无穷级数 函数项级数 幂级数收敛半径
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
(完整版)无穷级数整理
无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一))
，
使
，于是
．令
，当 充分大时，有
因为
收敛，所以级数
绝对收敛．
【综合题】（04 年，数学一）设有方程
，其中 为正整数．证明此方程存
在唯一正实根 ，并证明当
时，级数
收敛．
【证明】记
．当
时，
，
故
在
上单调增加．
由于
，根据连续函数的零点存在定理知方程
存在唯一正实根 ，且
．从而当
时，有
，
而正项级数
收敛，所以当
在其收敛域 上可以逐项积分，即
， 且积分后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同．
【函数展开成幂级数】
设
在
点的邻域
存在任意阶导数，则称幂级数
为
在
点处的泰勒级数．
特别地，当
时，称幂级数
【泰勒级数收敛充要条件】设函数
敛于
的充要条件为
，为
的麦克劳林级数．
在
内存在任意阶导数，则其泰勒级数收
，
其中
．
【常见麦克劳林级数】
（A）发散．
（C）绝对收敛． 【答案】（C）．
收敛，则级数 （B）条件收敛． （D）收敛性与 有关．
【解析】由于
，
又级数
与
均收敛，所以由级数的运算性质得级数
收敛，
由正项级数的比较判别法，得级数
绝对收敛．故选（C）．
【例题】（03 年，数学三）
设
，则下列命题正确的是 ．
（A）若
条件收敛，则
与
都收敛．
【解析】因
当
时，因级数
设
，所以收敛半径
．
及
发散，故收敛域为
幂级数的收敛半径与收敛域
幂级数的收敛半径与收敛域幂级数是数学中重要的概念，它在各个领域有广泛的应用。
对于任意给定的幂级数，我们关心的一个重要问题是它的收敛性质。
特别是，我们想要知道幂级数的收敛半径以及收敛域。
1. 幂级数的定义与基本性质幂级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的无穷级数，其中$a_n$是常数项，$x$是变量。
对于给定的$x$值，我们可以将幂级数看作一个函数$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，这个函数在某些$x$值上有收敛性。
幂级数有一些基本的性质：（1）收敛性：幂级数在某些$x$值上收敛，即级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$存在有限的和。
（2）发散性：幂级数在某些$x$值上发散，即级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$无限地增大或者震荡。
（3）绝对收敛性：幂级数在某些$x$值上绝对收敛，即级数$\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$存在有限的和。
（4）条件收敛性：幂级数在某些$x$值上条件收敛，即幂级数收敛但不绝对收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是一个重要的指标，用于描述幂级数的收敛性。
对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，定义收敛半径$R$如下： $$R = \frac{1}{{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}}$$其中$\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$表示$a_n$的平方根序列的上极限。
根据收敛半径的定义，我们可以得到以下结论：（1）当$R=0$时，幂级数在除了$x=0$之外的任何$x$值上都发散。
（2）当$R=\infty$时，幂级数在整个实数轴上都绝对收敛。
（3）当$0<R<\infty$时，幂级数在以$x=0$为中心、半径为$R$的区间内绝对收敛，而在离开这个区间的地方发散。
第13章 无穷级数重点内容与练习
都收敛
（B）
un 与
un2 都发散
n 1
n 1
n 1
n 1
（C） un 收敛，而
u
2 n
发散（D）
un 发散，而
un2
n 1
n 1
n 1
n 1
收敛
6. 级数 sin( n2 1) （ ）．答案： B n1
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛 （D）敛散性无法判定
7.
级数
n1
sin n n2
( )．
（A） a ,b （B） a 2 ,b 2 2 +
2
2
2
2
(C) a ,b
22
答案： D ．
（D） a 2 ,b
2
2
x2 1, 0 x ,
25.设
f
(x)
x2
1,
则 f (x) 以周期为 2 的傅
x 0.
里叶级数在点 x 处收敛于
．
答案： 2 ．
1 n
（
）．答案： C
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散
（D）无法确定
8. 设正项数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散， n1
试讨论
(1)n (1 an1 ) 的敛散性．
n1
an
解：依题知
lim
n
an
存在，设
lim
n
an
a
则
a
0
，且
an a, n 1, 2,
而 (1)n (1 an1 ) an an1 an an1
ln
2
2
x
．当
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。
下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.级数的性质1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
Cauchy-Hadamard定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析
Cauchy-Hadamard 定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析李占勇（喀什大学数学与统计学院，新疆喀什844000）摘要：针对华东师范大学数学系编著的《数学分析（下册）》第三版第十四章第一节Cauchy-Hadamard定理中利用上极限确定幂级数收敛半径的条件“当0<ρ<+∞时，收敛半径R =1ρ”，给出了一个反例说明该条件充分性不足，并通过分析应对幂级数系数集{a n }的有界性加以限制，得到了Cauchy-Hadamard 定理的最优充分性条件.关键词：Cauchy-Hadamard 定理；幂级数收敛半径；充分性；上极限；下极限中图分类号：O173.1文献标志码：A文章编号：2096-2134（2020）06-0017-040引言幂级数是函数项级数中最基本的一类.它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分，由此得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式）.将函数展为幂级数，无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义.收敛级数有许多重要的应用[1-6].一般级数不是在任一点处都是收敛的，它们有一定的收敛域，需要讨论它们的收敛半径[7-9].对于幂级数+∞n=0∑a n x n中系数集是否满足“limn →+∞a n n√存在”，可以将幂级数+∞n =0∑a n x n 收敛半径的确定分为两个阶段.第一个阶段是当lim n →+∞a n n√存在时，有如下基本定理.定理1[10]已知幂级数+∞n=0∑a n x n，设limn →+∞a nn√=ρ，则：（1）当0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；（2）当ρ=0时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.第二个阶段是当limn →+∞a n n√不存在时，可以利用上极限确定幂级数的收敛半径，即下面的Cauchy-Hadamard 定理.定理2[10]（Cauchy-Hadamard 定理）已知幂级数+∞n =0∑a n x n ，设limn →+∞a n n√=ρ，则：（1）当0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；收稿日期：2020-11-11作者简介：李占勇（1986-），男，河南省驻马店人，硕士，主要从事常微分方程与动力系统研究.E-mail ：*******************DOI ：10.13933/ki.2096-2134.2020.06.005喀什大学学报Vol.41No.6第41卷第6期（2）当ρ=0时，幂级数+∞n=0∑a n x n的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为0.对于定理2中的（1），我们提出一个反例：设幂级数+∞n =0∑a n x n ，其中a n =n n ，当n 为奇数时；（122，当n =2时；（12+12n 2）n，当n 为不小于4的偶数时.⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐容易看出a n n√{}=1，12，3，（12+122），5，（12+123），6，…{}，它只有一个聚点12，因此，lim n →+∞a n n√=ρ=12，由Cauchy-Hadamard 定理知收敛半径R =1ρ=2，那么幂级数+∞n=0∑a n x n 必在x =1处收敛；但是当我们把1带入幂级数+∞n=0∑a n x n中得到级数+∞n=0∑a n ，而级数∑a n=11+（12）2+33+（12+122）4+55+（12+123）6+67+…≥11+33+55+…=∑（2n -1）2n -1，显然+∞n =0∑a n x n 在x =1处发散，这就产生了矛盾.由此可见，上述定理2中的条件（1）还缺少限制条件，这个限制条件就是“a n n√{}是有界的”.添加该限制条件后即为下面的Cauchy -Hadamard 定理.定理3（Cauchy-Hadamard 定理）已知幂级数+∞n =0∑a n x n，设limn →+∞a n n√=ρ，则：（1）当a n n√{}有界，0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；（2）当ρ=0时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.2Cauchy-Hadamard 定理3的证明证明我们先看a nn √{}与ρ的之间的关系性质：因为ρ是a n n√{}的所有聚点的上确界，所以对于任意小的正数ε，则存在a n n√{}的一个聚点a ∈（ρ-ε，ρ+ε）.现取一个正数δ=min {（ρ-ε）-a ，（ρ+ε）-a }，由a 是a n n√{}的一个聚点可知（a -δ，a +δ）中含有a n n√{}的无数个项；再由（a -δ，a +δ）⊂（ρ-ε，ρ+ε）可知（ρ-ε，ρ+ε）中含有a n n√{}的无数个项，从而ρ是a n n√{}的一个聚点.其次，再来证明：满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.假设满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是无限的，并用A 表示由这无数个项组成的数集.根据添加的限制条件“a n n√{}是有界数列”可知数列A中又存在聚点b ，不妨设其中一个聚点为b ，显然b ≥ρ+ε（否则，就有b <ρ+ε，此时取正数δ′=（ρ+ε）-b ，则（b -δ′，b +δ′）中不含数列A 中的项，但这与b 是数列A 的一个聚点产生矛盾），进而有b >ρ，又因为b 是数列A 的一个聚点，那么它必是a n n√{}的一个聚点，但这与ρ是a n n√{}的所有聚点的上确界产生矛盾，所以假设不成立，满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.注1：设limn →+∞a n n√=l ，同理可证l 是a nn√{}的一个聚点，且满足小于等于l -ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.有了这些结论，我们就很容易得到如下正项级数收敛判定定理：引理1已知正项级数+∞n=1∑u n ，若满足：（1）当u n +1u n{}有界（显然lim n →+∞u n +1un，lim n →+∞u n +1u n均存在且均不小于0），且lim n →+∞u n +1u n =ρ<1时，则正项级数+∞n =1∑u n 收敛；喀什大学学报第41卷18··李占勇：Cauchy-Hadamard 定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析第6期（2）当lim n →+∞u n +1u n =l >1时，则正项级数+∞n =1∑u n发散.注2：lim n →+∞u n +1u n=l >1并不能证明{u n }中有无穷个项大于1，它只能证明有无穷个比值项大于1，只有这无穷个比值项是依次衔接的才能证明正项级数+∞n =1∑u n 发散.引理2已知正项级数+∞n=1∑u n ，若满足：（1）当{u n }有界（显然limn →+∞u nn√存在且不小于0）且lim n →+∞u n n√ρ<1时，则正项级数+∞n=1∑u n 收敛；（2）当lim n →+∞u n n√ρ<1（ρ≠+∞）时，则正项级数+∞n=1∑u n 发散；（3）当lim n →+∞u n n√ρ=+∞时，正项级数+∞n=1∑u n发散.引理证明我们只给出引理2的证明，引理1的证明类似.（1）因为lim n →+∞u n n√=ρ<1，所以可取正数ε=1-ρ2，那么大于等于ρ+ε的u n n √{}中的项是有限个.设这有限个项的最大下标为N ，则当n>N时，总有u n n√<ρ+ε<1，根据正项级数收敛的柯西判别法可证得+∞n =1∑u n 收敛.（2）因为lim n →+∞u n n√=ρ>1，所以可取正数ε=ρ-12，那么（ρ-ε，ρ+ε）中含有u n n√{}的无数个项；由ρ-ε>1可知u n n√{}中有无数个项大于1，从而u n {}中有无数个项大于1，这样我们得到+∞n=0∑u n →+∞，即正项级数+∞n=1∑u n 发散.（3）因为lim n →+∞u n n√=+∞，所以存在u nn√{}的一个聚点u n 1n 1√，取正数ε=u n 1n 1√-12，则区间u n 1n 1√-ε，u n 1n 1√ε()含有u n n√{}中的无穷多个项，又因为1<u n 1n 1√-ε，所以这无穷多个项均大于1，进而对应的中的无穷多个项也大于1，这样我们得到正项级数+∞n =1∑u n 是发散的.现在继续回到定理的证明：（1）任取x ∈1ρ，1ρ()，则lim n →+∞a n x n n√=lim n →+∞a n n√·x ()=ρx <1（lim n →+∞ku n =k lim n →+∞u n ，k >0），从而+∞n =0∑a n x n 收敛，即+∞n =0∑a n x n 在-1ρ，1ρ()上绝对收敛，再由级数绝对收敛必收敛可知+∞n =0∑a n x n在-1ρ，1ρ()上是收敛的.任取x ∈-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()，则lim n →+∞a n x n n √=lim n →+∞a n n √·x ()=ρx >1，根据引理2可知+∞n=0∑a n x n 发散，即+∞n =0∑a n x n 在-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()上不绝对收敛.假设x ∈-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()使+∞n =0∑a nx n收敛，取1ρ<x⎺<x ，类比阿贝耳定理的证明可知：+∞n=0∑a n x n 在x ⎺处绝对收敛，又因为1ρ<x ⎺，所以根据前面的结论可知+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处不绝对收敛，这就产生了矛盾，即+∞n =0∑a n x n 在-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()上发散，这说明幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为1ρ.（2）任取x ∈（-∞，+∞），则lim n →+∞a n x n n√=limn →+∞a n n√·x()=ρx =0<1，根据引理2可知+∞n =0∑a n x n 收敛，从而+∞n =0∑a n x n 在（-∞，+∞）上绝对收敛且收敛，即幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞.（3）因为ρ=+∞，所以当x ≠0时，lim n →+∞a n x nn√19··Analysis on the Sufficiency of Determining the Convergence Radius of PowerSeries in Theorem Cauchy-HadamardLI Zhan-yong（School of Mathematics and Statistics，Kashi University，Kashi 844000，Xinjiang，China）Abstract：According to the Cauchy-Hadamard theorem in the first section of Chapter 14in the third edition ofmathematical analysis （Volume II ）edited by the Department of mathematics of East China Normal University,the condition of using upper limit to determine the convergence radius of power series “when 0<ρ<+∞，the radius of convergence R =1ρ”，this paper gives a counter example to show that the condition is insufficient ，The boundedness of coefficient seta nn√{}of power series should be restricted by analysis.Finally,the optimalsufficient conditions of Cauchy-Hadamard theorem are obtained.Key words：Cauchy-Hadamard theorem；the radius of convergence of power series；sufficiency；upper limit；lower limit=lim n →+∞a n n√·x ()=ρx =+∞，从而有当x ≠0时，+∞n =0∑a nxn在（-∞，+∞）上不绝对收敛.假设存在x ≠0使幂级数+∞n=0∑a n x n 收敛，那么取一个正数x ⎺满足0<x ⎺<x ，类比阿贝耳定理的证明可知幂级数+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处绝对收敛.但由前面的结论可知，幂级数+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处不绝对收敛，所以假设失败，即幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.定理3得证.3结论本文经过Cauchy -Hadamard 定理充分性的分析，增加了幂级数系数集a n n√{}的有界性，并且通过定理的证明过程得知系数集a n n√{}有界是必须的，从而增加的条件是最优的.在引理2中，我们知道{u n }有界必能推出u n n√{}有界，而u n n√{}有界则未必推出{u n }有界，所以会使人误认为“{u n }有界”换作“u n n√{}有界”后，条件（1）拓宽了.其实不然，换后的条件（1）除了有u n n√{}有界，还有0<ρ<1，这两个条件结合起来能证明{u n }有界，因此换后的条件与换前的条件是对等的，但对于给定的幂级数考察{u n }有界是直接能看到的，不需要经过变换.参考文献：[1]唐荣荣.渐近级数与收敛级数的比较[J].大学数学，2009，25（3）：181-184.[2]朱明星.幂级数的应用[J].中国科技信息，2011，（10）：60-61.[3]赵青波.不等式证明中幂级数的应用分析[J].当代旅游，2018，（11）：1-2.[4]初文昌.形式幂级数技巧的应用:Ⅰ.李善兰恒等式的初等证明[J].数学的实践与认识，1990，（1）：82-84.[5]张建军，宋业新，瞿勇.从两道竞赛题看幂级数展开式的应用[J].科技创新导报，2017，（30）：224-225.[6]孙延彬.矩阵幂级数的收敛性质和应用[J].和田师范专科学校学报，2010，29（3）：198-201.[7]蒋国强.一类幂级数收敛半径的统一求法[J].高等函授学报（自然科学版），2003，16（3）：20-21.[8]蔡道西.关于二元幂级数收敛半径的计算公式[J].数学学习与研究，2009，（5）：111-112.[9]Shapovalovska L O ，Skaskiv O B.On the radius of conve-rgence of random gap power series [J ].International Journal of Mathematical Analysis ，2015：1889-1893.[10]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].北京：高等教育出版社，2006.喀什大学学报第41卷20··。
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函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;
(2)如果级数 anxn在xx0处发散,则它在满
x n
n 2
解 n l i m aa nn 1n l i m (nn 2 1)21,
收敛半 R径 1.
当x1时,原幂级数 n 1成 n12, 为 收敛. 当x1时,原幂级数 n 1(n 成 12)n,为 绝对收敛.
收敛域 [1,1为 ].
（2）
3
n1 6
当 收 x 敛 1 3时 域 (, 原 1,为 1)幂 . 级 n 1[6 1 数 ()n(成 1)n]为 ,发散.
33
（3） ( n x ) n
n 1
解
liman1
n an
nl im (nn1n)n1
lim (n1)1(1)n ,
方法 1.
(1)令 xx0y,得 anyn;
n0
(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：
yR ,同时 y 讨 R 的 论 情 ; 况
(3 )再 y x 由 x 0 ,求 x 满 得 足 ,即 的 x 的 为 不 .区
方法 2. (用比值法讨论)
(1 )计n l 算 i m a n a n 1( (x x x x 0 0) )n n 1xx 0, (2 )当 xx 01 即 xx 01时 , a n (xx 0)n 绝对 ;
n1
函 数 项 级 数 un(x)的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n1
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
3.和函数
在 收 敛 域 上 ,函 数 项 级 数 的 和 是 x的 函 数 s(x),
称 s(x)为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
(2)若liman1 0,
n an
则 lim un1lim an1xx0<1
n un n an
对一x切 , anxn绝对收 . 敛 R.
n0
(3)若liman1 ,
n an
则 liu m n 1lia m n 1x( x0 )
求幂级数
x 2n1 的收敛域
n1 2n
.
例3
解 方 法 一
令 求xn11(x2yn,1n得 )n的 n 02收 ynnn,敛.域
n l i m a a n n 1n l i m 2n1 2 (n n n 1)1 2, R2.
当y2时,可得 1发散 ,
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.
(2)un(x)的和函数的定 函义 数域 项的是 级 收敛该 数 域.
n1
例如, 等比级数 xn1xx2xn
n0
它的收敛域是 (1,1),当 x(1,1)时 ,有和函数
xn
1
n0
标准幂级数收敛域的求法习例1
注解 演练例题 内容小结与思考
一般幂级数收敛域的求法 一般幂级数收敛域的求法习例2-3
一、函数项级数
1.定义
设u1(x),u2(x), ,un(x), 是定义在I R 上的
函数,则 un(x) u1(x) u2(x) un(x)
n1
高等数学 A
4第.3 4幂章级数 无穷级 4.3.1 函数项级数
4.3.2 幂级数及其收敛半径
数 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
4.3 幂级数
函数项级数的定义
4.3.1函数项级数 收敛点与收敛域
和函数
幂级数的定义
幂
阿贝尔(Abel)定理
级
收敛半径与收敛域
数 4.3.2 幂级数及其收敛性 标准幂级数收敛半径的求法
n0
n0
可令 x2 y或用比值法 . 讨论
(2)求n0xann的收敛域时 ,
可令1 y或用比值法讨.论 x
(3)求一般函数项级数的收敛域时, 可直接用比值法讨论.
例 4
求幂级数
x 2n1 的收敛域
n1 2n
.
解 级数 2 x为 2 x2 32 x3 5 缺少偶次幂的项
n1n
当 y2时 ,可得 (1)n收.敛
n1 n
2y2 ,从 2 而 x 1 2 1 x 3
收敛域 [1,为 3).
方 由比值法得， 法 二 n l i u m u n n 1 n l i 2 m (n x 1 (1 n ) n 1 1 )(x 2 n 1 n )nx 2 1,
n 0
( 1 )
a n ( x x 0 ) n a 0 a 1 ( x x 0 ) L a n ( x x 0 ) n L( 2 )
n 0
令 Xxx0,则可 (2)化 将 (1为 )的标准形式
an(xx0)n anXn
n0
n0
1 x
它的发散域是 (, 1 ]及 [1 ， ） ,或写作 x 1.
又如, 级数
xnxn
n0 n2
(x0),当x 1时收,敛
但0 当 x1时 ,nl i m un(x),级数发散 ;
所以级数的收敛域仅为 x 1.
二、幂级数及其收敛性
1.定义 形如
an(xx0)na0a1(xx0)an(xx0)n
n0
的函数项级数 数的 称一 为.般 幂形 级式
形如
anxn a0 a1x anxn
n0
的函数项级数称为数幂的级标准形. 式
a n x n a 0 a 1 x L a n x n L
n
n
R=0,
级数只在 x 0处收敛.
( 4 ) x n n1 n !
解
liman1 lim 1 0,
n an
n n 1
R ,
收敛域(,).
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an(xx0)n有两种方法求其 . 收敛域
n0
敛域 [R,R]或[R,R)或(R,R]或(R,R).
标准幂级数收敛域的求法习例
例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域
（ 1）
n 1
x n
n 2
（3） ( n x ) n n 1
（2）
n1
(1)n 6n 2n
xn
x n
(4) n1 n !
（ 1）
n 1
注意: Abel定理对标准幂级数给出.
问 :在 a n (x 2 )n 处 x 1 收 ,在 x 敛 4 处 ?
n 0
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
n0 x0
anxn收敛, 即级 数 anxn绝收 对敛 ;
n0
n0
( 2 ) 反 设 有 一 点 x 1 适 合 x 1 x 0使 级 数 收 敛 ,
由结论(1), 则 级 数 当 x x 0 时 应 收 敛 ,
与" 已 xx 0 时 知" 发 相散 .矛盾
n0
足不等式xx0的一切 x 处发散.
证
(1) anx0n收敛 , ln i m anx0n0,
n0
M, 使 a n x 得 0 n M (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
xn x0
当 x 1时, x0
注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下面