2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含详细答案
2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含详细答案
一、二次函数
1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=94；②P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）将A，B，C代入函数解析式，
得09303abcabcc，解得123abc，
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y=kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
303kbb，解得13kb，
BC的解析式为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣32）2+94，
当n=32时，PM最大=94；
②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，
n2﹣2n﹣3=-3，
P（2，-3）；
当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，
n2﹣2n﹣3=2-42，
P（3-2，2-42）；
综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
2．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
【答案】（1）21248355yxx，顶点D（2，635）；（2）C（410，0）或（5222，0）或（9710，0）；（3）752 【解析】
【分析】
（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；
（3）由S△PAB12•PH•xB，即可求解．
【详解】
（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a125，b485，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y125x2485x﹣3．
当x=2时，y635，即顶点D的坐标为（2，635）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：
①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；
②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222，即：点C坐标为（5222，0）或（5﹣222，0）；
③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．
综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222，0）或（9710，0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125，故函数的表达式为：y125x﹣3，设点P坐标为（m，125m2485m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12•PH•xB52（125m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．
答：△PAB的面积最大值为752．
【点睛】
本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标； （3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133yxxyx＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得03pqq，解得33pq，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，
解方程组223133yxxyx＝＝，解得03xy或73209xy，则此时P点坐标为（73，209）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，
∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，
解方程组2231133yxxyx＝＝，解得10xy或103139xy，则此时P点坐标为（103，﹣139）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2yaxbxc交x轴于点4,0A、2,0B，交y轴于点0,6C，在y轴上有一点0,2E，连接AE.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）二次函数的解析式为233642yxx；（2）当23x时，ADE的面积取得最大值503；（3）P点的坐标为1,1，1,11，1,219.
【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴16404206abcabcc，
解得：34326abc，
所以二次函数的解析式为：y=233642xx；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，
中考数学复习之二次函数常考66种题型专题8 二次函数与最值的六种考法(含答案及解析)
1 专题8 二次函数与最值的六种考法-重难点题型
【知识点1 定轴定区间】 对于二次函数2(0)yaxbxca在mxn≤≤上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，maxy表示y的最大值，miny表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在2bxa时，取到最小值，无最大值．
（2）若2bna，如图①，当xm，maxyy；当xn，minyy．
（3）若2bma，如图①，当，xmminyy；当xn，maxyy．
（4）若2bmna≤≤，22bbnmaa，如图①，当2bxa，minyy；当xn，maxyy．
【知识点2 动轴或动区间】
对于二次函数2(0)yaxbxca，在mxn（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与2ba的大小．
【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】
【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4 x=-b2ax=-b2ax=-b2ax=-b2a④③②①
2 【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝ ．
【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．
【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．
【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】
【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
北京中考真题模考真题二次函数对称性增减性综合大题
二次函数（对称性、增减性）
一、 对称性、增减性
1、（2021.北京26题）在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线20yaxbxa上.
(1)若m=3，n=15，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点123()()()124yyy，，，，，在该抛物线上，若mn<0，比较123yyy，，，的大小，并说明理由
【答案】（1）1x;（2）213yyy
解析：二次函数综合，考察点和对称轴的位置判断函数值的大小.
①当m<0,n>0时，由二次函数恒过（0，0）点知此时抛物线开口向下，a<0,与a>0矛盾；
②当m>0,n<0时，对称轴为13,22x故351357(1),2,4.222222xxx
∴214xxx
∵0a
∴213yyy
2、（2020.北京26题）在平面直角坐标系xOy中，11,Mxy，22,Nxy为抛物线20yaxbxca上任意两点，其中12xx．
（1）若抛物线的对称轴为=1x，当1x，2x为何值时，12yyc；
（2）设抛物线的对称轴为=xt．若对于123xx．都有12yy，求t的取值范围．
【解析】：(1)当12yyc时
令yc时，代入20yaxbxca
20caxbxca
0xaxb
120,bxxa
1,22bxbaa又对称轴即
222axa
(2)作点M关于xt的对称点,M设点M31,xy
132xxt
1212,3yyxx
1232,2xxttt即23,
注：此时，是可以取等值的，一定要特别注意。
3、（2017.北京27）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
备考2021年中考数学复习专题：函数_二次函数_二次函数与不等式(组)的综合应用,综合题专训及答案
备考2021
年中考数学复习专题：函数_
二次函数_
二次函数与不等式（组）的综
合应用，综合题专训及答案
备考2021
中考数学复习专题：函数_
二次函数_
二次函数与不等式（组）的综合应用，综合题专训
1
、
(2018
长春.
中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O
，AD
⊥y
轴于点E
（点A
在点D
的左侧），经过E
、D
两点的函数y=
﹣ x+mx+1
（x≥0
）的图象记为G ，
函数y=
﹣ x
﹣mx
﹣1
（x
＜0
）的图象记为G
，
其中m
是常数，图象G
、G
合起来得到的图象记为G
．设矩形ABCD
的周长为L
．
（1
）
当点A
的横坐标为﹣1时，求m
的值；
（2
）
求L
与m
之间的函数关系式；
（3
）
当G
与矩形ABCD
恰好有两个公共点时，求L
的值；
（4
）
设G
在﹣4≤x≤2
上最高点的纵坐标为y
，当 ≤y≤9
时，直接写出L
的取值范围．
2
、
(2016
西城.
中考模拟)
在平面直角坐标系xOy
中，抛物线C1
：y=ax
﹣4ax
﹣4
的顶点在x
轴上，直线l
：y=
﹣x+5
与x
轴交
于点A
．
（1
）
求抛物线C
：y=ax
﹣4ax
﹣4
的表达式及其顶点坐标；
（2
）
点B
是线段OA
上的一个动点，且点B
的坐标为（t
，0
）．过点B
作直线BD
⊥x
轴交直线l
于点D
，交抛物线C
：y=ax
﹣
4ax
﹣4+t
于点E
．设点D
的纵坐标为m
，设点E
的纵坐标为n
，求证：m≥n；
（3
）
在第（2
）问的条件下，若抛物线C
：y=ax
﹣4ax
﹣4+t
与线段BD
有公共点，结合函数的图象，求t
的取值范围．
3
、
(2019
江北.
中考模拟)
如图，二次函数图像的顶点为(-1,1)
，且与反比例函数的图象交于点A(-3
，-3)
．
（1
）
求二次函数与反比例函数的解析式；
（2
）
判断原点(0
，0)
是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（3
）
根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时，自变量x
的取值范围．
4
、
(2019
绍兴.
中考模拟)
已知二次函数y=x
﹣6x+8
．
（1
）
将y=x
二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
1 / 11 二次函数的推理计算与证明综合问题（真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢
据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等 ）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：
1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式．
(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．
(可以看成的图象平移后所对应的函数．)
(3)交点式：已知图象与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：
（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)．
3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：
【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 2yaxbxc2yaxhk2yax12yaxxxx12bxxa12cxxa 2 / 11 【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(1,𝑚)和点(3,𝑛)在抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎>0)上．
（1）若𝑚=3,𝑛=15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点(−1,𝑦1),(2,𝑦2),(4,𝑦3)在该抛物线上．若𝑚𝑛<0，比较𝑦1,𝑦2,𝑦3的大小，并说明理由．
【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(1,𝑚),(3,𝑛)在抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)上，设抛物线的对称轴为𝑥=𝑡.
(1)当𝑐=2,𝑚=𝑛时，求抛物线与y轴交点的坐标及𝑡的值；
专题10 二次函数的实际应用问题(4大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(解析版)
第三部分 函数
专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点） 核心考点一 销售、利润问题
核心考点二 图形面积问题
核心考点三 抛物线型问题（拱桥、隧道等）核心考点
核心考点四 其他问题新题速递
核心考点一 销售、利润问题
例1 （2021·辽宁沈阳·统考中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，
其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．【答案】11
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，
利用二次函数的性质解答．
例2 （2022·山东聊城·统考中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8
元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当
时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为
______________元（利润=总销售额-总成本）．【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二
次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关
系及二次函数的性质是解题关键．
例3 （2021·江苏扬州·中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
1重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题
目录
题型01利用二次函数解决单线段的最值问题
题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题
题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题
题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题
题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题
题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题
题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题
类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题
类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题
类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题
题型08利用二次函数解决定值问题
题型01利用二次函数解决单线段的最值问题
【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：
1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性
质求解．求最值时应注意：
①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确
定正确．
1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于
点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．
2(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图，点P为线段BC上的一个动点(点P不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，
求线段PQ长度的最大值．
(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长
度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3，(-3，0)
(2)9
4
(3)-3,-3
2或(-2，1)或0,3-32
【分析】(1)将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y=0时，求出方程的
2020-2021中考数学压轴题专题一元二次方程组的经典综合题附详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题一元二次方程组的经典综合题附详细答案
一、一元二次方程
1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；
（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．
试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2=14.4，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
2021中考数学一轮复习：二次函数的图象及其性质 考点突破练习题(含答案)
第 1 页 共 11 页 2021中考数学一轮复习：二次函数的图象及其性质 考点突破练习题
一、选择题
1. 若二次函数y＝2x2的图象经过点P(1，a)，则a的值为( )
A.12 B．1 C．2
D．4
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：
x … －3 －2 －1 0
1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则该函数图象的对称轴是( )
A. 直线x＝－3 B. 直线x＝－2
C. 直线x＝－1 D. 直线x＝0
3. 2019·雅安 在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是( )
A．y的最小值为1
B．图象的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
4. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )
A．y＝－x－122＋3 B．y＝3x－122＋1
C．y＝－8x－122＋3 D．y＝－8x＋122＋3
第 2 页 共 11 页
5. （2020·襄阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1-1Oyx
6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
2021年中考数学二次函数压轴题专练2
压轴题综合练：《二次函数》
1．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
2．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．
3．（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天 1 2 3 4 5
销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6
销量q（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
二次函数备战2023年中考数学考点微专题
考向3.8 二次函数-最值问题
例1、（2021·内蒙古·中考真题）已知抛物线223yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点(4,)Dy在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当BEDE的值最小时，ACE的面积为__________．
解：根据题意可求出(1,0),(3,0),(0,3)(4,5)ABCD，，
抛物线223yxx的对称轴为：12bxa，
根据函数对称关系，点B关于1x的对称点为点A，
连接AD与1x交于点E，
此时BEDE的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵EGDF∥，
∴AEGADF∽，
∴255AGEGEGAFDF，
∴2EG，
过点C作1x的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于AGE与梯形ACHG的面积和，
即111322+(21)3222，
则ACESS四边形ACHE-13115422ECHS，
故答案为：4．
1、二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值；
2、本题属于通过几何性质求最值，关键能画出图形，通过对称性解决问题；
3、本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
例2、（2021·安徽·中考真题）设抛物线2(1)yxaxa，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点(1,)m，则m______；
（2）将抛物线2(1)yxaxa向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
解：（1）将(1,)m代入2(1)yxaxa得：
110maa
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：2(1)+2yxaxa