两角和与差的正弦余弦正切公式练习题
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式基础题组1.已知cos α=-,α是第三象限角,则cos为( )A. B.- C. D.-的值为( )2.-A. B. C.- D.-3.(1+tan 18 )(1+tan 27 )的值是( )A. B.1+C.2D.2(tan 18 +tan 27 )4.设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β等于( )A. B.C.或D.或5.(优质试题课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=sin+cos-的最大值为( )A. B.1 C. D.6.已知sin α+cos α=,则sin2-= .7.已知cos-=-,则cos x+cos-= .8.(优质试题福建福州模拟)已知α∈,,tan α=,求tan 2α和sin的值.9.已知α∈,,且sin+cos=.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-,β∈,,求cos β的值.B组提升题组1.-=( )A.4B.2C.-2D.-42.设α为锐角,若cos=,则sin2α+的值为.3.已知cos cos-=-,α∈,.(1)求sin 2α的值;(2)求tan α-的值.4.若sin=,cos-=,且0<α<<β<π,求cos(α+β)的值.答案精解精析A组基础题组1.A 因为cos α=-,α是第三象限的角,所以sinα=--=---=-,所以cos=cos cos α-sin sin α=×--×-=.2.B 原式=-=-=tan(45 +15 )=.3.C 原式=1+tan 18 +tan 27 +tan 18 tan 27 =1+tan 18 tan 27 + tan 45 (1-tan 18 tan 27 )=2,故选C.4.A 依题意得sin α=-=,cos(α+β)=±-()=±.又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).因为>>-,所以cos(α+β)=-.于是cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.5.A ∵f(x)=sin+cos-=+cos x+sin x=sin x+cos x=×2sin=sin,∴f(x)的最大值为.故选A.6.答案解析由sin α+cos α=两边平方得1+sin 2α=,解得sin 2α=-,所以sin2-=--=-==.7.答案-1解析∵cos-=-,∴cos x+cos-=cos x+cos xcos+sin xsin=cos x+sinx==cos-=×-=-1.8.解析∵tan α=,∴tan 2α=-=-=,且=,即cos α=2sin α,又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,而α∈,,∴sin α=,则cos α=.∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=,∴sin=sin 2αcos+cos 2αsin=×+×=.9.解析(1)将sin +cos=两边同时平方,得1+sin α=,则sin α=.又<α<π,所以cos α=--=-.(2)因为<α<π,<β<π,所以-<α-β<.所以由sin(α-β)=-得cos(α-β)=,所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-×+×-=-.B组提升题组1.D -=-=-=(- )=-=-4.故选D.2.答案解析∵α为锐角,cos =,∴sin=,sin=2sin cos=, cos=2cos2-1=,∴sin=sin-=sin-cos=.3.解析(1)cos cos-=cos·sin=sin=-,即sin=-.∵α∈,,∴2α+∈,,∴cos=-,∴sin 2α=sin-=sin cos-cos sin=-×--×=.(2)∵α∈,,∴2α∈,,由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.∴tan α-=-=-=-=-2×-=2.4.解析因为0<α<<β<π,所以π<π+α<π,-<-β<0.又sin=,cos-=,所以cos=-,sin-=-,所以cos(α+β)=sin()=sin--=sin cos--cos sin-=-.。
限时集训(二十一) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
限时集训(二十一) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．12．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.123．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59 C.59D.534．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π65．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．46．(2013·合肥模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7.3－sin 70°2－cos 210°＝________.8．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．9．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 11.已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．12．(2013·岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213， 求f (2α－β)的值．限时集训(二十一) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式答 案1．A 2.D 3.A 4.A 5.C 6.D 7．2 8.139.±310．解：(1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1,3]． (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13， 所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.因为cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，所以原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.11．解：(1)∵由题意得 (sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425.又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725. 又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525. 12．解：(1)依题意有f (x )＝a·b ＝ sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)． ∵函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2π＝T ＝2πω，解得ω＝1.将点M ⎝⎛⎭⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝32. ∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3， ∴φ＝π2.故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin β＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－725×1213＋2425×513＝36325.。
高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(简答题：容易)
两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。
20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式例题1.求下列各式的值（1）cos1050； （2）cos460cos160+sin460sin160例题2.求值：（1）cos150cos1050+sin150sin1050；（2）cos （α﹣350）·cos （250+α）+sin （α﹣350）·sin （250+α）（3）cos400cos700+cos200cos500（4）00008cos 8sin 15sin 7cos -例题3.已知α是第一象限角，sin α=53，β是第四象限角，cos β=54，求cos （α+β）和cos （α﹣β）的值。
例题4.求下列各式的值：（1）sin1650；（2）sin （540﹣x ）cos （360+x ）+cos （540﹣x ）sin （360+x ）例题5.已知cos （α+β）=31-，cos2α=135-，α、β均为锐角，求sin （α﹣β）例题6.化简下列各式：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4tan ；（2）000076tan 74tan 176tan 74tan -+；（3）0015tan 3115tan 3+-；（4）000070tan 50tan 370tan 50tan -+例题7.0000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -∙+例题8.求值：（1）12cos 12sin 22ππ-；（2）sin750cos750；（3）0215sin 3432-；（4）02015tan 115tan 2-；例题9.（1）求125cos 12cos ππ的值；（2）已知215sin -=x ，求⎪⎭⎫⎝⎛-42sin πx 的值；例题10.求值：（1）sin100sin500sin700；（2）sin60sin420sin660sin780例题11.求值：（1+tan10）（1+tan20）（1+tan30）…（1+tan440）例题12.化简：（1）cos720·cos360；（2）cos200·cos400·cos600·cos800；（3）1322cos 2cos 2cos 2cos cos -∙∙∙∙n ααααα例题13.化简：αααα3cos cos 3sin sin 33+例题14.已知31sin sin -=-βα，21cos cos =-βα，求)cos(βα-的值。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________.
＝
s3icno7s02°0°＝
3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋ 3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3. 例 2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三
角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应
(1)求 sin α 的值； (2)求 β 的值．
变式迁移 若 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，且 A、B 均为钝角，求 A＋B 的值．
探究点 2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
【课后自主检测】
1．已知 sinα＋π3＋sin α＝－45 3，则 cosα＋23π等于
2．辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
其中csions
φ＝ φ＝
tan φ＝ba，
， ， 角 φ 称为辅助角（考试只要求特殊角）．
【基础自测】
1．计算 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于
两角和与差的正弦余弦正切公式课后练习
3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。
数学练习(新教材人教A版强基版)第四章三角函数与解三角形43两角和与差的正弦余弦和正切公式
1．(2023·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于( )A ．cos 12°B ．－cos 12°C ．－12 D.122．(2023·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－3π4等于( ) A ．±13 B.13 C ．－13 D ．－2233．(2023·肇庆模拟)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.210 B.7210 C ．－210 D ．－72104．(2023·西安模拟)已知2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin α，则sin αcos α等于( ) A ．－34 B.34 C ．－237 D.2375．(2023·扬州质检)已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( ) A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π36．(2023·威海模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12等于( ) A.31010 B.1010 C ．－1010 D ．－310107．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.8．(2022·上海模拟)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α＋β＝______. 9．已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)；③3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知0<β<α<π2，________，cos(α＋β)＝－55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫α－π4； (2)求β.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．若sin θ－3cos θ＝223，则cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( ) A ．－23 B.23 C.23 D ．－2312．(多选)已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是( )A ．cos(β－α)＝32 B ．cos(β－α)＝12 C ．β－α＝π6 D ．β－α＝－π313．(2023·武汉质检)设sin ⎝⎛⎭⎫α－π7＝2cos α·sin π7，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π7cos ⎝⎛⎭⎫α－5π14的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 14．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 C ．f (x )＝sin x 2＋cos x 2的最大值为2D ．sin 50°(1＋3tan 10°)＝115．(2023·抚州模拟)已知15sin θtan θ＋16＝0，θ∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 16．在平面直角坐标系Oxy 中，先将线段OP 绕原点O 按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP 的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP 1，我们把这个过程称为对点P 进行一次T (θ，ρ)变换得到点P 1，例如对点(1,0)进行一次T ⎝⎛⎭⎫π2，3变换得到点(0,3)．若对点A (1,0)进行一次T ⎝⎛⎭⎫2π3，2变换得到点A 1，则A 1的坐标为________；若对点B ⎝⎛⎭⎫45，35进行一次T (θ，ρ)变换得到点B 1(－3，－4)，对点B 1再进行一次T (θ，ρ)变换得到点B 2，则B 2的坐标为________．。
第三章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A.12B.32C. 3D. 2 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C2.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是 ( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4 解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|， ∵5π4＜4＜3π2，∴cos4＜0，sin4＜cos4. ∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4. 答案：D3．(2010·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，∴tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)．又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：14.sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 ( )A.725 B.1425 C.1625 D.1925解析：∵sin(π4－x )＝35∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325. ∴(cos x －sin x )2＝1－sin2x ＝1825， ∴sin2x ＝725. 答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为 ( ) A.22＋36 B.22－36 C ．－22＋36 D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13， ∴cos(α＋π12)＝－223， ∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cos π3－sin(α＋π12)sin π3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．解：(1)法一：因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin[⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 法二：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.7.已知A 、B ( ) A.5π4 B.7π4 C.5π4或7π4 D.9π4解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：B8．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于 ( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾，∴C ＝30°. 答案：A9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sin α ＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×123.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π20＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.10.(2010·晋城模拟)已知向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.14解析：a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14. 答案：B11．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为________．解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sin α＋12cos α) ＝－45答案：－4512．(文)已知点M (1＋cos2x,1)，N (1，3sin2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM ON(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求f (x )在[0，π2]上的最小值．解：(1)依题意得：O M ＝(1＋cos2x,1)，O N＝(1，3sin2x ＋a )， ∴y ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a .∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈[0，π2]，则(2x ＋π6)∈[π6，7π6，∴－12sin(2x ＋π6)≤1，此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1， y min ＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)．(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)∵a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22， ① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14， ② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2α－β＜π2由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎨⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12， ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286 ＝4±73.。