基础练习：线面垂直经典例题及练习题
立体几何线面垂直-题型全归纳(解析版)
立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。
证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。
变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。
变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。
线面垂直判定经典证明题
线面垂直判定经典证明题1.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB和AC。
证明PA垂直于平面ABC。
2.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB，BC垂直于平面PAC。
证明PA垂直于BC。
3.已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。
证明VB垂直于AC。
4.已知：在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD的中心。
证明BD垂直于平面AEGC。
5.已知：在圆O中，AB是直径，PA垂直于AC和AB。
证明BC垂直于平面PAC。
6.已知：在三角形ABC中，AD垂直于BD和DC，AD=BD=CD，∠BAC=60°。
证明BD垂直于平面ADC。
7.已知：在矩形ABCD中，PA垂直于平面ABCD，M和N分别是AB和PC的中点。
1) 证明MN平行于平面PAD。
2) 证明XXX垂直于CD。
3) 若∠PDA=45°，证明MN垂直于平面PCD。
8.已知：在棱形ABCD所在平面外，P满足PA=PC。
证明AC垂直于平面PBD。
9.已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，平面ABC垂直于平面BCD，E是棱BC的中点。
1) 证明AE垂直于平面BCD。
2) 证明AD垂直于BC。
10.在三棱锥ABCD中，AB=1，BC=2，BD=AC=3，AD=2.证明AB垂直于平面BCD。
11.在四棱锥S-ABCD中，SD垂直于平面ABCD，底面ABCD是正方形。
证明AC垂直于平面SBD。
12.已知：正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE垂直于平面CDE。
证明AB垂直于平面ADE。
13.在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，H是△XXX的垂心。
证明PH垂直于底面ABC。
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明A1C垂直于平面BC1D1.15.在△ABC所在平面外一点S，SA垂直于平面ABC，平面SAB垂直于平面SBC。
证明AB垂直于BC。
16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=2，D是A1B1的中点。
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直是立体几何中的一个重要概念，它指的是一条直线与一个平面垂直。
在解决线面垂直问题时，我们通常需要利用相关的定理和性质来进行证明和计算。
以下是一些线面垂直的练习题及答案。
练习题1：已知直线AB与平面α垂直，点C在平面α内，求证：直线AC垂直于平面α。
答案1：由于直线AB垂直于平面α，根据线面垂直的性质定理，直线AB与平面α内的所有直线都垂直。
因此，直线AC作为平面α内的一条直线，必然与直线AB垂直。
根据线面垂直的定义，直线AC也垂直于平面α。
练习题2：在长方体ABCD-EFGH中，求证：直线BF垂直于平面ABEF。
答案2：由于长方体的对角线BF是连接两个相对顶点的直线，根据长方体的性质，对角线BF垂直于底面ABCD和顶面EFGH。
因此，直线BF垂直于平面ABEF内的任意直线，满足线面垂直的定义。
练习题3：已知直线l与平面α相交于点P，且直线m垂直于平面α，求证：直线m与直线l垂直。
答案3：由于直线m垂直于平面α，根据线面垂直的性质，直线m与平面α内的所有直线都垂直。
由于直线l与平面α相交于点P，我们可以将直线l投影到平面α上，得到一个与l平行的直线。
由于直线m垂直于平面α，它也垂直于平面α内的任何直线，包括l的投影。
因此，直线m与直线l垂直。
练习题4：在三棱锥P-ABC中，若PA⊥平面ABC，且AB⊥AC，求证：平面PAB垂直于平面PAC。
答案4：由于PA垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质，PA也垂直于平面ABC 内的所有直线，包括AB和AC。
由于AB垂直于AC，根据面面垂直的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。
因此，平面PAB垂直于平面PAC。
练习题5：已知直线a与平面α垂直，直线b在平面α内，且直线a与直线b 相交于点O，求证：点O是直线a上的垂足。
答案5：由于直线a垂直于平面α，根据线面垂直的性质，直线a与平面α内的所有直线都垂直。
必修二线面垂直经典例题
又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面 ABE.
解题小结:
破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质， 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间 垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂 直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个 核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD.
（2）求证：VB ⊥AC
小结:
A
K
C
1、问题（1）的线线垂直是通过平面几何知识解决的。 B
体现了空间向平面的转化。
2.问题（2）的线线垂直是异面垂直，又转化为新的线面 垂直解决；
即：欲证线面垂直，需证线线垂直，
欲证线线垂直，又需证新的线面垂直。
体现了空间关系的相互转化。
变题一:
空间四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD， 求证: AC⊥BD.
知识背景:
1、线面垂直的定义； 2、线面垂直的最基本性质 ； 3.线面垂直的判定定理。
例1.三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
线面垂直经典例题及练习题-
坐体几许之阳早格格创做1二笔曲，是内的射影，PA（ B ）(A)沉心 (B) 垂心 (C)内心 (D)中心2．取二个相接仄里的接线仄止的曲线战那二个仄里的位子闭系是（ A ）(A)皆仄止 (B) 皆相接(C) 正在二个仄里内 (D)起码取其中一个仄止3．若二个仄里内分别有一条曲线，那二条曲线互相仄止，那么那二仄里的位子闭系是（ A ）(A)仄止 (B) 相接 (C)仄止或者相接 (D)笔曲4．正在空间，下述命题精确的是（ B ）(A)(B)(C)(D)5中过失的是（A）存留唯一的仄里距仄里，，则取仄里的位子闭系是（D ）D ) 以上三种情况均有大概7精确的是（D ）(A)①②(B)②④ (C)③④(D)①③8．是四个分歧的仄里，且B ）(C) 四个仄里中大概任性二个皆没有服止 (D) 四个仄里中至多有一对于仄里仄止9（ D ）(A) (B)(C) (D)10．已知正圆形地圆仄里，垂脚为，连C ）(A)5对于 (B)6对于 (C)7对于(D) 8对于12.如图9-29，PA ⊥仄里ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中面．供证：MN ⊥AB ．13. 已知：如图，AS ⊥仄里SBC ，SO⊥仄里ABC 于O ，供证：AO ⊥BC ．15.已知如图，P ∉仄里ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°供证：仄里ABC ⊥仄里PBC16. 如图：正在斜边为AB 的R t △ABC 中，过面A 做PA ⊥仄里ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF⊥PC 于F ，（１）供证：BC ⊥仄里PAC ；（２）供证：PB ⊥仄里AEF. 17. 如图：PA ⊥仄里PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中面，供证：BC ⊥PM.如图，正在正三棱柱111C B A ABC -.中，底里ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、C F E PBAC B A M PAB、BC的中面．且ACCC2.1（Ⅰ）供证：CN//仄里AMB1；（Ⅱ）供证：仄里AMG.。
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中的一项基本概念，用于描述线段、射线、直线和平面之间的垂直关系。
理解线面垂直的概念对于解决几何问题至关重要。
本文将为读者提供一些线面垂直练习题及答案，帮助读者巩固对该概念的理解。
练习题一：1. AB为一条线段，m是一平面。
如果AB与m垂直，判断下列命题的真假：a) 线段AB垂直于平面mb) 平面m垂直于线段ABc) 线段AB平行于平面m2. P是平面XYZ的内点，AP的延长线与平面XYZ有几个交点？练习题二：1. 给出下列命题的定义：a) 垂线b) 垂直平分线c) 垂直平面2. 在平面上画一条线段AB和一条直线l，求证：若线段AB与直线l垂直，则直线l过点A和点B的垂直平分线。
1. 已知直线l与平面P垂直，直线m过l上一点，那么直线m与平面P的关系是什么？2. 在长方形ABCD中，线段AC和线段BD相交于点O。
求证：线段AC与平面ABCD垂直。
答案及解析：练习题一：1. a) 假，线段AB无法垂直于平面m，因为线段只有两个端点而不是无限延伸。
b) 真，平面m可以垂直于线段AB。
c) 假，线段和平面不可能平行。
2. AP的延长线与平面XYZ有且只有一个交点。
练习题二：1. a) 垂线是与给定线段或直线垂直的线段或直线。
b) 垂直平分线是将给定线段或直线垂直平分的线段或直线。
c) 垂直平面是与给定平面垂直的平面。
2. 假设直线l过点A和点B的垂直平分线交线段AB于点M，则根据垂直平分线的定义，我们可以得出线段AM和线段BM的长度相等，且直线l与线段AM和线段BM都垂直。
1. 直线m与平面P平行。
2. 连接线段AC的中点和线段BD的中点，设为点O'。
根据长方形的性质，线段OO'相等且垂直于两个平行线段AC和BD。
因此，线段OO'垂直于平面ABCD，而线段OO'与线段AC相等，所以线段AC与平面ABCD垂直。
通过以上练习题及答案，我们可以加深对线面垂直概念的理解。
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中一个重要的概念，它涉及到直线和平面之间的关系。
在几何学中，我们经常需要判断线和平面是否垂直，以及如何确定它们的垂直关系。
为了帮助大家更好地理解和掌握线面垂直的概念，本文将介绍一些线面垂直的练习题及答案。
1. 练习题：判断线段和平面是否垂直题目：已知线段AB的两个端点分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，平面P的法向量为(2, -1, 3)，判断线段AB是否垂直于平面P。
解答：要判断线段AB是否垂直于平面P，只需判断线段AB的方向向量是否与平面P的法向量垂直。
线段AB的方向向量为AB = B - A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)。
两个向量的点积为3*2 + 3*(-1) + 3*3 = 9，不等于0。
因此，线段AB不垂直于平面P。
2. 练习题：确定两平面之间的垂直关系题目：已知平面P1的法向量为(1, 2, -1)，平面P2的法向量为(2, -1, 3)，判断平面P1和平面P2之间的垂直关系。
解答：两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直，即两个法向量的点积为0。
计算两个法向量的点积为1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 0，等于0。
因此，平面P1和平面P2垂直。
3. 练习题：求垂直平面上的直线题目：已知平面P的方程为2x + 3y - z = 6，求过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P的直线的方程。
解答：垂直于平面P的直线的方向向量应该与平面P的法向量垂直。
由平面P的方程可知，平面P的法向量为(2, 3, -1)。
因此，过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P 的直线的方向向量为(2, 3, -1)。
直线的方程可以表示为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，其中t为参数。
4. 练习题：判断直线和平面是否垂直题目：已知直线L的方程为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，平面P的方程为2x + 3y - z = 6，判断直线L是否垂直于平面P。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)（1）求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1D CA B7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC 平面PBC。
12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a,2AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16. 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF21CD 又AE21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36． 4.【证明】取SA的中点E，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ， 所以△SDB ≌△SDA ， 所以∠SDB=∠SDA ， 所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ， 所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ， 所以BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，则.∵，∴为等腰三角形.又知D 为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴.∵为直角三角形，D 为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD ⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴⊥．CD AB又CD BE⊥，BE AB B=，∴CD⊥平面ABE，CD AH⊥．∵AH CD⊥，AH BE=，⊥，CD BE E∴AH⊥平面BCD．9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC ，AE ⊥BC ， 直角△ABE 中，，，， 在△PEA 中，，，∴，平面ABC ⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－D B－C的平面角．利用平面几何知1，(第10题)识可得OF＝5又OE＝1，所以，tan∠EFO＝5．11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径∴BC⊥AC；又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC ⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．.12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AD ． 又∠PDA=45°，E 为PD 的中点． ∴ AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ． 又MN ⊥CD ，∴ MN ⊥平面PCD ．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．。
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线面垂直经典练习
1．P 点在则ABC ∆所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC 两两垂直，则D 点是则ABC ∆ （ ） (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心
2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ ） (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ ） (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是 （ ） (A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N
(C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M
5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （ ） (A),,αα⊂⊂b a 且ββ//,//b a ，则βα//
(B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥⊂⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥
6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ ） (A) l β⊂ (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥②
//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒，其中正确的是（ ）
(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③
8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ ） (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且
(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ ）
(A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线
10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，则互相垂直的平面有（ ）
(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对
12. 如图9-29，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． 求证：MN ⊥AB ．
13. 已知：如图，AS ⊥平面SBC ，SO ⊥平面ABC 于O ， 求证：AO ⊥BC ．
15. 已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °,D 为BC 中点，连接AD 、PD 。
求证：平面ABC ⊥平面PAD
16. 如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，（１）求证：BC ⊥平面PAC ；（２）求证：PB ⊥平面AEF.
C
F
E
P
B
A
17. 如图：PA ⊥平面PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥PM.
18.如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC
的中点．且AC CC 21=.
（Ⅰ）求证：CN //平面 AMB 1； （Ⅱ）求证：平面AMG .
C B
A
M
P。