《函数》第11讲 函数与方程
中考数学复习讲义课件 第3单元 第11讲 一次函数
第11讲 一次函数
1 知识梳理素养形成 2 考法聚焦素养提升
知识梳理素养 形成
考法聚焦素养 提升
一次函数的图象与性质(10 年 6 考) 例 1 已知关于 x 的一次函数 y＝(2m＋1)x＋m－1. (1)若该函数的值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为
(3)每月制作 A 类微课多少个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是多少元？
解：由(2)知，w＝50a＋16500. ∵50＞0，∴w 随 a 的增大而增大． ∴当 a＝9 时，w 有最大值，w 最大＝50×9＋16500＝16950(元)．
答：每月制作 A 类微课 9 个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是 16950 元．
7．(2021·衡阳)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣 构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度， 可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽 略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为 xcm，单层部分的长度为 ycm. 经测量，得到表中数据. 双层部分长度 x/cm 2 8 14 20 单层部分长度 y/cm 148 136 124 112
品种 A B 原来的运费 45 25 现在的运费 30 20
(1)求每次运输的农产品中 A，B 产品各有多少件； [解答] 解：设每次运输的农产品中 A 产品有 x 件，B 产品有 y 件．根据题 意，得 4350xx＋＋2250yy＝＝11220000，－300.解得yx＝＝3100.， 答：每次运输的农产品中 A 产品有 10 件，B 产品有 30 件．
10．(2021·乐山)如图，已知直线 l1：y＝－2x＋4 与坐标轴分别交于 A，B 两 点，那么过原点 O 且将△AOB 的面积平分的直线 l2 的解析式为( D )
《高等数学》第11章 微分方程习题详解
即 ．
再对 求导，得
，
即 ，
所以 是所给微分方程 的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．
（1） ， ；（2） ， ．
解（1）将 ， 代入微分方程，得
所以，所求函数为 ．
（2） ，将 ， 分别代入
和 ，
得
， ，
所以，所求函数为 ．
4．能否适当地选取常数 ，使函数 成为方程 的解．
（*）
这是齐次方程．
设 ，则 ， ，于是（*）式可化为
，
即
，
变量分离，得
，
两端积分，得
，
即
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
（2）原方程可写成
，
该方程属于 类型，一般可令 ．
令 ，有 ，则原方程可化为
，
即
，
积分得
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
习 题 11-3
1．求下列微分方程的通解：
（1） ；（2） ；（3） ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
解（1）将 代入所给微分方程的左边，得左边 ，而右边＝2 左边，所以 是 的解．
（2）将 ， 代入所给微分方程的左边，得左边 右边，所以 是所给微分方程 的解．
（3）将 ， ， 代入所给微分方程的左边，得
左边 （右边），
所以 不是所给微分方程 的解．
（4）对 的两边关于 求导，得
（2）原方程分离变量，得
，
两端积分，得
，
即
，
故原方程的通解为．Biblioteka （3）原方程可化成，
分离变量，得
，
两端积分，得 ，
[整理]11第十一讲二元函数的微分与极值
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泰山学院信息科学技术学院教案)0,0(0,02122)0,0(),(22)0,0(),(f yx xy liny x liny x y x ==+=+→→所以函数在点(0,0)处连续；由偏导数的定义知f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0；但函数在(0, 0)不可微分,这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρρ])0 ,0()0 ,0([lim0y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆→21limlim220220=+=+=→→x x xxy x xyx ρ.不趋向0.4、偏导数的求法（1）复合函数求导法),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，yvv f y u u f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例5：（1）x v x u v u z cos ,sin ,ln ===,求dxdz （2）),,(22z xy y x x f u =,求zx uy u z u y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,, , 【解】(1)x x x x x v ux v dx dv v z dx du u z dx dz sin tan cos ln cos sin cos .ln -=-=∂∂+∂∂=(2) /32/2/12zf y xyf f x u++=∂∂/3/222xyzf f x y u+=∂∂ ]2[22]2[//33//322/3//23//222222xyzf f x xyz xzf xyzf f x x yu ++++=∂∂=//33222//323/3//233//2244222f z y x yzf x xzf yzf x f x ++++2//332/322//23//13222xy zf y f y xy xyf f xy zx u ⋅++⋅+=∂∂∂ //334/32//2332//1322zf xy f y f y x f xy +++=（2）隐函数求导法若函数),(y x z z =由方程0),,(=z y x F 确定，方程两边关于x 求导，0=∂∂+x Z F F z x ，所以，zx F F x Z -=∂∂，同理，z y F F y Z-=∂∂ 例6：再由2)1,1(=f ，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f（下略）三、应用1.曲面的切平面与法线方程曲面0),,(=z y x f 在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是F x (x 0y 0z 0)(x -x 0)+F y (x 0y 0z 0)(y -y 0)+F z (x 0y 0z 0)(z -z 0)=0.法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.例16： 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式.【解】 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14,F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6.法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3).所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0.法线方程为332211-=-=-z y x 2.场论初步（1）数量场：（方向导数）函数u =f (x , y ，z )在点P 0(x 0, y 0,z 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),,(000z y z l f∂∂γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000z y x f z y x f z y x f z y x ++=,其中cos α, cos β,γcos 是方向l 的方向余弦.。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
人教版八年级下册数学《一次函数与方程、不等式》一次函数研讨复习说课教学课件
探究一：一次函数与一次方程的关系
例2.已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像经过（ 2,3），则方程kx+b=-3的解为_______
【答案】 x=2 【解析】
方程kx+b=-3可看为一次函数y=kx+b，当y=-3时，对应的 x的值，此时x=2，所以该方程的解为x=2.
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
【答案】 x=3 【解析】
方程kx+3=-x+b表示函数y=kx+3和y=-x+b的图象交点，交 点为（2,4），则可得方程的解为x=2.
课后作业
1.(中)根据图象，你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗?
【答案】 x=-3 【解析】
根据图象可以看出，函数y=x+3与x轴的交点为（-3,0）， 说明当x=-3时，x+3=0，即为方程的解。
当y 0时，0 2x 1，解得x - 1 ； 2
当y -1时，-1 2x 1，解得x -1
探究一：一次函数与一次方程的关系
变式:1(易)已知一次函数y=2x+1，当y=3时，2x+1等于几？当 y=0，y=-1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的 形式吗？怎样从函数的角度对解这三个方程进行解释呢？
小结
注意: ①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法:主要从项数上看，若多项式是二项式 可考虑平方差公式;若多项式是三项式可考虑完全平方公式。
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否 则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内 因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式 的结果，必须是几个整式的积的形式。
一次函数与二元一次方程组教案
一次函数与二元一次方程（组）人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十一章第三节42~45P湖北省荆州市沙市第五中学 曾令阳一、教材分析1、教材的地位和作用函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。
用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。
本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
2、教学重难点重点：一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。
难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。
3、教学目标知识技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。
数学思考：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。
解决问题：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。
情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
二、教法说明对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。
以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。
三、教学过程（一）感知身边数学多媒体播放一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。
顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。
《函数的零点与方程的解》教学设计
《函数的零点与方程的解》教学设计一、教学内容解析1．内容本节课是《普通高中教科书数学A版必修第一册》第四章第五节函数的应用（二）第一课时的内容．2.内容解析函数与方程是描述客观世界变化规律的基本数学模型，也是中学数学的重要数学思想之一，在高中数学教学中占有非常重要的地位．本节内容是学生在学习了函数的概念及性质、基本初等函数等知识的基础上，结合函数图象及性质，探究函数零点与方程的根之间的关系以及函数在某个区间上存在零点的条件是函数作为解决数学问题的工具在数学知识内部的应用，同时本节课的学习也是为下节“用二分法求方程的近似解”奠定基础，具有承前启后的作用．本节课要求学生通过二次函数的零点的定义抽象出一般函数的零点的概念，并通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的判断，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x轴交点横坐标、函数零点的等价关系，通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，结合其他函数零点所在区间的函数值特征，总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理，最后利用函数零点存在定理研究具体方程根的问题，并利用信息技术作出函数图像帮助学生直观形象地理解本节内容，体现函数的应用价值．函数作为解决数学问题的基本工具，把函数在解方程中加以应用，渗透了许多重要的数学思想，比如函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想．对培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模等学科核心素养，以及树立学数学、用数学的观念与信心具有至关重要的作用．故本节课的教学重点是：函数零点的概念、函数零点与方程的解的关系，以及函数零点存在定理．二、学生学情分析本节课的教学对象是刚进入高中的高一学生，在初中，学生已经对一元二次方程的根的三种情况有了深刻的认识，对二次函数的图象也比较熟悉，通过前面章节的学习，学生已经了解了一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法及函数的一些性质（如奇偶性、单调性、最值等）．本节内容是将函数的零点与方程的解的关系进行进一步讨论，通过几个学生熟悉的具体函数，抽象出零点的概念，归纳函数在某区间有零点的条件，从而得出函数零点存在定理．进一步从代数与几何两个角度判断零点的个数．从代数到几何,从几何到代数全方位理解函数的零点与方程的解之间的关系，几何与代数之间的转化对学生认知水平的要求属“最近发展区”，但学生对知识之间的有机联系把握不到位，应用意识不强，其观察、归纳能力还有待进一步提高．故函数零点的存在定理的生成过程对学生来说是一个难点．这种从学生已有的知识出发理解探究新知识的过程既符合学生的认知规律，也是解决数学问题的一般方法．故本节课的难点是：函数零点存在定理的导出，以及理解函数零点存在定理中的两个条件是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，借助函数图像判断函数零点的个数．三、教学目标设置1.根据二次函数零点的定义抽象出一般函数)(x f y =零点的定义．在此过程中培养学生的数学抽象核心素养；2.通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x 轴的交点的横坐标之间的关系的认识，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x 轴交点横坐标、函数零点的等价关系．在此过程中培养学生的逻辑推理能力以及对数形结合思想的应用；3.通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，再结合更多函数图像，通过观察、对比、分析、总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理。
《一次函数与方程，不等式》优秀教案
以博致雅：“八有效”文化课堂讲学案导学有效问题与点拨１．解方程22021２．当自变量为何值时，函数=22021为0？这两个问题之间有什么联系吗？规律：任何一个一元一次方程都可转化为：b=0（、b为常数，≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是=b（、b为常数，≠0）．当函数值为0时，•即b=0就与一元一次方程完全相同．解关于的方程b=0可以转化为：已知函数=b的函数值为0，•求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线=b，确定它与•轴的交点的横坐标．[例]一个物体现在的速度是5m/，其速度每秒增加2m/，再过几秒它的速度为17m/？[解]方法一：设再过秒物体速度为17m/．由题意可知：25=17解之得：=6．方法二：速度（m/）是时间（）的函数，关系式为：=25．当函数值为17时，对应的自变量值可通过解方程25=17得到=6．方法三：由25=17可变形得到：2-12=0．从图象上看，直线=2-12与轴的交点为（6，0）．得=6．导学有效1问题看下面两个问题有什么关系:（1）解不等式5＋6>3＋10．（2）当自变量为何值时函数＝2－4的值大于02思考:由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式a＋b>0”与“求自变量在什么范围内，一次函数=a＋b的值大于0”有什么关系练习．当自变量的取值满足什么条件时，函数＝3＋8的值满足下列条件（1）=0；（2）＝－7；（3）>0；（4）<2．板书设计一次函数与方程，不等式1 一次函数与方程2 一次函数与不等式---------------------- ------------------------------------------ ---------------------展评有效课堂分组学习——口头展示——教师点评——学生纠错。
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专题：定义先行 答案：0
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0, 又∵f（2）=22+（m-1）×2+1, ∴m≤-3/2
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围. ②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
0 2 ( m 1 ) 40 m 1 0 2 , . 3 m 1 2 4 (m 1) 2 1 0 f (2) 0 m 3或m 1 3 3 m 1 , m 1, 2 3 m 2
结论
y=f(x)在(a,b)
内至少有一
个零点
3.零点分布问题 例题3.m为何值时，对于f (x)＝x2＋2mx+3m+4， ①有且仅有一个零点？ ②有两个零点且均比-1大？ 解析(1) f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点 ⇔方程f(x)＝0有两个相等实根 ⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0， 即m2－3m－4＝0， ∴m＝4或m＝－1.
A. c ≤ 3 C. 6＜c ≤9 B. 3＜c ≤6 D. 9＜c
[训练]. 已知函数 f(x)＝|x2＋3x|, x∈R.
若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4个 互异的实数根, 则a的取值范围为____．
2 f ( x ) | 4 x x | a 有4个零 若函数 点，求实数a的取值范围。
3.零点分布问题
(2)方法一：设f(x)的两个零点分别为 x1，x2， 则x1＋x2＝－2m，x1· x2＝3m＋4. Δ＝4m －43m＋4＞0 m －3m－4＞0 由题意，知x1＋1＋x2＋1＞0 ⇔－2m＋2＞0 x1＋1x2＋1＞0 3m＋4－2m＋1＞0 m＞4或m＜－1， ⇔m＜1， m＞－5， ∴－5＜m＜－1，故m的取值范围为(－5，－1)． Δ＞0， m －3m－4＞0， 方法二：由题意，知－m＞－1， 即m＜1， f－1＞0； 1－2m＋3m＋4＞0. ∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
解法三：构造函数法
f ( x) 1 m x x 1 g( x)
2
f(x)有零点
例题 2.函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在区间为 1 A．(－ ，0) 4 1 1 C．( ， ) 4 2 1 B．(0， ) 4 1 3 D．( ， ) 2 4
2.零点存在定理
条件
函数 y=f（x） 在 a, b 上 (1)图像是连续 曲线
(2)f(a)· f(b)<0
由①②可知m≤-1.
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解法二：参数分离法
x 1 1 1 m ( x 0) x g( x ) x x
2
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
2 2 2
[变式].已知 f(x)=(x-m)(x-n)-2 ,且α, β是方
程 f(x) =0 的两根 ,则下列不等式可能 成立的是
A
. B．m＜α＜n＜β D．n＜α＜β＜m
A．β＜m＜n＜α C．α＜m＜β＜n
[变式2]. 已知函数 f(x)＝ x3＋ax2＋bx＋c, 且
C ． 0< f(-1)＝ f(-2)＝ f(-3) ≤ 3 , 则有 ____
函数与方程
[例题1] (1)函数f(x)=x3-x的零点是________; (2)函数f(x)=lgx1 的零点个数是_______. x
.零点概念
零点不是点
1.函数的零点 横轴的交点的横坐标 (1)定义：函数y=f(x)的图像与____________________ 称为这个函数的零点. (2)几个等价关系： f(x)=0有实数根 f(x)的图象与 x轴有交点
小结
探究 3 对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分
布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，韦达定理、对 称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有 条件，这里涉及到三个“ 二次问题”的全面考虑和“数形结合 思想”的灵活运用．
作业选讲
7. f ( x ) ( x 2)ln x x3