重庆市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程B卷

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高考数学(文)一轮复习课件：1-9函数与方程(人教A版)

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■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
思考：上述等价关系在研究函数零点、方程的根及图象交点问题时有什么作用？
思考：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？
提示：不一定．由图(1)、(2)可知．
3．二分法 (1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数零点近似解的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定精确度ε；
观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－ log3|x|有4个零点．
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．
x
－1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4
5
答案：(1，2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断.

新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习8.1函数与方程思想(含答案解析)

第一部分知识复习专题专题八思想方法专题第一讲函数与方程思想一、选择题1. (2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ．当0≤x ＜π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：由题意，f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.故选A. 答案：A2．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为( )A ．{a|1＜a≤2}B ．{a|a ≥2}C ．{a|2≤a ≤3}D ．{2，3}解析：依题意得y ＝a 3x ，当x ∈[a ，2a]时，y ＝a 3x ∈⎣⎡⎦⎤12a 2，a 2 [a ，a 2]，因此有12a 2≥a ，又a ＞1，由此解得a≥2.故选B.答案：B3．对任意a ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是( )A.{}x |1＜x ＜3B.{}x |x ＜1或x ＞3C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＜1或x ＞2解析：由f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0得 a(x －2)＋x 2－4x ＋4>0.令g(a)＝a(x －2)＋x 2－4x ＋4，由不等式f (x)>0恒成立，即g(a)>0在[－1，1]上恒成立．∴有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－（x －2）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）＋x 2－4x ＋4>0. 解得x<1或x>3. 答案：B4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其一交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32B. 3C.72D ．4 解析：如图，令|F 1P|＝r 1，|F 2P|＝r 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ＝4，r 22－r 21＝（2c ）2＝12⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝3 r 2＝72.答案：C5．(2014·大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f (－x)＝－f(x), 又因为f(x ＋2)是偶函数，则f(－x ＋2)＝f(x ＋2)，所以f(8)＝f(6＋2)＝f(－6＋2)＝f(－4)＝－f(4)，而f(4)＝f(2＋2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0，f(8)＝0，同理f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝－f(5)；而f(5)＝(3＋2)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(9)＝1，所以f(8)＋f(9)＝1.故选D.答案：D6．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g(x)＝x 2＋ln(x ＋a)图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B.()－∞，e C.⎝⎛⎭⎫ －1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e解析：由题可得存在x 0∈(－∞，0)满足f(x 0)＝g(－x 0) x 20＋ex 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a) ex 0－ln(－x 0＋a)－12＝0，令h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12，因为函数y ＝e x 和y ＝－ln(－x ＋a)在定义域内都是单调递增的，所以函数h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12在定义域内是单调递增的，又因为x 趋近于－∞时，函数h(x)＜0且h(x)＝0在(－∞，0)上有解(即函数h(x)有零点)，所以h(0)＝e 0－ln(0＋a)－12＞0 ln a ＜ln e a ＜ e.故选B.答案：B二、填空题7．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：令f(x)＝(2－2－|x －2|)2，∵－|x －2|≤0，∴0<2－|x －2|≤1.∴f(x)∈[1，4)．∵方程有实根， ∴1≤2＋a<4，解得－1≤a<2. 答案：[－1，2)8. (2014·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．解析：由4a ＝2得a ＝12，所以lg x ＝12，解得x ＝10.答案：10三、解答题9．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1，a≠0，f(1)＝1且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的表达式．解析：∵f(x)＝2bxax－1，f(1)＝1，∴2ba－1＝1.∴a＝2b＋1.又f(x)＝2x，即2bxax－1＝2x只有一个解，也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解．∴Δ＝[－2(1＋b)]2－4×2a×0＝0，即(1＋b)2＝0.得b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝2xx＋1.10．某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2OA＝4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB，BC上，且一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积．解析：以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝2py，由C(2，4)代入得：p＝1 2，所以曲线段OC的方程为：y＝x2(x∈[0，2])．A(－2，0)，B(－2，4)，设P(x，x2)(x∈[0，2])在OC上，过P作PQ⊥AB于Q，PN ⊥BC于N，故PQ ＝2＋x ，PN ＝4－x 2，则矩形商业楼区的面积 S ＝(2＋x)(4－x 2)(x ∈[0，2])．S ＝－x 3－2x 2＋4x ＋8，令S′＝－3x 2－4x ＋4＝0得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数，所以当x ＝23时，S 取得最大值，此时PQ ＝2＋x ＝83，PN ＝4－x 2＝329，S max ＝83×329＝25627(km 2)．故该矩形商业楼区规划成长为329 km ，宽为83 km 时，用地面积最大为25627km 2.11．进入2007年以来，猪肉价格上涨，养猪所得利润比原来有所增加．某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍养殖生猪，由于地形限制，猪舍的宽x 不少于5米，不多于a 米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米需投入10元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米需投入15元，猪舍外面的四周墙壁每米需投入20元，中间四条隔墙每米需投入10元．问：当猪舍的宽x 定为多少时，该养殖户投入的资金最少？最少是多少元？解析：设该养殖户投入资金为y 元，易知猪舍的长为200x米， ∵y ＝200×10＋200×15＋⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×20＋4x ×10＝80⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋5 000(5≤x≤a)， ∵函数f(x)＝x ＋100x在[5，10]上单调递减，在[10，＋∞)上单调递增， ∴当a≥10时，y min ＝6 600，此时x ＝10；当5≤a ＜10时，y min ＝80⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋5 000，此时x ＝a. ∴若a≥10米，猪舍的宽定为10米，该养殖户投入的资金最少是6 600元；若5≤a ＜10米，猪舍的宽就定为a 米，该养殖户投入的资金最少是[80⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋5 000]元．12．直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A ，B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 2＝1(x≤－1)消去y ，得(k 2－1)x 2＋2kx ＋2＝0.①(联立方程是解决交点问题的一般方法)因为直线m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程①有两个不相等的负实数根．所以⎩⎨⎧Δ＝4k 2＋8（1－k 2）＞0，x 1＋x 2＝2k 1－k 2＜0，x 1·x 2＝－21－k2＞0，解得1＜k ＜ 2.设M(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝k1－k2，y 0＝kx 0＋1＝11－k 2.由P(－2，0)，M ⎝⎛⎭⎫k 1－k 2，11－k 2，Q(0，b)三点共线，得出b ＝2－2k 2＋k ＋2，……(构造出b 和k 的函数关系式)设f(k)＝－2k 2＋k ＋2＝－2⎝⎛⎭⎫k －142＋178，…(使函数更加清晰) 则f(k)在(1，2)上为减函数， ∴f(2)＜f(k)＜f(1)，且f(k)≠0. ∴－(2－2)＜f(k)＜0或0＜f(k)＜1. ∴b ＜－2－2或b ＞2.∴b 的取值范围是(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．13．若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．解析：解法一令2x ＝t(t ＞0)，则原方程可化为 t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*)问题转化为方程(*)在(0，＋∞)上有实数解，求a 的取值范围． ①当方程(*)的根都在(0，＋∞)上时，可得下式 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0⎩⎪⎨⎪⎧a≤2－22或a≥2＋22，a ＜0，a ＞－1，即－1＜a≤2－22，②当方程(*)的根一个在(0，＋∞)上，另一根在(－∞，0]上时，令f(t)＝t 2＋at ＋a ＋1得f(0)≤0，即a≤－1. 由①②知满足条件的a 的取值范围为 (－∞，2－22]．解法二令t ＝2x (t ＞0)，则原方程可化为t 2＋at ＋a ＋1＝0. 变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－（t 2－1）＋21＋t＝－⎣⎡⎦⎤（t －1）＋2t ＋1＝－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1－2≤－(22－2)＝2－2 2.当且仅当t ＝2－1时取等号．所以a 的取值范围是(－∞，2－22)．。

数列的综合应用【十二大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习

数列的综合应用【十二大题型】【题型1 等差、等比数列的交汇问题】................................................................................................................3【题型2 数列中的数学文化问题】........................................................................................................................4【题型3 数列的实际应用问题】............................................................................................................................5【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】....................................................................................................7【题型5 数列中的不等式证明问题】....................................................................................................................8【题型6 子数列问题】............................................................................................................................................9【题型7 数列与函数的交汇问题】......................................................................................................................11【题型8 数列与导数的交汇问题】......................................................................................................................12【题型9 数列与概率统计的交汇问题】..............................................................................................................13【题型10 数列与平面几何的交汇问题】............................................................................................................14【题型11 数列中的结构不良题】........................................................................................................................16【题型12 数列的新定义、新情景问题】............................................................................................................17

2020版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第2讲课后作业理(含解析)

第11章算法复数推理与证明第2讲A 组基础关1．(2018·榆林模拟)已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( ) A ．8－6i B ．8＋6i C ．－8＋6i D ．－8－6i 答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)·i＝8＋6i.2．(2019·青岛模拟)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i2＋3i＝4－7i2－3i13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z ＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限．3．(2018·河南省天一大联考)已知复数z ＝2－3i ，若z 是复数z 的共轭复数，则z ·(z ＋1)＝( )A ．15－3iB ．15＋3iC ．－15＋3iD ．－15－3i答案 A解析依题意，z ·(z ＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i －9i ＋9＝15－3i.4．(2019·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i＝－3i3＝－i.故选C.5．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i2－2i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 A解析因为m ＋(m 2－4)i>0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i. 6．(2018·成都市第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12 D.3 答案 D解析因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.因为y x是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3，所以y x 的最大值为 3.7．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0且a ≠0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.8．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案－2解析 ∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －i2－i 2＋i 2－i ＝2a －1－a ＋2i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.9．(2018·合肥模拟)设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．答案 1解析设z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋c i ，因为z 2＝z 1－i z 1，所以－1＋c i ＝(a ＋b i)－i(a －b i)＝(a －b )＋(b －a )i ，所以⎩⎨⎧a －b ＝－1，b －a ＝c ，所以c ＝1，所以z 2的虚部为1.10．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．答案 (0,1)解析因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2022＝4×505＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．B 组能力关1．(2018·华南师大附中模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i1＋i在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析由题意得e a i＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以⎩⎨⎧cos a ＝0，sin a ≠0，所以sin2a ＝2sin a cos a ＝0，sin2a ＋i 1＋i ＝i 1＋i ＝i 1－i 2＝1＋i 2，其在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在第一象限． 2．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32iC.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.3．(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i答案 A解析由题意得b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ b ＋22＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i.4．已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z ＋|z |在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析令z ＝a ＋b i(a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z ＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－b i ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限．5．已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i(a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋a i|的取值范围是________．答案 [1，5)解析复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋a i|＝1＋a 2∈[1，5)．6．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。

2025高考数学必刷题第12讲、函数与方程(学生版)

第12讲函数与方程知识梳理一、函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有公共点⇔函数()y f x =有零点.三、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0,f c c =也就是方程()0f x =的根.四、二分法对于区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()f x ，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.五、用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤（1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精度ε.（2）求区间(),a b 的中点1x .（3）计算()1f x .若()10,f x =则1x 就是函数()f x 的零点；若()()10f a f x ⋅<，则令1b x =（此时零点()01,x a x ∈）.若()()10f b f x ⋅<，则令1a x =（此时零点()01,x x b ∈）（4）判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则函数零点的近似值为a （或b ）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(x f 在定义域上是单调函数，则)(x f 至多有一个零点.②连续不断的函数)(x f ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(x f 通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(x f 在闭区间][b a ，上有零点，不一定能推出0)()(<b f a f .必考题型全归纳题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数()h x 是奇函数，且()()2f x h x =+，若2x =是函数()y f x =的一个零点，则(2)f -=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知0x 是函数()tan 2f x x =-的一个零点，则0sin 2x 的值为（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log ,log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知()e ln 2x f x x =++，若0x 是方程()()e f x f x -'=的一个解，则0x 可能存在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【解题总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数()22log f x x x m =++在区间()1,2存在零点．则实数m 的取值范围是（）A ．(),5-∞-B ．()5,1--C ．()1,5D ．()5,+∞【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数3()2xf x a x=--的一个零点在区间()1,3内，则实数a 的取值范围是（）A ．()7,+∞B ．(),1-∞-C ．()(),17,-∞-+∞ D ．()1,7-【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数2()21x f x a =-+是R 上的奇函数，若函数(2)y f x m =-的零点在区间()11-，内，则m 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．(11)-，C ．(2,2)-D ．()01，【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数()2ln f x x ax b =++，若()f x 在区间[]2,3上有零点，则ab 的最大值为__________.【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数()sin sin f x ax a x =-在(0,2π)上有零点，则实数a 的取值范围___________.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x ，y满足2y +=，e 5x x +=，则2x y +=________.【对点训练8】（2024·新疆·校联考二模）已知函数()3234f x ax x =+-，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是________．【对点训练9】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数24,0()11,0x x a x f x a x x⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩，若函数()()1g x f x ax =--在R 上恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是________．【对点训练10】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【对点训练11】（2024·天津北辰·统考三模）设R a ∈，对任意实数x ，记(){}2min e 2,e e 24x x x f x a a =--++．若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是________．【对点训练12】（2024·广东·统考模拟预测）已知实数m ，n 满足()202323ln 22020e e ln ln 2e 02m m n n---=--=，则mn =___________.【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2U D ．()2,+∞【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（）A ．0m >且0n >B ．0m <且0n >C ．01m <<且0n =D ．10m -<<且0n =【对点训练14】（2024·四川资阳·高三统考期末）定义在R 上函数()f x ，若函数()1y f x =-关于点()1,0对称，且()()[)21,0,1,e 2,1,,x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩则关于x 的方程()()221f x mf x -=(m R ∈)有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．2B ．4C ．2或4D ．2或4或6【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()211f x 2x x 2x 2⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的图象上存在点P ，函数g （x ）=ax -3的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,0-B ．50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D ．5,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，若()()h x g x kx =-无零点，则实数k 的取值范围是（）A ．21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,)+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2g x a x =-（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【解题总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【对点训练19】（2024·湖北·高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦【对点训练20】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e≥+D ．1m e e≤+【对点训练21】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22xx f x x x a e =--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【对点训练22】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x -=+-+有唯一零点，则=a （）A ．πeB ．4πeC D ．1【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题【例8】（2024·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【对点训练26】（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：零点嵌套问题【例9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x xx e x e x e ---的值为（）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a-【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A ．1a -B ．1a-C ．-1D ．1【对点训练29】（2024·辽宁·校联考二模）已知函数()()()()229ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2312123ln ln ln 333x x x x x x ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎪⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝的值为（）A ．81B ．﹣81C ．﹣9D ．9【对点训练30】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R 上的函数()f x 满足22()9(3)3(3)x x f x x a xe a e =+-+-有三个不同的零点123,,,x x x 且1230,x x x <<<则3122312333x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．81B ．-81C ．9D ．-9【解题总结】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.题型十：等高线问题【例10】（2024·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【对点训练32】（2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【解题总结】数形结合数学思想方法题型十一：二分法【例11】（2024·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数()f x 在0x 附近一点的函数值可用()()()()000f x f x f x x x '≈+-代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程3310x x -+=，选取初始值012x =，在下面四个选项中最佳近似解为（）A ．0.333B ．0.335C ．0.345D ．0.347【对点训练34】（2024·全国·高三专题练习）函数()f x 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：()12f =-()1.50.625f =()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f =()1.40650.052f =-那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A ．1.5B ．1.25C ．1.41D ．1.44【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg1.50.176≈，lg1.6250.211≈，lg1.750.243≈，lg1.8750.273≈，lg1.93750.287≈）A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.9【对点训练37】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【解题总结】所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.。

2012年高考真题理科数学解析汇编：函数与方程

2012年高考理科试题分类解析汇编：函数与方程一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．32 ．（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为（）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+3 ．（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件4 ．（2012年高考（四川理））函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是5 ．（2012年高考（上海春））记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点(1,0),那么函数1()1y f x -=+的图像过点 [答]（）A ．(0,0).B ．(0,2).C ．(1,1).D ．(2,0).6 ．（2012年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =7 ．（2012年高考（山东理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（）A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>8 ．（2012年高考（山东理））函数cos 622x xxy -=-的图像大致为9 ．（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（）A ． 335B ．338C ．1678D ．201210．（2012年高考（辽宁理））设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．811．（2012年高考（江西理））若函数f(x)= 21,1lg ,1x x x x ⎧+≤⎨>⎩,则f(f(10)=（）A ．lg101B ．bC ．1D ．012．（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数（）A ．y=1sin xB ．y=1nxxC ．y=xe xD ．sin xx13．（2012年高考（湖南理））已知两条直线1l :y =m 和2l : y=821m +(m >0),1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A,B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,ba的最小值为（）A ．B ．C ．D ．14．（2012年高考（湖北理））函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．715．（2012年高考（广东理））(函数)下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是（）A ．()ln 2y x =+B．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+16．（2012年高考（福建理））函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x在[1上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是（）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数 [D ．()D x 不是单调函数18．（2012年高考（安徽理））下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是（）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-二、填空题19．（2012年高考（天津理））已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是______________.20．（2012年高考（四川理））记[]x 为不超过实数x 的最大整数,例如,[2]2=,[1.5]1=,[0.3]1-=-.设a 为正整数,数列{}n x 满足1x a =,1[][]()2n nn a x x x n N *++=∈,现有下列命题:①当5a =时,数列{}n x 的前3项依次为5,3,2;②对数列{}n x 都存在正整数k ,当n k ≥时总有n k x x =;③当1n ≥时,1n x ;④对某个正整数k ,若1k k x x +≥,则n x =.其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)21．（2012年高考（上海理））已知2)(x x f y+=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g _______ .22．（2012年高考（上海理））已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .23．（2012年高考（上海春））函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______.24．（2012年高考（上海春））若(2)()()x x m f x x++=为奇函数,则实数m =______.25．（2012年高考（上海春））方程1420xx +-=的解为_______.26．（2012年高考（上海春））函数y =的定义域为_______.27．（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上, 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____. 28．（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.29．（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.30．（2012年高考（北京理））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.三、解答题31．（2012年高考（上海理））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.32．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.定义向量(,)OM a b =的“相伴函数”为()sin cos ;f x a x b x =+函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(,)OM a b =(其中O 为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.S (1)设()3sin()4sin ,2g x x x π=++求证:();g x S ∈(2)已知()cos()2cos ,h x x x α=++且(),h x S ∈求其“相伴向量”的模;(3)已知(,)(0)M a b b≠为圆22:(2)1C x y -+=上一点,向量OM的“相伴函数”()f x在0x x =处取得最大值.当点M 在圆C 上运动时,求0tan2x 的取值范围.33．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?34．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.35．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A 部件6件,或B 部件3件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k(k 为正整数). (1)设生产A 部件的人数为x,分别写出完成A,B,C 三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.2012一、选择题 1. 【答案】B定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1:因为(0)=1+02=1f --,f 且函数()f x 在(0,1)内连续不断,故()f x 在解法2:设1=2x y ,32=2y x -,知B 正确. 2. 【解析】选A函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒= 由图象关于y x =对称得:PQ 最小值为min 2ln 2)d =-3. 【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[1,0]-为减函数,又2为周期,所以()f x 在[3,4]上为减函数.【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性,根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键. 4. [答案]C[解析]采用排除法. 函数(0,1)xy a a a a =->≠恒过(1,0),选项只有C 符合,故选C. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. 5. B6. 解析:奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确. 7. 【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B.另法:32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得b .不妨设12x x <,则223x b ==.所以21()()(2)F x x x x =-,比较系数得1x -=,故1x =120x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案为B. 解析:令bx ax x+=21,则)0(123≠+=x bx ax ,设23)(bx ax x F +=,bx ax x F 23)(2+='令023)(2=+='bx ax x F ,则abx 32-=,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需1)32()32()32(23=-+-=-abb a b a a b F ,整理得23274a b =,于是可取3,2=±=b a 来研究,当3,2==b a 时,13223=+x x ,解得21,121=-=x x ,此时2,121=-=y y ,此时0,02121>+<+y y x x ;当3,2=-=b a 时,13223=+-x x ,解得21,121-==x x ,此时2,121-==y y ,此时0,02121<+>+y y x x .答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b ax x+=21.设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <,结合图形可知,当0>a 时如右图,此时21x x >, 即021>>-x x ,此时021<+x x ,112211y x x y -=->=,即021>+y y ;同理可由图形经过推理可得当0<a 时0,02121<+>+y y x x .答案应选B.8. 【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,令0=y 得06cos =x ,所以ππk x +=26,ππ612kx +=,函数零点有无穷多个,排除C,且y轴右侧第一个零点为)0,12(π,又函数x x y --=22为增函数,当120π<<x 时,022>-=-x x y ,06cos >x ,所以函数0226cos >-=-xx xy ,排除B,选D.9. 【解析】由)()6(x f x f =+,可知函数的周期为6,所以1)3()3(-==-f f ,0)4()2(==-f f ,1)5()1(-==-f f ,0)6()0(==f f ,1)1(=f ,2)2(=f ,所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ,所以33833351335)2()1()2012()2()1(=+=⨯++=+++f f f f f ,选B.10. 【答案】B【解析】因为当[0x ∈时,f (x )=x 3.所以当[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时，(2,f (x )=f (2-x )=(2-x )3,当1[0,]2x ∈时,g (x )=x cos ()x π;当13[,]22x ∈时,g (x )= -x cos ()x π,注意到函数f (x )、g (x )都是偶函数,且f (0)= g (0), f (1)= g (1),13()()022g g ==,作出函数f (x )、 g (x )的大致图象,函数h (x )除了0、1这两个零点之外,分别在区间1113[,0][][][1]2222-、0,、,1、,上各有一个零点,共有6个零点,故选B【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. 11. B 【解析】本题考查分段函数的求值.因为101>,所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式.12. D 【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域.函数y =的定义域为()(),00,-∞+∞ ,而答案中只有s i n x y x =的定义域为()(),00,-∞+∞ .故选D.【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 13. 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=821m +(m>0),2log y x =图像如下图,由2log x = m,得122,2m mx x -==,2log x = 821m +,得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++,min ()b a ∴=.【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=821m +(m>0),2log y x =图像,结合图像可解得.14.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.解析:0)(=x f ,则0=x 或0cos 2=x ,Z k k x ∈+=,22ππ,又[]4,0∈x ,4,3,2,1,0=k所以共有6个解.选C.15.解析:A.()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数. 16. 【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误【考点定位】此题主要考查函数的概念、图像、性质,考查分析能力、推理能力、数形结合思想,转化化归思想. 17. 【答案】C【解析】A,B.D 均正确,C 错误.【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键.821m =+xm18. 【解析】选C()f x kx =与()f x k x =均满足:(2)2()f x f x =得:,,A B D 满足条件二、填空题19. 【答案】(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -(1,2)A -,(1,0)C -,(1,2)D ,∴0+2==210BC k ---,2+2==410BD k -,解法二:【解析】函数时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x 时,综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象(蓝线),要使函数y 与2-=kx y 有两个不同的交点,则直线2-=kx y 必须在四边形区域ABCD 内(和直线1+=x y 平行的直线除外,如图,则此时当直线经过)2,1(B ,401)2(2=---=k ,综上实数的取值范围是40<<k 且1≠k ,即10<<k 或41<<k .20. [答案]①③④[解析]若5a =,根据1[][]()2n nn a x x x n N *++=∈当n=1时,x 2=[215+]=3, 同理x 3=2]213[=+, 故①对. 对于②③④可以采用特殊值列举法:当a=1时,x 1=1, x 2=1, x 3=1, x n =1, 此时②③④均对. 当a=2时,x 1=2, x 2=1, x 3=1, x n =1, 此时②③④均对当a=3时,x 1=3, x 2=2, x 3=1, x 4=2x n =1, 此时③④均对综上,真命题有 ①③④ .[点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法.21. [解析]2)(x x f y +=是奇函数,则4]1)1([)1()1(22-=+-=-+-f f ,所以3)1(-=-f ，(1)1g -=-。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2，结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误；对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞，所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =，即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________．【答案】1，1-（答案不唯一）【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立；当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一）【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数，当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =，当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=，所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+，故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+．由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩，若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求．综上，②③符合题意，故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<，综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+；当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-；要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥；且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)，又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项，令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =，要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =，又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1，当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误；显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<，综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 10 幂函数与二次函数

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结10 幂函数与二次函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解幂函数的概念2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c 答案 D解析因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .2．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f (0)＝－4，则f (x )( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3 D ．有最大值－3 答案 D解析由a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，得⎩⎨⎧c ＝－4，b 2＝ac .显然a <0，故f (x )有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c4＝－3.故选D.3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋m ，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m 答案 C解析由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (1)＝m －1.故选C.4.幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<1<mC ．－1<m <0<1<nD ．－1<n <0<m <1 答案 D解析在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0，1)内作直线x ＝x 0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域都是[1，b ]，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，它在[1，b ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （b ）＝b 2－2b ＋2＝b ，b >1，解得b ＝2.故选C.6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上单调递增，则实数k 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案 A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的图象的对称轴为直线x ＝2k ，当k >0时，要使y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时二次函数图象的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上递减，不符合要求．综上可得，实数k 的取值范围是[2，＋∞).7．已知幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (x )的图象关于y 轴对称，则f (－2)的值为( )A ．16B ．8C ．－16D ．－8 答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，又幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3是偶数，且－m 2＋2m ＋3>0，∵m ∈Z ，∴m ＝1，∴幂函数f (x )＝x 4，f (－2)＝16.故选A.8．已知二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 通过点(α，0)，(β，0).若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14 D ．不能确定，与n 的具体取值有关答案 B解析由二次函数通过点(α，0)，(β，0)，有恒等式f (x )＝(x －α)(x －β) ①.取x ＝n ，n ＋1(n <α<β<n ＋1)代入①，有f (n )＝(n －α)(n －β)>0，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)>0.两式相乘得0<f (n )f (n ＋1)＝(n －α)(n －β)·(n ＋1－α)(n ＋1－β)＝(α－n )(n ＋1－α)(β－n )(n ＋1－β)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－n ）＋（n ＋1－α）22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（β－n ）＋（n ＋1－β）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142，当且仅当⎩⎨⎧α－n ＝n ＋1－α，β－n ＝n ＋1－β，即⎩⎪⎨⎪⎧α＝2n ＋12，β＝2n ＋12时取等号，又α≠β，∴0＜f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142.令min{f (n )，f (n ＋1)}＝k ，则0＜k ≤f (n )，0＜k ≤f (n ＋1)，∴k 2≤f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即k ＜14.从而，min{f (n )，f (n ＋1)}<14.故选B.9．(多选)已知幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，则下列结论正确的有( )A ．f (－32)＝116 B ．f (x )的定义域是RC ．f (x )是偶函数D ．不等式f (x －1)≥f (2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 答案 ACD解析由幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，∴m ＋95＝1，∴m ＝－45，∴f (x )＝x－45，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B 错误；f (－32)＝(－32)－45＝116，故A 正确；f (x )＝x －45＝15x 4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝15（－x ）4＝15x 4＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故C 正确；∵f (x )＝x－45，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f (x －1)≥f (2)等价于f (|x －1|)≥f (2)，∴⎩⎨⎧x －1≠0，|x －1|≤2，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤3，故D 正确．故选ACD.10．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小值为－4B ．函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增C ．函数f (|x |)为偶函数D ．若方程f (|x －1|)＝a 在R 上有4个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4答案 ACD解析二次函数f (x )在对称轴x ＝1处取得最小值，且最小值f (1)＝－4，故A 正确；二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B 错误；f (|x |)＝|x |2－2|x |－3，显然f (|x |)为偶函数，故C 正确；令h (x )＝f (|x －1|)＝|x －1|2－2|x －1|－3，方程f (|x －1|)＝a 的零点转化为y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 的交点，作出h (x )的图象如图所示，图象关于x ＝1对称，当y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点时，两两分别关于x ＝1对称，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4，故D 正确．故选ACD.11．已知幂函数f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且满足f (a 2＋1)＋f (－5)>0，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2，2)解析设幂函数y ＝f (x )＝x α，其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫8，12，所以8α＝12，即23α＝2－1，解得α＝－13，所以f (x )＝x －13.因为f (－x )＝(－x )－13＝－f (x )，所以f (x )＝x－13为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以f (a 2＋1)＋f (－5)>0可化为f (a 2＋1)>－f (－5)＝f (5)，可得a 2＋1<5，解得－2<a <2，所以实数a 的取值范围为(－2，2).12．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝______．答案 x 2－4x ＋3解析因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又因为y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3，所以二次函数f (x )的图象与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f (x )＝a (x －1)(x －3).又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.二、高考小题13．(2022·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x答案 A解析 y ＝x 12＝x ，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝x 12在(0，＋∞)上单调递增．故选A.14．(2022·全国Ⅱ卷)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83答案 B解析 ∵当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)，∴当x ∈(0，1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0；∵f (x＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0；当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1，0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，0；…；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0；当x ∈(2，3]时，x －1∈(1，2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1，0]；….f (x )的图象如图所示．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，设f (m )＝－89，则4(m －2)(m －3)＝－89，∴m ＝73或m ＝83.结合图象可知，当m ≤73时，符合题意．故选B.15．(2022·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.16．(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以425<423，即b <a ，所以b <a <c .故选A.17．(2022·上海高考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．答案－1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.三、模拟小题18．(2022·四川省宜宾市第四中学模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2 答案 D解析函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝f(5－12)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 答案C解析由2f(2)＝f(16)可得2·2α＝24α，∴1＋α＝4α，∴α＝13，即f(x)＝x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增．而由换底公式可得log42＝log22log24＝12，ln 2＝log22log2e，5－12＝15，∵1<log2e<2，∴log22log24<log22log2e，于是log42<ln 2，又15<12，∴5－12<log42，故a，b，c的大小关系是b>a>c.故选C.20．(2022·北京交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是()A．f(－1) B．f(1)C．f(2) D．f(5)答案 B解析∵对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝2，当a>0时，自变量取值离对称轴距离越近，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个是f(2).当a<0时，自变量取值离对称轴距离越远，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).故选B.21．(2022·湖北荆州质量检查)若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．(－∞，0] D．[0，＋∞)答案 B解析因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].故选B.22．(多选)(2022·河北省邢台市质量检测)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是()A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称D．方程f(x)＝0最多有两个实根答案ABC解析由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x·|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－c，B正确；∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0，0)对称，∴f (x )＝x |x |＋bx ＋c 的图象关于点(0，c )对称，C 正确；f (x )的图象可能如图，方程f (x )＝0有三个实根，D 不正确．故选ABC.23．(多选)(2022·江苏扬州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列结论成立的是( )A ．f (x )在R 上为偶函数B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x )有最小值－1D ．f (x 1)－f (x 2)<0 答案 ACD解析函数f (x )的图象如图中实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而f (x )是偶函数，有最小值－1，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.故选ACD.24．(2022·湖南岳阳模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a .若a ＝0，则f (x )的最大值为________；若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 0 (－∞，0)解析若a ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0，当x ≤0时，f (x )＝x 3，此时函数为增函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x ，此时函数为减函数，故当x ＝0时，f (x )的最大值为f (0)＝0.当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图1所示，由图可知存在最大值；图1 图2当a ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图2所示，由图可知此时不存在最大值；已证当a ＝0时，函数f (x )有最大值．综上所述，若f (x )无最大值，则a ＜0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·四川绵阳高三阶段测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2. 则F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. 故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0].2．(2022·广东汕头质检)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要条件，求实数k 的取值范围．解 (1)依题意得，(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，即B ＝[2－k ，4－k )，由于p 是q 的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围为[0，1].3．(2022·辽宁大连模拟)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值. 解 (1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0，得a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞，1]. (2)f (x )＝(x －2)2＋a －1.当|a －2|≥|a ＋1－2|，即a ≤32时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3，解得a ＝0或a ＝3(舍去)；当|a －2|<|a ＋1－2|，即a >32时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3，解得a ＝1＋132或a ＝1－132(舍去).综上，a ＝0或a ＝1＋132.4．(2022·甘肃甘谷第一中学第一次检测)已知函数g (x )＝x 2－(m －1)x ＋m －7. (1)若函数g (x )在[2，4]上具有单调性，求实数m 的取值范围；(2)若在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方，求实数m 的取值范围．解 (1)g (x )图象的对称轴为直线x ＝m －12，因为函数g (x )在[2，4]上具有单调性，所以有m －12≤2或m －12≥4，所以实数m 的取值范围为(－∞，5]∪[9，＋∞). (2)因为在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方，则x 2－(m －1)x ＋m －7>2x －9在[－1，1]上恒成立，即x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2>0在[－1，1]上恒成立，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2，x ∈[－1，1]，则f (x )min >0，当m ＋12≤－1，即m ≤－3时，f (x )min ＝f (－1)＝2m ＋4>0，解得m >－2，无解；当－1<m ＋12<1，即－3<m <1时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12＝－m 24＋12m ＋74>0，此时1－22<m <1；当m ＋12≥1，即m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝2>0，此时m ≥1. 综上，实数m 的取值范围为(1－22，＋∞).。

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重庆市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：
x00.50.531250.56250.6250.751
f（x）﹣1.307﹣0.084﹣0.0090.0660.2150.512 1.099
由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（）
A . 0.625
B . ﹣0.009
C . 0.5625
D . 0.066
2. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）．
A .
B .
C .
D .
3. （2分）函数的零点所在的区间是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2018高二下·辽源月考) 若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有实根，则实数m的取值范围是（）
A . [－2,2]
B . [0,2]
C . [－2,0]
D . (－∞，－2)∪(2，＋∞)
5. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）
A . 14
B . 7
C . 18
D . 13
6. （2分）设,用二分法求方程在内近似解的过程中得
则方程的根落在区间（）
A . (1,1.25)
B . (1.25,1.5)
C . (1.5,2)
D . 不能确定
7. （2分）关于用二分法求近似解的精确度的说法，正确的是（）
A . 越大，零点的精确度越高
B . 越大，零点的精确度越低
C . 重复计算次数就是
D . 重复计算次数与无关
8. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 设函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则函数f（x）（）
A . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点
B . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点
C . 在区间（0，3），（3，+∞）均无零点
D . 在区间（0，3），（3，+∞）均有零点
9. （2分） (2015高三上·潍坊期中) 函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（）
A . （0，）
B . （，）
C . （，）
D . （，1）
10. （2分） (2019高二下·雅安期末) 函数的一个零点所在的区间是（）
A . (0,1)
B . (1,2)
C . (2,3)
D . (3,4)
11. （2分）函数的零点个数为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
12. （2分） (2016高一上·临川期中) 已知3m=5n=k且，则k的值为（）
A . 5
B .
C .
D . 225
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2017·山南模拟) 函数f（x）= ，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
14. （1分） (2017高一上·温州期中) 函数的零点个数是________；其所有零点之和为________．
15. （1分）某同学求“方程x3=﹣x+1的根x0所在区间D”时，设函数f（x）=x3+x﹣1，算得f（﹣1）＜0，f（1）＞0；在以下的过程中，他用“二分法”又取3个值，分别是x1 ， x2 ， x3 ，就能确定区间D，则区间D 是________
16. （1分）用二分法求函数y=f（x）在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f（2）•f（4）＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0∈________（填区间）
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （5分）已知函数
（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）=0（x∈[0，2]）的实数解x0在哪个较小的区间内．
18. （5分）研究函数的单调性，并求解方程：3x+4x+5x=6x ．
19. （10分） (2017高一上·上海期中) 设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+ ，求证：（1）介于a1与a2之间；
（2） a2比a1更接近于．
20. （10分）已知函数f（θ）=﹣sin2θ﹣4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ
（1）对任意的θ∈[0，），若f（θ）≥g（θ）恒成立，求m取值范围．
（2）对θ∈[﹣π，π]，f（θ）=g（θ）有唯一实根，求m的取值范围．
21. （10分） (2016高三上·常州期中) 设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．
22. （15分） (2019高三上·大庆期中) 设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点 , ,求满足条件的最小正整数a的值．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、20-2、21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
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