线面垂直经典例题及练习题-.
立体几何线面垂直-题型全归纳(解析版)
立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。
证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。
变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。
变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。
线面垂直题型20道
线面垂直题型20道
1. 两条直线的夹角为90度，则它们一定垂直。
2. 如果一条直线垂直于另一条直线，那么任意一条过这两条直线的线段，这条线段上的点就分别与这两条直线的交点连成的线段垂直。
3. 两条直线分别垂直于第三条直线，则这两条直线平行。
4. 一条线段的中垂线与线段垂直。
5. 任意一个点到平面上一直线的垂足所在的直线与这条直线垂直。
6. 如果一个三角形的两条边互相垂直，则这个三角形是直角三角形。
7. 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线称为这个平面的法线。
8. 一个正方体的某个面与它所在的平面垂直。
9. 一个矩形的对角线互相垂直。
10. 一个正方形的对角线互相垂直。
11. 如果两个面互相垂直，则它们的法线互相平行。
12. 如果平面P垂直于直线L1，且L1垂直于直线L2，则平面P和直线L2互相平行。
13. 如果两条直线互相垂直，则它们的斜率的乘积为-1。
14. 如果一条直线过一个圆的圆心，则这条直线与圆的切线垂直。
15. 如果一条直线垂直于直径所在的直线，则它和圆的切线互相平行。
16. 直角梯形的两条腰互相垂直。
17. 如果两个向量垂直，则它们的点积为0。
18. 如果直线L1垂直于平面P，那么L1上任意一点到P的距离均相等。
19. 一个正六面体的某个面与它所在的平面垂直。
20. 如果两个三维空间中的直线垂直，则它们的方向向量的点积为0。
线面垂直经典例题及练习题-完整可编辑版
页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！立体几何1．P 点在那么ABC ∆所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC两两垂直，那么D 点是那么ABC ∆ 〔 B 〕(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 〔 A 〕(A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行3．假设两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是〔 A 〕(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的选项是 〔 B 〕(A)假设直线//a 平面M ，直线b a ⊥，那么直线⊥b 平面M (B)假设平面M //平面N ，那么平面M 内任意直线a //平面N(C)假设平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，那么N b ⊥ (D)假设平面N 的两条直线都平行平面M ，那么平面N //平面M5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，以下命题中错误的选项是 〔A 〕 (A),,αα⊂⊂b a 且ββ//,//b a ，那么βα// (B)a 、b 是异面直线，那么存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥⊂⊥βα那么βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 那么b a ⊥6.直线l //平面α，αβ⊥，那么l 与平面β的位置关系是 〔 D 〕 (A) l β⊂ (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒，其中正确的选项是〔D 〕(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，那么〔 B 〕 (A)////αβγδ或 (B) ////αβγδ且(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，那么〔 D 〕(A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！10．PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，那么互相垂直的平面有〔 C 〕(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对12. 如图9-29，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． 求证：MN ⊥AB ．13. ：如图，AS ⊥平面SBC ，SO ⊥平面ABC 于O ， 求证：AO ⊥BC ．15. 如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC16. 如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，〔１〕求证：BC ⊥平面PAC ；〔２〕求证：PB ⊥平面AEF.17. 如图：PA ⊥平面PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥PM.CFEPBAC BAM P页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC的中点．且AC CC 21=.〔Ⅰ〕求证：CN //平面 AMB 1； 〔Ⅱ〕求证：平面AMG .【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
线面垂直判定经典证明题
线面垂直判定经典证明题1.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB和AC。
证明PA垂直于平面ABC。
2.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB，BC垂直于平面PAC。
证明PA垂直于BC。
3.已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。
证明VB垂直于AC。
4.已知：在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD的中心。
证明BD垂直于平面AEGC。
5.已知：在圆O中，AB是直径，PA垂直于AC和AB。
证明BC垂直于平面PAC。
6.已知：在三角形ABC中，AD垂直于BD和DC，AD=BD=CD，∠BAC=60°。
证明BD垂直于平面ADC。
7.已知：在矩形ABCD中，PA垂直于平面ABCD，M和N分别是AB和PC的中点。
1) 证明MN平行于平面PAD。
2) 证明XXX垂直于CD。
3) 若∠PDA=45°，证明MN垂直于平面PCD。
8.已知：在棱形ABCD所在平面外，P满足PA=PC。
证明AC垂直于平面PBD。
9.已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，平面ABC垂直于平面BCD，E是棱BC的中点。
1) 证明AE垂直于平面BCD。
2) 证明AD垂直于BC。
10.在三棱锥ABCD中，AB=1，BC=2，BD=AC=3，AD=2.证明AB垂直于平面BCD。
11.在四棱锥S-ABCD中，SD垂直于平面ABCD，底面ABCD是正方形。
证明AC垂直于平面SBD。
12.已知：正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE垂直于平面CDE。
证明AB垂直于平面ADE。
13.在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，H是△XXX的垂心。
证明PH垂直于底面ABC。
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明A1C垂直于平面BC1D1.15.在△ABC所在平面外一点S，SA垂直于平面ABC，平面SAB垂直于平面SBC。
证明AB垂直于BC。
16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=2，D是A1B1的中点。
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中的一项基本概念，用于描述线段、射线、直线和平面之间的垂直关系。
理解线面垂直的概念对于解决几何问题至关重要。
本文将为读者提供一些线面垂直练习题及答案，帮助读者巩固对该概念的理解。
练习题一：1. AB为一条线段，m是一平面。
如果AB与m垂直，判断下列命题的真假：a) 线段AB垂直于平面mb) 平面m垂直于线段ABc) 线段AB平行于平面m2. P是平面XYZ的内点，AP的延长线与平面XYZ有几个交点？练习题二：1. 给出下列命题的定义：a) 垂线b) 垂直平分线c) 垂直平面2. 在平面上画一条线段AB和一条直线l，求证：若线段AB与直线l垂直，则直线l过点A和点B的垂直平分线。
1. 已知直线l与平面P垂直，直线m过l上一点，那么直线m与平面P的关系是什么？2. 在长方形ABCD中，线段AC和线段BD相交于点O。
求证：线段AC与平面ABCD垂直。
答案及解析：练习题一：1. a) 假，线段AB无法垂直于平面m，因为线段只有两个端点而不是无限延伸。
b) 真，平面m可以垂直于线段AB。
c) 假，线段和平面不可能平行。
2. AP的延长线与平面XYZ有且只有一个交点。
练习题二：1. a) 垂线是与给定线段或直线垂直的线段或直线。
b) 垂直平分线是将给定线段或直线垂直平分的线段或直线。
c) 垂直平面是与给定平面垂直的平面。
2. 假设直线l过点A和点B的垂直平分线交线段AB于点M，则根据垂直平分线的定义，我们可以得出线段AM和线段BM的长度相等，且直线l与线段AM和线段BM都垂直。
1. 直线m与平面P平行。
2. 连接线段AC的中点和线段BD的中点，设为点O'。
根据长方形的性质，线段OO'相等且垂直于两个平行线段AC和BD。
因此，线段OO'垂直于平面ABCD，而线段OO'与线段AC相等，所以线段AC与平面ABCD垂直。
通过以上练习题及答案，我们可以加深对线面垂直概念的理解。
线面垂直例题
由一个垂直关系联想下一个垂直关系，这样一环紧扣一环，
一系列的垂直关系便相继产生，达到线线垂直与线面垂直的
相互转化，这些垂直关系转化便是证明的全过程.
例5:如图,在Rt⊿ABC中，∠C=90°, ∠ABC=30°,BC=24，BC在平面α内，且 AC边和平面α成45°角，求AB与平面α 所成的角.
的联想，即可使结论得证.
证明：∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD， ∴SA⊥BC， 又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB， 又AE平面SAB，
∴BC⊥AE， 又SC⊥平面AEFG，AE平面AEFG， ∴SC⊥AE， ∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB. 同理可证：AG⊥SD.
点评：本例首先通过线面垂直(SA⊥面ABCD)，利用定义得到线线垂直 (SA⊥BC)，再利用判定定理得到线面垂直(BC⊥面SAB)，又利用定义得到线 线垂直(BC⊥AE)，同时从另一角度可推得SC⊥AE，再利用定理得到线面垂直 (AE⊥面AEFG)，再次利用定义得到线线垂直(AE⊥SB)，体现了“线线”与“线
面”垂直的循环互动转化.
例3如图，在空间四面体S-ABC中，
已知∠ABC=90，SA⊥平面ABC，
AN⊥SB，AM⊥SC，
证明：SC⊥平面AMN.
S
M
N
A
C B
分析：由结论联想判定定理，要证明SC⊥平面AMN，
需证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.
已知AM⊥SC，尚缺条件SC⊥AN.于是考虑
线面垂直典型例题
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上
的点，且BE＝BF＝BG，
求证：BD1⊥平面EFG.
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中一个重要的概念，它涉及到直线和平面之间的关系。
在几何学中，我们经常需要判断线和平面是否垂直，以及如何确定它们的垂直关系。
为了帮助大家更好地理解和掌握线面垂直的概念，本文将介绍一些线面垂直的练习题及答案。
1. 练习题：判断线段和平面是否垂直题目：已知线段AB的两个端点分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，平面P的法向量为(2, -1, 3)，判断线段AB是否垂直于平面P。
解答：要判断线段AB是否垂直于平面P，只需判断线段AB的方向向量是否与平面P的法向量垂直。
线段AB的方向向量为AB = B - A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)。
两个向量的点积为3*2 + 3*(-1) + 3*3 = 9，不等于0。
因此，线段AB不垂直于平面P。
2. 练习题：确定两平面之间的垂直关系题目：已知平面P1的法向量为(1, 2, -1)，平面P2的法向量为(2, -1, 3)，判断平面P1和平面P2之间的垂直关系。
解答：两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直，即两个法向量的点积为0。
计算两个法向量的点积为1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 0，等于0。
因此，平面P1和平面P2垂直。
3. 练习题：求垂直平面上的直线题目：已知平面P的方程为2x + 3y - z = 6，求过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P的直线的方程。
解答：垂直于平面P的直线的方向向量应该与平面P的法向量垂直。
由平面P的方程可知，平面P的法向量为(2, 3, -1)。
因此，过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P 的直线的方向向量为(2, 3, -1)。
直线的方程可以表示为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，其中t为参数。
4. 练习题：判断直线和平面是否垂直题目：已知直线L的方程为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，平面P的方程为2x + 3y - z = 6，判断直线L是否垂直于平面P。
必修二线面垂直经典例题
思考：三棱锥中最多有几个直角三角形？
思考：三棱锥P-ABC中最多有几个直角三角形？
P
A
O
B
C
例3、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
求证：PD⊥平面ABC.
证明： ∵PA=PB，D为AB中点
P
∴ PD⊥AB，连接CD，
∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD,
小结：线面垂直证明的难点突破
由于线面垂直的证明往往需要通过线线、线面垂直的 不断转化，所以我们一定要了解给出几何体中的已有 的垂直关系，进而寻找目标平面内与已知直线垂直的 直线。
特别是异面线线垂直的证明有一定难度，常常要转化 为先证一条直线和另一直线所在某个平面垂直。这个 平面的发现至关重要。
变题二： 判断：四边相等的四边形，对角线互相垂直
练习1：
（2011北京高考理科）如图，在四棱锥
P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=600，
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)略；
(3)略。
P
D
A
C
B
例2.如图，圆O所在一平面为
P
，
AB是圆O 的直径，C 在圆周上,
知识背景：
1、线面垂直的定义； 2、线面垂直的最基本性质； 3、线面垂直的判定定理。
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
V
K A
C B
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
V
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
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立体几何
1．P 点在则ABC ∆所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC 两
两垂直，则D 点是则ABC ∆ （ B ）
(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心
2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ A ）
(A)都平行 (B) 都相交
(C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行
3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ）
(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直
4．在空间，下述命题正确的是 （ B ）
(A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M
(B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N
(C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥
(D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M
5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （A ）
(A),,αα⊂⊂b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、
b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥⊂⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥
6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ D ）
(A) l β⊂ (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能
7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥②
//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒，其中正确的是（D ）
(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③
8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ B ）
(A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且
(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行
9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ D ）
(A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线
(C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线
10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，则互
相垂直的平面有（ C ）
(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对
12. 如图9-29，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． 求证：MN ⊥AB ．
13. 已知：如图，AS ⊥平面SBC ，SO ⊥平面ABC 于O ，
求证：AO ⊥BC ．
15. 已知如图，P 平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC
16. 如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，（１）求证：BC ⊥平面PAC ；（２）求证：PB ⊥平面AEF.
17. 如图：PA ⊥平面PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥PM.
C
F E P
B A
C B A M
P
如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC 的中点．且AC CC 21=.
（Ⅰ）求证：CN //平面 AMB 1； （Ⅱ）求证：
平面AMG .。