线面垂直经典例题及练习题
立体几何
1．P点在则ABC所在的平面外，O点是P点在平面ABC内的射影 ，PA、、两两垂直，
则D点是则ABC （ B ）
(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心
2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是
（ A ）
(A)都平行 (B) 都相交
(C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行
3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ）
(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直
4．在空间，下述命题正确的是 （ B ）
(A)若直线//a平面M，直线ba，则直线b平面
(B)若平面
MNMaNMNaMabNbNMNM
a
b
,,ba
//,//ba//abab,,,baba//,,,//,
ba
ba线l//
平面，，则l与平面的位置关系是 （ D ）
(A) l (B) //l (C) l与相交 (D) 以上三种情况均有可能
7．已知直线l平面，直线m平面，有以下四个命题：①//lm②
//lm③//lm④//lm
，其中正确的是（D ）
(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③
8．，，，是四个不同的平面，且，，，，则（ B ）
(A) ////或 (B) ////且
(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行
9．已知平面和平面相交，a是内的一条直线，则（ D ）
(A) 在内一定存在与a平行的直线 (B) 在内一定存在与a垂直的直线
(C) 在内一定不存在与a平行的直线 (D) 在内一定不存在与a垂直的直线
10．已知PA正方形ABCD所在平面，垂足为A，连PBPCPDACBD，，、，，则互
相垂直的平面有（ C ）
(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对
12. 如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
求证：MN⊥AB．
13. 已知：如图，AS⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，
求证：AO⊥BC．
15. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC
⊥平面PBC
16. 如图：在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，
（１）求证：BC⊥平面PAC；（２）求证：PB⊥平面AEF.
17. 如图：PA⊥平面PBC，AB＝AC，M是BC的中点，求证：BC⊥PM.
如图，在正三棱柱111CBAABC.中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、
BC
的中点．且ACCC21.
（Ⅰ）求证：
CN
C
F
E
P
B A
C B A
M
P
人教版高中数学同步练习,直线与平面垂直的判定
人教版高中数学同步练习§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定B1C1D1中，5. 在正方体ABCD－A(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC . 连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.。
线面垂直练习题
线面垂直练习题一、选择题1. 若直线a与平面α内的直线b垂直，且b⊂α，那么直线a与平面α的关系是（）。
A. 平行B. 垂直B. 相交D. 无法确定2. 在空间几何中，若直线m与平面α垂直，直线n在平面α内，且m与n相交，那么直线m与直线n的关系是（）。
A. 垂直B. 平行C. 异面D. 相交3. 已知直线l垂直于平面α，点P在平面α外，若要确定过点P且垂直于平面α的直线，需要（）。
A. 一条直线B. 两条直线C. 至少两条直线D. 无数条直线4. 若直线a与直线b相交，且a垂直于平面α，b在平面α内，则直线b与平面α的关系是（）。
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 无法确定5. 已知直线m垂直于直线n，直线m在平面β内，直线n在平面α内，若平面α与平面β垂直，则直线m与平面α的关系是（）。
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面二、填空题6. 若直线a与平面α垂直，直线a上的点A到平面α的距离为d，则直线a上任意一点到平面α的距离都是________。
7. 在空间几何中，若直线l1与直线l2垂直，且l1在平面α内，l2在平面β内，若平面α与平面β垂直，则直线l1与直线l2的位置关系是________。
8. 已知直线m垂直于平面α，若平面β与平面α垂直，且直线m在平面β内，则直线m与平面α的位置关系是________。
9. 若直线a与直线b垂直，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且平面α与平面β垂直，则直线a与平面β的位置关系是________。
10. 若直线l垂直于平面α，点P在平面α上，直线l'过点P且与直线l垂直，则直线l'与平面α的位置关系是________。
三、解答题11. 已知直线a与平面α垂直，直线b在平面α内，直线a与直线b 相交于点A。
求证：点A是直线b在平面α上的垂足。
12. 已知平面α与平面β垂直，直线m垂直于平面α且在平面β内，直线n在平面α内。
求证：直线m与直线n垂直。
线面平行、垂直经典练习题
线面垂直 面面垂直证明
1在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =． ⑴求证：平面1C CD ⊥平面ABC ；⑵求证：1AC ∥平面1CDB ；
⑶求三棱锥1D CBB -的体积．
2.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B D 的中点，F 是1BC 的中
点，求证：11//EF ABB A
3．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PCD 为正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面ABCD 菱形，60ADC ∠=︒，M 为PB 的中点，求证：
（1）PA CD ⊥；
（2）面CDM ⊥面PAB 。
C 1B 1A 1D
C B A
A B
5、如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，PA ┴面BAC ，<90,ABC ∠=o
AE ┴PB 于E ，AF ┴PC 于F ， 求证：（1）BC ┴面PAB ，（2）AE ┴面PBC ，（3）PC ┴面AEF 。
2. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，
(1) 求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; (2) 求证：BD 1⊥平面ACB 1 (3) 求三棱锥B-ACB 1体积．
3.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面 ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：（1）PA ∥平面BDE ； （2）BD ⊥平面PAC A
C
B
P
E
F
D 1
C 1
B 1
A 1
C
D
B
A。
线面垂直性质习题及答案
直线与平面垂直的性质练习一．选择题1．直线⊥λ平面α,直线m α⊂内。
则有（ ）A l 和m 异面B l 和m 相交C l ∥mD l 不平行m 2 直线a ∥ 平面α，直线b ⊥a, 则b 与α的关系是 （ ） A ．b ∥α B 、b 与α相交 C 、b ⊂α D 、不能确定3. 直线b ⊥直线a ，直线b ⊥平面α，则直线a 与平面α的关系是（ ） A. a ∥α B a α⊥ D a ⊂α 或a ∥α D a ⊂α4．已知PH ⊥Rt △HEF 所在的平面，且HE ⊥EF ，连结PE 、PF ， 则图中直角三角形的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 45. 在下列四个正方形中,能得到AB ⊥CD 的是 ( )()A ()B ()C ()D6．已知直线a 、b 和平面M 、N ，且M a ⊥，那么 （ ）（A ）b ∥M ⇒b ⊥a （B ）b ⊥a ⇒b ∥M（C ）N ⊥M ⇒a ∥N（D ）φ≠⇒⊄N M N aI二．填空题。
7．在Rt ∆ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC=6cm,BC=8cm,EC ⊥平面ABC ，EC=12cm ，则EA= cm ； EB= cm ； ED= cm 。
8．已知正△ABC 的边长为2cm ，PA ⊥平面ABC ，A 为垂足，且PA=2cm,那么P 到BC 的距离为 。
9． 设棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /中，M 、N 分别为AA /和BB /的中点，则直线CM 和D /N 所成的角的余弦值为 ．10．在菱形ABCD 中，已知∠BAD=600，AB=10cm ，PA ⊥菱形ABCD 所在平面，且PA=5cm ，则P 到BD 的距离为 ，P 到DC 的距离为 。
三．解答题11．如图，已知PA ⊥平面ABC,AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的任一点，求证：PC ⊥BC ．12.设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O ，1,2AC BC CD ===，求（1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的正切值； （3）异面直线AB 和CD 的大小．ACD BCABDACDBACBDAHEFO EDCFBA参考答案1~6 DDCBAA7 EA=；EB= ； ED= 13 cm 。
线面垂直例题
由一个垂直关系联想下一个垂直关系，这样一环紧扣一环，
一系列的垂直关系便相继产生，达到线线垂直与线面垂直的
相互转化，这些垂直关系转化便是证明的全过程.
例5:如图,在Rt⊿ABC中，∠C=90°, ∠ABC=30°,BC=24，BC在平面α内，且 AC边和平面α成45°角，求AB与平面α 所成的角.
的联想，即可使结论得证.
证明：∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD， ∴SA⊥BC， 又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB， 又AE平面SAB，
∴BC⊥AE， 又SC⊥平面AEFG，AE平面AEFG， ∴SC⊥AE， ∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB. 同理可证：AG⊥SD.
点评：本例首先通过线面垂直(SA⊥面ABCD)，利用定义得到线线垂直 (SA⊥BC)，再利用判定定理得到线面垂直(BC⊥面SAB)，又利用定义得到线 线垂直(BC⊥AE)，同时从另一角度可推得SC⊥AE，再利用定理得到线面垂直 (AE⊥面AEFG)，再次利用定义得到线线垂直(AE⊥SB)，体现了“线线”与“线
面”垂直的循环互动转化.
例3如图，在空间四面体S-ABC中，
已知∠ABC=90，SA⊥平面ABC，
AN⊥SB，AM⊥SC，
证明：SC⊥平面AMN.
S
M
N
A
C B
分析：由结论联想判定定理，要证明SC⊥平面AMN，
需证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.
已知AM⊥SC，尚缺条件SC⊥AN.于是考虑
线面垂直典型例题
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上
的点，且BE＝BF＝BG，
求证：BD1⊥平面EFG.
2.3.1线面垂直的判定(三课时)
A
C
B
真题演练
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，求直线A1B与平 面A1B1CD所成的角 C1 D1 D1 C
A1
Q
1
B1
P
A1 C D
B1 F
C
O
D
1
A
B
A
B
E
1
变式：(1)求直线AC与平面A1B1CD所成的角 (2)E，F分别是BC，CC1的中点，求EF与面ACC1A1所成的角
真题演练
线不在多 相交则行
m
m 符号语言： n m I n=O l m l n
线线垂直 线面垂直
α
O
n
l
长方体中，直线AD与AB、AA1、A1 B1 、 EB、GH分别是什么位置关系？
D1 A1
E G
C1 B1
H
D A B
C
理论依据： 若a , b , 则a b
例题分析
三垂线定理 : 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和这个平面 的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
Ｐ
斜线 垂线 Ａ
Ｏ
斜线在平面上的射影
第２个 空间角 平面的一条斜线和它在平 面内的射影所成的锐角，叫做 这条直线和这个平面所成的角
例1.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面α，C是圆周上不同于A,B的任意一点，
求证: BC⊥PC P
C A
O
B
真题演练
练习1.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC， 求证: VB⊥AC.
V
线面、面面垂直的判定习题课共31页文档
15、机会是不守纪律的。——雨果
1.如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，
【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.
【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连
接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC. 令SA=a,在△SBC中，SD=2 a,
2
又AD=AC 2 -CD =2 a,2
2
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
证法二：∵SA=SB=SC=a,又 ∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D， ∵AB=AC=AS, ∴D为△BSC的外心. 又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的
∠AOB叫做
二面角的平面角.二面角的大小可
以用它的
平面角来度量，二面角的平面角是多
少度，就说这个二面角是多少度.平面角是
直角 的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，
如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平
面
互相垂. 直
5.一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两 个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的
线和平面平行，或
线面垂直练习题
线面垂直练习题线面垂直是几何学中的一个重要概念，它描述的是两个物体或者两个平面之间的关系。
垂直关系在我们的日常生活中无处不在，我们可以在建筑物、道路、图形等各个方面看到它的应用。
为了更好地理解和应用线面垂直的概念，下面将介绍一些相关的练习题。
1. 垂直线段的构造假设我们有一条线段AB，如何构造一条与它垂直的线段CD呢？首先，我们需要以A和B为圆心，以任意半径画两个圆，并使它们相交于点E。
然后，以E为圆心，以与AE相等的半径画一个圆，并使它与第一个圆相交于点F。
连接EF，EF即为所求的垂直线段CD。
2. 垂直平面的判断给定一个平面P和一条直线l，如何确定这条直线与平面P是否垂直呢？我们可以在平面P上选择两个不在直线上的点A和B，然后从A、B分别引垂线AC和BD，如果AC和BD相交于直线l上的点O，并且O在平面P上，则可以判断直线l与平面P垂直。
3. 垂直平面的交线如果有两个平面P和Q，它们相交于一条直线l，如何确定这条直线与平面P、Q的垂直关系呢？我们可以在平面P上选择一条与直线l垂直的直线m，并在平面Q上选择一条与直线l垂直的直线n。
如果直线m和n相交于直线l上的点O，并且O同时在平面P和Q上，则可以判断直线l与平面P、Q垂直。
4. 垂直线段的长度计算已知一条线段AB与另一条线段CD垂直，且已知线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，如何计算线段CD的长度呢？我们可以利用勾股定理来求解。
设线段CD的长度为x，根据勾股定理，有a^2 + x^2 = b^2，整理得到x =√(b^2 - a^2)。
通过这个公式，我们可以计算出线段CD的长度。
5. 垂直平面的夹角计算如果有两个平面P和Q，它们相交于一条直线l，如何计算这两个平面的夹角呢？我们可以在平面P和Q上分别选择一条与直线l垂直的直线m和n，并计算出直线m和n的夹角θ。
则平面P和Q的夹角就等于180°-θ。
通过以上的练习题，我们可以更好地理解和应用线面垂直的概念。
线面垂直的判定与性质练习题
线面垂直的判定与性质测试题一．选择题（共16小题）1．（2018•甘肃二模）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC ．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β2．（2018•上海模拟）已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A ．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β3．（2018•宜昌三模）在三棱椎P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A ．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B ．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为C ．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D ．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为4．（2018•甘肃二模）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A ．B．4πC．D．5．（2018•甘肃三模）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（）A ．16πB．24πC．32πD．48π6．（2018•虹口区一模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是（）A ．AC⊥BE B．B1E∥平面ABCDC ．三棱锥E﹣ABC的体积为定值D．直线B1E⊥直线BC17．（2018•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB ．AB∥平面SCDC ．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D ．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8．（2018•浙江）下列命题中错误的是（）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β9．（2018•辽宁）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O 的表面积等于（）A ．4πB．3πC．2πD．π10．（2018•眉山二模）已知A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若，则B，C两点间的球面距离是（）A ．B．C．D．11．（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A ．①和②B．②和③C．③和④D．②和④12．（2018•北京）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A ．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC13．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A ．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3A ．内心B．外心C．垂心D．重心15．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A ．B．C．D．16．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）A ．B．C．D．二．填空题（共3小题）17．（2018•山西模拟）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，PA⊥平面ABC，且三棱锥外接球的表面积为64π，则PA=_________．18．（2018•兰州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C﹣PBD的高．19．如图SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A做SB的垂线，垂足为E，过E做SC的垂线，垂足为F，求证AF⊥SC．以下是证明过程：要证AF⊥SC只需证SC⊥平面AEF只需证AE⊥SC（因为EF⊥SC）只需证AE⊥平面SBC只需证_________（因为AE⊥SB）只需证BC⊥平面SAB所以AF⊥SC把证明过程补充完整①_________②_________．三．解答题（共11小题）20．（2018•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．21．（2018•开封二模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．22．（2018•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．23．（2018•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．（1）求证：OD∥平面VBC；（2）求证：AC⊥平面VOD；（3）求棱锥C﹣ABV的体积．25．（2018•梅州二模）已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．26．（2018•德州一模）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，M为PB中点．（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC．27．（2018•河西区三模）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1﹣BCD的体积．28．（2018•石景山区一模）已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F 为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．29．（2018•广东模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．30．（2018•盐城三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．（1）若PF=FC，求证：PA∥平面BDF；（2）若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．线面垂直的判定与性质测试题答案与解析一．选择题（共16小题）1．（2018•甘肃二模）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC ．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β考点：平面与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面解答：解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，立．故选B．点评：本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．2．（2018•上海模拟）已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A ．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β考点：直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故B成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故C不成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．3．（2018•宜昌三模）在三棱椎P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A ．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B ．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为C ．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D ．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为考点：直线与平面垂直的判定；命题的真假判断与应用；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．可证明直线与平面垂直，求出几何体的体积即可．解答：解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AD，又由三视图可得在△PAC中，PA=AC=4，D为PC的中点，∴AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．又BC=4，∠ADC=90°，BC⊥平面PAC．故．点评：本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的体积的求法，考查命题的真假的判断与应用．4．（2018•甘肃二模）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A ．B．4πC．D．考点：直线与平面垂直的性质；专题：球．分析：设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故选：C．的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理．5．（2018•甘肃三模）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（）A ．16πB．24πC．32πD．48π考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正AE==．AO==2 ．所求球的表面积为：4π（2）2=48π．故选D．点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．6．（2018•虹口区一模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是（）A ．AC⊥BE B．B1E∥平面ABCDC ．三棱锥E﹣ABC的体积为定值D．直线B1E⊥直线BC1考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．定理和判定定理分别进行判断证明．解答：解：A．∵在正方体中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，∴AC⊥面BB1D1D，∵BE⊂面BB1D1D，∴AC⊥BE，∴A正确．B．∵B1D1∥平面ABCD，∴B1E∥平面ABCD成立．即B正确．C．三棱锥E﹣ABC的底面△ABC为定值，锥体的高BB1为定值，∴锥体体积为定值，即C正确．D．∵D1C1⊥BC1D1，∴B1E⊥直线BC1错误．故选D．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判7．（2018•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB ．AB∥平面SCDC ．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D ．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题；探究型．分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC显然不相等，故D不正确；故选D．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．8．（2018•浙江）下列命题中错误的是（）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β考点：平面与平面垂直的性质．专题：常规题型．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．9．（2018•辽宁）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O 的表面积等于（）A ．4πB．3πC．2πD．π考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．专题：压轴题．分析：先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O式求解即可．解答：解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选A．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．（2018•眉山二模）已知A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若，则B，C两点间的球面距离是（）A ．B．C．D．考点：直线与平面分析：先寻找球心的位置，根据条件可知AB的中点为球心，然后求出弦BC所对的球心角，再根据球面距离公式求解即可．解答：解：∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，取AD的中点为O∴OA=OB=OC=OD，即O为球心∵∴BC=4则OB=OC=BC=4，所以∠BOC=60°，半径为4∴d===，故选A性质，以及球面距离等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A ．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：综合题．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．12．（2018•北京）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A ．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；压轴题．分析：正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．解答：解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．点评：本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．13．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线A ．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．解答：解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，A'B'=，故选A．点评：本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度14．三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（）A ．内心B．外心C．垂心D．重心考点：平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征．专题：常规题型．分析：先画出图形，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据BC⊥面APH，而AH⊂面APH，推出AH⊥BC，同理可推出CH⊥AB，得到H为△ABC的垂心．解答：解：如图所示，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则AP⊥面PBC，而BC⊂平面PBC∴AP⊥面ABC，BC⊂面ABC∴PH⊥BC，又AP∩PH=P，∴BC⊥面APH，而AH⊂面APH∴AH⊥BC，同理可得CH⊥AB故H为△ABC的垂心故选：C点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．15．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A ．B．C．D．考点：直线与平面棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积V=．再根据锥体的体积公式得三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC的体积都等于三棱柱ABC﹣A1B1C1体积的，由此用三棱柱ABC﹣A1B1C1体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥B1﹣ABC1的体积．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，∴底面△ABC为正三角形，面积S△ABC==又∵AA1⊥底面ABC，AA1=1∴三棱柱积V=S△ABC•AA1=∵三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1等底等高∴V=V=V=由此可得三棱锥B1﹣ABC1的体积V=V﹣V﹣V=故选：A点评：本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥B1﹣ABC1体积．着重考查识，属于中档题．16．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）A ．B．C．D．考点：直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在图A中作出经过AB的对角面，发现它与CD垂直，故AB⊥CD成立；在图B中作出正方体过AB的等边三角形截面，可得CD、AB成60°的角；而在图C、D中，不难将直线CD进行平移，得到CD与AB所成角为锐角．由此可得正确答案．解答：解：对于A，作出过AB的对角面如图，线面垂直的性质，AB⊥CD成立；对于B，作出过AB的等边三角形截面如图，将CD平移至内侧面，可得CD与AB所成角等于60°；对于C、D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB、CD所成角都是锐角．故选A．点评：本题以正方体中的异面直线为例，要我们找出异面垂直的直线，着重考查了空间两直线的位置关系和直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于基础題．二．填空题（共3小题）17．（2018•山西模拟）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，PA⊥平面ABC，且三棱锥外接球的表面积为64π，则PA=4．考点：直线与平面体．专题：空间位置关系与距离．分析：设球心O，球半径R，△ABC外接圆半径r，圆心H，由已知条件求出r==2，R=4，由PA=2能求出结果．解答：解：设球心O，球半径R，△ABC外接圆半径r，圆心H，r=HA=÷cos30°=÷=2，∵三棱锥外接球的表面积为64π，∴64π=4πR2，解得OP=OA=R=4．∴PA=2OH=2=2=2=4．故答案为：4．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解18．（2018•兰州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C﹣PBD的高．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC；（Ⅱ）利用等积法求棱锥C﹣PBD的高．解答：解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．…（6分）（Ⅱ）解：∵V C﹣∴…（8分）∵PA=AB，AB=2，∠BAD=60°，∴PB=PD=，BD=2∴，，…（10分）∴．即棱锥C﹣PBD的高为．…（12分）点评：本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间距离的求法，利用相应的判定定理是解决本题的关键．19．如图SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A做SB的垂线，垂足为E，过E做SC的垂线，垂足为F，求证AF⊥SC．以下是证明过程：要证AF⊥SC只需证SC⊥平面AEF只需证AE⊥SC（因为EF⊥SC）只需证AE⊥平面SBC只需证①（因为AE⊥SB）只需证BC⊥平面SAB只需证②（因为AB⊥BC）由只需证SA⊥平面ABC可知上式成立所以AF⊥SC把证明过程补充完整①AE⊥BC②BC⊥SA．考点：直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的判定，只需证明直线垂直于平面内的两条相交直线，由此可得结论．解答：解：根据线面垂直的判定，要证明AE⊥平面SBC，因为AE⊥SB，所以只需证AE⊥BC，即①为AE⊥BC；AB⊥BC，所以只需证BC⊥SA，即②为BC⊥SA故答案为AE⊥BC；BC⊥SA．点评：本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三．解答题（共11小题）20．（2018•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（Ⅱ）利用转换底面，V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM•CD，即可体积．解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．21．（2018•开封二模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．解答：（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．，故△AA1B 为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积点评：题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．22．（2018•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．23．（2018•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（Ⅲ）利用V E﹣ABC=积．解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC==点评：本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．24．（2018•呼伦贝尔二模）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，V A=VB=VC=2．（1）求证：OD∥平面VBC；（2）求证：AC⊥平面VOD；（3）求棱锥C﹣ABV的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知条件利用三OD∥BC，由此能证明OD∥平面VBC．（2）由已知条件推导出VO⊥AB，连接OC，推导出△VOA≌△VOC，从而得到VO⊥OC，进面得到VO⊥平面ABC，所以AC⊥VO，由此能证明AC⊥VD，从而证明AC⊥平面DOV．（3）由（2）知VO是棱锥V﹣ABC的高，由此利用等积法能求出棱锥C﹣ABV的体积．解答：（本小题满分13分）（1）证明：∵O、D分别是AB和AC的中点，∴OD∥BC．（1分）又OD⊄面VBC，BC⊂面VBC，∴OD∥平面VBC．（3分）（2）证明：∵V A=VB，O为AB中点，∴VO⊥AB．（4分）连接OC，在△VOA和。
直线、平面垂直的判定及其性质经典例题
直线、平面垂直的判定及其性质经典例题经典例题透析类型一、直线和平面垂直的定义1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．A．0B．1 C．2 D．3答案：B解析：当内的无数条直线平行时，与不一定垂直，故①不对；当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②不对；当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B．总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语．举一反三：【变式1】（2010 山东）在空间，下列命题正确的是A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；D项，正确．总结升华：本题主要考察对基础知识的掌握．类型二、直线和直线、平面垂直的判定2．（2011 广东理18）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．解析：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．∵PA=PD，∴，在中，，∴为等边三角形，∴，∴AD⊥平面PBG，∴又PB//EF，得，又∵DE//GB，得AD⊥DE，又，∴AD⊥平面DEF．（2）为二面角P—AD—B的平面角，在，在中，总结升华：要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和这条直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.举一反三：【变式1】如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：平面CBD ⊥平面BDM．证明：如下图，连接、、，则．∵，∴为等腰三角形．又知D为其底边的中点，∴．∵，，∴．又，∴．∵为直角三角形，D为的中点，∴，．又，，∴．．即CD⊥DM．∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM．又∵，∴平面CBD⊥平面BDM．总结升华：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.所以证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.类型三、直线和平面所成的角3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．解析：∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴△AOB、△AOC为正三角形，∴．∵，∴，∴△ABC为直角三角形．同理△BOC也为直角三角形．过A作AH垂直平面于H，连接OH，∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心．∴H在BC上，且H为BC的中点．∵Rt△AOH中，，∴，∴∠AOH=45°．即AO和平面所成角为45°．总结升华：(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．(2)求斜线与平面所成的角的程序：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；③把该角放入三角形计算．(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况．举一反三：【变式1】（2011 全国大纲19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求与平面所成角的大小．解析：（I）取AB中点E，连结DE、SE，∴四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，∵侧面为等边三角形∴又∵SD=1，，∴为直角．又∵，∴AB⊥平面SDE，∴．又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．∴SD⊥平面SAB．（II）作垂足为F，FG⊥BC，垂足为G，连结SG∵AB⊥平面SDE，∴平面ABCD⊥平面SED．∴SF⊥平面ABCD，∵∴，又∵FG⊥BC，∴BC⊥平面SFG，∵∴平面SBC⊥平面SFG．作，H为垂足，则FH⊥平面SBC．又∵在中，，在中，∴，即F到平面SBC的距离为．∵ED//BC，∴ED//平面SBC，∴E到平面SBC的距离d也是．设AB与平面SBC所成的角为α，则．∴与平面所成的角为．【变式2】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________．答案：解析：如下图．由题取AC中点O，连接BO．则BO⊥平面．故为与平面所成角．又在中，，．∴，∴．类型四、二面角4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小．解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC．又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC，∴DE⊥BC．∴∠AED为二面角的平面角．又∵△ABC≌△BDC，∴AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=，BE=1，∴，同理．在△AED中，∵，，∴，∴∠AED=90°．∴以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°．总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定．举一反三：【变式1】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．解析：如图，在平面内延长DE和交于点F，则F是面与面的公共点，为这两个平面的交线，∴所求二面角就是的平面角．∵，且，∴E、分别DF和A1F的中点．∵，∴．又面，面，∴面，而面．∴．∴是二面角的平面角，由已知，∴．总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可．类型五、平面与平面垂直的判定5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示．求证：平面ABD⊥平面BCD．证明：∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，，，∴．同理．在△AEC中，，，由于，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°．∴平面ABD⊥平面BCD．总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．证明：∵AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF．总结升华：证面面垂直的方法：(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB；证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角．又∵二面角B-AO-C是直二面角．∴CO⊥BO．又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB．又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC．证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，，，，在△PEA中，，，∴，平面ABC⊥平面BPC．类型六、综合应用6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．证明：(1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．。