现代控制理论 第7章
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学绪论单元测试1.下列语句中，不正确的是（）。
A:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
B:现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统；C:20世纪50年代中期，空间技术的迅速发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题；D:在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法；答案:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
2.通过测量输出量，产生一个与输出信号存在函数关系的信号的元件称为（）。
A:给定元件B:放大元件C:反馈元件D:比较元件答案:比较元件3.闭环控制系统的控制方式为（）。
A:按扰动信号控制B:按输入信号控制C:按偏差信号控制D:按反馈信号控制答案:按偏差信号控制4.经典控制理论描述系统的数学模型是由高阶线性常微分方程演变来的传递函数，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:单输入单输出系统C:线性定常系统D:多输入多输出系统答案:单输入单输出系统;线性定常系统5.现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:线性时变系统C:多输入多输出系统D:线性定常系统答案:非线性系统;线性时变系统;多输入多输出系统;线性定常系统第一章测试1.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的（）A:对 B:错答案:对2.多输入-多输出系统的U-Y 间的传递函数为（）A:错 B:对答案:对3.由一个状态空间模型可以确定多个传递函数。
现代控制理论-第7章
第六次课小结一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念● 平衡状态的概念● Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）● 纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性 ● 二次型，复二次型（Hermite 型）二、 Lyapunov 稳定性理论● 第一方法 ● 第二方法三、 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析● 应用Lyapunov 方程Q PA P AH-=+来进行判别稳定性四、 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计● 衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。
● 计算min η的关系式五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据● 离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用六、 线性多变量系统的综合与设计的基本问题●问题的提法●性能指标的类型●研究的主要内容七、极点配置问题●问题的提出●可配置条件●极点配置算法5.2.5 爱克曼公式(Ackermann ’s Formula) 考虑由式（5.1）给出的系统，重写为Bu Ax x +=假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21 。
利用线性状态反馈控制律Kx u -=将系统状态方程改写为x BK A x )(-=(5.14)定义BK A A -=~则所期望的特征方程为)())((~11121=++++=---=-=+-**--*n n n nn a s a sa s s s s A sI BK A sI μμμ由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~应满足其自身的特征方程，所以0~~~)~(**11*1*=++++=--I a A a A a A A n n n n φ (5.15)我们用式（5.15）来推导爱克曼公式。
为简化推导，考虑n = 3的情况。
需要指出的是，对任意正整数，下面的推导可方便地加以推广。
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
K1
0 0 K1
K p
B 0 0 0 0 0
K1
T
K p
C 1 0 0 0 0 0；
1－3.
图
1－29
机械系统。M1
M
受外力
2
作用 f1 f2作用，求M1 M 2运动速度输出的
状态空间表达式。
解：微分方程 M1 y1 f1 K1(c1 c2 ) B1( y1 y2 )
M 2 y2 f2 K2c2 B2 y2 K1(c1 c2 ) B1( y1 y2 )
第一章 作业
参考答案
1－1. 求模拟结构图，并建立其状态空间 表达式。 解：状态方程：
x1 x2
x2
Kb J2
x3
x3
1 J1
x5 K p x6 x3 x4
Kp J1
x3
1 J1
x4
1 J1
x5
Kp J1
x6
x4 Kn x3 x5 K1(x6 x3 ) K1x3 K1x6
x 6
设状态变量 x = c1 c2 y1 y2 T
y y1 y2 T ，u f1 f2 T
令 x1 c1， x2 c2， x3 y1， x4 y2
x1 x3 x2 x4
x3
K1 M1
x1
K1 M1
x2
B1 M1
x3
B1 M1
x4
1 M1
f1
x4
K1 M2
x1
K1 K2 M2
第二章 作业
参考答案
2－4. 用三种方法计算eAt （定义法，约 当标准型，拉氏反变换，凯莱哈密顿）
（1）
A
0 4
1 0
直接法（不提倡使用，除非针对一些特
现代控制理论-第7章 最优控制
(3)控制规律：
u* kx(t)
P由黎卡提微分k 方Q2程1BT得P 到 边界条件：P(tf)=Q0
PA AT P PBQ21BT P Q1 P(t)
例：求解使：J最小的u*(t)
0 1 0 x 0 0x 1u,
பைடு நூலகம்
J
第二节 状态调节器
在不消耗过多控制能量的前提下，使系统各状态在受 到外界干扰作用下，维持平衡状态。
一.无限长时间状态调节器
1.原系统：可控系统
2.性能指标： 说明：(1) J
x Ax Bu, y Cx
12表0 (示xTQ1系x u统TQ2要u)d求t 状态变量偏离平衡点的累积
u* kx(t)
3.控制规律
k Q21BT P
正定实对称P由黎卡提代数方程得到：
PA AT P PBQ21BT P Q1 0
例：求使J最小的u*(t)。 0 1 0
解：
x 0 0x 1u,
J
1
(xT
x uTu)dt
误差最小，这xTQ意1x 味着因某种原因系统状态偏离平衡点，控制
作用应使它很快回复到平衡点，调节器的名称由此而来
(2) 表示在控制过程中，消耗的能量最小
J中(3的u)TQ权Q2u1重半正定，Q2正定，用来确定状态变量与控制能量在
即寻求控制规律，使系统的状态变量x(t)按性能指标J的要 求，在无限长的时间内达到平衡点
1.原系统：可控、可观系统
x Ax Bu, y Cx
2.性能指标：J
1 2
[(y
0
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
第7章现代控制理论上课讲义
dl (dx)2(dy)2
单元弧长变化率
dl 1 y&2 dx 因而 A 、 B 两点间曲线长度
J y(x) l x2 1 y&2dx x1
其值取决于函数 y(x) 的选取。
1
tdt
0
1 2
t2
1 0
1 2
J (x)
1
sin tdt
( cos t) 1
1 cos1
0
0
在这里需要注意的是，不定积分 J (x) x(t)dt 并不是一个泛函，因为无论函数 x(t)
如何选取， J (x(t)) 没有一个确定的值。
2020年6月28日
第7章第11页
又如平面上给定两点之间的曲线长度是一个泛函。设 ( x, y) 平面上有 A 、B 两点，其坐标
J (C1x1(t) C2 x2 (t)) C1J ( x1(t)) C2J ( x2 (t)) ，且其增量可以表示为
m ( t ) 飞船登月舱质量 h ( t ) 高度 v ( t ) 垂直速度
u ( t ) 发动机推力 g 月球重力加速度为常数
M 飞船登月舱不含燃料时的质量 F 登月舱所载燃料质量 h 0 登月舱登月时的初始高度 v 0 初始垂直速度
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第7章第3页
登月舱的运动方程
h&( t ) v ( t )
本节在简要地介绍泛函及变分学的概念和原理的基础上，着重阐 述无约束条件的最优控制变分求解和有等式约束条件的最优控制 变分求解方法。
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第7章第9页
7.2.1 泛函与变分法的基本概念
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
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0 x1
x2
1 0
0 μ
x1 x2
dt
xTQxdt
0
ATP PA Q
2 p12 1
p11
2ξp12
p22
0
2 p12 4ξp22 μ
0 1 p11
1
2ξ
p12
p12 p22
p11 p12
p12 0
p22
1
1 2ξ
1
0
0 μ
P
p11 p12
考虑误差信号： &e& 2ξe& e u&& 2ξu& &e& 2ξe& e 0, e(0 ) 1, e&(0 ) 0
定义状态变量：
x1 e, x2 e&
状态方程
x&
0 1
1 2ξ
x
7.2 线性二次型最优控制问题
性能指标为：
J
(e2 μe&2 )dt
0
0
( x12
μx22 )dt
p12 p22
ξ
1 μ 4ξ 1
2
1
2
1 μ
4ξ
7.2 线性二次型最优控制问题
7.1最优控制的一般概念
常用的性能指标： (1) 最短时间问题
J
tf t0
dt
tf
t0
(2) 最小燃料消耗问题 (3) 最小能量问题 (4) 线性调节器问题 (5) 线性伺服器问题
x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
J tf u(t) dt t0
J 1 tf xTQxdt
J x*Qxdt x*Px x*()Px() x*(0)Px(0)
0
0
7.2 线性二次型最优控制问题
例：如图所示系统，确定阻尼比，使得系
统在单位阶跃作用下，性能指标为极小。
解：假设系统初始是静止的。
W (s)
Y (s) U (s)
s2
1 2ξs
1
&y& 2ξy& y u
&e& 2ξe& e u&& 2ξu&
tf t0
xT (t)Q(t)x(t)
uT (t)R(t)u(t)dt
达到最小值。
7.1最优控制的一般概念
常见的二次性性能指标最优控制分两类，即线性调节器和线性伺服 器，它们已在实际中得到了广泛的应用。由于二次型性能指标最优 控制的突出特点是其线性的控制规律及其反馈控制作用可以做到与 系统状态的变化比例。
第7章 最优控制系统
本章主要内容
最优控制的一般概念 线性二次型最优控制问题 基于Matlab求解线性二次型最优控制问题
7.1最优控制的一般概念
7.1.1 最优控制问题
最优控制是一门工程背景很强的学科分支，其研究问题都是从具体工程 实践中归纳和提炼出来的。例如美国的阿波罗登月计划实现了人类历史 的首次载人登月飞行，任务要求登月舱在月球表面实现软着陆，即登月 舱到达月球表面的速度为零，并在登月过程中选择登月舱发动机推力的 最优控制律，使燃料消耗最小。由于登月舱发动机的最大推力是有限的， 因而这是一个控制有闭集约束的最小燃耗控制问题。
1 线性调节器问题；
终端时间有限的最优控制；
2 线性伺服器问题；
终端时间无限的最优控制；
7.1最优控制的一般概念
7.1. 4 最优控制的研究方法
当系统数学模型、约束条件及性能指标确定后，求解最优控制问题 的主要方法有以下几种：
解析法
数值计算法 梯度型法
7.2 线性二次型最优控制问题
考虑系统： x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0) x0
7.1最优控制的一般概念
最优控制一般包含以下四个问题：
(1) 系统的数学模型 x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
(2) 边界条件和目标集 x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
(3) 边界条件
(4) 性能指标
x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
7.1最优控制的一般概念
7.1.2 最优控制的性能指标
最优控制就是使系统的某种性能指标达到最佳，也就是说，利用控 制作用可使系统选择一条达到目标的最佳途径(即最优轨线)。至于 哪一条轨线为最优，对于不同的系统可能有不同的要求。例如，在 机床加工问题中可以要求加工成本最低为最优；在导弹飞行控制中 可以要求燃料消耗最小为最优；在截击问题中可以选择时间最短为 最优等。因此最优是以选定的性能指标达到最优为依据的。
7.2 线性二次型最优控制问题
7.2. 1 基于李雅普诺夫第二法的最优控制系统
从经典意义而言，首先设计出控制系统，再判断系统的稳定性；最优控制 与此不同的是先用公式表示出稳定性条件，再在这些约束条件下设计系统。 如果能用李雅普诺夫第二法作为最佳控制器设计的基础，就能保证正常工 作，也就是说，系统输出将能连续地朝所希望的状态转移。因此，设计出 的系统具有固有的稳定特性的结构(注意，如果系统是不可控的，不能采 用二次型最佳控制)。
二次型性能指标
J 0 L(x,u)dx
设线性控制律
k11 k12 L
u(t)
Kx(t)
k21
k22
L
M M O
kr1
kr2
L
k1n
k2n
x
(t
)
M
krn
基于二次型性能指标的最佳控制系统和最佳调节器系统的设计归结为 确定矩阵 的各元素。采用二次型最佳控制方法的一个优点是 除了系统不可控的情况外，所设计的系统将是稳定的。
坐标原点处。
注4：稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
7.1最优控制的一般概念
7.1.3 二次型性能指标的最优控制
给定一个 n阶线性控制对象，其状态方程：
x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0) x0
寻找最优控制，使得性能指标：
J
1 2
xT (t f
)Sx(t f
)
7.2 线性二次型最优控制问题
7.2. 2 参数最优的李雅普诺夫第二法解法
考虑系统：
x&(t) A(t)x(t)
系统矩阵A的特征根都具有负实部，即在原点是渐近稳定的。
假设矩阵A包括一个可调函数，要求性能指标达到极小。
J x*Qxdt 0
利用李氏第二法求解，假设：
则：
x*Qx d (x*Px) dt
2 t0
J 1
2
tf t0
(x
xd
)T Q( x
xd
)dt
5.1李雅普诺夫关于稳定性的定义
例2
非线性系统：
x&1 x&2
x1 ：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
注2：对于非线性系统，通常有一个或多个平衡状态。
注3：由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到