初二数学 上学期期末几何复习一
八上期末复习几何部分 10.31
学生： 科目：数学 第 1 阶段第 次课 教师：知识框架考点一 考查对顶角的定义典型例题例1．在下面所示的四个图形中， 1∠和2∠是对顶角的是（ ）课 题平行线、特殊三角形教学目标1.掌握两条直线平行的条件，会用所给条件判断两直线是否平行； 2．理解并掌握两条直线平行的特征，并会根握两条直线的特征进行相关的推理或计算；3.等腰三角形中主要辅助线的添法及其运用；4.直角三角形的性质、判定；5.勾股定理的性质和判定。
重点、难点平行线性质和判定灵活运用；等腰三角形中主要辅助线的添法及其运用；HL 定理的推导及应用；勾股定理及逆定理的性质和应用。
考点及考试要求平行线性质和判定灵活运用；等腰三角形中主要辅助线的添法及其运用； HL 定理的推导及应用；勾股定理及逆定理的性质和应用。
教学内容111 1222 2（一）考查对顶角的定义例1．在下面所示的四个图形中， 1∠和2∠是对顶角的是（ ）分析：辨析对顶角的要领是：一看是不是由两条直线相交所成的角，有相交直线才有对顶角；二看是不是没有公共边。
只有同时符合这两个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个条件是不行的。
前三个图形中，它们都不是由两条直线相交所成的角，图（4）中的1∠和2∠不但是由两条直线相交所成的角，而且它们没有公共边。
解：选D. （二）考查对顶角与邻补角的性质例2．（2006，湖南湘潭）如图，AB 、CD 、EF 相交于点O ，且CD AB ⊥，则1∠与2∠的关系是（ ） A.12180∠+∠=︒ B. 1290∠+∠=︒ C. 12∠=∠ D.无法确定分析：注意利用对顶角的性质将角进行相等的转化，因为2COF ∠=∠，且190COF ∠+∠=︒，所以2190∠+∠=︒。
解：选B.例3．如图，两条笔直的街道AB 、CD 相交于点O ，街道OE 、OF 分别平分 AOC ∠、BOD ∠，请说明街道EOF 是笔直的。
分析：要说明街道EOF 是笔直的，也就是要判断EOF 是一条直线，只需判断1180EOF AOF ∠=∠+∠=︒，因为2180AOF ∠+∠=︒，所以只要求出12∠=∠即可。
八年级数学上册期末总复习资料
八年级数学上册期末总复习资料几何a级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1.三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1) ∵ad平分∠bac∴∠bad=∠cad(2) ∵∠bad=∠cad∴ad是角平分线2.三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1) ∵ad是三角形的中线∴ bd = cd(2) ∵ bd = cd∴ad是三角形的中线3.三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1) ∵ad是δabc的高∴∠adb=90°(2) ∵∠adb=90°∴ad是δabc的高※4.三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1) ∵ab+bc＞ac∴……………(2) ∵ ab-bc＜ac∴……………5.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1) ∵δabc是等腰三角形∴ ab = ac(2) ∵ab = ac∴δabc是等腰三角形6.等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1)∵δabc是等边三角形∴ab=bc=ac(2) ∵ab=bc=ac∴δabc是等边三角形7.三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.八年级数学上册期末复习提纲八年级数学上册期末复习提纲八年级数学上册期末复习提纲（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：(1) ∵∠a+∠b+∠c=180°∴…………………(2) ∵∠c=90°∴∠a+∠b=90°(3) ∵∠acd=∠a+∠b∴…………………(4) ∵∠acd ＞∠a∴…………………8.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1) ∵∠c=90°∴δabc是直角三角形(2) ∵δabc是直角三角形∴∠c=90°9.等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）八年级数学上册期末复习提纲几何表达式举例：(1) ∵∠c=90° ca=cb∴δabc是等腰直角三角形(2) ∵δabc是等腰直角三角形∴∠c=90° ca=cb10.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等.（如图）八年级数学上册期末复习提纲。
八年级数学上册几何期末综合复习题1
八年级期末几何综合复习（一）1．如图，设△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且∠EBD=65°，则∠AEB 的度数是（ ）A．115°B．120°C．125°D．130° 2．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（ ） A．18° B．20° C．25° D．15°3．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD 于 E、F 两点，M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于点 N，连接 DM，下列结论：①DF=DN； ② △DMN 为等腰三角形；③DM 平分∠BMN；④AE= EC；⑤AE=NC，其中正确结论的个数是（ ）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC．点 A、B 分别在坐标轴上，且 x 轴恰好平分∠BAC，BC 交 x 轴于点 M，过 C 点作 CD⊥x 轴于点 D，则 的值为．5．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点 D 处，折痕交另一直角边于 E，交斜边于 F，则△CDE 的周长为．6．如图，∠AOB=30°，点 P 为∠AOB 内一点，OP=8．点 M、N 分别在 OA、OB 上，则△PMN 周长的最小值为．7．如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC 为度．8 如图，在直角坐标系中，点 A（0，a2﹣a）和点 B（0，﹣3a﹣5）在 y 轴上，点 M 在 x 轴负半轴上，S△ABM=6．当线段 OM 最长时，点 M 的坐标为．9．如图，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D 为 BC 的中点，点 E 与点 C 关于直线 AD 对称，CE 与 AD、AB 分别交于点 F、G，连接 BE、 BF、GD，求证： （1）△BEF 为等腰直角三角形； （2）∠ADC=∠BDG．10．如图，等腰△ABC 中，AB=CB，M 为 ABC 内一点，∠MAC+∠MCB=∠MCA=30° （1）求证：△ABM 为等腰三角形； （2）求∠BMC 的度数．11．如图，直线 AB 交 x 轴于点 A（a，0），交 y 轴于点 B（0，b），且 a、b 满足|a+b|+（a﹣5）2=0（1）点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；（2）如图，若点 C 的坐标为（﹣3，﹣2），且 BE⊥AC 于点 E，OD⊥OC 交 BE 延长线于 D，试求点 D 的坐标；（3）如图，M、N 分别为 OA、OB 边上的点，OM=ON，OP⊥AN 交 AB 于点 P，过点 P 作 PG⊥BM 交 AN 的延长线于点 G，请写出线段 AG、OP 与 PG 之间的数列关系并证明你的结论．12．如图，在等边三角形△ABC 中，AE=CD，AD、BE 交于 P 点，BQ⊥AD 于 Q， （1）求证：BP=2PQ；（2）连 PC，若 BP⊥PC，求 的值．13．在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D． （1）如图 1，∠MDN 的两边分别与 AB、AC 相交于 M、N 两点，过 D 作 DF⊥AC 于 F，DM=DN， 证明：AM+AN=2AF； （2）如图 2，若∠C=90°，∠BAC=60°，AC=9，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形 AMDN 的周 长．14．如图 1，在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上． （1）如图 1，点 A 与点 C 关于 y 轴对称，点 E、F 分别是线段 AC、AB 上的点（点 E 不与点 A、 C 重合），且∠BEF=∠BAO．若∠BAO=2∠OBE，求证：AF=CE； （2）如图 2，若 OA=OB，在点 A 处有一等腰△AMN 绕点 A 旋转，且 AM=MN，∠AMN=90°．连 接 BN，点 P 为 BN 的中点，试猜想 OP 和 MP 的数量关系和位置关系，说明理由．15.已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作△ACD 和△BCE，且 CA=CD， CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F．（1）如图 1，若∠ACD=60°，则∠AFD=；（2）如图 2，若∠ACD=α，连接 CF，则∠AFC=（用含 α 的式子表示）；（3）将图 1 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转如图 3，连接 AE、AB、BD，∠ABD=80°，求∠EAB 的度数．16.等腰 Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上．（1）如图 1，求证：∠BCO=∠CAO （2）如图 2，若 OA=5，OC=2，求 B 点的坐标 （3）如图 3，点 C（0，3），Q、A 两点均在 x 轴上，且 S△CQA=18．分别以 AC、CQ 为腰在第一、第 二象限作等腰 Rt△CAN、等腰 Rt△QCM，连接 MN 交 y 轴于 P 点，OP 的长度是否发生改变？若不 变，求出 OP 的值；若变化，求 OP 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0，a）、B（﹣b，0）且 a、b 满足（1）求证：∠OAB=∠OBA； （2）如图 1，若 BE⊥AE，求∠AEO 的度数；+|a﹣2b+2|=0．（3）如图 2，若 D 是 AO 的中点，DE∥BO，F 在 AB 的延长线上，∠EOF=45°，连接 EF，试探究 OE 和 EF 的数量和位置关系．19.如图①，平面直角坐标系 XOY 中，若 A（0，a）、B（b，0）且（a﹣4）2+ 角边作等腰 Rt△ABC，∠CAB=90°，AB=AC．=0，以 AB 为直（1）求 C 点坐标；（2）如图②过 C 点作 CD⊥X 轴于 D，连接 AD，求∠ADC 的度数；（3）如图③在（1）中，点 A 在 Y 轴上运动，以 OA 为直角边作等腰 Rt△OAE，连接 EC，交 Y 轴于F，试问 A 点在运动过程中 S△AOB：S△AEF 的值是否会发生变化？如果没有变化，请直接写出它们的比值（不需要解答过程或说明理由）．20.如图 1，点 A 和点 B 分别在 y 轴正半轴和 x 轴负半轴上，且 OA=OB，点 C 和点 D 分别在第四象 限和第一象限，且 OC⊥OD，OC=OD，点 D 的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|=0． （1）求点 D 的坐标； （2）求∠AKO 的度数；（3）如图 2，点 P，Q 分别在 y 轴正半轴和 x 轴负半轴上，且 OP=OQ，直线 ON⊥BP 交 AB 于点 N， MN⊥AQ 交 BP 的延长线于点 M，判断 ON，MN，BM 的数量关系并证明．21.如图，△AOB 和△ACD 是等边三角形，其中 AB⊥x 轴于 E 点 (1) 如图，若 OC＝5，求 BD 的长度 (2) 设 BD 交 x 轴于点 F，求证：∠OFA＝∠DFA (3) 如图，若正△AOB 的边长为 4，点 C 为 x 轴上一动点，以 AC 为边在直线 AC 下方作正△ACD，连接 ED，求 ED 的最小值。
八上期末几何作图题复习
八上期末几何作图题复习1、如图是由小正方形组成8×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A 、B 、C 三个点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，过点C 画出CD ∥AB （点D 是格点）；（2）在图（1）中，在AC 上画出点E ，使得BE ⊥AB ；（3）在图（2）中，点F 为AB 上一点，画出点F 关于AC 的对称点G ；（4）在图（2）中，点F 为AB 上一点，在BC 上画点H ，使得∠AHC ＝∠AFC ．2、如图是由相同的小正方形组成10×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方形台球桌ABCD 的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点P ，Q 处．(1)在图1中，先在边BC 上画点E ，使EQ ⊥PQ ，再在边AD 上画点F ，使∠FPQ ＝135°；(2)在图2中，先在边CD 上画点G ，连接PG ，QG ，使∠PGD ＝∠QGC ，再画一条路径，使球P 两次撞击台球桌边，经过两次反弹(反射角等于人射角)后，正好撞到球Q ．图1ABCDPQ图23、如图，是由小正方形组成的66⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC △的三个顶点都是格点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图.（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）.图1 图2（1）如图1，请画出ABC △的高CD 和中线AE ；（2）如图2，AD 是ABC △的角平分线，请画出ABC △的角平分线BE ，并在射线BE 上画点F ，使2BE AF =.4、如图是由边长为1的小正方形构成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点， △ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．(1)在图1中，作△ABC 的中线AQ ； (2)在图1中，在AC 上画一点D ，使∠ABD ＝45°；(3)已知P 是边AB 上任意一点，① 在图2中，M 为格点，在AC 上画一点E ，使PE ＋ME 最小；② 在图3中，在BC 上画一点F ，使PF ∥AC ．图1ABC5、如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果用实线）．（1）画△ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）画出△ABC 的高BE ；（3）在x 轴上作点P ，使AP+PB 的和最小；（4）已知M 是线段AB 上一点，画M 关于y 轴的对称点N ．6、如图是由小正方形组成的76⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若A ，B ，C 三点是格点．（1）请在图1中画所有点D ，使△ABC 与△BCD 全等；（2）请在图2中的线段BC 上画点E ，使CAE ABC ∠=∠．（3）如图3，点P 为AB 上不在格点与格线上的任一点，画点Q ，使P 、Q 点关于BC 所在直线对称．图1AB C C B A图27、如图，在78⨯网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C 均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图1中，作CD AB ∥（D 在BC 下方），且CD AB =；（2）在图1中；作BC 的中点O ，在线段AB 上作点P ，使得BOP AOC ∠=∠；（3）在图2中；在线段BC 上作点Q ，使得45BAQ ∠=︒；（4）在图2中，已知5AB =，在AB 上作点M ，使得2B ACM ∠=∠．8、如图是由小正方形组成的88⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示。
华师大初二数学期末复习1(几何)
八年级数学期末复习(几何部分)（总分 150分）一、选择题（共48分）1、下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．１：２：３：４Ｂ．２：２：３：３Ｃ．２：３：２：３Ｄ．２：３：３：２2、在下面给出的条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＣ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ=∠ＤＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ3、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＤ，ＭＮ∥ＡＢ，ＥＦ，ＭＮ相交于点Ｐ，则除平行四边形ＡＢＣＤ外，图中共有平行四边形（）Ａ．４个Ｂ．６个Ｃ．８个Ｄ．１０个4、在下列条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ为平行四边形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＣ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ5、给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF===，，；②AB DE B E BC EF=∠=∠=，，；③B E BC EF C F∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF△≌△的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6、如图，D E，分别为ABC△的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若48CDE∠=°，则APD∠等于（）7、如图（四），点P是AB上任意一点，ABC ABD∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD△≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD△≌△的是（）A．BC BD=B．AC AD=C．ACB ADB∠=∠D．CAB DAB∠=∠8、如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm9．如图，在Rt ABC△中，90=∠B，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知10=∠BAE，则C∠的度数为（）A．30B．40C．50D．6010．如图，ACB A C B'''△≌△，BCB∠'=30°，则ACA'∠的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°11．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBADCEBCADPB图（四）EDCBAA BCDCABB'A'4321图3F ED CBA HG图2F EDCBA12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP 二、填空题（共24分）13、如图2，在□ABCD 中，E 、G 是AD 的三等分点，F 、H 是BC 的三等分点，则图中的平行四边形共有_______个，其中:ABFE ABHG S S =四边形四边形_______ ，:ABHG ABCD S S =四边形四边形________。
八年级上期末复习几何专题(全等三角形、轴对称、勾股定理)
初二数学几何总复习专题一.轴对称图形的识别和作图问题1.如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形：2.如图是2×2的方格,在格点处有一个△ABC ,仿照图例在备用图中画出三种与△ABC 成轴对称的“格点三角形”.3．称图形的是（）4. A5.点P （3，-4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是_______．6.如图，把一个长方形ABCD 沿AE 对折点B 落在F 点，EF 交AD 于点G ，如果∠BEA =38°，则∠EGA 的度数为______度．7.如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若60A ∠=︒，195∠=︒，则∠2的度数为（） A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°8．如图，将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处.若1129∠=︒，则2∠的度数为（） A ．49°B ．50°C ．51°D ．52°6图7图8图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3，则点D 到AB 的距离是（）A ．5B ．4C ．3D ．210.如图，AO 、OB 是互相垂直的墙壁，墙角O 处是一个老鼠洞，一只猫在A 处发现了B 处的一只老鼠正在向洞口逃窜.若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C .（尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法） 11.如图，已知A （-2，3），B （-3,1），C （1，-2）．（1）请画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△（其中A B C '''，，分别是A B C ，，的对应点，不写画法）； （2）B '的坐标为______； （3）△ABC 的面积是________． 12．已知：如图，∠ABC 及两点M ，N ．求作：点P ，使得PM ＝PN ，且P 点到∠ABC 两边的距离相等．（不写画法，保留作图痕迹） 答：______即为所求.专题二．利用等腰三角形的性质求角的问题及分类思想 1.等腰三角形有一个角为40°，则另外两个角分别为_______．2.等腰三角形中，有一个角是50°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是（）AB C B'C'EF12BBBBBDCA3.一个等腰三角形的一边长是6，一个外角是120°，则它的周长为（） A ．12B ．15C ．16D ．184.已知：如图1，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，求：∠BAC 的度数． 图15.如图2，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，∠AFD ＝158°，则∠EDF 等于＝__________． 图2图3图46. 如图3，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE ＝10°， 则∠C 的度数为（）7．如图4，AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=40°，则∠CDE=_______． 8．如图5，△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，则∠A 为（）A ．30°B ．36°C ．45°D ．54° 图5图6图79．如图6，△ABC 中，AB=AC=BD ，那么∠1与∠2之间的关系满足（） A ．∠1=2∠2B ．2∠1+∠2=180°C ．∠1+3∠2=180°D ．3∠1-∠2=180°10．如图7，AC ⊥BC ，AC=BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，则图中共有等腰三角形（） A ．1个B ．2个C ．5个D ．4个11．如图8，∠A=90°，E 是BC 上一点，A 点和E 点关于BD 对称，B 点、C 点关于DE 对称，求∠ABC 和∠C 的度数． 图812.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC=AD ，求△ABC 各角的度数. 专题三．利用等腰三角形的性质求线段的问题1.已知：在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8cm ，△ABE 的周长是14cm ， 求：AB 的长。
北京四中初二数学第一学期期末几何总复习
初二数学第一学期期末几何总复习编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟知识网络全等三角形知识结构图地位和作用全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．轴对称知识结构图地位和作用本章的图形与几何内容是继全等三角形之后的进一步推理论证内容，也是继平移变换后的第二种合同变换(保距变换)，即要用轴对称的观点分析现实生活中的几何图形，又要深入挖掘一些特殊图形的性质，为后续学习如四边形、圆等做好充分的准备，同时培养学生的美学观．知识要点梳理知识点一：全等三角形概念1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．2．两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．3．全等三角形对应边相等，对应角相等．知识点二：三角形全等的判定1．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．知识点三：作轴对称图形1．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形．2．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．知识点四：轴对称变换1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同．2．新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点．3．连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．4．用坐标表示轴对称：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)．知识点五：等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，这些特殊性质，都和它是轴对称图形有关，因此，把这部分内容安排在轴对称之后，从轴对称的角度，得出“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质等内容．1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．2．等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)．(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合(三线合一)．3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．知识点六：等边三角形1．等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．3．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．知识点七：其它常用的三角形性质1．30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2．三角形中边与角之间的不等关系：(1) 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大(大边对大角)．(2) 在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大(大角对大边)．经典例题精析类型一：由角平分线想到构造全等不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点(此点作为顶点)组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称(全等)，从而把角、线段转移达到解题目的．1．如图1，已知：△ABC中，AD平分∠BAC，交对边CD于D，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B．图 1 图 2解析：在AB取一点E，使AE=AC，连接ED，如图2显然，△ADC≌△ADE，∴∠C=∠AED，AE=AC，CD=ED，又∵ AB=AC+CD，∴ ED=EB，∴∠EDB=∠B，∴∠AED=2∠B ∴∠C=2∠B．2．如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，求证：BC=BD+AD．图 3 图 4解析：在BC上取点E、F，使BE=BD，BF=BA．如图4∵ BD平分∠ABC，∠A=100°，∴△ABD≌△FBD，FD=AD，∠BFD=100°，∴∠DFE=180°-100°=80°∵ AB=AC∴∠ABC=∠C∴∴∠DBE=20°∴∠DEF=(180°-20°)÷2=80°∴∠DFE=∠DEF∴ DE=DF=AD,∵∠C=(180°-100°) ÷2=40°, ∠EDC=∠DEF-∠C=80°-40°=40°,∴ DE=EC,∴ AD=EC,∴ BC=BE+EC=BD+AD．3．如图5，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB，PC。
人教版八年级数学第一学期几何压轴题期末复习提高训练试题
人教版八年级数学第一学期几何压轴题期末复习提高训练试题1、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．2、已知，如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点D在AC上．（1）求证：AE∥BC；（2）直接写出AE，AD和AB之间的关系；3、如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．4、根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：如图，_____________________________．求证：________________________．5、已知：如图，点A，B在∠MON的边OM，ON上，OA的垂直平分线CP与OB的垂直平分线DP相交于点P，连接P A，PO，PB，AB．（1）求证：①P A＝PB；②∠APB＝2∠CPD；（2）探究：∠MON满足什么条件时，△P AB是等边三角形，并说明理由；（3）若OA＝OB，请在备用图中画出符合条件的图形，并探究∠CPO与∠APB之间的数量关系，并说明理由．6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？7、已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①∠AEB的度数为°；②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为．（直接写出答案，不需要说明理由）8、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．9、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？10、已知∠MAN＝120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．【发现】（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠BCD＝°，△CBD是三角形；【探索】（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；【应用】（3）如图3，已知∠EOF＝120°，OP平分∠EOF，且OP＝1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH 为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有．（只填序号）①2个②3个③4个④4个以上11、如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．12、【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．13、如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；（2）延长BD与EF交于点G．①如图2，求证：∠BGE＝60°；②如图3，连接BE，CG．若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为．14、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．参考答案1、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD＝90°∠ECB+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE；（2）∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∵AD＝12，DE＝7，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝12﹣7＝5．2、已知，如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点D在AC上．（1）求证：AE∥BC；（2）直接写出AE，AD和AB之间的关系；【解答】证明：（1）∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝∠C＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠DBC＝∠EBA，∴△DBC≌△EBA（SAS），∴∠C＝∠EAB＝∠ABC，∴EA∥BC（2）∵△DBC≌△EBA，∴AE＝CD，∵AD+CD＝AC＝AB，∴AE+AD＝AB．3、如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．4、根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．【解答】解：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE，证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝CE．故答案为：△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，BD＝CE．5、已知：如图，点A，B在∠MON的边OM，ON上，OA的垂直平分线CP与OB的垂直平分线DP相交于点P，连接P A，PO，PB，AB．（1）求证：①P A＝PB；②∠APB＝2∠CPD；（2）探究：∠MON满足什么条件时，△P AB是等边三角形，并说明理由；（3）若OA＝OB，请在备用图中画出符合条件的图形，并探究∠CPO与∠APB之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：①∵CP为OA的垂直平分线，∴P A＝PO，同理：PB＝PO，∴P A＝PB；②∵P A＝PO，PC⊥OA，∴∠APC＝∠OPC＝∠APO，同理，∠BPD＝∠OPD＝∠BPO，∠APB＝∠APO+∠BPO＝2∠CPO+2∠DPO＝2（∠CPO+∠DPO）＝2∠CPD；（2）∠MON＝150°．理由：∵∠CPO+∠COP＝90°，∠DPO+∠DOP＝90°，∴∠MON+∠CPD＝180°，∵∠MON＝150°，∴∠CPD＝180°﹣150°＝30°，由（1）得∠APB＝2∠CPD＝60°，P A＝PB，∴△P AB是等边三角形；（3）在备用图中画出符合条件的图形如备用图，∠CPO＝∠APB．理由：∵OC＝OA，OD＝OB，OA＝OB，∴OC＝OD，在Rt△PCO和Rt△PDO中，，∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∴∠CPO＝∠DPO，由（1）得∠APC＝∠OPC，∠BPD＝∠OPD，∴∠APC＝∠CPO＝∠OPD＝∠BPD，∴∠CPO＝∠APB．6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，∴AD＝12cm，BD＝6cm，∠B＝∠C，∵经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，∴t＝，∴点Q的运动速度＝＝cm/s，∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：x﹣2x＝36，解得：x＝90，∴90﹣（）×3＝21（s），∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．7、已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①∠AEB的度数为90°；②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（直接写出答案，不需要说明理由）【解答】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；（3）①如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝180﹣45＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，故答案为：90；②如图2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM+EM＝2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE＝AD，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM，故答案为：AE＝BE+2CM．8、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝30°，∠DEC＝110°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形9、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ECA＝90°，∴∠CBE＝∠ECA，∠BEC＝∠CDA，∵在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴CD＝3cm，CE＝9cm，∴DE＝CE﹣CD＝6cm．（2）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，∵在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴DE＝CD+CE＝BE+AD＝12cm．10、已知∠MAN＝120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．【发现】（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠BCD＝60°，△CBD是等边三角形；【探索】（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；【应用】（3）如图3，已知∠EOF＝120°，OP平分∠EOF，且OP＝1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH 为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有④．（只填序号）①2个②3个③4个④4个以上【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝120°，根据四边形的内角和得，∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC+∠MAN）＝60°，∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM．CB⊥AN，∴CD＝CB，（角平分线的性质定理），∴△BCD是等边三角形；故答案为：60，等边；（2）如图2，同（1）得出，∠BCD＝60°（根据三角形的内角和定理），过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，∵AC是∠MAN的平分线，∴CE＝CF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△CFB中，，∴△CDE≌△CFB（AAS），∴CD＝CB，∵∠BCD＝60°，∴△CBD是等边三角形；（3）如图3，∵OP平分∠EOF，∠EOF＝120°，∴∠POE＝∠POF＝60°，在OE上截取OG'＝OP＝1，连接PG'，∴△G'OP是等边三角形，此时点H'和点O重合，同理：△OPH是等边三角形，此时点G和点O重合，将等边△PHG绕点P逆时针旋转到等边△PG'H'，在旋转的过程中，边PG，PH分别和OE，OF相交（如图中G''，H''）和点P围成的三角形全部是等边三角形，（旋转角的范围为（0°到60°包括0°和60°），所以有无数个；理由：同（2）的方法．故答案为④．11、如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．（2）结论：AE＝2CF+BE．理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，∵AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．12、【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为32．【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．【解答】解：问题原型：如图1中，如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC+∠DBE＝90°．∵∠A+∠ABC＝90°．∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC＝DE＝8．∵S△BCD＝BC•DE∴S△BCD＝32，故答案为32．初步探究：△BCD的面积为a2．理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC+∠DBE＝90°．∵∠A+∠ABC＝90°．∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC＝DE＝a．∵S△BCD＝BC•DE∴S△BCD＝a2；简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠F AB+∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF+∠DBE＝90°，∴∠F AB＝∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF＝DE＝a．∵S△BCD＝BC•DE，∴S△BCD＝•a•a＝a2．∴△BCD的面积为a2．13、如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；（2）延长BD与EF交于点G．①如图2，求证：∠BGE＝60°；②如图3，连接BE，CG．若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为2．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵AD＝DC＝CF，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠F＝∠CDF，∵∠ACB＝∠F+∠CDF＝60°，∴∠F＝30°，∴∠DBC＝∠F，∴BD＝DF．（2）①证明：如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE．∵EH∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝60°，∠AEH＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝EH＝AH，∵AB＝AC，∴BH＝CE，∵AE＝CF，∴EH＝CF，∵∠BHE＝∠ECF＝120°，∴△BEH≌△EFC（SAS），∴∠EBH＝∠CEF，∵AB＝BC，∠A＝∠BCD，AE＝CD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠ABE＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DEG，∵∠CDB＝∠GDE，∴∠EGD＝∠DCB＝60°，即∠BGE＝60°．②解：如图3中，在BC上取一点T，使得BT＝TG，连接TG，设CG＝x．由题意：∠ABE＝∠CBD＝15°，∵∠BCE＝∠BGE＝60°，∴B，C，G，E四点共圆，∴∠ECG＝∠EBG＝30°，∴∠BCG＝90°，∵TB＝TG，∴∠TBG＝∠TGB＝15°，∴∠GTC＝∠TBG+∠BGT＝30°，∴BT＝GT＝2GC＝2c，TC＝x，∵BG2＝CG2+BC2，∴42＝x2+（2x+x）2，∴x2＝4（2﹣）∴S△BCG＝•BC•CG＝×（2+）x2＝2，故答案为2．14、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝90度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝120度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．。
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F
E
D
A
B
C
初二上学期期末几何复习一
班级_________姓名__________
一、选择题
1.如图，BD 是ABC ∆的角平分线，BC DE //，DE 交AB 于E ，若BC AB =，则下列结论中错误的是 ( )
A ．AC BD ⊥
B ．EDA A ∠=∠
C ．BC A
D =2
D ．ED B
E = 2.如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 边上，︒=∠35DBC ， 则ADB ∠的度数为（ ）
A ．︒25
B ．︒60
C ．︒85
D ．︒95
3.和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A ．三条角平分线的交点
B ．三边中线的交点
C ．三边上高所在直线的交点
D ．三边的垂直平分线的交点 4．一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，•则对这个三角形的形状最准确的判断是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形
5．黄瑶拿一张正方形的纸按下图所示沿虚线连续对折后剪去带直角的部分，然后打开后的形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与EF 交于F ，若BF=AC ，那么∠ABC 等于（ ）
A ．45°
B ．48°
C ．50°
D ．60°
6题图 7题图 8题图
7.如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE=3cm ，△ADC•的周长为9cm ，则△ABC 的周长是（ ）
A ．10cm
B ．12cm
C ．15cm
D ．17cm
8．如图，△ABC ≌△DEF ，DF 和AC ，FE 和CB 是对应边.若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF 等于（ ）
A ．100°
B ．53°
C ．47°
D ．33°
B C
D
E
O
9．已知等腰三角形的一内角度数为100°,则它的顶角的度数为 （ ）
A ．40°
B ．80°
C ．100°
D ．40°或100°
10．如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到的图形b 、c 、d .若上述对称关系保持不变，平移△ABC ，使得四个图形能够拼成一个不重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121，，2
B ．()11-，，2
C ．()11-，，2
D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛-2121，，2
二、填空题
11.在ABC Rt △中，90C ∠=，AD 是CAB ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E .若
CD =4cm ，则DE = cm.
12．如图，立柱BC 垂直于横梁AD ，BC=8米，∠A=30°，则斜梁AB= 米.
12题图 13题图 15题图
13．如图，DB=EC ，若ΔCBD ≌ΔBCE ，可以添加的条件是 .(填写一个条件即可) 14．已知一个等腰三角形的顶角为a 度，则每个底角可表示为 度． 15．如图，把一个长方形ABCD 沿AE 对折点B 落在F 点，EF 交AD 于点G ，如果∠BEA =38°，
则∠EGA 的度数为__________度． 16．在△ABC 中，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ∥BA 交AC 于E ，EF 平分∠CED 交BC 于F ，FG ∥BA 交AC 于G ，依照这样的规律做下去形成图1中的四条线段.图2 至 图4是将图1利用对称的方法得到的，其中31,BH AK +=且3BH AK -=，则图4中实线的长度和为 ．
图1 图2 图3 图4
三、解答题
17．如图，点D 、E 在△ABC 的BC 边上，AB=AC ，BD=CE.求证：AD=AE. 证明：
18．已知：如图，ABC Rt △中，∠A =90°，∠B = 5.22，DE 是BC 的垂直平分线交AB
于D 点．求证：AD =AC ． 证明：
19．已知：如图，∠AOB 及M 、N 两点．请你在∠AOB 内部找一点P 使它到角的两边和到
点M 、N 的距离分别相等(保留作图痕迹)． 解：
A
20．求证：等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等．
21．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张庄、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？（请通过你所学的知识找出这个地点的位置）（6分）
22．如图，已知∠ACB=90°，点D是AB上一点，若DB=DC．
求证：点D是AB的中点．
证明：
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB•交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE.
24．已知：如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角板，∠BAC=90°，∠EDF=90°．
(1)请你利用这两块三角板画出BC的中点(用示意图表示)；
(2)当我们把△DEF的顶点E与A点重合时，使ED、EF与BC相交，设交点为P、G(点
P在点G的左侧)，你能否证明BP+CG与PG的关系，请你完成自己的证明．解：(1)
(2)
25．如图，ABC ∆中，AC AB =，AM 是BC 边上的中线，点N 在AM 上，求证NC NB =.
26．如图，在四边形ABCD 中，︒=∠90B ，AB DE //，DE 交BC 于E ，交AC 于F ，BC DE =，︒=∠=∠30ACB CDE 。
(1)求证：FCD ∆是等腰三角形； (2)若4=AB ，求CD 的长。
27．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且BD HD =.
(1)求证：B ∠与AHD ∠互补；
(2)若︒=∠+∠1802DGA B ，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明。