黑龙江省高考数学一轮专题：第11讲函数与方程

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2023届高考数学一轮复习讲义：第11讲指数与指数函数

第11讲指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域值域性质过定点当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；（2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++.4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.6．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c <⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（）A ．a b c <处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（） A ．[2,3)B ．[1,3)C ．[1,2)D ．(1,3)4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围第12讲指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．【解】（1）120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．（2）若11226x x -+∴x 1x ++2＝6，x 1x+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；（2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-；（2）原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===；（3）原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-， 113322()2427()33=++⨯-， 110=.2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---【解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭；（2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++. 【解】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=．（3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．【解】设12x t =，则121x t-=，所以13t t +=，于是，333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭，将13t t+=平方得22129t t ++=，于是2217t t +=，所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.【解】（1）原式()()()11034340.423ππ--=--++-，()110.4123π--=-++-， 1π=-，（2）∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-， ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<， ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵01x <<，∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-，由图得10k -<-<，所以01k <<，所以排除AB ，因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →，所以1a >，所以排除C ，故选：D2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选：B[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ；故选：AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c <=，所以1a >，由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <，所以c b a <<. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =，因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<；综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =，对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【解】解：（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以9110m -<<.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <=，c a ∴>，c b >；31ln22==，0.8110.50.52>=，b a ∴>；a b c ∴<<.故选：C.2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（）A ．a b c < ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.综上a c b <<，故选B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12332a a a -+<，整理得1221a -+>，102a -+>，解得2a <．综上，12a ≤<. 故选：C ．4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ，即2222a x x -≥+⨯，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯，即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=，所以32a ≥.故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-．故答案为：(),1-∞-6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x xf x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，整理得()()10x xk a a ---=，所以1k =，又因为17(1)4f =，可得117(1)4f a a =+=，所以4a =或14a =，所以()44x xf x -=+.（2）由（1）可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-，则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥，因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1，所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2min()()2124m m h u h ==-+=，解得2m =或2m =-（舍去）；当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．【解】解：（1）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+，由4(0)102f a =-=+，解得2a =，故42()1122221xxf x =-=-++．（2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点，则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-，令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<，可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=，由422x x a ≤-恒成立，可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3。

2014届高考数学一轮复习方案第11讲函数与方程课时作业新人教B版

课时作业(十一) [第11讲函数与方程](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )图K11－1A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．能力提升5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 能用二分法求出的零点，其两侧函数值必须异号．2．C [解析] 知f (x )在R 上为单调增函数，又因为f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－2>0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选C.3．D [解析] 构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (1.75)＝f 74＝－14＋lg 74<0及f (2)＝lg2>0知x 0属于区间(1.75，2)． 4．(0，1) [解析] 画出函数f (x )的图象如图，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与直线y ＝m 的图象的交点有3个，所以0<m <1.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )在(－2，2)上有一个零点，不能说明f (－2)·f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．故选D.6．B [解析] 令f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则该函数在(0，＋∞)上是增函数，计算可得f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )的零点在区间(1，2)，即x 0∈(1，2)．故选B.7．B [解析] f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4＝(x －1)(x －2)g (x )＋3x －4，因为函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，所以函数f (x )的图象也是连续曲线，又因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝2>0，故f (x )＝0在区间(1，2)内必有实数根，故选B.8．C [解析] 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．9．B [解析] 由12x －sin x ＝0得12x ＝sin x ，在同一坐标系中作出h (x )＝12x，g (x )＝sin x在[0，2π]上的图象，可以看出交点个数为2.故选B.10．(1，＋∞) [解析] 当Δ＝1＋8a ＝0时，a ＝－18，此时方程2ax 2－x －1＝0的解为x ＝－2∉(0，1)，不合题意，故Δ>0.令f (x )＝2ax 2－x －1，故必有f (0)f (1)<0，即(－1)· (2a －2)<0，所以a >1. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪ －32<x <1) [解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )＝x 2－x －6.所以不等式af (－2x )>0，变为－(4x 2＋2x －6)> 0，解得－32<x <1.12．4 [解析] 数形结合，作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |在y 轴右侧的图象，有2个交点，又这两个函数都是偶函数，根据对称性知有4个交点．13．(0，1)∪(1，4) [解析] 函数定义域为{x ∈R |x ≠1}，令g (x )＝|x 2－1|x －1，h (x )＝kx －2，化简得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，作出函数g (x )和h (x )的图象，如图，当k ∈(0，1)∪(1，4)时，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．14．解：因为f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，所以2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点，不合题意，所以这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 【难点突破】15．解：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则g (x )＝0的两根为x 1和x 2.(1)由a >0及x 1<2<x 2<4，可得⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋3·b 2a －34a <0，－4－2·b 2a ＋34a<0，两式相加得b 2a <1，所以x 0>－1.(2)由(x 1－x 2)2＝b －1a 2－4a，可得2a ＋1＝（b －1）2＋1. 又x 1x 2＝1a>0，所以x 1，x 2同号．∴|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2等价于⎩⎨⎧0<x 1<2<x 2，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧x 2<－2<x 1<0，2a ＋1＝（b －1）2＋1，即⎩⎨⎧g （2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧g （－2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1.解之得b <14或b >74.16．解：(1)函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0的图象有两个交点等价于直线kx －y －k ＋1＝0分别与线段y ＝2x (0≤x ≤1)和线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)都相交．直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝2x (0≤x ≤1)相交，则(－k ＋1)(－1)≤0，解得k ≤1. 直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)相交，则⎝ ⎛⎭⎪⎫5k －25－k ＋1(－1)≤0，解得k ≥－320.故当－320≤k ≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点．(2)g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（0≤x ≤1），－25x 2＋125x （1<x ≤5）.当0≤x ≤1时，g (x )是增函数，所以0≤g (x )≤2；当1<x ≤5时，g (x )＝－25x 2＋125x ＝－25(x －3)2＋185，在区间(1，3)上是增函数，在区间[3，5]上是减函数，所以2≤g (x )≤185.综上，函数g (x )＝xf (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，185.。

高考数学一轮复习函数与方程

3.二分法的定义
对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不
断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零
⁠
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
目录
4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
目录
⁠
（多选）有如下说法，其中正确的有
（
）
A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定
变号
B.连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0
在区间[a，b]上一定有实根
c）（x－a）的两个零点分别位于区间（
）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：A 函数y＝f（x）是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b
＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f
知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜
1
1
1
1
kOB，因为kOA＝－，kOB＝1，所以－＜2m＜1，解得－＜m＜ .
3
3
6
2
答案（2）A
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
考向2 探究函数多个零点（方程根）问题
− 2 −2, ≤ 0,

高考数学专题讲座第11讲直线与圆

高考数学专题讲座第11讲直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________．（－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝（ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ）由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ）由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1，即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4，此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程．解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=，即有 a －2b ＝±1，由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值．由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55．将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1．综上a =±1，b =±1，r 2=2．由b a 2-=1知a ，b 同号．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程．解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或，所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

《函数》第11讲函数与方程

专题：定义先行答案：0
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0, 又∵f（2）=22+（m-1）×2+1, ∴m≤-3/2
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围. ②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
0 2 ( m 1 ) 40 m 1 0 2 , . 3 m 1 2 4 (m 1) 2 1 0 f (2) 0 m 3或m 1 3 3 m 1 , m 1, 2 3 m 2
结论
y=f(x)在(a,b)
内至少有一
个零点
3.零点分布问题例题3.m为何值时，对于f (x)＝x2＋2mx+3m+4， ①有且仅有一个零点？ ②有两个零点且均比-1大？解析(1) f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点 ⇔方程f(x)＝0有两个相等实根 ⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0， ∴m＝4或m＝－1.
A. c ≤ 3 C. 6＜c ≤9 B. 3＜c ≤6 D. 9＜c
[训练]. 已知函数 f(x)＝|x2＋3x|, x∈R.
若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4个互异的实数根, 则a的取值范围为____．
2 f ( x ) | 4 x x | a 有4个零若函数点，求实数a的取值范围。

高考数学一轮复习第11讲函数与方程课件理新人教课标A

第11讲 │要点探究
D [解答] 由题得 f′(x)＝13－1x＝x－3x3，令 f′(x)>0，得 x>3；令 f′(x)<0，得 0<x<3；f′(x)＝0，得 x＝3，故知函数 f(x) 在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点 x ＝3 处有极小值 1－ln3<0.又 f(1)＝31，f(e)＝3e－1<0，f1e＝31e＋ 1>0，故选择 D.
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0， ∴f(x)＝x3－x－1 在 x∈[－1,2]上存在零点． (3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝ log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故 f(x)＝log2(x＋2)－x 在 x∈[1,3]上存在零点．

【推荐必做】黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一轮复习第11讲函数与方程学案(无答案)理

考情分析
函数零点的个数函数零点的应用
【重温教材】必修 1
第 86 页至第 92 页
【相关知识点回顾】完成练习册【知识聚焦】
【探究点一】函数零点所在区间的判断：【练习册】029 页【探究点二】零点个数的讨论：【练习册】029 页【探究点三】函数零点的应用：【练习册】029 页
1.已知函数 f(x)=ax -3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) C.(-∞,-2) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)
5．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x
( ) 2 D．y＝x ＋1
6. 函数 f ( x) 4 cos
2
x cos( x) 2sin x ln( x 1) 的零点个数为________． 2 2
7.若 a，b 是函数 f ( x) x px q( p 0, q 0) 的两个不同的零点，且 a，b， 2 这三个数可适当排
3
2
)
2. 已知函数 f ( x)
x 2 (4a 3) x 3a, x 0 log a ( x 1) 1, x 0
2 3
(a>0, 且 a≠1) 在 R 上单调递减 , 且关于 x 的方程 ( D. , 3 3 )
2
值范围为________．
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2
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二、履我认里年一的去过在。面方责职行成所完极积，责职位岗理经副行履真作任工项各的办交理经门部和导领、严营经促全安抓狠到做力努，务润实利本成真、量质促训培抓项工各的部饮餐使，定稳促伍队抓。色起新了有比相期前与作 1促全安抓狠、和实点特作工年去厅餐合结。营经经验的误失作工年前取吸，况情际即泄 ” 防七 “ 厅餐了出提点重，训教食防、露气物煤盗火：工意员件事量质大重防、毒中取的采我。纪法违工员防、伤受外场合种各用利，育教强加：是施措工安员高提断不，识知全安讲宣复反大意痹麻想思员人因免避，识意全管理强加；故事全安不的现出而，认安须必都工员有所部饮餐求要，标全执准格严，责职位岗行履真、人乱混理管因免避，程规作操和加强；故事全安不的现出而，控失员的环题问现出易容中作工对，查检点，重的作工查检理管我为做，节出现而时及不患隐现发因免避极积，餐施措上以过通。故事全安不的现门出有没，里年一去过在部饮部顺为，患隐的大较和故事全安要精主把理经为，务任年全成完利了一造创，上设建面全门部到入投力。件条定训促培抓严 2、老VIP宴、岗到工员新对针。量质工的日节大重、待接会级作晋规性常些一与参、织组次多，排安容和内、划计对并，训培的日常对针；新更善完了行进目题核考《餐了理整我，题问的到遇中务服务服厅工克员助帮，》办么怎 120个，最素因等缺欠识常、足不验经服员工了高提，误失作工避规地度限大次组首经助协；力能的题问理处业知专饮餐馆宾翔鸿 “ 了展开、织，增感誉荣体集工员了高提 ” 赛竞识好氛良的超帮赶学、比了强训培展开门部后以为也，围积累，临杂繁作工常日厅餐对针；验经了在作，点特一这多务任作工性时时间一第在量尽，理管式动走行执中处理速迅够能题问现发，况情握掌办公在少很我来年一，报汇示请和部服饮餐为，上以过通。作工室自己了挥发，升提和定稳的量质务。用作能职的本促成抓真 3、加强，示指的理经门部照按。润利 “出取采，理管的品耗易值低了等措 ” 录记损向去用、字签有见的可处随巾香、机火打餐像，施餐具强加；制控效有了到得象现别是特餐的耗损常正非对，理管，制 ” 源溯根追 “ 重贵、具餐新，度偿并赔外和部内了行执格严 2 共章文本常六 “ 学所合结

高考数学第一轮总复习第11讲函数与方程

课时作业(十一) [第11讲函数与方程](时间：30分钟分值：80分)1．[2013·青岛模拟] 函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是( )A ．(14，12)B ． (12，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 2．x 0是函数f (x )＝2sin x －πln x (x ∈(0，π))的零点，x 1，x 2∈(0，π)，x 1<x 2，则下列结论正确的是( )①x 0∈(1，e)； ②x 0∈(e ，π)；③f (x 1)－f (x 2)<0； ④f (x 1)－f (x 2)>0.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．04．[2013·北京西城区二模] 已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．[2013·广州一模] 已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )7．[2013·泰安一检] 设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0<a <2)有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3则下列结论正确的是( )A ．x 1>－1B ．x 2<0C ．x 3>2D ．0<x 2<18．[2013·淮北一检] 方程|sin x |＝kx (k >0)有且仅有两个不同的非零实数解θ，φ(θ>φ)，则以下有关两根关系的结论正确的是( )A ．sin φ＝φcos θB ．sin φ＝－φcos θC ．cos φ＝θsin θD ．sin θ＝－θsin φ9．[2013·南京模拟] 在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现已将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．10．[2013·北京朝阳区一模] 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．11．[2013·济南模拟] f (x )＝|2x －1|，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，…，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则函数y ＝f 4(x )的零点个数为________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .若函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求实数a 的取值范围．13．(1)(6分)[2013·牡丹江地区六县市联考] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 20122012＋x 20132013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…＋x 20122012－x 20132013.若函数f (x )有唯一零点x 1，函数g (x )有唯一零点x 2，则有( )A ．x 1∈(0，1)，x 2∈(0，1)B ．x 1∈(－1，0)，x 2∈(0，1)C ．x 1∈(0，1)，x 2∈(1，2)D ．x 1∈(－1，0)，x 2∈(1，2)(2)(6分)[2013·合肥一中测试] 函数f (x )的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得函数f (x )满足：f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[2a ，2b ]，则称区间[a ，b ]为y ＝f (x )的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有________(只需填符合题意的函数序号)．①f (x )＝x 2(x ≥0)；②f (x )＝e x (x ∈R )；③f (x )＝4x x 2＋1(x ≥0)；④f (x )＝log a (a x －18)(a >0，a ≠1)．课时作业(十一)1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B9．(1.5，2) 10．(25，23) 11．8 12．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a⎪⎪⎪ a >1或a ≤－3－72) 13．(1)D (2)①③④。

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黑龙江省高考数学一轮专题：第11讲函数与方程
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一下·太康开学考) 方程log2x+x=3的解所在区间是（）
A . （0，1）
B . （1，2）
C . （3，+∞）
D . [2，3）
2. （2分）(2019·定远模拟) 对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019高三上·沈河月考) 已知，关于的下列结论中错误的是（）
A . 的一个周期为
B . 在单调递减
C . 的一个零点为
D . 的图象关于直线对称
4. （2分） (2020高一上·梅河口期末) 函数f（x）＝x2－3x－4的零点是（）
A .
B .
C . 1,-4
D . 4,-1
5. （2分）已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）=0一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）
A . 2＜﹣＜3
B . 4ac﹣b2＜0
C . f（2）＜0
D . f（3）＜0
6. （2分） (2019高一上·绵阳期中) 在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）
A .
B .
C .
D . 不能确定
7. （2分）右面是“二分法”解方程的流程图．在①~④处应填写的内容分别是（）
A . f(a)f(m)<0；a=m；是；否
B . f(b)f(m)<0；b=m；是；否
C . f(b)f(m)<0；m=b；是；否
D . f(b)f(m)<0；b=m；否；是
8. （2分）已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意的实数x都满足f（x+2）=f（x），当x∈[﹣1，1]时，f （x）=x2 ，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）
A . 10个
B . 9个
C . 8个
D . 2个
9. （2分） (2016高一上·定兴期中) 函数f（x）=lnx 的零点所在的区间是（）
A . （1，2）
B . （1，e）
C . （e，3）
D . （3，+∞）
10. （2分） (2020高一上·温州期末) 设函数，则在下列区间中，函数存在零点的是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高二下·吉林期中) 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2019高一上·凤城月考) 已知则的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2017·山南模拟) 函数f（x）= ，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
14. （1分） (2020高一上·南宁期末) 用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，那么下一次应计算x＝________时的函数值．
15. （1分） (2016高一上·辽宁期中) 设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为________．
16. （1分）某方程有一无理根在区间D=（1，3）内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分________ 次后，所得近似值可精确到0.1．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （5分）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km 的线路，电线杆的间距为100 m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.
18. （5分）某公司在统计2012年的经营状况时发现，若不考虑其他因素，该公司每月获得的利润y（万元）与月份之间满足函数关系式：f（x）=
（Ⅰ）求该公司5月份获得的利润为多少万元？
（Ⅱ）2012年该公司哪个月的月利润最大？最大值是多少万元？
19. （10分） (2016高一上·西城期末) 已知函数f（x）=3x ， g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．
20. （10分）设a为实数，且1＜x＜3，试讨论关于x的方程x2+3+a=5x的实数解的个数．
21. （10分） (2016高一上·三亚期中) 已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2﹣2x．
（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
22. （15分） (2018高一上·北京期中) 若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性质M ．
（1）判断函数是否具有性质M ，说明理由；
（2）若函数具有性质M ，求实数a的取值范围；（3）若函数具有性质M ，求实数m的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、
考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、
考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、
考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、
考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
考点：解析：
答案：20-1、考点：
解析：
答案：21-1、考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
答案：22-3、考点：
解析：。

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