2014届高考数学一轮复习方案第11讲函数与方程课时作业新人教B版

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(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《函数与方程》理新人教B版

[第11讲函数与方程](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)2．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．[2013·东北名校二模] 若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >0），3x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，＋∞)能力提升5．[2013·海口一模] 函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2) 6．[2013·厦门模拟] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在(－1，0)上恰有一个零点B ．f (x )在(0，1)上恰有一个零点C ．f (x )在(－1，0)上恰有两个零点D ．f (x )在(0，1)上恰有两个零点7．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．58．[2013·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 9．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．若方程f (x )＝0有2 013个实数解，则这2 013个实数解之和为________．10．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．11．[2013·温州质检] 对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．难点突破13．(1)(6分)已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)(2)(6分)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 因为f (－1)f (0)<0，所以区间(－1，0)是函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间，故选B.2．B [解析] 根据函数的零点存在定理得到f (1)f (2)＝(－1)×12<0，故函数的一个零点在区间(1，2)内．3．C [解析] f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0，2)恒为负，即f (x )在(0，2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，∴f (x )在(0，2)内只有一个零点．故选C.4．D [解析] 在同一坐标系内分别作出y 1＝f (x )，y 2＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴的截距，结合图形可知当a >1时，直线y 2＝－x ＋a 与y 1＝log 2x 只有一个交点，即a ∈(1，＋∞)．【能力提升】5．C [解析] ∵f (－1)＝e －1－1－2<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝e ＋1－2>0，∴函数的零点所在区间为(0，1)．6．A [解析] 因为f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 010>0，x ∈(－1，0)，所以函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011在(－1，0)单调增，f (0)＝1>0，f (－1)<0，选A.7．D [解析] 定义在R 上的函数f (x )是奇函数，f (0)＝0，又是周期函数，T 是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0，则n 可能为5.8．B [解析] f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图．∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.9．0 [解析] 由奇函数的性质得f (0)＝0，其余2 012个实数解互为相反数，则这2 013个实数解之和为0.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 [解析] 计算函数f (x )＝x 3－2x －1在x ＝1，32，2处的函数值，根据函数零点的存在定理进行判断．f (1)<0，f (2)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32f (2)<0，故下一步断定该根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2内． 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [解析] 因为f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln a ＋a ＝ka ，ln b ＋b ＝kb ，则g (x )＝ln x ＋(1－k )x 在(0，＋∞)上有两个零点，即y ＝ln x 与y＝(k －1)x 相交于两点，所以k －1>0.当k ＝1＋1e 时相切，所以1<k <1＋1e.12．解：(1)若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.(2)若a ≠0，①令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.当a ＝－3－72时，y ＝f (x )恰有一个零点在[－1，1]上；②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时， y ＝f (x )在[－1，1]上也恰有一个零点．③当y ＝f (x )在[－1，1]上有两个零点时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1≤－12a ≤1，af （1）≥0，af （－1）≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上，所求实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >1或a ≤－3－72. 【难点突破】13．(1)C (2)A [解析] (1)①当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．②当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，(i)有且只有一根在[0，1]上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；(ii)有两根在[0，1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<m －12<1，f （0）>0，f （1）>0，此时无解； (iii)当f (0)＝0时，m ＝0，方程可化为x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；(iv)当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，0]．(2)f (0)＝4sin1>0，f (2)＝4sin5－2，由于π<5<2π，所以sin5<0，故f (2)<0，故函数在[0，2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1，－π2<－1<－π6，所以sin(－1)<－12，故f (－1)<0，故函数在[－1，0]上存在零点，也在[－2，0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2，4]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－24＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0，而f (2)<0，所以函数在[2，4]上存在零点．排除法知函数在[－4，－2]上不存在零点．。

通用版高考数学大一轮复习第11讲函数与方程学案理新人教A版

第11讲函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是.2.[教材改编]如果函数f(x)=e x-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= .3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是.4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是.题组二常错题◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).5.函数f(x)=x+的零点个数是.6.函数f(x)=x2-3x的零点是.7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是.8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是.探究点一函数零点所在区间的判断例1 (1)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间上必有零点 ()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(2)已知函数f(x)=lg x+x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.变式题 [2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)探究点二函数零点个数的讨论例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-+x=f,当x∈时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是()A.3B.5C.7D.9(2)[2018·河南中原名校模拟]函数f(x)=sin2x+-log3πx的零点个数为.[总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考]函数f(x)=-2e-x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3(2)已知函数f(x)=则函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数为.探究点三函数零点的应用例3 (1)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则() A.f(b)<0<g(a) B.g(a)<0<f(b)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0若函数g(x)=f(x)-m(x-1) (2)[2019·安徽肥东高级中学调研]已知函数f(x)=--有两个零点,则实数m的取值范围是 ()A.(-2,0)B.(-1,0)C.(-2,0)∪(0,+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞)[总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.变式题 (1)[2018·山东、湖北部分重点中学二模]若函数f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,则m的取值范围为()A.(0,1]B.{1}C.{0}∪(1,3]D.[0,3](2)若x1,x2分别是函数f(x)=x-2-x,g(x)=x log2x-1的零点,则下列结论成立的是()A.x1=x2B.x1>x2C.x1+x2=1D.x1x2=1第11讲函数与方程考试说明结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0c2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210对点演练1.1[解析] 函数f(x)单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点.2.0[解析] 函数f(x)单调递增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零点在区间(0,1)内,则n=0.3.0,1[解析] 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函数的零点是0,1.4.(-∞,4)[解析] Δ=16-4a>0,解得a<4.5.0[解析] 函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数没有零点.6.0,3[解析] 由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.7.(-8,1][解析] 二次函数f(x)图像的对称轴方程为x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8<m≤1.8.(0,4)[解析] Δ=k2-4k<0,解得0<k<4.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用零点存在性定理判断即可;(2)利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出n.(1)C(2)3[解析] (1)f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,故选C.(2)f(x)=lg x+x-5是定义在(0,+∞)上的增函数,根据零点存在性定理,可得因为f(1)=-5<0,f(2)=lg 2+-5<0,f(3)=lg 3+-5<0,f(4)=lg 4+5-5=lg 4>0,所以函数f(x)在(3,4)上存在零点,故n=3.变式题B[解析] f(x)=ln(x+1)-在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln3->0,则f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间为(1,2).例2[思路点拨] (1)由已知可得函数是奇函数,周期为3,且f-=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0,即可得函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数;(2)函数f(x)=sin-log3πx的零点个数即为y=log3πx与y=cos 2x(x>0)图像的交点个数,利用数形结合可得结果.(1)D(2)6[解析] (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-=f,∴f-+x+=f+x+,可得f(x+3)=f(x),则函数f(x)的周期为3.当x∈时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴在区间-上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.由f-=f,取x=0,得f-=f,又f=-f-,∴f=f-=0,∴f-=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0.又∵函数f(x)是周期为3的周期函数,∴函数f(x)在区间[0,6]上的零点有0,1,,2,3,4,,5,6,共9个.(2)函数f(x)=sin-log3πx=cos 2x-log3πx的零点个数就是y=log3πx与y=cos 2x(x>0)图像的交点个数.在同一坐标系内作出y=log3πx与y=cos 2x(x>0)的图像,如图,由图可知,y=log3πx与y=cos 2x(x>0)的图像有6个交点,所以函数f(x)=sin-log3πx的零点个数为6.变式题(1)B(2)3[解析] (1)∵y=单调递增,y=-2e-x单调递增,∴f(x)=-2e-x单调递增.∵f(0)=-2<0,f(8)=2->0,∴由零点存在性定理可得,f(x)=-2e-x的零点个数为1,故选B.(2)函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数即为方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数,解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x>0)或e x=1(x≤0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x>0)或e x=2(x≤0),解得x=e2.所以函数g(x)共有3个零点.例3[思路点拨] (1)首先确定函数f(x)和g(x)的单调性,然后结合函数的性质计算即可;(2)先转化为函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案.(1)B(2)D[解析] (1)易知f(x)是增函数,g(x)在(0,+∞)上也是增函数.由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以0<a<1.又g(1)=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,所以1<b<2,所以f(b)>f(1)>0,g(a)<g(1)<0,据此可知g(a)<0<f(b).(2)若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有两个零点,则函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点.在同一坐标系内画出函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像,如图所示.由图像可得,当m>0时,满足条件;当m=-1时,直线y=m(x-1)与y=2-e x(x≤1)的图像相切,可得当-1<m<0时,满足条件.故m∈(-1,0)∪(0,+∞).变式题(1)C(2)D[解析] (1)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]的零点个数就是y=cos x+2|cosx|=∈-∈的图像与y=m的图像的交点个数.作出y=cos x+2|cos x|,x∈[0,2π]的图像,如图,由图像可知,当m=0或1<m≤3时,函数y=cos x+2|cos x|,x∈[0,2π]的图像与y=m的图像有两个交点,即函数f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,故m的取值范围为{0}∪(1,3],故选C.(2)因为f(0)≠0,所以x1≠0.当x≠0时,由x-2-x=0,得2x=,则x1就是曲线y=与曲线y=2x交点的横坐标.由x log2x-1=0,得log2x=,则x2就是曲线y=(x>0)与曲线y=log2x交点的横坐标.因为曲线y=关于直线y=x对称,且曲线y=2x与曲线y=log2x关于直线y=x对称,所以点与点关于直线y=x对称,所以--=-1,可得x1x2=1,故选D.【备选理由】例1考查将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题,通过分析交点横坐标得零点所在区间;例2结合函数的奇偶性、周期性,考查函数的零点个数,需要数形结合处理,综合性强;例3为有关方程的解的问题,考查换元法、数形结合思想等.例1[配合例1使用] [2018·运城二模]已知x0是函数f(x)=2sin x-πln x(x∈(0,π))的零点,则()A.x0∈(0,1)B.x0∈(1,e)C.x0∈(e,3)D.x0∈(e,π)[解析] B设h(x)=2sin x(x∈(0,π)),g(x)=πln x(x∈(0,π)),则g(1)=0,g(e)=π>2,作出函数h(x)与g(x)的图像(图略)可知,交点在区间(1,e)内,即x0∈(1,e).例2[配合例2使用][2018·茂名模拟]已知定义在R上的函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=sin x,则函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为()A.2017B.2018C.4034D.4036[解析] D函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数,就是y=f(x)的图像与y=e-|x|的图像在区间[-2018,2018]上的交点个数.∵函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,∴函数y=f(x)的图像的对称轴为直线x=0,故y=f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x).又函数f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),故f(x+2)=f(-x)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的偶函数.又当x∈[0,1]时,f(x)=sin x,画出y=f(x)与y=的部分图像如图所示,由图像可知,在每个周期内两函数的图像有2个交点,∴函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为2018×2=4036.故选D.例3[配合例3使用] 函数y=g(x)(x∈R)的图像如图所示,若关于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是. [答案] --[解析] 设g(x)=t,∵关于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,∴关于t的方程t2+mt+2m+3=0有两个实数根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上.设h(t)=t2+mt+2m+3,①当有一个根为1时,h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-,此时另一个根为,符合题意;②当没有根为1时,则解得-<m<-.综上可得,m的取值范围是--.。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的概念及其表示

§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《曲线与方程》理新人教B版

[第52讲曲线与方程](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．[2013·北京朝阳区一模] 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e ＝62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 3．已知点O (0，0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．[2013·皖北协作区联考] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，AM ＝13，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到M 的距离的平方差为89，则P 点的轨迹是________．能力提升5．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 6．[2013·德州模拟] 已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x7．已知两定点A (1，1)，B (－1，－1)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．[2013·南平适应性测试] 已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x <－1)B ．x 2－y 28＝1(x >1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)9．已知A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝110．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2OQ →＝QP →，则点Q 的轨迹方程是________．11．F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左，右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13．[2013·北京卷] 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)[2013·安徽卷] 如图K52－1，设λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．图K52－115．(13分)[2013·茂名二模] 如图K52－2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别是F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为12，椭圆上的动点P 到直线l ：x ＝a 2c的最小距离为2，延长F 2P 至Q 使得|F 2Q →|＝2a ，线段F 1Q 上存在异于F 1的点T 满足PT →·TF 1→＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求点T 的轨迹C 的方程；(3)求证：过直线l ：x ＝a 2c上任意一点必可以作两条直线与T 的轨迹C 相切，并且过两切点的直线经过定点．图K52－2难点突破16．(12分)已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2；(3)在(2)的结论下，当m ＝32时，得到曲线C ，与l 1垂直的直线l 与曲线C 交于B ，D两点，求△OBD 面积的最大值．课时作业(五十二)【基础热身】1．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．A [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.根据已知c a ＝62，|bc |a 2＋b2＝1，解得b ＝1，a ＝2，c ＝3，故所求的双曲线方程是x 22－y 2＝1.3．A [解析] 设P 点的坐标为(x ，y )，则（x －1）2＋（y ＋2）2＝3x 2＋y 2，整理，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.4．抛物线 [解析] 如图．以点设P (x ，y )，则P 到A 1D 1的距离为1＋x 2，P 到点M 的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2，根据已知得1＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－y 2＝89，化简即得y 2＝23x ，故点P 的轨迹为抛物线．【能力提升】5．C [解析] 由|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项知|PF 1|＋|PF 2|＝4，故动点P 的轨迹是以定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为x 24＋y 23＝1.6．B [解析] 根据|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，即(x ＋2)2＋y 2＝(x －2)2，即y 2＝－8x .7．B [解析] 点P (x ，y )，则PA →＝(1－x ，1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2. 由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆，故选B.8．B [解析] 如图，由切线长定理知|AM |＝|MB |，|PD |＝|PA |，|DN |＝|NB |，所以|PM |－|PN |＝|PA |＋|AM |－|PD |－|DN |＝|MB |－|NB |＝2，由双曲线的定义知点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点B )．9．A [解析] 由题意|AC |＝|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，所以|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．10．2x ＋4y ＋1＝0 [解析] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 1，y 1)．根据2OQ →＝QP →得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 [解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) [解析] F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2，又A ，B ，M ，F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1，0)，也适合这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．13．②③ [解析] ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S△F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a22.所以②③正确．14．解：由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，则y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1.y 0－y 1)＝λ(1－x ，1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）y 0－λ.② 将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）2x 2－λ（1＋λ）y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝((1＋λ)x －λ)2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.15．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c－a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：设点T 的坐标为(x ，y )．当P ，T 重合时，点T 坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P ，T 不重合时，由PT →·TF 1→＝0，得PT →⊥TF 1→.由|F 2Q →|＝2a ＝4及椭圆的定义，|PQ →|＝|QF 2→|－|PF 2→|＝2a －|PF 2→|＝|PF 1→|，所以PT 为线段F 1Q 的垂直平分线，T 为线段F 1Q 的中点．在△QF 1F 2中，|OT →|＝12|F 2Q →|＝a ＝2，所以有x 2＋y 2＝4.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2＝4. 方法二：设点T 的坐标为(x ，y )．当P ，T 重合时，点T 坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P ，T 不重合时，由PT →·TF 1→＝0，得PT →⊥TF 1→.由|F 2Q →|＝2a ＝4及椭圆的定义，|PQ →|＝|QF 2→|－|PF 2→|＝2a －|PF 2→|＝|PF 1→|，所以PT 为线段F 1Q 的垂直平分线，T 为线段F 1Q 的中点．设点Q 的坐标为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－12，y ＝y ′2，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋1，y ′＝2y .①由|F 2Q →|＝2a ＝4，得(x ′－1)2＋y ′2＝16，②将①代入②，可得x 2＋y 2＝4.综上所述，点T 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝4.③(3)直线l ：x ＝a 2c＝4与x 2＋y 2＝4相离，过直线上任意一点M (4，t )可作圆x 2＋y 2＝4的两条切线ME ，MF ，所以OE ⊥ME ，OF ⊥MF ，所以O ，E ，M ，F 四点都在以OM 为直径的圆上，其方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22.④ EF 为两圆的公共弦，③－④得EF 的方程为4x ＋ty －4＝0，显然无论t 为何值，直线EF 经过定点(1，0)．【难点突破】16．解：(1)设圆的半径为r ，圆心到直线l 1距离为d ，则d ＝|－22|12＋12＝2，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)，AN ⊥x 轴于N ，N (x 0，0)，由题意，(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )(x 0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝1my ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y 代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1.(3)m ＝32时，曲线C 方程为x 24＋y23＝1，设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，设直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1交点为B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，3x 2＋4y 2＝12，得7x 2－8bx ＋4b 2－12＝0，因为Δ＝48(7－b 2)>0，解得b 2<7，且x 1＋x 2＝8b 7，x 1x 2＝4b 2－127.∵点O 到直线l 的距离d ＝|b |2，BD ＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4677－b 2，∴S △OBD ＝12·|b |2·4677－b 2＝237b 2（7－b 2）≤3当且仅当b 2＝7－b 2即b 2＝72<7时取到最大值，∴△OBD 面积的最大值为 3.。

2014年高考一轮复习数学教案：2.11 函数的应用

2.11 函数的应用●知识梳理解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果. 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答. ●点击双基1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价A.10%B.9%C.11%D.1191% 解析：设提价x %，则a （1－10%）（1+x %）=a ，∴x =1191. 答案：D现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 A.v =log 2tB.v =log 21tC.v =212-tD.v =2t －2解析：特值检验，如：当t =4时，v =212-t =7.5.答案：C3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.3B.4C.6D.12解析：设隔墙的长为x （0＜x ＜6），矩形面积为y ，y =x ×2424x-=2x （6－x ），∴当x =3时，y 最大.答案：A4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩量为y ，则x 、y 之间的函数关系式为______________.答案：y =0.9576100x5.建筑一个容积为8000 m 3、深6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元／米2，池底造价为2a 元／米2，把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x （m ），则其邻边长为x 68000（m ），池壁面积为2·6·x ＋2·6·x68000＝12（x ＋x 68000）（m 2），池底面积为x ·x 68000＝68000（m 2），根据题意可知蓄水池的总造价y （元）与池底一边长x （m ）之间的函数关系式为y ＝12a （x ＋x 68000）＋38000a .定义域为（0，＋∞）. x ＋x 68000≥2xx 68000 ＝34030（当且仅当x =x 68000即x =32030时取“=”）.∴当底边长为32030 m 时造价最低，最低造价为（16030a ＋38000a ）元. 答案：y =12a （x +x 68000）+38000a （0，+∞） 32030 16030a +38000a●典例剖析【例1】（1）一种产品的年产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p %，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.（2）一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，写出成本随经过年数变化的函数关系式.解：（1）设年产量经过x 年增加到y 件，则y ＝a （1＋p %）x （x ∈Ｎ*且x ≤m ）. （2）设成本经过x 年降低到y 元，则y ＝a （1－p %）x （x ∈Ｎ*且x ≤m ）. 特别提示增长率问题是一重要的模型.【例2】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x ，x =全月总收入－800元，税率见下表：级数全月纳税所得额税率 1 不超过500元部分 5% 2 超过500元至2000元部分 10% 3 超过2000元至5000元部分15% … … (9)超过10000元部分45%（1）若应纳税额为f （x ），试用分段函数表示1~3级纳税额f （x ）的计算公式；（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元（1）解：依税率表，有第一段：x ·5%，0＜x ≤500，第二段：（x －500）×10%+500×5%，500＜x ≤2000，第三段：（x －2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x ≤5000，即f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+-+-⨯175)2000(15.025)500(1.005.0x x x).50002000(),2000500(),5000(≤<≤<≤<x x x（2）解：这个人10月份应纳税所得额x =3000－800=2200，f （2200）=0.15×（2200－2000）+175=205，即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A 、B 、D ，故选C.答案：C评述：本题也可以根据纳税额计算公式直接计算. 特别提示分段函数在新课标中占有重要地位.【例3】某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a 千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·时）至0.75元／（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k ）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·时）.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；（2）设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 〔注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕解：（1）设下调后的电价为x 元／（千瓦·时），依题意知用电量增至4.0-x k＋a ，电力部门的收益为y ＝（4.0-x k＋a ）（x －0.3）（0.55≤x ≤0.75）.（2）依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-⨯≥-+-.75.055.0%),201)](3.08.0([)3.0)(4.02.0(x a x a x a整理得⎩⎨⎧≤≤≥+-.75.055.0,03.01.12x x x解此不等式得0.60≤x ≤0.75.答：当电价最低定为0.60元／（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.深化拓展某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台（x ∈N *），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.提示：设全年的运输和保管总费用为y 元，则y =x3600×400+k ·（2000x ）.据题设，x =400时，y =43600，解得k =5%. ∴y =x4003600⨯+100x ≥2x x 1004003600⋅⨯=2400（元）.因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.答案：每批购入120台可使资金够用.【例4】（2003年春季上海）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？并说明理由.剖析：第（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第（2）问应注意的是年工资总量.第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为c n =1270+230n －2000×1.05n －1，需要转化为c n ＞c n －1，c n ＞c n +1，则c n 最大.解：（1）此人在A 、B 公司第n 年的月工资数分别为a n =1500+230×（n －1）（n ∈N *），b n =2000·（1+5%）n －1（n ∈N *）.（2）若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a 1+a 2+…+a 10）=304200（元）；若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b 1+b 2+…+b 10）≈301869（元）. 因为在A 公司收入的总量高些，因此该人应该选择A 公司.（3）问题等价于求c n =a n －b n =1270+230n －2000×1.05n －1（n ∈N *）的最大值.当n ≥2时，c n －c n －1=230－100×1.05n －2.当c n －c n －1＞0，即230－100×1.05n －2＞0时，1.05n －2＜2.3，得n ＜19.1. 因此，当2≤n ≤19时，c n －1＜c n ；当n ≥20时，c n ≤c n －1. ∴c 19是数列{c n }的最大项，c 19=a 19－b 19≈827（元），即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.●闯关训练夯实基础1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是A BC D答案：D2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=－x2+12x－25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6解析：设年平均利润为g（x），则g（x）=xxx25122-+-=12－（x+x25）.∵x+x25≥2xx25⋅=10，∴当x=x25，即x=5时，g（x）max=2.答案：C3.某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为___________________.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）解析：设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.∴lg（1+x）=103010.02⨯=0.0602.∴1+x=100.0602.又∵lg11.49=1.0602，∴11.49=101.0602=10·100.0602.∴100.0602=1.149.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.答案：14.9%4.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）=4Q－2001Q2，则总利润L（Q）的最大值是___________万元，这时产品的生产数量为___________.（总利润=总收入－成本）解析：L（Q）=4Q－2001Q2－（200+Q）=－2001（Q－300）2+250.答案：250 3005.（2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力.（1）解：依题意得第x 年该村的工农业生产总值为（3180+60x ）万元，而该村第x 年的人口总数为（1480+ax ）人，∴y =axx++1480603180（1≤x ≤10）.（2）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x ≤10内，y =f （x ）为增函数.设1≤x 1＜x 2≤10，则f （x 1）－f （x 2）=111480603180ax x ++－221480603180ax x ++=)1480)(1480()(3180)(148060211221ax ax x x a x x ++-+-⨯=)1480)(1480())(318088800(2121ax ax x x a ++--.∵1≤x 1＜x 2≤10，a ＞0， ∴由f （x 1）＜f （x 2），得88800－3180a ＞0.∴a ＜318088800≈27.9.又∵a ∈N *，∴a =27. 解法二：∵y =a60（x a x++148053）=a60［1+a x a 1480148053+-］，依题意得53－a 1480＜0，∴a ＜531480≈27.9.∵a ∈N *，∴a =27.答：该村每年人口的净增不能超过27人. 培养能力6.（2005年春季北京，19）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （km/h ）之间的函数关系为y =160039202++v v v（v ＞0）. （1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：（1）依题意，y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920，当且仅当v =v 1600，即v =40时，上式等号成立，所以y max =83920≈11.1（千辆/时）. （2）由条件得160039202++v v v＞10，整理得v 2－89v +1600＜0，即（v －25）（v －64）＜0.解得25＜v ＜64.∴当v =40 km/h 时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.7.（2003年石家庄市一模题）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同．时开始．．．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数）.（1）写出g （x ），h （x ）的解析式；（2）比较g （x ）与h （x ）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：（1）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，（216－x ）人.∴g （x ）=x 64000，h （x ）=3)216(3000⋅-x ，即g （x ）=x 32000，h （x ）=x-2161000（0＜x ＜216，x ∈N *）. （2）g （x ）－h （x ）=x 32000－x -2161000=)216(3)5432(1000x x x --⋅. ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g （x ）－h （x ）＞0，g （x ）＞h （x ）；当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g （x ）－h （x ）＜0，g （x ）＜h （x ）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.,21687,2161000,,860,32000**N N x x xx x x（3）完成总任务所用时间最少即求f （x ）的最小值.当0＜x ≤86时，f （x ）递减， ∴f （x ）≥f （86）=8632000⨯=1291000. ∴f （x ）min =f （86），此时216－x =130. 当87≤x ＜216时，f （x ）递增， ∴f （x ）≥f （87）=872161000-=1291000.∴f （x ）min =f （87），此时216－x =129.∴f （x ）min =f （86）=f （87）=1291000. ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129. 探究创新8.现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：Wish you success ，分组为Wi ，sh ，yo ，us ，uc ，ce ，ss 得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛923,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛819,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1525,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1921,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1919, 其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，…，26给出如下一个变换公式⎩⎨⎧+='+='.43,2y x y y x x 将明文转换为密文.如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53→⎩⎨⎧=⨯+⨯='=⨯+='29543313523y x →⎪⎪⎭⎫⎝⎛313，即ce 变成mc （说明：29÷26余数为3）. 又如⎪⎪⎭⎫⎝⎛923→⎩⎨⎧=⨯+⨯='=⨯+='10594233419223y x →⎪⎪⎭⎫⎝⎛115，即wi 变成oa （说明：41÷26余数为15，105÷26余数为1）.（1）按上述方法将明文star 译成密文；（2）若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi ，请你找出它的明文.解：（1）将star 分组：st ，ar ，对应的数组分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛181,2019，由⎩⎨⎧+='+=',43,2y x y y x x 得⎩⎨⎧⨯+⨯='⨯+='20419320219y x →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛77，⎩⎨⎧⨯+⨯='⨯+='184131821y x →⎪⎪⎭⎫⎝⎛2311. ∴star 翻译成密文为ggkw.（2）由⎩⎨⎧+='+=',43,2y x y y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧'-'='+'-='.223,2y x y y x x 将kcwi 分组：kc ，wi ，对应的数组分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311，⎪⎪⎭⎫⎝⎛923,由⎪⎩⎪⎨⎧'-'='+'-=,223,2y x y y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-⨯=+⨯-=2311233112y x →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1519→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛157，⎪⎩⎪⎨⎧-⨯=+⨯-=2923239232y x →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛415. ∴密文kcwi 翻译成明文为good.●思悟小结1.数学的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题，也就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题.2.所谓数学模型，简单地说，就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式、函数解析式等等.实际问题越复杂，相应的数学模型也就越复杂.●教师下载中心教学点睛1.在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要强调自主地、独立地分析、研究、探讨活动，这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力；有利于对数学思想方法的应用；有利于培养学生的用数学意识.2.用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下：拓展题例【例1】（2002年春季高考）用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m ），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5 解析：设水箱底长a ，宽b ，高h ，则abh =4，∴h =ab 4.∴S =ab +2ah +2bh =ab +b 8+a8≥3388a b ab ⨯⨯=12，当且仅当a =b 时等号成立. ∴至少要钢板12 m 2. 答案：C评述：若a 、b 、c ∈R +，则有a +b +c ≥33abc ，当且仅当a =b =c 时等号成立.【例2】（2001年春季高考）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内? 解：（1）由题意得y ＝［1.2×（1＋0.75x ）－1×（1＋x ）］×1000（1＋0.6x ）（0＜x ＜1），整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200（0＜x ＜1）.（2）要保证本年度的利润比上年有所增加，必须⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.110,020602x x 解得0＜x ＜31.∴为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0＜x ＜0.33.评述：本题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力.。

2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数与方程

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---函数与方程一．【课标要求】1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．【命题走向】函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关预计2010年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．【要点精讲】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

2014届高考数学一轮复习教学案函数与方程(含解析)

第九节函数与方程[知识能否忆起]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答案：C2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 设函数f (x )＝e x －x －2，从表中可以看出f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)．答案：(2,3)5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点． ∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 答案：(－2,0)1.函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在[a ，b ]上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．典题导入[例1] (2012·唐山统考)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)[自主解答] ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．[答案] C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．典题导入[例2] (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x 12与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)B (2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．典题导入[例3] (2011·辽宁高考改编)已知函数f (x )＝e x －x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．[自主解答] ∵f (x )＝e x －x ＋a ， ∴f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数；当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．故f (x )min ＝f (0)＝1＋a .若函数f (x )有零点，则f (x )min ≤0，即1＋a ≤0，得a ≤－1. [答案] (－∞，－1]若函数变为f (x )＝ln x －2x ＋a ，其他条件不变，求a 的取值范围．解：∵f (x )＝ln x －2x ＋a ，∴f ′(x )＝1x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x ≤12时f ′(x )≥0，∴f (x )为增函数；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－1＋a . 若f (x )有零点，则f (x )max ≥0，即ln 12－1＋a ≥0.解得a ≥1－ln 12，a 的取值范围为[)1＋ln 2，＋∞.由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．以题试法3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ，易得当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2.在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知，k ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：⎝⎛⎦⎤0，141．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C 由f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．3．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：选C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1.则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.5．(2012·北京朝阳统考)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.6．(2013·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象交点的个数，易知当a >1时，两图象有两个交点；当0<a <1时，两图象有一个交点．答案：(1，＋∞)9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.答案：(2,3)10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15解析：选B 如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．答案：23．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2，∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0. ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．1．对于定义域为D 的函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ]⊆D (a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的“等值区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝log 2x ＋1. 则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)解析：问题等价于方程f (x )＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x >x ，故函数f (x )＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f (x )＝x 3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图象，可知函数f (x )＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f (x )＝log 2x ＋1存在等值区间[1,2]．答案：②④2．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.京翰教育高考辅导——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 (1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2.则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数与方程

必刷小题4函数与方程一、单项选择题1．函数f(x)＝e x＋2x－5的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析函数f(x)＝e x＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0，由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内．2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是()答案DAB走时，与O点的直线距离保持不变，解析小明沿沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．3．函数y＝lg|x－1|的图象大致是()x－1答案D 解析因为y ＝lg|－x |－x＝－lg|x |x ，x ≠0，故y ＝lg|x |x 为奇函数，图象关于原点成中心对称，将函数图象向右平移1个单位长度可得y ＝lg|x －1|x －1的图象，所以y ＝lg|x －1|x －1的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A ，B ；又当y ＝lg|x －1|x －1＝0时，x ＝0或x ＝2，故y ＝lg|x －1|x －1的图象与x 轴有2个交点，排除C.4．在使用二分法计算函数f (x )＝lg x ＋x －2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C 解析因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的12，3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝18>0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝116<0.1，满足题意．5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P (s )＝P 0e －Ks 描述声压P (s )(单位：帕斯卡)随传播距离s (单位：米)的变化规律，其中P 0为声压的初始值，常数K 为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K 的估计值约为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．0.162B ．0.164C ．0.166D ．0.168答案B 解析由题意知，400＝900e －5K ，两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K ，所以K ＝ln 9－ln 45＝2(ln 3－ln 2)5≈2×0.415＝0.164.6．已知f (x )(－x )，x <0，－x ，x ≥0，则函数y ＝3f 2(x )－2f (x )的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C 解析由题设，当x <0时，f (x )∈R 且单调递减，当x ≥0时，f (x )∈(0,1)且单调递减，令t ＝f (x )，则y ＝3t 2－2t ＝0，可得t ＝0或t ＝23，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图知，当t ＝0时有一个零点，当t ＝23时有两个零点，故共有3个零点．7．已知函数f (x )＝2x ＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c 答案D 解析由函数的单调性可得，函数f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，由f (a )f (b )f (c )<0,则f (a )，f (b )，f (c )为负数的个数为奇数，选项A ，B ，C 可能成立；对于选项D ，当x 0<c 时，由函数的单调性可得f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，即不满足f (a )f (b )f (c )<0，故选项D 不可能成立．8．(2022·西安模拟)已知函数f (x )x －2)，x >1，|－1，－1≤x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A.15，D.16，答案B解析令g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)＝0，可得f (x )＝log a (x ＋1)，所以曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，当a >1时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)只有一个交点，不符合题意；当0<a <1时，若使得曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，a 3>－1，a 5<－1，a <1，解得15<a <13.二、多项选择题9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数不可能为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A ．5B ．6C ．7D ．8答案ABC解析由题意得，经n 层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为＝50，n ∈N +，则50≤2.5得，20≤1，所以lg 20＋≤0，lg 10＋lg 2＋n (lg 2－lg 3)≤0，所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n ≤0,1.3≤0.18n ，得n ≥659，因为n 为正整数，所以n 的最小值为8.10．设函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，则g (x )＝f (x )－m 的零点个数可能是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，得f (－1)＝f (1)＝－1，则函数g (x )＝f (x )－m 的零点个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝m 的交点个数，画出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，如图所示，由图可知，当m >0时，两个函数的图象有1个交点，当m ≤0时，两个函数的图象有2个交点，所以函数g (x )＝f (x )－m 的零点可能有1个或2个．11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案AD解析由函数图象可知y 0≤t <1，－a ，t ≥1，当t ＝1时，y ＝4，即－a ＝4，解得a ＝3，∴y 0≤t <1，3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 错误．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，并且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1，则下列说法中正确的是()A ．实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ＋1C ．x 1x 2x 3x 4＝1D ．x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4的取值范围是[23，＋∞)答案BC 解析因为f (x )为偶函数且有4个零点，则当x >0时f (x )有2个零点，＝a 2－4>0，－－a 2>0，解得a >2，A 不正确；当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋ax ＋1，B 正确；偶函数f (x )的4个零点满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3，x 4是方程x 2－ax ＋1＝0的两个根，则有x 3>0，x 3x 4＝1且x 1＝－x 4，x 2＝－x 3，于是得x 1x 2x 3x 4＝(x 3x 4)2＝1，C 正确；由C 选项知，x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝x 3＋3x 4＝x 3＋3x 3，且0<x 3<1，而函数y ＝x ＋3x在(0,1)上单调递减，从而得x 3＋3x 3∈(4，＋∞)，D 不正确．三、填空题13．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是________．答案12解析由题可知，加密密钥为y ＝kx 3，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ×43，解得k ＝243＝132，故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，即1256＝132x 3，解得x 3＝18，即x ＝12.14．若函数f (x )＝e －x －ln(x ＋a )在(0，＋∞)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，e)解析由题意可得，函数y ＝e －x 与g (x )＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向左平移得到的，由图象可得，若想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g (0)＝ln a <1，即0<a <e ；当a ≤0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向右平移得到的，此时两函数图象在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件．综上可得a <e.15．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )，x ≤0，2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案3解析∵f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，∴f (f (x ))＝0⇒f (x )＝0或f (x )＝1，由f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，由f (x )＝1⇒x ＝2，∴0,1,2为函数y ＝f (f (x ))的零点，∴函数y ＝f (f (x ))的零点之和为3.16．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t (分钟)满足的函数关系式为h ＝m ·a t .若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在________分钟后开始失去全部新鲜度．(已知lg 2≈0.3，结果取整数)答案43解析·a10＝0.1，·a20＝0.2，m＝120，＝110，所以h＝120×102t，令h＝120×102t＝1，可得102t＝20，所以t＝10log220＝10lg20lg2＝10(lg10＋lg2)lg2＝10(1＋lg2)lg2≈10×1.30.3≈43(分钟)．因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度．。

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课时作业(十一) [第11讲函数与方程](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )图K11－1A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．能力提升5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 能用二分法求出的零点，其两侧函数值必须异号．2．C [解析] 知f (x )在R 上为单调增函数，又因为f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－2>0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选C.3．D [解析] 构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (1.75)＝f 74＝－14＋lg 74<0及f (2)＝lg2>0知x 0属于区间(1.75，2)． 4．(0，1) [解析] 画出函数f (x )的图象如图，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与直线y ＝m 的图象的交点有3个，所以0<m <1.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )在(－2，2)上有一个零点，不能说明f (－2)·f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．故选D.6．B [解析] 令f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则该函数在(0，＋∞)上是增函数，计算可得f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )的零点在区间(1，2)，即x 0∈(1，2)．故选B.7．B [解析] f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4＝(x －1)(x －2)g (x )＋3x －4，因为函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，所以函数f (x )的图象也是连续曲线，又因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝2>0，故f (x )＝0在区间(1，2)内必有实数根，故选B.8．C [解析] 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．9．B [解析] 由12x －sin x ＝0得12x ＝sin x ，在同一坐标系中作出h (x )＝12x，g (x )＝sin x在[0，2π]上的图象，可以看出交点个数为2.故选B.10．(1，＋∞) [解析] 当Δ＝1＋8a ＝0时，a ＝－18，此时方程2ax 2－x －1＝0的解为x ＝－2∉(0，1)，不合题意，故Δ>0.令f (x )＝2ax 2－x －1，故必有f (0)f (1)<0，即(－1)· (2a －2)<0，所以a >1. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪ －32<x <1) [解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )＝x 2－x －6.所以不等式af (－2x )>0，变为－(4x 2＋2x －6)> 0，解得－32<x <1.12．4 [解析] 数形结合，作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |在y 轴右侧的图象，有2个交点，又这两个函数都是偶函数，根据对称性知有4个交点．13．(0，1)∪(1，4) [解析] 函数定义域为{x ∈R |x ≠1}，令g (x )＝|x 2－1|x －1，h (x )＝kx －2，化简得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，作出函数g (x )和h (x )的图象，如图，当k ∈(0，1)∪(1，4)时，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．14．解：因为f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，所以2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点，不合题意，所以这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 【难点突破】15．解：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则g (x )＝0的两根为x 1和x 2.(1)由a >0及x 1<2<x 2<4，可得⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋3·b 2a －34a <0，－4－2·b 2a ＋34a<0，两式相加得b 2a <1，所以x 0>－1.(2)由(x 1－x 2)2＝b －1a 2－4a，可得2a ＋1＝（b －1）2＋1. 又x 1x 2＝1a>0，所以x 1，x 2同号．∴|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2等价于⎩⎨⎧0<x 1<2<x 2，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧x 2<－2<x 1<0，2a ＋1＝（b －1）2＋1，即⎩⎨⎧g （2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧g （－2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1.解之得b <14或b >74.16．解：(1)函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0的图象有两个交点等价于直线kx －y －k ＋1＝0分别与线段y ＝2x (0≤x ≤1)和线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)都相交．直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝2x (0≤x ≤1)相交，则(－k ＋1)(－1)≤0，解得k ≤1. 直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)相交，则⎝ ⎛⎭⎪⎫5k －25－k ＋1(－1)≤0，解得k ≥－320.故当－320≤k ≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点．(2)g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（0≤x ≤1），－25x 2＋125x （1<x ≤5）.当0≤x ≤1时，g (x )是增函数，所以0≤g (x )≤2；当1<x ≤5时，g (x )＝－25x 2＋125x ＝－25(x －3)2＋185，在区间(1，3)上是增函数，在区间[3，5]上是减函数，所以2≤g (x )≤185.综上，函数g (x )＝xf (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，185.。