初中数学练习、作业分层设计的研究
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初中数学练习、作业分层设计的研究
作者：马效援
来源：《魅力中国》2018年第18期
摘要：作业是教学工作中的一个重要组成部分，是衡量教师教学效果的有效手段，是学生巩固知识，提高能力，收获成功的平台，作业设计的质量直接影响数学教学效果。如何提高课堂教学效益，让学生掌握更多的知识和技能，提高学习能力，做好课堂作业设计是一个高效手段。
关键词：初中数学； 课堂作业； 分层设计
一、作业分层设计的背景
（一）教材的习题量减少与学生能力提高的矛盾。对普通中学的大部分学生而言，有些章节的习题层次不分明，难度仍然较大。以“因式分解中平方差公式”这个知识点为例，从教材中的例题、课后练习、章节练习、章节复习四个板块中涉及到用平方差公式因式分解的只有15个小题，并且与提公因式、完全平方差公式、分组分解混合在一起，条理不清、层次不分明。而“平方差公式”因式分解方法在以后的勾股定理、分式计算、解一元二次方程等等以及高中学习中起到重要作用，这就需要教师充分分析教材、分析知识点，在进行作业分层设计，补充适量的习题。
（二）机械的作业形成学生新的“包袱”。在现实的教学中，教师为了让学生能巩固所学的知识，往往每天布置一些课堂作业和课后作业，若教师不精选设计作业，就会导致优秀学生做一些重复性、机械无效的作业，造成时间浪费，无法去完成一些综合性、探索性及培养学生思维能力的作业，就更没有时间去完成自己感兴趣的事情。而中等生等则因掌握知识的能力和其他因素，不能按时按量完成，从而造成学生都感觉作业量过大。作业似乎已经成了学生的“包袱”。
（三）课后作业的效果差。对普通中学学生而言，数学作业的效果特别是课后作业、周末作业的效果很差，学生往往是应付了事，课后抄袭作业现象十分严重；根本起不到作业应发挥的“巩固知识，提高能力，收获成功”的作用。
二、分层作业设计应遵循的原则
（一）科学性原则。作业的内容要符合学生的身心发展规律，符合学生掌握学科知识、发展学科能力的规律，作业的编制甚至排列都要符合学生的认知特点。
（二）差异性原则。学生的差异是客观存在的，我们在设计作业时，应根据学生身心发展和课程学习的特点，尊重学生的个体差异和不同的学习需求，给每一个学生提供思考、创造、表现和成功的机会，针对学生的个体差异，设计层次性的作业，最大限度地调动全体学生的做龙源期刊网
作业的积极性。应把知识点和能力目标层层展现，在练习中让学生掌握科学灵活的方法、新颖的解题思路，体验知识到能力质变过程和收获成功的喜悦，从而排除学生的心理障碍与畏难情绪，最大限度地发挥学生的聪明才智与创造能力。
（三）多样性原则。目前教材中的题型几乎被计算题、应用题、证明题所垄断，课堂教学中注意使用客观性题型，如选择题、是非题、改错题、匹配题等，让学生有耳目一新的感觉。题型设计要坚持一题多变、多题归一，让学生由被动的学习者转变为学习的探究者，让课堂成为展示学生才华的舞台。
（四）趣味性原则。“兴趣是最好的老师”，良好的学习兴趣是学习活动的自觉动力。因此，多选择、编辑一些有趣味性的数学题目，能够很好的调动学生学习数学的积极性，为学生学好数学提供良好的前提。
三、作业分层设计的策略
（一）学生的分层。在初中数学课堂分层教学法的实践中，对学生进行合理分层是前提，教师必须尊重这种差异、正视这种差异并利用这种差异。新生的分层以学生入学成绩为主要依据，其他学生主要应根据学生上一学期的具体学习情况和单元、其中、期末考试成绩，同时，分层时特别要重视对学生作全面调查分析，综合考察学生的学习态度、意志品质、智力能力和课堂表现等。通过对学生的了解，将全班学生分为若干层，一般分为三层比较适中，即第一层是优生，第二层是中等学生，第三层是学困生，各个层次的学生数视情况而定，不宜按一个比较固定的数目来安排各个层次的学生数。分组做好思想教育工作，消除思想顾虑，让学生理解教师的爱心，希望每一位学生都能成功，都有所进步，分层是暂时的，在一定周期内（一般以一个月为周期）。
（二）教学目标的分层。要根据新课程标准要求和学生的实际差异科学地制定初中数学教学分层内容和分层目标，其要求是：教学目标层次明确，并且与学生的层次性相一致；优生层学生应熟练掌握基础知识和基本技能，深刻理解知识点，侧重于能力的迁移及创造性学习，培养其创造思维能力，拓宽其知识的深度和广度，培养其灵活和综合运用数学知识解决问题的能力，并形成对数学的浓厚兴趣。中层学生应侧重一定的综合性和提高性，能够比较灵活运用知识，培养创造能力；学困生层的最低目标不能低于教学大纲的最低要求，既基础知识的传授和基本技能的培养，重在形成其学习的良好习惯和基本能力。
（三）教学内容的分层。一是创设分层的问题情境：以“问题情境——建立模型——解释、應用、拓展”的基本模式展开的，在课堂上教师要对不同层次的学生设置不同的问题，让学生带着各自的问题去学习。二是挖掘现实生活中蕴涵的数学信息。通过这样有趣的实际问题，把学生书本上的知识与学生熟视无睹的生活有机地结合起来，让学生感觉到生活中处处有数学。 龙源期刊网
总之，作业分层设计，是课程改革与创新的潮流，也是适合不同学生得到不同发展的一种模式，可以最大限度地让学生在适合自己的作业中取得成功，获得轻松、愉快、满足的心理体验，同时提高教师课堂教学效益。
本文为平凉市教育科学规划课题（课题立项号：【2016】PLZ037）初中数学练习、作业分层设计的研究成果。
初中数学作业分层设计有效性策略研究
初中数学作业分层设计有效性策略研究
摘要：分层作业设计对学生的课后练习效果的提升作用无疑是非常显著的，强化对作业的有效管理模式，能够带给不同学生相对公平的学习机会，帮助学生迎难而上，也能帮助优等生实现学习拓展延伸。总之，分层教育对学生是十分有利的，学生可以通过教师对自己的教育获取更加符合自身学习情况的教学活动，不必再依靠课后辅导班或者学习班，对充足数学的教学水平和教学成绩都是一种肯定。
关键词：初中数学；分层作业；有效性；设计策略
引言
数学是基础教育体系中的核心学科，同时也是培养学生核心素养的应用学科。由于每个学生的基础不同，学习情况也会不同，导致了数学教育很难有效开展，传统的作业布置模式已经不适应现在大部分学生的情况，很容易教学水平整体下降。而在新课标改革之后，运用分层理念布置初中数学作业，对学生是非常有益的，因此，教师们要适当分层开展课堂教学，让作业分层，因材施教，进而使得不同情况的学生都能够有所收获，在成绩上有所提升。
1针对学生特征实施分层作业设计
形式化的作业布置模式已经被淘汰，在新课标中强调以学生为主，让学生成为学习的主人，让学生自行去学习，感悟学习的美好。但是很多学生觉得一个人学习没有意思，如果教师单单对某一个学生进行分层，学生也会产生不一样的心理认为教师是在区别对待，因此，教师可以加大对这类群体的分层和管理，让学生认识到这是一个集体性的学习过程。在初中数学课堂教学中，教师要激发学生的合作意识，促使学生在互相合作交流中对知识进行讨论与学习，增加学生对知识的深刻程度，也能提高学生的学习能力。在家庭作业布置的过程中，教师也应该遵循互动性原则，让学生之间可以在课后也延续课堂上的合作学习的方法，学生在作业完成的过程中遇到问题也可以共同探索，学生的自主学习能力得以提高，作业完成效率和质量都得以保障。对于自己相似的学生，可以互相帮助，对教师布置的任务也同样可以在互相帮助中消化、理解及学习。
浅谈初中数学作业的分层设计策略
浅谈初中数学作业的分层设计策略
浅谈初中数学作业的分层设计策略「篇一」
初中数学作业分层设计的阶段总结
作业是教学工作中的一个重要环节，是衡量教师教学效果的有效手段，是学生巩固知识、提高能力、收获成功的平台，作业的重要性不言而喻.当前，初中数学教师布置作业的形式与要求及学生完成数学作业的现状令人堪忧，设计好作业，对强化教学效果，进一步提高教学质量和促进教学改革具有重要意义.一、目前初中学生数学作业的现状
1.作业量过大
在现实的教学中，作业成了学生的“包袱”，成了负担.不管是在发达文明的城市，还是在偏僻落后的乡村，不管是在中学还是小学，学生都不同程度地存在着过重的作业负担，大大超出国家教育部提出的每天学习时间量的规定.学生作业量过重的问题已成了教育界挥之不去的阴影.2.没有考虑学生的个别差异
作业整齐划一，使得一些优秀学生吃不饱，缺少兴趣，而一些学习困难的学生则难以按时完成，整日为作业而作业，疲于奔命，有时就干脆应付一下，照抄别人的作业了事.3.形式单调，缺乏个性
作业形式单
一、陈旧，内容枯燥，脱离了学生的实际生活，大多数是课本习题的重复，致使学生对数学越来越不感兴趣.教师对如何开发与利用数学作业、促进学生主动探究、培养学生正确的数学观念和创造才能等方面的研究还不够深入.二、根据以上调查分析的现状，我在作业设计方面做了以下几个方面的探究和实践
（一）改变单一的作业设计方式为多样化的设计方式
1.实施分层作业和自选作业 现代学习方式要尊重学生的差异，要尊重每一个学生的独特个性和具体生活，为每个学生富有个性的发展创造空间.俗话说“十个手指有长有短”，更何况一个班几十名学生.他们之间的差异性是客观存在的，而且这种差异又将是一种可开发利用的资源.针对学生的实际情况，根据教学目标可以将“分层式”作业内容分为规定题和自选题A、B两类，一般规定题2～4题，自选题A、B各1～2题.具体要求：①对后进生，侧重于例题所讲内容和例题相仿的基本题，即每次作业中的规定题.②对中等生，侧重于例题及和例题相似的变式题，即自选题A，但必须完成规定题.③对优生，侧重于应用基本知识的实际应用题及开发学生智力的拓展题，即自选题B，但也要完成规定题.2.“错题式”作业
初中数学分层作业的设计研究
初中数学分层作业的设计研究
摘 要：“数学分层作业设计”是指教师在设计作业时，根据不同层次学生的情况，设计出不同的、适合各类学生的作业，从而帮助、促使不同层次的学生都能有效地完成作业，通过不同层次的练习达到良好的学习效果。分层作业的设计研究，有利于学生的兴趣爱好的发展，发展了学生个性，促进了学生身心健康的发展。
关键词：初中数学; 分层; 作业; 设计
一、“数学分层作业设计”的概念
“数学分层作业设计”是指教师在设计、布置作业时，根据不同层次学生的各种情况，如课堂表现、掌握程度、已有水平等，设计出不同的、适合各类学生的作业，从而帮助、促使不同层次的学生都能有效地完成作业，通过不同层次的练习达到良好的学习效果。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性的发展，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。课程内容的呈现应该注意层次化和多样化，以满足学生的不同学习需求。实施分层作业也有利于学生在完成适合自己的作业中都取得成功，获得轻松、愉快、满足的心理体验。有利于优化学生的思维品质。
二、“数学分层作业设计”的必要性
初中数学作业普遍存在诸多问题：作业机械重复性较多，忽视学生间差距和潜能，形成“一刀切”的局面等。设计不同层次的作业，能让教师从不同的角度了解学生掌握知识、发展能力的综合信息，从这些信息中，教师不但可以比较准确地了解学生“学”的情况，还能及时发现教师“教”所存在的问题，从而为教师进一步改进教学方法，调节教学结构提供了有力的科学依据。
三、数学分层作业设计的有效途径
(一)把所教班级的学生分成两个或三个层次，作业也进行相应的分层。 分层的方法有：
（1）依据学生的学习能力分层：教师只根据学生的学习能力对学生分层而不考虑其他因素。将全班学生分成：A层次为学习能力暂时落后学生，B层次为学习能力中等学生，C层次学习能力相对较好，人数也较少（不在班级公布学生所处的层次，但学生知道自己的层次）。这种分层方法相对比较公平。但也有很大的弊端，因为忽略了学生的其它因素，如智力水平的差异，学习兴趣的差异，学习潜力的差异等。教学时，学生按上课的分层布置不同的作业，并采取不同的评价方法。 同时实际操作中，依据学生的发展和变化适时改变学生的分组。
初中数学分层作业的有效设计
初中数学分层作业的有效设计
数学是一门需要循序渐进学习的学科，因此，在教学过程中，合理分层的作业设计对学生的学习发展至关重要。下面我将从目标确定、难度把握、形式多样、巩固练习、培养思维和反馈及时等方面展开讨论，介绍初中数学分层作业的有效设计。
首先，在确定作业目标时，教师需要根据教学大纲和学生的学习情况，明确每个分层作业的目标。对于高层次学生，可以设置一些拓展性问题，培养他们的思维能力；对于低层次学生，应该设计一些基础练习，帮助他们巩固学习内容。
其次，教师需要合理把握作业的难度。难度太高容易使学生望而生畏，降低学习兴趣；难度太低则会导致学生得过且过，缺乏挑战性。因此，在设计分层作业时，教师应根据学生的学习情况，选取适当的题目，确保学生能够逐步提升自己的数学水平。
第三，作业形式要多样化。数学是一门需要多样化思考和解决问题的学科，因此，作业形式应该灵活多样，既包括选择题和计算题等基本题型，也可以设计一些应用题和思考题，培养学生的综合能力。
第四，巩固练习是数学学习的重要环节。在设计作业时，教师应该注重巩固练习，将前几个章节的知识点穿插其中，帮助学生复习和巩固已学内容。同时，作业的难度要适中，既能让学生独立完成，又能够带给他们一定的挑战。
第五，培养学生的思维能力是初中数学教学的重要目标之一、在分层作业设计中，教师可以设置一些拓展性问题，引导学生运用所学知识解决新颖的问题，培养他们的创新思维和解决问题的能力。 最后，及时反馈是有效作业设计的重要环节。教师应该及时批改作业，对学生的作业进行评价和反馈，指出他们的错误和不足之处，并给予针对性的指导和建议。同时，教师还可以开展作业讲评，对作业中常见的错误进行讲解，加深学生的理解和记忆。
总而言之，初中数学分层作业的有效设计需要在目标确定、难度把握、形式多样、巩固练习、培养思维和反馈及时等方面进行合理安排。只有这样，才能够满足不同层次学生的学习需求，促进他们的数学发展。
关于初中数学作业分层设计的实践与思考
关于初中数学作业分层设计的实践与思考
1. 引言
1.1 背景介绍
初中数学作业分层设计是指根据学生的学习水平和能力需求，将作业内容分为不同难度层次，以满足不同学生的学习需求和提高他们的学习效果。近年来，随着教育改革的深入推进，越来越多的学校和教师开始采用分层设计的方式来布置数学作业。
背景介绍部分主要从以下几个方面展开：当前初中数学教育的发展现状和存在的问题；初中数学作业设计的重要性和必要性；引入分层设计的概念及其在数学作业设计中的应用情况。
目前，初中数学教育在我国普遍存在着教学方式单一、难度系数不够适应学生差异化学习需求等问题。学生的学习水平和学习能力存在差异，导致部分学生在学习数学时遇到困难，产生学习厌学情绪。如何合理设计数学作业，提高学生的学习动力和兴趣，对于促进教育教学的改进和提高学生的学习效果至关重要。
在这样的背景下，初中数学作业分层设计应运而生。分层设计将作业内容根据难度层次进行分类，帮助学生更好地掌握知识，巩固基础，提高学习效果。通过针对不同学生群体的需求，进行个性化教学，可以更好地激发学生学习的积极性和主动性。初中数学作业分层设计已逐渐成为教师备课和教学实践中的一种重要策略。 1.2 研究目的
研究目的：初中数学作业分层设计的目的在于提供一种更有效的学习方式，通过将不同难度和复杂度的题目划分到不同层次，以满足不同学生的学习需求。具体而言，研究旨在探讨分层设计对学生学习兴趣、学习动力和学习成绩的影响，以及如何有效地利用分层设计来提高学生的数学学习水平。通过实践和思考，我们希望能够找到更适合初中数学课堂的分层设计方法，进而提高学生的学习效果，促进他们全面发展和提升自身学习能力。在这个过程中，我们也将不断总结和改进分层设计的策略，以便更好地适应学生的学习需求和课堂实际情况，达到更好的教学效果。
1.3 研究意义
练习、作业分层设计的实施.doc
初中数学练习、作业分层设计的实践研究
《初一数学作业分层设计的实践研究》课题研究实施方案
齐燕
石家庄市第八^一中学，石家庄050011
一'问题的提出
为了解决我校数学课堂教学中存在的时间、内容一刀切,优生吃不饱， 学困生吃不了的现象，又结合我校生源的特点经备课组多次讨论、研究决 定，确立了初一数学组的课题研究项目为“初一数学作业分层课题研究”。 其主要目的是探究如何提高学生的数学成绩，使不同的人得到不同的发展。
二、研究的意义
初中数箪设计分层作业可以大面积提高学生的素质，转化差生，培养 优生。还可以发挥班级授课制的优点，摒弃了缺点，最大限度地考虑学生 的个性差异和内在潜力，较好地处理面向全体与照顾个别的矛盾，充分体 现因材施教的原则。又突出了教师主导,强化了课内外的结合，真正把学生 从“满堂灌”、“齐步走”、“题海战”中解放出来，减轻了学生沉重的 课业负担，增强了学生学习数学的信心，有利于培养学生的兴趣爱好，发 展他们的全面素质。有利于激发和保持学生浓厚的学习兴趣，促进班级形 成好的学习风气。
三'课题的界定
作业分层教学，就是教师充分考虑到学生中存在的差异程度，综合考 虑每个学生的智力、非智力等因素，运用模糊学的方法，把全班学生分为 短期性的（即处于发展变化状态而短期内又相对稳定的）A、B、C三个层 次，并依据群体学生的差异，区别对待地制定分层设计作业、进行分层评 价，采取分层辅导、并有针对性地加强对不同层次学生的学习指导，从而 大面积提高教学质量的做法。
四、研究目标
1、 通过研究，使教师树立作业分层设计的意识，掌握作业分层设计的 方法，提高因材施教的水平。
2、 通过研究，使每个学生在作业中都能练有适合的习题，练有各自的 收获，从而增强学习兴趣，提高学习效率。
3、 通过研究，能丰富作业的内容层次，丰富作业的呈现形式，发展学 生的多元智能。
4、 通过研究，形成分层评价作业实用操作模式、发挥策略激励语言的 教育功能，构建分层辅导作业操作模式和课堂教学模式，规范作业教学， 提高教学质量。
初中数学作业的分层设计
初中数学作业的分层设计
第一层次：基础概念练习
这一层次的作业主要是针对初中一年级的学生，帮助他们巩固数学基础知识和概念。包括一些简单的计算、数列、图形、几何、单位换算等题目。通过这些题目的练习，学生可以加深对基本概念的理解，并提高基本运算的熟练度。
第二层次：基本运算与应用
这一层次的作业主要是针对初中二年级的学生，帮助他们巩固和提高基本运算的能力，并将其应用到实际问题中。包括一些复杂的计算题、应用题、综合题等。通过这些题目的练习，学生可以加深对基本运算规则的理解，并能够将其应用到实际问题的解决中。
第三层次：拓展与延伸
这一层次的作业主要是针对初中三年级的学生，帮助他们拓宽数学知识的面，提高解题的思维灵活性和推理能力。包括一些较难的数学题、证明题、应用题等。通过这些题目的练习，学生可以进一步提高自己解题能力和数学思维能力，为高中数学的学习打下坚实的基础。
第四层次：综合及创新
这一层次的作业主要是针对数学水平较为突出的学生，帮助他们在综合运用和创新性思维上有更高的要求。包括一些较难的综合题、创新性问题、研究性课题等。通过这些题目的练习，学生可以进一步提升自己的综合能力和创新思维能力，为深入研究数学奠定坚实的基础。
此外，对于每一个层次的作业设计，我还建议采取以下方式进行： 1.分阶段布置作业：将一个主题的作业分为两到三个阶段，每个阶段的题目难度适中，帮助学生逐步掌握知识和技能。
2.混合题目练习：在每个层次的作业中，适当混合不同难度的题目，帮助学生巩固基础知识的同时，也能提高他们解决复杂问题的能力。
3.扩展题目设置：对于每个层次的作业，可以设立一定数量的扩展题目，供学生自愿选择完成，以满足对更高层次挑战的需求。
4.拓展学习资源：为了提高学生的学习积极性和自主学习能力，可以为每个层次的作业提供相关的学习资源，如参考书、网上资料、题目讲解视频等，帮助学生深入理解和巩固知识。
5.鼓励合作学习：对于一些较难的题目和复杂的应用问题，可以鼓励学生通过小组合作的方式解决，促进彼此之间的讨论和学习互助。
初中数学作业分层设计策略
初中数学作业分层设计策略
随着教育教学改革不断深入推进，分层教学已成为一种常见的教学策略。分层教学能够满足不同学生的不同需求，提高教学效率，使教学更加个性化。在初中数学教育中，分层教学也得到了广泛应用。本文将从初中数学作业分层设计策略入手，探讨其具体实施方法及效果。
（一）确定分层内容
为了能够针对不同学生的不同需求，初中数学作业应当根据各个知识点的难易程度，将其划分为不同的分层。在确定分层内容的过程中，需要结合学生的实际情况，尽可能满足学生的个性化需求。
（二）制定不同层次的作业
制定不同层次的作业是初中数学作业分层设计策略的一个关键环节。针对不同层次，可以给出不同类型的题目，难度逐渐递增。在制定作业时，需要注意以下几点：
1.保持层次性
不同层次的作业需要保持一定的难度层次，不要出现混杂的情况。比如说，数学作业被划分为基础层次、提高层次、拓展层次，这就需要制定出对应难度的作业。
2.适应不同需求
不同层次的分层作业代表了不同层次的学生，因此应该在制定作业时考虑不同学生的个性化需求，合理分配作业量和难度，使得每个学生都能够在学习过程中获得进步。
3.教育目的性
不同层次的作业需要制定不同的教育目的，例如基础层次的分层作业可以围绕着基础知识点深入练习，提高层次的分层作业可以通过加强实际应用练习提升学生的综合能力。
4.注重培养兴趣
在制定作业时，需要注意培养学生对数学学科的兴趣，例如通过玩游戏等趣味化的方式设计数学作业，提高学生的学习兴趣。这样不仅可以在娱乐中提升学生的数学学科能力，还能够让学生更加乐意学习。
（三）合理安排时间 在制定初中数学作业分层设计策略时，充足的时间安排往往能够起到事半功倍的作用。充足的时间安排可以确保学生能够有足够的时间来完成作业，同时配合导师的辅导和帮助，也能够帮助学生提高学习效率。
初中数学作业分层设计与策略
初中数学作业分层设计与策略
1. 难易程度分层：初中数学作业中的题目可根据难易程度进行分层。可以将题目分为简单、中等和较难三个层次，让学生根据自己的能力选择合适的层次完成作业。这样可以让学生在适当的挑战下积极学习，并提高他们的解题能力。
2. 问题类型分层：数学作业中的题目可以按照题型进行分层设计，如代数、几何、概率等问题分别归类到不同的层次。这样既可以帮助学生更好地理解和掌握不同类型的数学知识，也可以使教师根据学生的掌握情况进行有针对性的辅导。
3. 综合能力分层：在初中数学作业中，可以设计一些综合能力较高的题目，比如应用题、复杂计算题等，让学生在解决问题的过程中综合运用所学的知识。这样可以培养学生的综合分析和解决问题的能力。
4. 策略设计：为了提高学生的学习积极性和参与度，可以在初中数学作业设计中加入一些竞赛元素或趣味性活动。比如设置每个层次的作业完成时间，并设立奖励机制，鼓励学生按时完成作业。也可以设计一些小组活动或游戏任务，让学生参与通过合作解决问题提高学习效果。
5. 不同能力学生的分层：在分层设计中，要充分考虑学生的不同能力水平，尽量做到因材施教。对于一些学习能力较弱的学生，可以设计一些较简单的基础题目，帮助他们建立数学基础。对于一些学习能力较强的学生，可以设计一些拓展题目，让他们能够更好地挑战自己。
初中数学作业的分层设计与策略旨在提高学生的学习兴趣和动力，激发学生的学习热情，促进他们的学习进步。通过合理的分层设计和策略安排，可以更好地辅导学生，帮助他们掌握数学知识，并提高解题能力和综合分析能力。
初中数学校本分层作业设计与思考——以“二次函数”为例
作业设计初中数学校本分层作业设计与思考———以“二次函数”为例文|董盼红一、“二次函数”校本分层作业设计背景分析在数学学习中，二次函数是一个非常重要的领域。然而，每个学生的学习水平和学习需求都不尽相同，校本分层作业设计正是基于这种需求而提出的，它可以根据学生的实际情况，为每个学生量身定制作业，使每位学生在适当的难度下学习，避免因整体教学速度过快或过慢而导致的学习困扰。由于作业的难度与学生的实际水平相匹配，学生更容易理解和掌握知识，从而提高学习效果。二次函数这一课涉及图象、方程、解析式等多个方面，对学生的逻辑思维和数学抽象能力提出了很高的要求。根据学生的数学基础，教师应分层设计基础概念的习题，对于基础较好的学生，可以设计一些深入探讨二次函数性质的问题；对于基础较弱的学生，则可以设计一些较为简单的题目，帮助他们建立起基本概念。同时，二次函数的图象和方程之间有着密切的联系。对于学生来说，将图象转化为方程，或者根据方程绘制出准确的图象，都是重要的学习内容，校本分层作业可以设计一些关于图象与方程转化的题目，根据学生的实际能力分层设置难度。二、“二次函数”校本分层作业设计目标通过本单元的学习，基础层的学生能够理解并运用二次函数的标准形式和顶点形式，能够简单地将二次函数转化为这两种形式，并确定二次函数的图象特征，如开口方向、最值点等。提高层的学生能够深入分析二次函数的性质，包括最值、零点，并运用这些性质解决简单的实际问题，如最大最小值问题和二次函数方程的解。拓展层的学生在掌握基本性质的基础上能够运用二次函数解决更为复杂的实际问题，包括最优化问题、二次函数与其他函数的复合应用等，培养实际问题建模和解决问题的能力。在基础层的教学中，侧重于夯实基本概念，让学生掌握如何将二次函数转化为标准形式和顶点形式，理解这两种形式对应的图象特征，练习题目应该注重基本形式的变形和应用，帮助学生建立基础知识体系。提高层学生已经具备了基础知识，需要更深入地了解二次函数的性质，练习题目应该更具挑战性，要求学生解决实际问题，涉及二次函数性质的复杂应用。同时继续巩固基本概念，确保学生对二次函数的图象和代数性质有深入的理解。拓展层学生的学习应更加深入广泛，练习题目应该突出实际问题的建模和解决能力，要求学生将所学的二次函数知识与其他数学知识（如函数的复合、最优化问题的建模）相结合，解决更为复杂的实际问题，这一层次的作业旨在培养学生综合运用数学知识的能力，让他们能够更加灵活地应对各种实际问题。三、“二次函数”校本分层作业设计案例在设计初中数学校本分层作业时，教师要着眼于学生的不同学习需求和能力水平，制订基础层、提高层和拓展层三个层次的教学目标和相应的分层作业内容，这样的设计不仅充分考虑了学生的差异化学习需求，也促使他们在不同层次上获得相应难度的练习，从而更好地巩固和拓展二次函数的知识。分层作业设计是为了满足不同层次学生的学习需求，特别是在学习二次函数时，分层作业显得尤为重要。作者简介：董盼红（1984—），女，汉族，甘肃平凉人，本科，一级教师，研究方向：数学教学与研究。163教学·策略（一）基础层：巩固基本概念基础层的学生通常对二次函数的基本概念有所了解，但需要进一步巩固知识，这个层次的作业将侧重于帮助学生理解标准形式和顶点形式之间的关系，以及二次函数图象的基本特征。在二次函数y=ax2+bx+c中，系数a决定了抛物线的开口方向和是否为正（凹）或负（凸）；系数b影响了抛物线的位置，决定了最值点的横坐标；常数项c决定了抛物线与y轴的交点，通过这些参数，学生能够深入分析二次函数的性质。示例题目一：考虑二次函数f（x）=ax2+bx+c，其中a，b和c是常数，求该二次函数的顶点坐标（h，k）。（设计意图：通过这个问题，学生将学会如何找到二次函数的顶点坐标，这是了解二次函数图象特征的基础。在这个问题中，学生需要了解二次函数的顶点形式f（x）=a（x-h）2+k。其中，h是顶点的横坐标，k是顶点的纵坐标。为了找到顶点坐标（h，k），可以利用公式x=-b/2a来求解。学生需要识别出二次函数的a，b和c的值，然后将这些值代入公式x=-b/2a中，得到顶点的横坐标h。接着，将h代入原始函数中，即可求得顶点的纵坐标k。最终，学生得到了顶点坐标（h，k），这就是二次函数的最低点或最高点，具体取决于a的正负性。这个问题的解答过程帮助学生理解了顶点坐标的一般求解方法，同时也加深了他们对二次函数图象特征的认识，为学生提供了解决更复杂问题的基础。）示例题目二：1.将二次函数y=-2x2+8x-6转化为顶点形式，并求出顶点坐标。2.比较二次函数f（x）=x2+4x+5与g（x）=x2-6x+10的图象，分析它们的开口方向和最值点。（设计意图：在第一个问题中，学生需要运用配方法将二次函数写成y=-2（x2-4x）-6的形式，接下来，化简得到y=-2（x-2）2+2，从中可以看出顶点坐标为（2，2）。这个问题要求学生熟练运用平方公式，同时帮助他们理解顶点形式中的h和k分别代表什么意义，以及如何从中得出顶点坐标。在第二个问题中，学生需要将两个二次函数转化为标准形式，比较它们的系数，然后分析它们的图象特征。首先，将两个函数转化为标准形式，得到f（x）=（x+2）2+1和g（x）=（x-3）2+1。比较系数，可以看出f（x）是一个开口朝上的抛物线，最小值点为（-2，1）；而g（x）也是一个开口朝上的抛物线，最小值点为（3，1），这个问题培养了学生对二次函数图象特征的观察和分析能力。通过这些基础层的题目，学生不仅仅是在巩固基本知识，更是在建立对数学图象和函数性质的直观认识。这种直观的认识是学生后续学习更高阶数学内容的基础，也是他们应用数学解决实际问题的基础。帮助学生打牢这些基础，能够使他们在更高级的数学学习中更加游刃有余。（二）提高层：深入解析二次函数的性质提高层的学生已经掌握了二次函数的基本概念，需要更深入地了解二次函数的性质，包括最值、零点和凹凸性，这个层次的作业将侧重于帮助学生运用这些性质解决更为复杂的问题。示例题目一：给定二次函数f（x）=ax2+bx+c，求该函数的最大值或最小值，并指出在哪个点取得。（设计意图：教师可以提供不同a的二次函数，有些有最大值，有些有最小值。学生需要使用x=-b/2a找到顶点，然后代入函数，比较得出最大值或最小值，并找出取得最值的点。在这个问题中，学生需要判断二次函数的开口方向。如果a为正数，二次函数的图象开口向上，有最小值；如果a为负数，二次函数的图象开口向下，有最大值。学生需要找到顶点的横坐标h，然后将h代入原始函数，即可求得顶点的纵坐标k。这样，顶点坐标（h，k）就找到了。接着，学生需要判断最值是最大值还是最小值。如果a>0，那么函数的最小值就是k，取得最小值的点为（h，k）；如果a<0，那么函数的最大值就是k，取得最大值的点也是（h，k）。通过这个问题，学生不仅掌握了最值的一般求解方法，还学会了如何判断最值以及找出取得最值的点，这种问题的设计能够帮助学生理解二次函数图象特征的变化规律，并且学会举一反三。示例题目二：1.对于二次函数y=-3x2+12x-10，求其最大值，并确定使函数取得最大值的x值。2.解方程2x2-4x-6=0，并分析方程的根与二次函164作业设计数y=2x2-4x-6的图象的关系。（设计意图：在第一个问题中，学生需要将给定的二次函数转化为顶点形式。首先，利用配方法将二次函数写成y=-3（x2-4x）-10的形式，然后完成平方得到y=-3［（x-2）2-4］-10。接下来，化简得到y=-3（x-2）2+2，从中可以看出最大值为2，并且当x=2时取得最大值。这个问题要求学生运用完全平方公式，同时加深了对顶点形式的理解。在第二个问题中，学生需要求出方程的根，然后观察根的位置与函数图象的关系。首先，利用求根公式得到x=-1或x=3，这两个根分别对应着函数图象上的两个交点。通过观察系数，可以发现这是一个开口朝上的抛物线，根的位置与函数的顶点有关。这个问题培养了学生观察数学关系的能力，同时巩固了解二次函数与方程根的关系。（三）拓展层：应用二次函数解决实际问题拓展层的学生已经具备了较高的数学抽象和建模能力，现在需要将二次函数的知识应用到更为复杂的实际问题中。这个层次的作业将侧重于培养学生的问题解决能力，使他们能够将所学知识应用到真实世界的情境中。在现实生活中，二次函数常常出现在自然科学、经济学、工程学等领域的建模问题中，学生需要学会将抽象的数学知识与实际问题相结合，进行建模和分析，以便应对实际挑战。示例题目一：1.一架火箭发射后的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系由二次函数h（t）=-5t2+60t描述，求火箭的最大高度及达到最大高度的时间。2.一家工厂生产的电视机销售价格x（单位：元）与销售数量q（单位：台）的关系由二次函数P（x）=-0.01x2+200x-500000描述，求该工厂的最大利润及相应的销售价格。（设计意图：在第一个问题中，学生需要通过求解二次函数的最值问题，找到火箭的最大高度及达到最大高度的时间。首先，将火箭的高度函数h（t）转化为顶点形式，得到-5（t-6）2+180。从中可以看出，最大高度为180米，达到最大高度的时间为t=6秒。这个问题模拟了火箭发射的实际情境，帮助学生将数学知识应用到物理问题中，培养他们的建模和解决实际问题的能力。在第二个问题中，学生需要分析电视机的利润函数，并找到使得利润最大的销售价格。首先，将利润函数P（x）转化为顶点形式，得到P（x）-0.01（x-10000）2+500000。从中可以看出，最大利润为500000元，相应的销售价格为x=10000元。这个问题模拟了企业定价的实际情境，要求学生将数学知识与经济实际相结合，为企业提供最佳策略建议。通过这类问题，学生不仅深入理解了二次函数的应用，还培养了他们的分析和决策能力。）示例题目二：一个人站在河边，希望抛出一个物体跨过河到达对岸。假设河的宽度为d米，抛物线的方程为y=ax2+bx+c，其中y表示高度（米），x表示水平距离（米）。如何选择a、b、c，使得物体能够以最小的初速度抛出，成功跨过河流，而不触及对岸的地面？（设计意图：在这个问题中，学生需要将实际问题转化为数学问题。首先，设定物体起始点为抛物线的顶点，即（0，c），并要求物体能够跨越河流，因此顶点的高度必须大于河流的宽度，即c>d。其次，抛物线与x轴的交点为抛物线的两个根，其中一个根为负数（物体的起点在抛出时已经在空中），另一个根表示物体着陆的位置。接下来，学生需要建立一个目标函数：S=a2+b2，这个函数表示了初速度的平方和。问题要求最小初速度，即需要最小化目标函数。为了求解这个问题，学生可以利用二次函数的性质，如顶点坐标的x值为-b/2a。通过将这个值与河流的宽度相比较，学生可以得到关于a和b的方程。接着，结合c>d，学生可以得到问题的可行解集。最后，通过分析S这个函数的最小值，学生可以确定最小初速度以及相应的a、b、c的值，满足问题的要求。通过这个案例，学生将学会将二次函数用于实际的优化问题中，培养了他们的问题建模和求解能力，进一步提高了他们的数学建模水平。）通过以上分层作业设计，学生在逐步深化对二次函数理论知识的掌握的同时，也得到了充分的解决实际问题的机会。这种分层作业设计不仅满足了学生个性化学习的需求，也为他们将来更深入地学习数学打下了坚实的基础。（作者单位：甘肃省平凉市灵台县上良中学）编辑：赵飞飞165