第06讲 函数与方程

高三新数学第一轮复习教案（讲座6）函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。

2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f 〃)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f 〃)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f 〃)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f 〃)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。

注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f 〃)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

3．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2+n 。

（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=21(p +q )。

若－ab2<p ，则f (p )=m ，f (q )=M ； 若p ≤－a b 2<x 0，则f (－a b2)=m ，f (q )=M ；若x 0≤－a b 2<q ，则f (p )=M ，f (－a b2)=m ；若－ab 2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。

（3）二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件。

①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a 〃f (r )<0；②二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r abac b ③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )〃f (q )<0，或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ，q )内成立。

四．典例解析题型1：方程的根与函数零点例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+≦)（2）设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。

解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图)。

它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，比较0x 与2的大由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。

实际上这是要小。

当x =2时，lg x =lg2，3-x =1。

由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C 。

（2）原方程等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-xa x x x a x x )3)(1(00301即⎩⎨⎧<<-+-=31352x x x a构造函数)31(352<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31≤<a 或413=a 时，原方程有一解；②当4133<<a 时，原方程有两解； ③当1≤a 或413>a 时，原方程无解。

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。

本题是通过构造函数用数形结合法求方程alg x +x =3解所在的区间。

数形结合，要在结合方面下功夫。

不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例2．（2005广东19）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==。

（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。

解析：由f (2－x )=f (2+x ),f (7－x )=f (7+x )得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-)10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-)10()(+=⇒x f x f(III) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[－2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[－2005,2005]上有802个解。

点评：解题过程注重了函数的数字特征“(1)(3)0f f ==”，即函数的零点，也就是方程的根。

题型2：零点存在性定理例3．（2004广东21）设函数()ln()f x x x m =-+，其中常数m 为整数。

（1）当m 为何值时，()0f x ≥；（2）定理：若函数()g x 在[,]a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0g x =试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,mm em e m -⎡⎤--⎣⎦内有两个实根。

解析：（1）函数f (x )=x －ln(x +m),x ∈(－m,+≦)连续，且m x x f mx x f -==+-=1,0)(,11)(''得令 当x ∈(－m,1－m)时,f ’（x ）<0,f (x )为减函数,f (x )>f (1－m)当x ∈(1－m, +≦)时,f ’（x ）>0,f (x )为增函数,f (x )>f (1－m) 根据函数极值判别方法，f (1－m)=1－m 为极小值，而且 对x ∈(－m, +≦)都有f (x )≥f (1－m)=1－m 故当整数m ≤1时，f (x ) ≥1－m ≥0(2)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f (1－m)=1-m<0, 函数f (x )=x －ln(x +m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数.,)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m ef m e m m e m e m e f mm m m m -->>=+---=------由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使 而当整数m>1时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-⇒>>--++>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m 类似地，当整数m>1时，函数f (x )=x -ln(x +m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f (1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使故当m>1时，方程f (x )=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。