数的整除综合
数的整除的综合运用(一) 3.差系：7 11 13 能否被 7 11 …
数的整除的综合运用（一）【大海传功】 数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位 能否被4或25整除是看末两位 能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数 弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】()★★★要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】()★★★ 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★)★在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______。
【例5】()★★从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？1【例6】(★)★★下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？【例7】() ★★★★右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
四年级奥数-数的整除的综合运用(二)
【例1】(★★) 试说明任意一个4位数，原序数与反序数的和一定是11 的倍数 (如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和 7557是11 的倍数。)
【例2】(★★★) 四个学生各任意写一个六位数且个位不为 0。把个位数字移到 首位，其它位数字依次向后移一位。把得到的新的六位数与原 六位数做和，得到以下结果：172536、568741、620708、 845267。哪个结果有可能是正确的？
【例5补充】(★★) 已知数200920092009…200909能被11整除，那么n Байду номын сангаас个2009 的最小值是多少？
【例5再补充】(★★★) 已知数1222……221能被999999999整除，那么n的最小值是多少？ n个2
本讲知识总结
位值原理的使用 分类讨论的使用
2
【例3】(★★★) 在小于 5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数， 共有______个。
【例4】(★★★☆) 如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25倍，那么，这个五位数的前两位组成的两位数的最大值是 ______。
1
【例5】(★★) 已知数298329832983…298302能被18整除，那么n n个2983 的最小值是多少？
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(一)
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b ｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【例 2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 4】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 5】201202203300⨯⨯⨯⨯的结果除以10，所得到的商再除以10……重复这样的操作，在第____次除以10时，首次出现余数.【考点】整除之2、5系列【难度】5星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第7题【例 6】用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。
（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。
3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。
4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。
2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。
3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。
3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。
2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。
4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。
2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。
3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。
5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。
2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。
3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。
4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。
6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。
2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。
3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。
7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。
2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。
8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。
2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。
以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。
在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。
同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。
数的整除知识点总结数的整除知识整理
数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。
2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。
3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。
4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。
a的因数包括1和a本身。
5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。
a的倍数包括0和任意正负整数。
6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。
7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。
8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。
质数只有两个因数，即1和该数本身。
10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。
合数有多个因数。
11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。
12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。
13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。
这些是数的整除的基本知识点。
“数的整除”总复习综合练习教学设计
的 身边 ， 现 实 生 活 密 切 联 再 做 一 个 游 戏 ： 同 学 们 在 一 组 数 中 我 请 迅 速 找 出 一 个 与 众 不 同 的数 ．用 手 势 告 诉 大 家 是 第 几
『 析 ： 学 生 在 寻 找 “ 众 不 同 的 数 ” 进 一 步 比 评 让 与 中
较 辨 析 了概 念 。 １ ３游 戏 — — 破 译 密 码 。 ．
３请 学 号 是 ３ 的 倍 数 的 同 学 坐 下 。 么 样 的 数 是 ３ ． 什 的倍 数 ？
和 同 学 ｆＪ 起 学 得 真 开 心 ．我 非 常 想 和 我 们 班 的 『一 每 个 同学 做 朋 友 ． 们 愿 意 和 老 师 做 朋 友 吗 ？ 们 互 换 你 我
被 ５整 除 呢 ？
师 ： 一 猜 ． 师 会 提 什 么 问 题 ？ （ 个 数 不 是 合 猜 老 哪
数 ） 桌 相 互 说 明理 由 。 同
（ ７， ４． ， ５，９ ５） １ ２１ ５ ４
师 ： 同学 们 帮 个 忙 。 一 组 问题 可 以 怎 样 问 ？小 请 这 组 内商 量 一 下 ？
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叵匡匝
离 ，激 发 起 学 生 学 习 的 热 情 。学 生 很 快 进 入 了学 习状 态 。】
二 、 念 回顾 概 数 的 整 除 这 部 分 内 容 的 概 念 比 较 多 ， 了 能 被 ２、 除
Ａ 是 偶 数 ． 既 是 质 数 又 是 偶 数 ， 加 上 一 就 是 最 Ｂ Ｃ 小 的 合 数 ， 是 ２和 ３的 最 小 公 倍 数 ． 是 最 小 质 数 的 Ｄ Ｅ ４倍 ， Ｆ既 不 是 质 数 。 也 不 是 合 数 ， 是 １ 以 内 最 大 的 Ｇ ０
数的整除的综合运用(一)
【今日讲题】 例2，例3，例5 【讲题心得】 __________________________________________________________________ ___________________。 【家 评价】 【家长评价】 __________________________________________________________________ ______________________________________________________________。
【例1】(★★) 下面五个自然数 128114 94146 64152 6139 491678 哪些能被7 下面五个自然数：128114、94146、64152、6139、491678，哪些能被7 整除? 哪些能被11整除? 哪些能被13整除?
【例3】(★★★★) 小新一共买了28支价格相同的钢笔给大家作为奖品，共付人民币 9□ 2□元。已知在□处数字相同。请问，每支钢笔多少元？ 9□.2□元。已知在□处数字相同。请问，每支钢笔多少元？ 1
【例4】(★★★★)
(1) 如果六位数 1992□□能被105整除，那么它的末两位数是多少？ (2) 如果六位数 如 位数 2003□□ 能被 整除 能被99整除，那么它的末两位数是多少？ 它的末 位数是多少
【超常大挑战】(★★★★) 在所有的五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
数的整除的综合运用(一)
本讲主线
1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三类数字整除特征 2 三种判断整除方法 2.
1. 尾数系：2，5；4，25；8，125 (1)末一位：2、5 (2)末两位：4 25 (2)末两位：4、25 (3)末三位：8、125
小升初专题培优：数的整除之四大方法综合应用(含答案)全国通用
数的整除之四大方法综合应用一、整除的定义：当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为零时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，二、数的整除性质：⑴对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
记作：a|b，b|a，则a＝b。
⑵传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
记作：若a|b，b|c，则a|c。
⑶若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
记作：若a|b，a|c，则a|(b－c)。
⑷若a|b，m≠0，则am|bm。
⑸若am|bm，m≠0，则a|b。
三、整除特征⑴1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。
0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。
⑵看末位若一个整数的末位能被2和5，则这个数能被2和5整除。
若一个整数的末尾两位数能被4和25整除，则这个数能被4和25整除。
若一个整数的未尾三位数能被8和125整除，则这个数能被8和125整除。
⑶看数字和若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
⑷看奇数位与偶数位的差若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
⑸后三位截断法若一个数的末尾三位与前面其余数位的差分别是7、11或13整除，则这个数能被7、11、13整除求满足下面各小题条件的a ：⑴5|12a a⑵9|10a a求满足下面各小题条件的整数a ：⑴8|1234a a a a a⑵9|1234a a a a a⑶11|1234a a a a a62□是一个三位数，在□中依次填入一个数字，使所组成的三位数，能被6整除，这个数是_____。
(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛)731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，这三个数之和是_____。
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第十三讲 数的整除综合
一、填空
（1）用12个边长是1cm 的小正方形摆一个长方形，你会几种摆法？
①可以摆成长是 厘米，宽是 厘米的长方形，即 × ＝12。
②也可以摆成长是 厘米，宽是 厘米的长方形，即 × ＝12。
③还可以摆成长是 厘米，宽是 厘米的长方形，即 × ＝12。
以上所填的都是12的 ，12是这些数的 。
（2）如果a ×b ＝c (a 、b 、c 是不为0的整数)，那么，c 是 和 的倍数，
a 和
b 是
c 的 如果A 、B 是两个整数（B ≠0），且A ÷B ＝2，那么A 是B 的 ，B 是A 的 。
（3）在1、6、7、12、14、49这六个数中，是7的倍数的数有
（4）12的因数有 ，4的倍数有： (从 小到大写5个)，一个数的倍数的个数是
（5）在1，2，3，6，9，12，15，24中，6的因数有 ，6的倍数有
（6）一个数，它的倍数的个数是 ，其中最小的一个因数是 ，最大的一个因数是 。
（7）6的因数有 ，6的倍数有 （写5个），
6既是6的 ，又是6的 。
二、判断 （1）一个数的因数的个数是无限的，而倍数的个数是有限的 （2）因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数 （3）14比12大，所以14的因数比12的因数多 （4）1是1，2，3，4，5… 的因数 （5）一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
（6）一个数的最小倍数是它本身
（7）12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。
（ ） 三、选择题
（1）属于因数和倍数关系的等式是（ ）
A 、2×0.25＝0.5
B 、2×25＝50
C 、2×0＝0
（2）下列各数中，不是12的倍数的数是（ ）
A 、12
B 、24
C 、38
D 、48
（3）下面各数中，不是60的因数的数是（ ）
A 、15
B 、12
C 、60
D 、24
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
四、把下列各数填入相应的椭圆中。
4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36
五、猜电话号码
0592－A B C D E F G
提示：A ——5的最小倍数 B ——最小的自然数 C ——5的最大因数 D ——它既是4的倍数，又是4的因数
E ——它的所有因数是1，2，3，6
F ——它的所有因数是1， 3
G ——它只有一个因数
这个号码就是
六、一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是多少?
七、一个数是18的倍数，它又是18的因数，问这个数是多少?
八、（1）一个数是48的因数，这个数可能是
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个可能是
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是多少?
九、新图书馆开馆了，小红每隔3天去图书馆一次，小灵每隔4天去一次，请问小红和小灵某天在图书馆相遇后，请问经过多少天她们有可能会在图书馆再次相遇?
十. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数?
1、13、24、29、41、57、63、79、87
合数有：
质数有：
十一. 分解质因数。
65 56 94 76 135 105 87 93
十二. 两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？
十三. 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少?
十四. 用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是几?最大是几?
十五. 判断：
（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。
（）
（2）偶数都是合数，奇数都是质数。
（）
（3）7的倍数都是合数。
（）
（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。
（）
（5）只有两个约数的数，一定是质数。
（）
（6）两个质数的积，一定是质数。
（）
（7）2是偶数也是合数。
（）
（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。
（）
（9）除2以外，所有的偶数都是合数。
（）
（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。
（）
十六.思考题.
1.有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。
每段最长是多少米？一共可以截多少段？
2.一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？
3.一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。
这个班共有多少人？
4.一筐苹果5个5个地数，8个8个地数，10个10个地数，都正好数完，没有余下的。
这筐苹果最少是多少个？
5.甲、乙、丙三班同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人，把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要有多少条船？
6.有若干名学生上体育课，内容是学习篮球、排球和足球。
规定每二人合用一只排球，每三人合用一只足球，每四人合用一只篮球，共用了26只球。
问有多少名学生?。