值时，()0f x ≥； （2）定理：若函数()g x 在[,]a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得 0()0g x = 试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,m m e m e m -??--??内有两个实根。 解析：（1）函数f (x )=x －ln(x +m),x ∈(－m,+≦)连续，且 m x x f m x x f -==+- =1,0)(,1 1)(''得令 当x ∈(－m,1－m)时,f ’ （x ）<0,f (x )为减函数,f (x )>f (1－m) 当x ∈(1－m, +≦)时,f ’ （x ）>0,f (x )为增函数,f (x )>f (1－m) 根据函数极值判别方法，f (1－m)=1－m 为极小值，而且 对x ∈(－m, +≦)都有f (x )≥f (1－m)=1－m 故当整数m ≤1时，f (x ) ≥1－m ≥0 (2)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f (1－m)=1-m<0, 函数f (x )=x －ln(x +m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数. , )1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m e f m e m m e m e m e f m m m m m -->>=+---=------ 由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使 而当整数m>1时， ),1121(0 32 ) 12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-?>>--+ +>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m 类似地，当整数m>1时，函数f (x )=x -ln(x +m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f (1-m)与 )(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使 故当m>1时，方程f (x )=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。 点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。 例4．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()( C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()( 解析：由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项D 正确，见 实例“1)(2 +=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解”。 点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型3：二分法的概念 例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（） A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到； B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点； C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点； D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解； 解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。 点评：该题深入解析了二分法的思想方法。 例6．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。那么所取误差限ξ是（ ） A ．0.05 B ．0.005 C ．0.0005 D ．0.00005 解析：由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.0[10∈x 时，精度达到445.010=x 。此时差限ξ是0.0005，选项为C 。 点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。 题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解 例7．借助计算器，用二分法求出x x 32)62ln(=++在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。 解析：原方程即023)62ln(=+-+x x 。 令23)62ln()(+-+=x x x f ， 用计算器做出如下对应值表 观察上表，可知零点在（1，2）内 取区间中点1x =1.5，且00.1)5.1(-≈f ，从而，可知零点在（1，1.5）内； 再取区间中点2x =1.25，且20.0)25.1(≈f ，从而，可知零点在（1.25，1.5）内； 同理取区间中点3x =1.375，且0)375.1( 由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。故结果是1.3。 点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。 例8．借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确到1.0）。 分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什 么方法确定方程的根的个数？ 略解：图象在闭区间a [，]b 上连续的单调函数)(x f ，在a (，)b 上至多有一个零点。 点评：①第一步确定零点所在的大致区间a (，)b ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。 题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例9． 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足 当() x x ∈01,时，证明()x f x x <<1。 证明：由题意可知 ))(()(21x x x x a x x f --=-， a x x x 1021< <<< , ? 0))((21>--x x x x a , ? 当() x x ∈01,时，x x f >)(。 又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ? 1)(x x f <, 综上可知，所给问题获证。 点评：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式。 例10．已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和 2x . （1）如果4221<< （2）如果21 解析：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x 。 （1）由0>a 及4221<< ?><0 )4(0 )2(g g ，即???>-+<-+034160124b a b a ， 即??? ???? <+?--<-?+,043224,043233a a b a a b 两式相加得 12 b ，所以，10->x ； （2）由a a b x x 4)1()(22 21--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 。 又01 21>=a x x ，所以21,x x 同号。 ? 21 2 1b a x x 或?????+-=+<<-<1 )1(120 22 12b a x x , 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???????+-=+>>-1 )1(120)0(0)2(2b a g g 解之得 41< b 或4 7 >b 。 点评：条件4221<< 题型6：一元二次函数与一元二次不等式 例11．设()()f x ax bx c a =++≠2 0，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意 -≤≤11x ，有 ()f x ≤ 54 。 解析：≧ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1, ? ()()()()0)),1()1((2 1 ),0211(21f c f f b f f f a =--=--+= , ? ()()()()() 2 22102121x f x x f x x f x f -+? ?? ? ??--+???? ??+=. ? 当01≤≤-x 时， ()()()(). 4 5 45)21(1)1(22122102 121222 222 222 22≤++-=+--=-+???? ??-+???? ??+-=-+-++≤-?+-?-++?≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f 当10-≤≤x 时， ()()()()222102 121x f x x f x x f x f -?+-?-++?≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(222 22x x x x x -+??? ? ??+-+???? ??+= . 4 545)21(1 22≤+--=++-=x x x 综上，问题获证。 点评：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,。 例12．已知二次函数f x ax bx c ()=++2，当-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，求证：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x () 解析：由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(， ? )0()),1()1((2 1 )),0(2)1()1((2 1 f c f f b f f f a =--= --+= ， ? f x ax bx c ()=++2 () 2 221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+? ?? ? ??--+???? ??+=。 由-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，可得 , 1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f 。 ? ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f , ()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f 。 （1）若[]2,22-?- a b ，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -= ? 此时问题获证. （2）若[]2,22-∈- a b ，则当[]2,2-∈x 时， )2,)2(,)2(max()(max ?? ? ??--=a b f f f x f 又()72411214)1()1(2022422<=+?+≤--?+=?+≤- =?? ? ??-f f a b f b a b c a b c a b f ， ? 此时问题获证。 综上可知：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ()。 点评：研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。 要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值。 题型7：二次函数的图像与性质 例13．（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2 +bx 与指数函数y =（a b ）x 的图象只可能是（ ） 解析一：由指数函数图象可以看出0 2 4a b ，其顶点坐标为（－a b 2，－a