高考球问题：球的表面积和体积课件
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高中数学球的体积和表面积优秀课件ppt
3
球的表面积和体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆 锥
1 3 R 3
2 3 3 3 V半球 ? R V圆 柱 R 3 3
V球
4 3 R 3
S球 4 R
2
题型一、球的表面积和体积
例1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
(1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
练习2 1.一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则 该几何体的体积为 (18+9π) m3.
2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的 表面积为 (2+ 5 )π .
题型三、与球相关的“切”“接”问题
例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表 面积。Fra bibliotek练习1
8.用一平面去截球所得截面的面积为 2π,已知球心 到该截面的距离为 1,则该球的体积是( C ) (A)
3
π
(B)2
3
π
(C)4
3
π
(D) 4
3
3
π
9.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们 的面积分别为49πcm2 和400 πcm2 ，求球的表 面积。 2500 πcm2
练习1
10.(2013 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的 透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器 口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( A ) (A) 500π cm3 (B) 866π cm3
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图 形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 D A D1 A1 B C A C1 B1 D1 O C1 B1 D B C
球的表面积和体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆 锥
1 3 R 3
2 3 3 3 V半球 ? R V圆 柱 R 3 3
V球
4 3 R 3
S球 4 R
2
题型一、球的表面积和体积
例1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
(1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
练习2 1.一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则 该几何体的体积为 (18+9π) m3.
2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的 表面积为 (2+ 5 )π .
题型三、与球相关的“切”“接”问题
例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表 面积。Fra bibliotek练习1
8.用一平面去截球所得截面的面积为 2π,已知球心 到该截面的距离为 1,则该球的体积是( C ) (A)
3
π
(B)2
3
π
(C)4
3
π
(D) 4
3
3
π
9.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们 的面积分别为49πcm2 和400 πcm2 ，求球的表 面积。 2500 πcm2
练习1
10.(2013 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的 透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器 口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( A ) (A) 500π cm3 (B) 866π cm3
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图 形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 D A D1 A1 B C A C1 B1 D1 O C1 B1 D B C
球的体积和表面积 课件
2 048π D. 3
cm3
反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题 转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成 的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截 面的距离为1，则该球的表面积为_1_2_π___. 解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π， 所以小圆的半径为 2， 已知球心到该截面的距离为1， 所以球的半径为 3， 所以球的表面积为 4π( 3)2＝12π.
积为
√A. 32π
B.13π
C.23π
D.2 3 2π
D. 8∶ 27
解析 由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9. (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_3__2__.
解析 设大球的半径为R，由题意得
43πR3＝2×43π×13，得 R＝3 2.
类型二 与球有关的三视图问题
例2 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半 径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面 积为_4_π__. 解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球， 其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与 球的半径相等的半圆的面积之和，因为R＝1， 所以 S＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.
类型一 球的体积和表面积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； 解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的体积 V＝43πR3＝43π·43＝2356π. (2)已知球的体积为5300π，求它的表面积. 解 设球的半径为 R，则43πR3＝5300π，解得 R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
球的体积和表面积 课件
【解析】 ①当截面在球心的同侧时， 如图所示为球的轴截面，由球的截面性质 知，AO1∥BO2，且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心，则 OO1⊥AO1， OO2⊥BO2，设球的半径为 R. ∵π· O2B2＝49π，∴O2B＝7. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9.
6 12 a.
【答案】
6 12 a
探究 4 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球 的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V 多＝S 表·R 内切·13.
(3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题 4 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两
【答案】 27π
(2)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积．
【解析】 设 SO1 是正四面体 S－ABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1 上，设外接球半径为 R，AO1＝r，
则在△ABC 中，用解直角三角形知识得 r＝ 33，
从而 SO1＝ SA2－AO12＝
1－13＝
2 3.
在 Rt△AOO1 中，由勾股定理，得
【答案】 C
题型四 几何体的内切球 例 4 正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________．
【解析】 如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球
心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离．
∵AB＝a,
∴正四面体的高
h＝
6 3 a.
又 VA－BCD＝4VO－BCD，
∴R＝14h＝
在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得 x＝15，∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V 球＝43πR3＝62 3500π(cm3)． ② 当 截 面 在 球 心 异 侧 时 ， OO1 ＋ OO2 ＝ 9 ＝ R2－72 ＋ R2－202，无解．
高二数学球的体积与表面积-PPT课件
3 2 2 2 R 1 2 ( n 1 ) [ n ]
n
2 n
3 R 1( n 1 ) n ( 2 n 1 ) [ n ]
n
2 n
6
1( n 1 )( 2 n 1 ) R [ 1 2 ] n 6
3
§9.11球的体积和表面积
那么圆的面积就近似等 于R2 .
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
课堂小结
课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
V半 球 ?
3 3 V圆 柱 R 3
2 3 4 3 猜 : V 测 R , 从 V 而 R . 半球 3 3
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 R 和 R 的矩形 . 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
n
2 n
3 R 1( n 1 ) n ( 2 n 1 ) [ n ]
n
2 n
6
1( n 1 )( 2 n 1 ) R [ 1 2 ] n 6
3
§9.11球的体积和表面积
那么圆的面积就近似等 于R2 .
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
课堂小结
课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
V半 球 ?
3 3 V圆 柱 R 3
2 3 4 3 猜 : V 测 R , 从 V 而 R . 半球 3 3
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 R 和 R 的矩形 . 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
如何求球体的体积和表面积PPT课件
由①式得 V 2 R3
3 半球
定理 半径是 R 的球的体积是
V半球
4 R3
3
第8页/共19页
思考：我们能用同样的方法推导球的
表面积公式吗？
S i
o
第9页/共19页
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别
用 S, S, , S, 表示
1
2
3
设以小球面片
S
为底，球心
i
O
为顶点的“小锥体”
i 为第 个小锥体，则球表面积为
答： 空心钢球的内径约为 4.5cm.
第13页/共19页
例2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长
为4cm，求这个球的体积和表面积。
解：该球的半径为
1 4 2cm 2
V球 ＝4323＝332cm A
C′
o
S球 ＝ 4 221 6 cm
第14页/共19页
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
2
i
O
V1 SR 1 SR 1 SR .
31 32
3i
1RSS S O
3
1
2
i
S S S S
1
2
i
V 1 RS
O
3
第11页/共19页
V 1 RS
已知球的体积 3
所以
V 4 R3
3
从而
4 R 3 1 RS
3
3
S 4R2
定理
R 半径是 的球的表面积是
S 4R2
第12页/共19页
i 计算第 层“薄圆片“的体积
由勾股定理 ri R2 R ni 1 2, i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
3 半球
定理 半径是 R 的球的体积是
V半球
4 R3
3
第8页/共19页
思考：我们能用同样的方法推导球的
表面积公式吗？
S i
o
第9页/共19页
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别
用 S, S, , S, 表示
1
2
3
设以小球面片
S
为底，球心
i
O
为顶点的“小锥体”
i 为第 个小锥体，则球表面积为
答： 空心钢球的内径约为 4.5cm.
第13页/共19页
例2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长
为4cm，求这个球的体积和表面积。
解：该球的半径为
1 4 2cm 2
V球 ＝4323＝332cm A
C′
o
S球 ＝ 4 221 6 cm
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例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
2
i
O
V1 SR 1 SR 1 SR .
31 32
3i
1RSS S O
3
1
2
i
S S S S
1
2
i
V 1 RS
O
3
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V 1 RS
已知球的体积 3
所以
V 4 R3
3
从而
4 R 3 1 RS
3
3
S 4R2
定理
R 半径是 的球的表面积是
S 4R2
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i 计算第 层“薄圆片“的体积
由勾股定理 ri R2 R ni 1 2, i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
球的体积和表面积 课件
【探究提升】用一个平面去截球，对所得截面的三点说明 (1)当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径；当截面不过 球心时,截面圆的半径都小于球的半径. (2)球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念. (3)球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要 注意球的半径与截面圆半径的关系．
9. 5
答案：3 9
5
【技法点拨】求球的体积与表面积的策略 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求 出半径R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的 表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
类型 二 与球有关的组合体的表面积与体积的计算
通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并
总结求解该类问题的技巧.
1.某几何体的三视图如图所示，它的体积
为( )
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
2.一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一个球面 上，则此球的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.3 3 π
3.(2012·天津高考)一个几何体
2
面积为S=2S球+S长方体=2×4π×(32 )2+2(6×3+6×1+1×3) =54+18π.
【技法点拨】解决与球有关的组合体问题的解题技巧 (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切 点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面 图. (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题. (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点 或接点作出截面图.
V1
4 3
r3，
2第2课时 球的体积和表面积PPT课件
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/dili/
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积是关于 R 的函
P P T下载：www.1ppt.c om /xia za i/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：www.1ppt.c om /zilia o/
个人简历：www.1ppt.c om /j ia nli/
试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
教案下载：www.1ppt.c om /j ia oa n/
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
D．36π
解析：选 D. V＝43π×33＝36π.
若一个球的直径为 2，则此球的表面积为(
)
A．2π
B．16π
C．8π
D．4π
解析：选 D．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表
面积 S＝4πR2＝4π.
栏目 导引
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/dili/
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
手抄报：www.1ppt.c om /shouc ha oba o/
P P T课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
数学必修二 1.3.2 球的体积和表面积 上课优质课件
第10页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
探究 1 在面积和体积公式中，共 3 个量，半径 R 起着桥梁 作用，知一可求二，关键求半径 R.
第11页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 1
(1)若火星的半径与地球的半径之比是 1∶2， 则 ) B．4∶1 D．8∶1
地球表面积与火星表面积的比是( A．1∶4 C．1∶8
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
【思路分析】 先根据三视图确定该几何体的结构，再根据 图中给出的数据求出表面积与体积． 【解析】 由三视图可知，此几何体是一个半径为 1 的半球 和一个棱长为 2 的正方体组成． (1)S＝S 半球＋S 正方体－S 圆 1 ＝ ×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π(cm2)． 2 2π 3 1 4 3 3 (2)V＝V 半球＋V 正方体＝2×3π×1 ＋2 ＝8＋ 3 (cm )．
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为π， 则 球的表面积为( A．8 2π C．4 2π
【答案】 B
) B．8π D．4π
第17页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
题型二 与球有关的组合体的表面积与体积 例2 某个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)．
(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
探究 2 (1)本题第一问在求解时，常因忘记去除“半球同正 方体的重叠部分”而使所求的表面积变大． (2)由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时， 最重要 的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义，再根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
探究 1 在面积和体积公式中，共 3 个量，半径 R 起着桥梁 作用，知一可求二，关键求半径 R.
第11页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 1
(1)若火星的半径与地球的半径之比是 1∶2， 则 ) B．4∶1 D．8∶1
地球表面积与火星表面积的比是( A．1∶4 C．1∶8
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
【思路分析】 先根据三视图确定该几何体的结构，再根据 图中给出的数据求出表面积与体积． 【解析】 由三视图可知，此几何体是一个半径为 1 的半球 和一个棱长为 2 的正方体组成． (1)S＝S 半球＋S 正方体－S 圆 1 ＝ ×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π(cm2)． 2 2π 3 1 4 3 3 (2)V＝V 半球＋V 正方体＝2×3π×1 ＋2 ＝8＋ 3 (cm )．
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为π， 则 球的表面积为( A．8 2π C．4 2π
【答案】 B
) B．8π D．4π
第17页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
题型二 与球有关的组合体的表面积与体积 例2 某个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)．
(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
探究 2 (1)本题第一问在求解时，常因忘记去除“半球同正 方体的重叠部分”而使所求的表面积变大． (2)由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时， 最重要 的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义，再根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．
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技巧传播
解决与球相关的问题关键是找到球心的位置，求出球的半径．求半径时利用特征直角三角 形．
在求球和多面体的组合问题中球的半径时，通常设出球的半径，用解方程的思想求解．
陷阱规避
例． （黑龙江佳木斯一中高三调研试卷（理） ）已知正三棱锥 P ABC ，点 P，A，B，C 都在半径为
3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为____________.
球的表面积和体积
知识要点
推导方法：
分割
• 化曲为直 • 化整为零
求近似值
求精确值
•极限思想
d
R
r
D
C B
正方体的外接球：若正方体的棱长为 a ，它的所有顶点都在球 O 的表面上， 这个球就称为正方体的外接球，球的半径为 R
3 a． 2
A
O
D1 A1 B1 C1
O
其它的几何体与球构成的组合体，如长方体的外接球、直三棱柱的外接球、正四面体的外接 球和内切球的半径与棱长的关系也可类似求得．
典题剖析
例题 1. （湖南文）如右图是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ D ） A．9π＋42 B．36π＋18 9 C． π＋12 2 9 D． π＋18 2
例题 2.（新课标 I 理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器 口， 再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm， 如果不计容器的厚度， 则球的体积为 （ A． 500π 3 cm 3 B． 866π 3 cm 3 C． 1372π 3 cm 3 D． 2048π 3 cm 3
A
【误解】若直接做三棱锥的外接球，会无从下手，不易求解．
EPLeabharlann BCA ）【点评】本题考查球的截面圆的性质及球的体积公式．
例题 3．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ A．
81 4
A
）
B． 16
C． 9
D．
27 4
例题 4． （湖南卷理）一块石材表示的几何体的三视图如 图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到 的最大球的半径等于（ B ） A．1 B ．2 C．3 D．4