2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升

圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

（3）固定的端点O 叫做圆心。

（4）线段OA 的长为r 叫做半径。

2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。

（3）小于半圆的弧叫做劣弧。

（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）经过圆心的弦叫做直径。

4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。

考点2 点与圆的位置关系平面上一点P与⊙O（半径为r）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。

考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。

④平行弦夹的弧相等。

3、圆心到弦的距离叫做弦心距。

考点4 圆心角、弧、弦、弦心距间关系1、顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。

简记：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等考点5圆的确定1、圆的做法：（1）连接AB、BC；（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，设它们交于点O；（3）以点O为圆心，OA为半径作圆。

则⊙O即为所作。

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心叫做三角形的外心。

这个三角形叫做圆的内接三角形。

3、三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。

考点6 圆的对称性1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；2、中心对称：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。

【同步练习巩固】知识点1圆的相关概念1．下列说法错误的是( C )A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆2．(浙江宁波鄞州区期末)已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是( D )A．4 B．8 C．10 D．123．(安徽淮南西部地区第二次联考)下列说法：(1)长度相等的弧是等弧；(2)半径相等的圆是等圆；(3)等弧能够重合；(4)半径是圆中最长的弦．其中正确的有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(江苏扬州邗江区一模)如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于( D )A．36°B．30°C．18°D．24°5．到点O的距离等于8的所有点组成的图形是__以点O为圆心，以8为半径的圆__．6．如图，圆中有__1__条直径，__3__条弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．7．如图，⊙O的周长为4π，B是弦CD上任意一点(与C，D不重合)，过点B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB＝__2__.(用数字表示)知识点2 点与圆的位置关系8．(教材P14，练习，T2改编)(安徽安庆潜山期末)已知⊙O的半径为2，一点P到圆心O的距离为4，则点P在( C ) A．圆内B．圆上C．圆外D．无法确定9．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( A )A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外10．已知点P在⊙O外，且⊙O的半径为5，设OP＝x，那么x的取值范围是__x＞5__.11．已知AB＝10 cm，以AB为直径作圆，那么在此圆上到AB的距离等于5 cm的点共有__2__个．知识点3 圆的对称性12．下列图形中，对称轴条数最多的是( B )13．下列语句中，不正确的是( C ) A ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个14．如图，圆中的小四边形均是正方形，则阴影部分的面积与空白部分的面积的比是__1∶1__.知识点4 垂径定理及推论15．如图，⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论可能错误的是( B )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE16．已知：如图，⊙O 的半径为9，弦AB ⊥半径OC 于点H ，sin ∠BOC ＝23，则AB 的长度为( B )A ．6B ．12C ．9D ．35 17．(福建三明一模)如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为( D )A ．8B ．10C ．4 3D ．4 518．(安徽宿州萧县期末)如图，有一圆弧形门拱的拱高AB 为1 m ，跨度CD 为4 m ，则这个门拱的半径为__52__m.19．(安徽合肥十校联考)如图，在⊙O 中，弦AD ，BC 相交于点E ，连接OE ，已知AD ＝BC ，AD ⊥CB.(1)求证：AB ＝CD ；(2)如果⊙O 的半径为5，DE ＝1，求AE 的长．解：(1)证明：∵AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵－BD ︵＝BC ︵－BD ︵，即AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD.(2)如图，过点O 作OF ⊥AD 于点F ，作OG ⊥BC 于点G ，连接OA ，OC ，则AF ＝FD ，BG ＝CG.∵AD ＝BC ，∴AF ＝CG. 在Rt △AOF 与Rt △COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CG ，OA ＝OC ， ∴Rt △AOF ≌Rt △COG(HL)，∴OF ＝OG ，∴四边形OFEG 是正方形，∴OF ＝EF.设OF ＝EF ＝x ，则AF ＝FD ＝x ＋1.在Rt △OAF 中，由勾股定理，得x 2＋(x ＋1)2＝52，解得 x ＝3(负值舍去)．则AF ＝3＋1＝4，即AE ＝AF ＋3＝7.20．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于( D )A ．8B ．4C ．10D ．521．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为__0.8__m.22．某公园新建的圆形人工湖如图所示，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边先取A ，B ，C 三根木桩，使得A ，B 之间的距离与B ，C 之间的距离相等，并测得B 到AC 的距离为3 m ，AC 的长为60 m ，请你帮他们求出人工湖的半径．解：设圆心为点O ，连接OA ，OB ，AB ，BC ，OB 交AC 于点D ，如图．∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴OB ⊥AC.∴AD ＝CD ＝30 m.设OA ＝x m ，则有x 2－(x －3)2＝302，解得x ＝151.5，∴人工湖的半径为151.5 m.知识点5 圆心角及圆心角、弧、弦、弦心距间的关系23．下面四个图中的角，为圆心角的是( D )24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝100°，AD ∥OC ，则弧AD 所对圆心角的度数为( A )A ．20°B ．60°C ．50°D ．40°25．已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为6，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°__.26．(安徽淮北相山区四模)如果两个圆心角相等，那么( D )A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对27．(江苏泰州泰兴月考)已知，如图，∠AOB ＝∠COD ，下列结论不一定成立的是( D )A ．AB ＝CD B.AB ︵＝CD ︵C ．△AOB ≌△COD D ．△AOB ，△COD 都是等边三角形28．如图，已知A ，B ，C ，D 是圆上的点，AD ︵＝BC ︵，AC ，BD 交于点E ，则下列结论正确的是( C )A ．AB ＝AD B ．BE ＝CDC ．AC ＝BD D ．BE ＝AD29．圆的一条弦等于其半径，这条弦所对的圆心角是__60__度．30．(安徽合肥一六八中学一模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，PA ＝PB ，∠P ＝60°，则CD ︵所对的圆心角等于__60__度．31．如图，在△ABO 中，∠A ＝∠B ，⊙O 与OA 交于点C ，与OB 交于点D ，与AB 交于点E ，F.求证：CE ︵＝DF ︵.证明：如图，连接OE ，OF ，则OE ＝OF ，∴∠OEF ＝∠OFE. ∵∠A ＝∠B ，∠AOE ＝∠OEF －∠A ，∠BOF ＝∠OFE －∠B ，∴∠AOE ＝∠BOF ，∴CE ︵＝DF ︵.知识点6 确定圆的条件32．下列条件中，能确定唯一一个圆的是( C )A ．以点O 为圆心的圆B ．以2 cm 长为半径的圆C ．以点O 为圆心，5 cm 长为半径的圆D ．经过已知点A 的圆33.．已知A ，B ，C 为平面上三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，则( C )A ．可以画一个圆，使A ，B ，C 都在圆上 B ．可以画一个圆，使A ，B 都在圆上，C 在圆内C ．可以画一个圆，使A ，C 都在圆上，B 在圆内D ．可以画一个圆，使B ，C 都在圆上，A 在圆内34．如图所示，点A ，B ，C 在同一直线上，点M 在AC 外，经过图中的三个点作圆，可以作__3__个．知识点7 三角形的外接圆35．(浙江金华模拟)如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A ，B ，C ，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞(到三个洞口的距离相等)，这只花猫最好蹲守在( D )A ．△ABC 的三边高线的交点P 处B ．△ABC 的三条角平分线的交点P 处C ．△ABC 的三边中线的交点P 处D ．△ABC 的三边垂直平分线的交点P 处36．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M37．下列说法正确的是( D )A ．三点确定一个圆B ．圆有且只有一个内接三角形C ．三角形的外心到三角形三边的距离相等D ．三角形有且只有一个外接圆38．(广东广州越秀区二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3)，点B(4，3)，点C(0，－1)，则△ABC 外接圆的半径为__22__.39．如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24 cm ，O 到BC 的距离是5 cm ，求△ABC 的外接圆的半径．解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则OD ＝5 cm ，BD ＝12BC ＝12 cm.在Rt △OBD 中，OB ＝OD 2＋BD 2＝52＋122＝13(cm)．即△ABC 的外接圆的半径为13 cm.知识点8 反证法40．(教材P24，练习，T4改编)用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( D )A ．a 不垂直于cB ．a ，b 都不垂直于cC ．a ⊥bD ．a 与b 相交41．用反证法证明“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离d<r ，则点P 在⊙O 的内部”，首先应假设( D )A ．d ≤rB ．d ≥rC ．点P 在⊙O 的外部D ．点P 在⊙O 上或点P 在⊙O 的外部42．用反证法证明：若∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A ，∠B ，∠C 都大于60°，则有∠A ＋∠B ＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，因此假设不成立，即∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角不大于60°.【易错盘点】1．（不能准确理解弦、弧、半圆、直径的概念）下列命题中正确的有( B )①直径是圆中最长的弦；②半圆是弦；③过圆心的直线是直径；④半圆是圆弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”）下列说法中错误的有( C )①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.（不能正确理解弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系）已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上四点，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB与弦CD 的关系是( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CD D ．不能确定【能力培优提升】1．若⊙O 所在的平面内有一点P ，它到⊙O 上的点的最大距离是6，最小距离是2，则这个圆的半径为( C )A ．2B ．4C ．2或4D ．不能确定2．(安徽安庆期末)在平面直角坐标系中，⊙O 的圆心为点(1，0)，半径为2，则下面各点在⊙O 上的是( C )A ．(2，0)B ．(0，2)C ．(0，3)D ．(3，0)3．(山东泰安中考)如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3，4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA ，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为( C )A ．3B ．4C ．6D ．84．(广西梧州中考)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD的长是( C )A ．2 6B ．210C ．211D ．4 35．(安徽合肥庐阳区二模)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F.若BD ＝12 cm ，AE ＝4 cm ，则OF 的长度是( A )A.13 cm B ．213 cm C.10 cm D ．3 cm6．(江苏扬州邗江月考)如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于AB ︵上，则α的取值范围是( B )A ．36°≤α≤45°B ．45°≤α≤54°C ．54°≤α≤72°D ．72°≤α≤90°7．(浙江舟山中考)用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( D )A ．点在圆内B ．点在圆上C ．点在圆心上D ．点在圆上或圆内8．(山东济宁汶上期末)如图，小明为检验M ，N ，P ，Q 四点是否共圆，用尺规分别作了MN ，MQ 的垂直平分线交于点O ，则M ，N ，P ，Q 四点中，不一定在以O 为圆心，OM 为半径的圆上的点是( C )A.点M B ．点N C ．点P D ．点Q9 ．(重庆期中)如图，O 是△ABC 的外心，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°10．(安徽马鞍山二中一模)在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2.函数y ＝x 的图象截得⊙P 的弦AB 的长为23，则a 的值是__2＋2__.11．(湖北孝感中考)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是__2或14__ cm.12.如图，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，CD ＝CE ，则AC ︵与BC ︵的关系是__相等__．13．(浙江杭州下城区二模)已知C 是优弧AB 的中点，若∠AOC ＝4∠B ，OC ＝4，则AB ＝__43__.14．(山东济宁期中)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝110°，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB︵上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD ︵的度数为__50°__.15．若AB ＝4 cm ，则过点A ，B 且半径为3 cm 的圆有__2__个．16．已知点P ，Q ，且PQ ＝4 cm.(1)画出下列图形：到点P 的距离等于2 cm 的所有点组成的图形；到点Q 的距离等于3 cm 的所有点组成的图形．(2)在所画图形中，到点P 的距离等于2 cm ，且到点Q 的距离等于3 cm 的点有几个？请在图中将它们表示出来． 解：(1)如图，到点P 的距离等于2 cm 的所有点组成的图形是⊙P ；到点Q 的距离等于3 cm 的所有点组成的图形是⊙Q.(2)到点P 的距离等于2 cm ，且到点Q 的距离等于3 cm 的点有2个，即图中的点C 和点D.17．如图所示，BD ，CE 是△ABC 的高，求证：E ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．证明：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别为Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝BF ＝CF ＝EF.∴E ，B ，C ，D 四点在以点F 为圆心，12BC 为半径的圆上． 18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是CD ︵上的一个动点，连接AP ，求AP 的最小值．解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，交半圆于点P 2，在CD ︵上任意取点P 1，连接AP 1，EP 1，则AP 1＋EP 1≥AE ＝AP 2＋EP 2，即AP 2是AP 的最小值．∵AE ＝22＋12＝5，P 2E ＝1，∴AP 2＝5－1， ∴AP 的最小值为5－1. 19．如图，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是 AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，且OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E.(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵OD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝12×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4. (2)存在．DE 保持不变．连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2.∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， ∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，∴DE ＝12AB ＝522， ∴DE 保持不变．20．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝CD.证明：如图，连接AC. ∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝30°，AC ＝CD.又OA ＝OC ，∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°，∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°，∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ，∴AE ＝CD.21．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点．(1)求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA 至点P ，使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．解：(1)证明：如图，连接OC.∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OB ＝OC ， ∴△OAC 和△OBC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝OB ＝BC ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC.(2)由(1)可得△OAC 是等边三角形，OA ＝AC.又OA ＝AP ，∴AP ＝AC ，∴∠P ＝∠ACP .又∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝30°，∴△POC 是直角三角形，∴OP＝2OC22．如图，在△ABC中．(1)若∠A是钝角，作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；(2)若△ABC是直角三角形，两直角边长分别为6，8，求它的外接圆的半径．解：(1)如图所示．(2)∵两直角边长分别为6和8，∴斜边长为62＋82＝10.∵圆心在斜边中点处，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5.23．(安徽中考)如图，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．解：(1)如图，AE即为所求．(2)CE＝30.24．某城市广场有一块圆形场地，市政府拟在此区域内修建一个菱形花坛(如图)．花坛中心A与圆形场地的圆心重合，A到菱形的顶点B的距离为6 m，B到圆周上C点的距离为4 m，点A，B，C在同一条直线上，四边形DEFG 为矩形，且菱形的四个顶点分别位于它四条边的中点上，则花坛的边长是多少米？解：如图，连接AF.由题意知⊙A的半径AC＝AB＋BC＝6＋4＝10(m)．由菱形的性质得AC ⊥AM 于点A.∵四边形DEFG 为矩形，∴四边形AMFB 为矩形．又∵矩形的对角线相等，∴BM ＝AF ＝AC ＝10 m ，即花坛的边长是10 m.24．某地有一座圆弧形拱桥，如图所示，桥下水面宽度AB 为7.2 m ，拱顶高出水面2.4 m ，现有一艘宽3 m ，顶部为长方形并且高出水面2 m 的货船要经过这里．问此货船能顺利通过拱桥吗？解：如图所示，设AB ︵所在圆的圆心为点O ，作OD ⊥AB ，垂足为点D ，OD 的延长线交MN 于点H ，交AB ︵于点C.连接OA ，ON.由题意知DC ＝2.4 m ．设OA ＝r m ，则OD ＝OC －CD ＝(r －2.4)m ，AD ＝12AB ＝3.6 m. 在Rt △OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，∴r ＝3.9.∵EF ＝3 m ，∴DF ＝NH ＝12×3＝1.5(m)． 在Rt △ONH 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(m)，∴FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．∵2<2.1，∴此货船能顺利通过拱桥．25．如图，在⊙O 中，AB ，DE 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，且AD ︵＝CE ︵.(1)BE 与CE 有什么数量关系？说明理由；(2)若∠1＝60°，则四边形OACE 是菱形吗？若是，请说明理由．解：(1)BE ＝CE.理由如下：如图，∵∠1＝∠2，∴BE ︵＝AD ︵.∵AD ︵＝CE ︵，∴BE ︵＝CE ︵，∴BE ＝CE.(2)四边形OACE 是菱形．理由如下：如图，连接OC.∵BE ＝CE ，∴∠3＝∠1＝60°.在△COE 中，∵∠3＝60°，OE ＝OC ，∴△COE 为等边三角形，∴CE ＝OE.∵∠1＋∠3＋∠4＝180°，∠3＝∠1＝60°，∴∠4＝60°，∴AC ＝CE.∴OE ＝CE ＝AC ＝OA ，∴四边形OACE 是菱形．25．(1)如图1，圆内接△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，OD ，OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G.求证：四边形OFCG(即阴影部分)的面积是△ABC 面积的13. (2)如图2，若∠DOE 保持120°角不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形(即阴影部分)面积始终是△ABC 的面积的13.证明：(1)如图1，连接OA ，OB ，OC.∵AB ＝BC ＝CA ，∴△ABC 是等边三角形．又OA ＝OB ＝OC ，∴△BOC ≌△AOC ≌△AOB ， ∴S △AOC ＝13S △ABC .∵点O 是等边三角形ABC 的外心，OF ⊥BC ，OG ⊥AC ，∴CF ＝CG ＝12AC ，∠OFC ＝∠OGC ＝90°，∴在Rt △OFC 和Rt △OGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CG ，OC ＝OC ，∴Rt △OFC ≌Rt △OGC.同理可得Rt △OGC ≌Rt △OGA. ∴Rt △OFC ≌Rt △OGC ≌Rt △OGA ，∴S 四边形OFCG ＝2S △OGC ＝S △OAC .又S △OAC ＝13S △ABC ，∴S 四边形OFCG ＝13S △ABC. (2)如图2，连接OA ，OB 和OC ，设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G.由(1)知△AOC ≌△COB ≌△BOA ，∠1＝∠2.∵∠AOC ＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE ＝∠5＋∠4＝120.∴∠3＝∠5.在△OAG 和△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠2＝∠1，OA ＝OC ，∠3＝∠5，∴△OAG ≌△OCF ，∴S △OAG ＝S △OCF ，∴S △OAG ＋S △OGC ＝S △OCF ＋S △OGC ，即S 四边形OFCG ＝S △OAC ＝13S △ABC .。