五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用资料

五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用

一.选择题

1.（2015高考福建，文12）“对任意(0,

)2

x π

∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ． 充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【解析】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =

，构造函数()sin 22

k

f x x x =-，则'()cos 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022

f x f ππ

<=-<，

则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1

sin 22

x x <，构造函

数1()sin 22g x x x =-，则'

()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故

()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，

“对任意(0,)2x π

∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．

【答案】B

2.（2015湖南高考，文8）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数

()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2

111

'111f x x x x

=

+=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A. 【答案】A

3.（2015北京高考，文8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）

A ．6升

B ．8升

C ．10升

D ．12升 【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量

48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，

该车每100千米平均耗油量为48

1008600

?=升，故选B . 【答案】B

4（2015福建高考，理2）下列函数为奇函数的是( ) A

．y =

B ．sin y x =

C ．cos y x =

D ．x x y e e -=-

【解析】选D

函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x

y e e -=-是奇函数，故选D ．

5.（2015广东高考，理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．x

e x y += B ．x

x y 1

+= C ．x x y 2

12+

= D ．2

1x y += 【解析】选A 记()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+，那么()()11f f -≠，

()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B 、C 、D 依次是

奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．

6.（2015湖北高考，理6）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??

==??-

()f x 是R 上的增函数，

()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）

A ．sgn[()]sgn g x x =

B ．sgn[()]sgn g x x =-

C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =

D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-

【解析】 选B 因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0

sgn 0,01,0x x x x >??

==??-

1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->??

===-??

.

7.（2015安徽高考，理2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）2

1y x =+

【答案】A

8.（2015四川高考，理8）设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （ ）

（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【解析】B

若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如.1

,33

a b =

=，从而333a b >>不成立.故选B. 9.（2015北京高考，理7）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）

A

B O

x

y -1

2

2C

A ．{}|10x x -<≤

B ．{}|11x x -≤≤

C ．{}|11x x -<≤

D ．{}

|12x x -<≤

【解析】选C 如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到

2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示

解集选C

10.（2015天津高考，理7）已知定义在R 上的函数()2

1x m

f x -=- （m 为实数）为偶函

数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【解析】选C 因为函数()2

1x m

f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x

f x =-，所以

2

21

log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ?

?===-=-=-= ??

?

()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=

所以c a b <<，故选C.

11.（2015浙江高考，理7）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）

A. (sin 2)sin f x x =

B. 2

(sin 2)f x x x =+ C. 2

(1)1f x x +=+ D.

2(2)1f x x x +=+

【答案】D.

12.（2015安徽高考，理9）函数()()

2

ax b

f x x c +=

+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <

【解析】选C 由()()

2

ax b

f x x c +=

+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，

2(0)0b f c =

>，所以0b >；当0

y =，0ax b +=，所以0b

x a

=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C.

13.（2015天津高考，理8）已知函数()()2

2,2,

2,2,

x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

（A ）7,4??+∞

??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ??? （D ）7,24??

???

【解析】选D 由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤??=?->??得2

22,0

(2),0x x f x x x --≥??-=?

2,0

()(2)42,

0222(2),2

x x x y f x f x x x x x x x ?-+

=+-=---≤≤??--+->?， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+

=+-=≤≤??-+>?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图

象的4个公共点，由图象可知

7

24

b <<.

14.（2015山东高考，理10）设函数()31,1

,2,1x

x x f x x -

2

f a f f a =的a 取值范围是（ ）

（A ）2

,13?????? （B ）[]0,1 （C ）2,3??+∞????

（D ）[)1,+∞

【答案】C

15.（2015新课标全国高考2，理10）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）

(D)

(C)

(B)(A)

y

π4

π2

3π4

π

π

3π4

π2

π4

y

y

π4

π2

3π4

π

π

3π4

π2

π4

y

【解析】选B 由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04

x π

≤≤

时，

2tan 4tan PA PB x x +=+；当点P 在CD 边上运动时，即3,4

42

x x π

ππ

≤≤

≠时，2211(

1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-+++，当2

x π

=时，22PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即

34

x π

π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2

x π

=

对称，且()()42

f f ππ

>，且轨迹非线型，故选B ．

16.（2015新课标全国高考2，理5）设函数

D

P

C

B

O

A

x

211log (2),1,()2,1,

x x x f x x -+-

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

【解析】选C 由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以

22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．

17.（2015湖北高考，文6）函数256

()4||lg 3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）

A ．(2,3)

B ．(2,4]

C ．(2,3)

(3,4]

D ．(1,3)

(3,6]-

【解析】选C 由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：

256

4||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为

(2,3)

(3,4]，故应选C .

18．（2015浙江高考，文5）函数()1cos f x x x x ?

?

=- ???

（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】选D 因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x

-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则1

1

()()cos ()0f πππππ

π

=-

=--<，故选D.

19.【2015高考重庆，文3）函数22(x)

log (x 2x 3)f 的定义域是（ ）

(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)

(1,)-∞-+∞

【解析】选D 由0)1)(3(0322

>-+?>-+x x x x 解得3-x ，故选D. 20.（2015四川高考，文5）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )

(A )y ＝sin (2x ＋

2

π

) (B )y ＝cos (2x ＋

2

π

)

(C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx 【解析】选B A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π 但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y

sin (2x ＋4

π

)是非奇非偶函数

故正确答案为B

21.（2015四川高考，文8）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b

y e

+=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时

间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )

(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时

【解析】选C 由题意，2219248b

k b

e e +?=??=??得1119212

b

k e e

?=??=??，于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b

＝3

1()2

×192＝24(小时)

22.（2015新课标全国高考1，文10）已知函数12

22,1

()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，

则(6)f a -=（ ）

（A ）74-

（B ）54- （C ）34- （D ）1

4

- 【解析】选A ∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1

()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式

显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴