空间后方交会的解算
摄影测量空间后方交会
摄影测量空间后方交会以单张影像空间后方交会方法，求解该像的外方位元素一、实验数据与理论基础：1、实验数据：航摄仪内方位元素f＝153.24mm，x0＝y0＝0，以及4对点的影像坐标和相应的地面坐标：影像坐标地面坐标x(mm)y(mm)X(m)Y(m)Z(m)1-86.15-68.9936589.4125273.322195.172-53.4082.2137631.0831324.51728.693-14.78-76.6339100.9724934.982386.50410.4664.4340426.5430319.81757.312、理论基础(1) 空间后方交会是以单幅影像为基础，从该影像所覆盖地面范围内若干控制点的已知地面坐标和相应点的像坐标量测值出发，根据共线条件方程，解求该影像在航空摄影时刻的外方位元素Xs，Ys，Zs，φ，ω，κ。
(2) 每一对像方和物方点可列出2个方程，若有3个已知地面坐标的控制点，可列出6个方程，求取外方位元素改正数△Xs，△Ys，△Zs，△φ，△ω，△κ。
二、数学模型和算法公式1、数学模型：后方交会利用的理论模型为共线方程。
共线方程的表达公式为：)()()()()()(333111S A S A S A S A S A S A Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a fx -+-+--+-+--=)()()()()()(333222S A S A S A S A S A S A Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a fy -+-+--+-+--=其中参数分别为：κωϕκϕsin sin sin cos cos 1-=aκωϕκϕsin sin sin sin cos 2--=a ωϕcos sin 3-=aκωsin cos 1=b κωcos cos 2=b ωsin 3-=bκωϕκϕsin sin cos cos sin 1+=c κωϕκϕcos sin cos sin sin 2+-=c ωϕcos cos 3=c旋转矩阵R 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321321c c c b b b a a a R2、 由于外方位元素共有6个未知数，根据上述公式可知，至少需要3个不在一条直线上的已知地面点坐标就可以求出像片的外方位元素。
第五讲 单片空间后方交会
x12 − f (1 + 2 ) f xy − 1 1 f
2 x2 − f (1 + 2 ) f
−
x1 y1 f
y12 − f (1 + 2 ) f − x2 y2 f
x y − 2 2 f
2 x3 − f (1 + 2 ) f
2 y2 − f (1 + 2 ) f
−
x3 y3 f
xy − 3 3 f
Y B
A
C X
利用航摄像片上三个以上像点坐标和对应像 点坐标和对应地面点坐标，计算像片外方位元 素的工作，称为单张像片的空间后方交会。 进行空间后方交会运算，常用的一个基本公 式是前面提到的共线方程。式中的未知数，是 六个外方位元素。由于一个已知点可列出两个 方程式，如有三个不在一条直线上的已知点， 就可列出六个独立的方程式，解求六个外方位 元素。由于共线条件方程的严密关系式是非线 性函数，不便于计算机迭代计算。为此，要由 严密公式推导出一次项近似公式，即变为线性 函数。
（5） 用所取未知数的初始值和控制点的地面坐标，代入共线方程式，逐 ） 用所取未知数的初始值和控制点的地面坐标，代入共线方程式， 点计算像点坐标的近似值 ( x), ( y ) 并计算 lx , l y a ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) x=−f 1 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) a ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) y=−f 2 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) （6） 组成误差方程式。 ） 组成误差方程式。 7） 计算法方程式的系数矩阵与常数项，组成法方程式。 （7） 计算法方程式的系数矩阵与常数项，组成法方程式。 （8） 解算法方程，迭代求得未知数的改正数。 ） 解算法方程，迭代求得未知数的改正数。
后方交会法计算推导公式
后方交会法计算推导公式后方交会法是一种用于计算物体在空间中的坐标和距离的方法。
它基于两个观测者在不同位置观测同一个物体的现象。
假设有两个观测者A和B，在空间中观测同一个物体P。
观测者A 和B的位置分别为A(xA, yA, zA)和B(xB, yB, zB)。
物体P在观测者A和B的朝向上的投影分别为a和b，它们的长度分别为dA和dB。
根据几何关系，可以推导出以下公式：dA = sqrt((xA - xP)^2 + (yA - yP)^2 + (zA - zP)^2)dB = sqrt((xB - xP)^2 + (yB - yP)^2 + (zB - zP)^2)其中，(xP, yP, zP)是物体P的坐标。
如果已知dA、dB和相关观测者位置的坐标，可以使用这些公式来计算物体P的坐标(xP, yP, zP)。
同时，如果已知物体P在两个观测者朝向上的投影长度a和b，也可以利用这些公式计算物体P到观测者A和B的距离。
需要注意的是，后方交会法在实际应用中可能会受到观测误差的影响，因此在计算时需要考虑这些误差，并采取合适的数据处理和精度控制方法。
拓展：后方交会法是测量和定位的重要方法之一，广泛应用于地理测量、摄影测量、建筑工程等领域。
它可以通过精确的测量和计算，确定物体在三维空间中的准确位置和形状，对于工程设计、地理信息系统等具有重要的实际应用价值。
除了后方交会法，还有其他一些方法可以用于测量和定位物体的坐标和距离，比如三角测量法、三角高程测量法、全站仪测量法等。
每种方法都有其适用的场景和局限性，根据具体的测量需求和条件选择合适的方法是非常重要的。
此外，随着科技的进步和发展，新的测量和定位技术不断涌现，为实现更精确和高效的测量和定位提供了更多的选择。
空间后方交会的直接解
空间后方交会的直接解空间后方交会，即由物方已知若干个控制点以及相应的像点坐标，解求摄站的坐标与影像的方位，这是一个摄影测量的基本问题。
通常采用最小二乘解算，由于原始的观测值方程是非线性的，因此，一般空间后方交会必须已知方位元素的初值，且解算过程是个迭代解算过程。
但是，在实时摄影测量的某些情况下，影像相对于物方坐标系的方位是任意的，且没有任何初值可供参考。
这时常规的空间后方交会最小二乘算法就无法处理，而必须建立新的空间后方交会的直接解法。
直接解法的基本思想是将它分成两步：先求出三个已知点i P 到摄站S 的距离i S ；然后求出摄站S 的坐标和影像方位。
物方一已知点()iiii,Z ,Y X P 在影像上的成像()iii,y x p ，根据影像已知的内方位元素()0,y f,x 可求得从摄站()SS S S ,Z ,Y X 到已知点i P 的观测方向i,βαi 。
()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+-=-=2020tan tan x x f y y βf x x αi i i i i (1)距离方程组可以写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫=+++=+++=+++020202312113312323233223221222211221b x x x a x b x x x a x b x x x a x (2)其中()j ;i ,,i,j S ,b a ijijijij≠===321cos ϕ。
因此，解算摄站S 到三个控制点的距离问题，被归结为解算一个三元二次联立方程组的问题。
这个方程组的解算方法选用迭代法。
迭代计算公式可写成：()()() ,,,K Ab Aa x K K 2101=+=+(3)其中，[]TS F S F S F a 231312232321212=()()()()()()()()()()[]T2K 1K 3312K 3K 2232K 2K 112K S S G S S G S S G b------=()()()()[]TK K K K S S S x 232221=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111---A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 2122ij ij F ϕij ij ij F G ϕcos 22=因此，距离的初值，即当0=K 时，Aa x =0()()20i0iS S =()()()()()()()()()()[]T2010331203022320201120S S G S S G S S G b------=代入(2-24)式进行迭代。
空间后方交会的直接解
空间后方交会的直接解空间后方交会，即由物方已知若干个操纵点和相应的像点坐标，解求摄站的坐标与影像的方位，这是一个摄影测量的大体问题。
通常采纳最小二乘解算，由于原始的观测值方程是非线性的，因此，一样空间后方交会必需已知方位元素的初值，且解算进程是个迭代解算进程。
可是，在实时摄影测量的某些情形下，影像相关于物方坐标系的方位是任意的，且没有任何初值可供参考。
这时常规的空间后方交会最小二乘算法就无法处置，而必需成立新的空间后方交会的直接解法。
直接解法的大体思想是将它分成两步：先求出三个已知点iP 到摄站S 的距离i S ；然后求出摄站S 的坐标和影像方位。
物方一已知点()iiii,Z ,Y X P 在影像上的成像()iii,y x p ，依照影像已知的内方位元素()00,y f,x可求得从摄站()S S SS ,Z ,Y X到已知点iP 的观测方向i,βαi 。
()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+-=-=2020tan tan x x f y y βf x x αi i i i i (1)距离方程组能够写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫=+++=+++=+++020202312113312323233223221222211221b x x x a x b x x x a x b x x x a x (2)其中()j ;i ,,i,j S ,b a ijijijij≠===321cos ϕ。
因此，解算摄站S 到三个操纵点的距离问题，被归结为解算一个三元二次联立方程组的问题。
那个方程组的解算方式选用迭代法。
迭代计算公式可写成：()()() ,,,K Ab Aa x K K 2101=+=+(3)其中，[]TS F S F S F a 231312232321212=()()()()()()()()()()[]T2K 1K 3312K 3K 2232K 2K 112K S S G S S G S S G b------=()()()()[]TK K K K S S S x 232221=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111---A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 2122ijij F ϕ ij ij ij F G ϕcos 22=因此，距离的初值，即当0=K 时，Aa x =0()()20i0iS S =()()()()()()()()()()[]T2010331203022320201120S S G S S G S S G b------=代入(2-24)式进行迭代。
后方交会法计算推导公式
后方交会法计算推导公式
后方交会法是将同一个点在多个不同视角下的观测数据进行处理，最终确定该点在地图上的实际位置。
其计算推导公式如下：
1. 观测数据处理
对于同一个点，可以在多个不同位置观测到，可以通过三角化原理计算出该点在各个视角下的坐标。
假设有n个视角，则有
n个观测数据，分别为:
(X1, Y1, Z1, x1, y1)
(X2, Y2, Z2, x2, y2)
...
(Xn, Yn, Zn, xn, yn)
其中，(X, Y, Z) 表示观测视角的三维坐标，(x, y) 表示在该视
角下观测到该点的二维坐标。
2. 构建观测方程
针对每个视角，可以构建如下的观测方程：
(x - xi) / f = X / Z
(y - yi) / f = Y / Z
其中，xi 和 yi 表示该视角的二维坐标，f 表示相机的焦距，X、Y、Z 分别表示该点在三维空间中的坐标。
3. 解算观测方程
将观测方程转换为 Z 的形式，并可以得到一个关于 X、Y 和 Z 的二次方程：
aX² + bY² + cZ² + dXY + eXZ + fYZ + gX + hY + iZ + j = 0
其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i 和 j 是该方程的系数。
4. 进行加权最小二乘法拟合
为了提高计算精度，对观测数据进行加权处理，并利用最小二乘法拟合解算方程系数。
5. 求解 X、Y 和 Z 的坐标值
利用解算出来的方程系数，可以解算出该点在三维空间中的坐标值。
五上、数字摄影测量学单片空间后方交会
总误差方程
法方程
V Ax L
x (AT A) 1 (AT L)
X s Ys V1 A1 l1 Z V2 A2 l2 s V , A , L , x , Vn An ln T T li xi ( xi ) yi ( yi ) , Vi v xi v yi a11 a12 a13 a14 a15 a16 Ai a21 a22 a23 a24 a25 a26
已知点必须多余点， 数据处理方法采用 最小二乘法！
这是所有测量的一个统一的基本原则！ 摄影测量也不例外。
二、误差方程与法方程
已知值 x0 , y0 , f ，m, X, Y, Z 观测值 x , y 相应改正数 vx,vy 未知数 Xs, Ys, Zs, , , 泰勒级数展开
四、空间后方交会的精度
求解各未知数的精度可以通过法方程系数矩阵 求逆的方法，解出相应的权倒数 Qii
mi m0 Qii 按下式计算第i未知数的中误差：
式中，m0为单位权中误差，计算公式 为： m [VV ] 0 2n 6 ,其中n为控制点的点数。
空间后方交会用到的已知点越多，空间后方交会 的精度越高，此外空点的分布也空间后方交会计算 的精度。空间后方交会使用的控制点应当避免位于 一个圆柱面上，否则，会出现解不唯一的情况。
偏导数 1
x f X Z 2 ( Z X) X s Z X s X s f 2 ( a1Z a3 X ) Z 1 X (a1 f f a3 ) Z Z 1 (a1 f a3 x) Z
偏导数 2
x f X Z 2 ( Z X) Z
单像空间后方交会
（x）、（y）——函数x、y在展开点（未知数近 似值处）的近似值； ——外方位元素（未知数）的改正数。 dX s ......, dκ
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第三章 单张航摄像片解析
§3-7 单像空间后方交会
• • • • • 每次迭代计算过程中，给定未知数（即外 方位元 素）的近似值后，即可计算得到展开式中未知数的 dX s ......, dκ 偏导系数值，从而组成线性方程组解算 。 偏导系数表达示例： X x = − f Z 设
V = ∂y dX + ∂y dY + ∂y dZ + ∂y dφ + ∂y dω + ∂y dκ −[ y − ( y)] •y s s s ∂Xs ∂Ys ∂Zs ∂φ ∂ω ∂κ
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第三章 单张航摄像片解析
§3-7 单像空间后方交会
• 也可写成（设有n个控制点） + d dφ + e dω + f dκ −l Vx1 = a11dXs + b11dYs + c11dZs 11 11§3-7 单像空间后方交会
• 一、空间后方交会的基本公式 空间后方交会的基本公式 后方交会
x = − f y = − f a1 ( X − X s ) + b (Y − Ys ) + c1 (Z − ZS ) 1 a3 ( X − X s ) + b3 (Y − Ys ) + c3 (Z − Zs ) a2 ( X − X s ) + b2 (Y − Ys ) + c2 (Z − Zs ) a3 ( X − X s ) + b3 (Y − Ys ) + c3 (Z − Zs )
y = − f Y Z
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空间后方交会的解算
一． 空间后方交会的目的
摄影测量主要利用摄影的方法获取地面的信息，主要是是点位信息，属性信息，因此要对此进行空间定位和建模，并首先确定模型的参数，这就是空间后方交会的目的，用以求出模型外方位元素。
二． 空间后方交会的原理
空间后方交会的原理是共线方程。
共线方程是依据相似三角形原理给出的，其形式如下
111333222333()()()
()()()
()()()()()()A S A S A S A S A S A S A
S A S A S A S A S A S a X X b Y Y c Z Z x f a X X a Y Y a Z Z a X X b Y Y c Z Z y f a X X a Y Y a Z Z -+-+-=--+-+--+-+-=--+-+-
上式成为中心投影的构线方程，
我们可以根据几个已知点，来计算方程的参数，一般需要六个方程，或者要三个点，为提高精度，可存在多余观测，然后利用最小二乘求其最小二乘解。
将公式利用泰勒公式线性化，取至一次项，得到其系数矩阵A ；引入改正数（残差）V ，则可将其写成矩阵形式：
V AX L =-
其中
111333222333[,]()()()()()()()()()()()()()()T
x y A S A S A S x A S A S A S A S A S A S y A S A S A S L l l a X X b Y Y c Z Z l x x x f
a X X a Y Y a Z Z a X X
b Y Y
c Z Z l y y y f
a X X a Y Y a Z Z =-+-+-=-=+-+-+--+-+-=-=+-+-+- 则1()T T X A A A L -=
X 为外方位元素的近似改正数，
由于采用泰勒展开取至一次项，为减少误差，要将的出的值作为近似值进行迭代，知道小于规定的误差
三． 空间后方交会解算过程
1. 已知条件
近似垂直摄影
00253.24mm
x y 0f ===
2. 解算程序
流程图
MATLAB 程序
format long;
s1=xlsread('data.xls');%读取数据
a1=s1(1:4,1:2);%影像坐标
b1=s1(1:4,3:5);%地面摄影测量坐标
a2=s1.*10^-3;%影像坐标单位转化
j1=a2(1,:)-a2(2,:);
j2=j1(1,1)^2+j1(1,2)^2;
lengh_a1=sqrt(j2); %相片某一长度
j1=b1(1,:)-b1(1,:);
j2=j1(1,1)^2+j1(1,2)^2;
lengh_b1=sqrt(j2); %地面对应的长度
m=lengh_b1/lengh_a1;%求出比例尺
n0=0;
p0=0;
q0=0;
x0=mean(b1(:,1));
y0=mean(b1(:,2));
f=153.24*10^-3;
z0=m*f;
x001={x0,x0,x0,x0};
X0=cell2mat(x001)';
y001={y0,y0,y0,y0};
Y0=cell2mat(y001)';
z001={z0,z0,z0,z0};
Z0=cell2mat(z001)';
%初始化外方位元素的值
aa1=cos(n0)*cos(q0)-sin(n0)*sin(p0)*sin(q0);
aa2=-sin(q0)*cos(n0)-sin(n0)*sin(p0)*cos(q0);
aa3=-sin(n0)*cos(p0);
bb1=sin(q0)*cos(p0);
bb2=cos(q0)*cos(p0);
bb3=-sin(p0);
cc1=sin(n0)*cos(q0)+sin(p0)*cos(n0)*sin(q0);
cc2=-sin(n0)*sin(q0)+sin(p0)*cos(q0)*cos(n0);
cc3=cos(n0)*cos(p0);
%计算改正数
XX1=aa1.*(b1(:,1)-X0)+bb1.*(b1(:,2)-Y0)+cc1.*(b1(:,3)-Z0); XX2=aa2.*(b1(:,1)-X0)+bb2.*(b1(:,2)-Y0)+cc2.*(b1(:,3)-Z0); XX3=aa3.*(b1(:,1)-X0)+bb3.*(b1(:,2)-Y0)+cc3.*(b1(:,3)-Z0); lx=a1(:,1)+f.*(XX1./XX3);
ly=a1(:,2)+f.*(XX2./XX3);
l={lx',ly'};
L=cell2mat(l)';
%方程系数
A=[-3.969*10^-5 0 2.231*10^-5 -0.2 -0.04 -0.06899;
0 -3.969*10^-5 1.787*10^-5 -0.04 -0.18 0.08615;
-2.88*10^-5 0 1*10^-5 -0.17 0.03 0.08211;
0 -2.88*10^-5 -1.54*10^-5 0.03 -0.2 0.0534;
-4.14*10^-5 0 4*10^-6 -0.15 -7.4*10^-3 -0.07663;
0 -4.14*10^-5 2.07*10^-5 -7.4*10^-3 -0.19 0.01478;
-2.89*10^-5 0 -1.98*10^-6 -0.15 -4.4*10^-3 0.06443;
0 -2.89*10^-5 -1.22*10^-5 -4.4*10^-3 -0.18 0.01046
];
%L=[-1.28 3.78 -3.02 -1.45 -4.25 4.98 -4.72 -0.385]'.*10^-2; %第一次迭代
X=inv(A'*A)*A'*L;
3.结果
X=
1492.41127406195
-554.401567176194
1425.68660973544
-0.0383847815608609 0.00911624039769785 -0.105416434087641
S=
1492.41127406195
-554.401567176194 1425.68660973544 38436.9616152184 27963.1641162404
-0.105416434087641。