两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
2022秋新教材高中数学第五章两角和与差的正弦余弦正切公式课后提能训练新人教A版必修第一册
第五章 5.5.1 第2课时A级——基础过关练1．sin 105°的值为( )A．B．C．D．【答案】D 【解析】sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.2．(多选)下列四个选项，化简正确的是( )A．cos(－15°)＝B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝【答案】BCD 【解析】对于A，(方法一)原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，(方法二)原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．故选BCD．3．(2020年青岛高一期中)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则tan β＝( )A．2B．C．D．【答案】A 【解析】因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，所以sin(α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝＝－2，则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝2.故选A．4．(2020年抚州高一期中)已知cos＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝，则tan β的值为( )A．－7B．7C．1D．－1【答案】B 【解析】因为cos＝2cos(π＋α)，所以sin α＝－2cos α，即 tan α＝－2.又因为tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝7.故选B．5．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α＝( )A．B．C．－ D．－【答案】B 【解析】因为0＜α＜，－<β<0，所以0＜α－β＜π.又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.因为－<β<0，sin β＝－，所以cos β＝.所以cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝×－×＝.6．(2020年上海黄浦区高一期中)已知sin x＝，x∈，则tan的值等于________．【答案】－ 【解析】因为sin x＝，x∈，所以cos x＝－，tan x＝－.所以tan＝＝＝－.7．若sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，则tan α＝________，tan＝________.【答案】－2 － 【解析】因为sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.所以tan＝＝＝－.8．(2020年湘潭高一期中)已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan(α＋β)＝________.【答案】－ 【解析】因为tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝－.所以tan(α＋β)＝＝＝－.9．已知cos α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．解：因为cos α＝，且α为第一象限角，所以sin α＝ ＝＝.所以cos＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝，sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝.B级——能力提升练10．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝( )A．±1B．1C．－1D．0【答案】D 【解析】原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0.故选D．11．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )A．－B．C．D．－【答案】A 【解析】tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.12．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】B 【解析】由题意得sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos A·cos B＋sin A sin B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．13．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则角C等于( )A．B．C．D．【答案】A 【解析】由已知，得tan A＋tan B＝·(tan A tan B－1)，即＝－.所以tan(A ＋B)＝－.所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，得C＝.14．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.(1)求cos(2α－β)的值；(2)求β的值．解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝.cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.又因为β∈，所以β＝.C级——探究创新练15．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos2x(x∈R)．(1)求函数f(x)的周期和递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点x1，x2，求tan(x1＋x2)的值．解：(1)因为f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos2x＝1＋2sin x·cos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x＝sin(x∈R)，所以函数f(x)的周期T＝＝π.因为函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，化简得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即(k∈Z)．(2)因为方程g(x)＝f(x)－m＝0同解于f(x)＝m.在直角坐标系中画出函数f(x)＝sin在上的图象，如图，当且仅当m∈[1，)时，方程f(x)＝m在上的区间和有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线x＝对称，即＝，所以x1＋x2＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－1.。
两角和与差的正弦余弦和正切公式专题及解析
两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.45解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17B.16C.57D.56解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α＝12－131＋12×13＝17，故选A. 答案 A4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.118B.1718C.89D.29解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B.答案 B5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 答案 22考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)(2016·合肥模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α.答案 (1)D (2)cos α【训练1】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________.(2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)原式＝4cos 24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，因为54π<4<32π，所以cos 4<0，且sin 4<cos 4， 所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4. (2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α. 答案 (1)－2sin 4 (2)12cos 2α 考点二 三角函数式的求值【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 解析 (1)原式＝(2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°)·2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝sin 2α1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43.cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin 2α＝725.所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝－2875.(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0， 又α∈(0，π)，∴0<α<π2， 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案 (1)6 (2)－2875 (3)－3π4【训练2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3D.22－1(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α的值为________.(3)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314(0<β<α<π2)，则tan 2α＝________，β＝________.解析 (1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.(2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，得32sin α＋32cos α＝－435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.又－π2<α<0，所以－π3<α＋π6<π6， 于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝33－410.(3)∵cos α＝17，0<α<π2， ∴sin α＝437，tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∴sin(α－β)＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3. 答案 (1)C (2)33－410 (3)－8347 π3考点三 三角变换的简单应用【例3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量. (1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值.解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A ) ＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34. 又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.【训练3】 (2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值.解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4， 所以α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()A.－32 B.32 C.－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是()A.－1B.0C.1D.2 解析原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.答案 D3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝()A.－31010 B.31010 C.－35 D.35解析因为α是第二象限角，且tan α＝－1 3，所以sin α＝1010，cosα＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C.答案 C4.(2017·河南六市联考)设a＝12cos 2°－32sin 2°，b＝2tan 14°1－tan214°，c＝1－cos 50°2，则有()A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b.答案 D5.(2016·肇庆三模)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. 答案 D 二、填空题6.(2016·石家庄模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79.答案 －797.(2017·南昌一中月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________. 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.答案 －33658.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________. 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝－247. 答案 －247三、解答题9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1).(1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值； (2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值. 解 (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0，所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13. (2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，|a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0.又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin θ＝35，cos θ＝45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 10.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值.解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tanβ＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1.又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·云南统一检测)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π9＝( ) A.－18 B.－116 C.116 D.18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°· cos 40°·cos 80°＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. 答案 A 12.(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.答案 C13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案 2－15614.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式.(2)求S 的最大值及相应的θ角.解 (1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则四边形QEDP 为矩形.由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ·PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33·sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)由(1)得S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36， 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 当θ＝π6时，S max ＝36(m 2).。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式例题1.求下列各式的值（1）cos1050； （2）cos460cos160+sin460sin160例题2.求值：（1）cos150cos1050+sin150sin1050；（2）cos （α﹣350）·cos （250+α）+sin （α﹣350）·sin （250+α）（3）cos400cos700+cos200cos500（4）00008cos 8sin 15sin 7cos -例题3.已知α是第一象限角，sin α=53，β是第四象限角，cos β=54，求cos （α+β）和cos （α﹣β）的值。
例题4.求下列各式的值：（1）sin1650；（2）sin （540﹣x ）cos （360+x ）+cos （540﹣x ）sin （360+x ）例题5.已知cos （α+β）=31-，cos2α=135-，α、β均为锐角，求sin （α﹣β）例题6.化简下列各式：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4tan ；（2）000076tan 74tan 176tan 74tan -+；（3）0015tan 3115tan 3+-；（4）000070tan 50tan 370tan 50tan -+例题7.0000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -∙+例题8.求值：（1）12cos 12sin 22ππ-；（2）sin750cos750；（3）0215sin 3432-；（4）02015tan 115tan 2-；例题9.（1）求125cos 12cos ππ的值；（2）已知215sin -=x ，求⎪⎭⎫⎝⎛-42sin πx 的值；例题10.求值：（1）sin100sin500sin700；（2）sin60sin420sin660sin780例题11.求值：（1+tan10）（1+tan20）（1+tan30）…（1+tan440）例题12.化简：（1）cos720·cos360；（2）cos200·cos400·cos600·cos800；（3）1322cos 2cos 2cos 2cos cos -∙∙∙∙n ααααα例题13.化简：αααα3cos cos 3sin sin 33+例题14.已知31sin sin -=-βα，21cos cos =-βα，求)cos(βα-的值。
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(练习)原卷版
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）满足cos cos sin sin 2=+αβαβ的一组,αβ的值是（ ）．A ．133,124==απβπ B ．,23==ππαβC ．,26ππαβ==D ．,36ππαβ==2．（2020·上海高一课时练习）若sin cos ()2,()2,==∈x x f x g x x R ，则函数()()f x g x ⋅必有（ ）A ．最大值4B ．最小值4C ．最大值D ．最小值3．（2020·上海高一课时练习）下列关系中，角α存在的是（ ） A ．3sin cos 2αα+=B ．4sin cos 3αα+=C ．1sin 3α=且2cos 3α= D ．cos sin -=αα4．（2020·上海高一课时练习）如果21tan(),tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1318B ．1322C ．322D ．165．（2020·上海高一课时练习）已知α、β均为锐角，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()sin sin sin αβαβ+>+B ．()sin sin sin αβαβ+<+C ．()cos cos cos αβαβ+>+D ．()cos sin sin αβαβ+<+6．44x x ππ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的化简结果是（）A ．512x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．512x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．712x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．712x π⎛⎫-⎪⎝⎭二、填空题7．（2020·上海高一课时练习）化简：在ABC 中，cos cos()sin sin()⋅++⋅+=A A C B B C ________．8．（2020·上海高一课时练习）若31sin cos 444x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4x =______. 9．（2020·上海高一课时练习）sin15°+cos15°=__.10．（2020·上海高一课时练习）若3sin α4cos α，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．11．（2020·上海高一课时练习）若tan 36⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则tan α=_________． 12．（2020·上海高一课时练习）求值：tan 22tan 383tan 22tan 38++⋅=____________．13．（2020·上海高一课时练习）若4sin 5α，cot 3β=，且α是第二象限角，则tan αβ________．14．（2020·上海高一课时练习）将cos αα化成cos()(0,0)A A αϕϕπ+><<的形式是____________．15．sin -x x 写成sin()(0,0)+><<A x A ϕϕπ的形式为___________．16．（2020·上海高一课时练习）若35sin ,6536⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭ππααπ，则5sin 12⎛⎫+=⎪⎝⎭πα________.17．（2020·上海高一课时练习）将2sin -αα化为sin()(0,02)A A αϕϕπ+>≤<的形式为___________.18．（2020·上海高一课时练习）若3sin ,,452⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππθθπ，则cos θ=_________. 19．（2020·上海高一课时练习）若43sin ,,252⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ααππ，则sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________．20．（2020·上海高一课时练习）在三角形ABC 中，若cos cos sin sin =A B A B ，则三角形ABC 是三角形______.21．（2020·上海高一课时练习）求值：sin28cos73sin62cos17︒︒︒︒-=_________．22．（2020·上海高一课时练习）关于x 的方程46sin 4m x x m-=-有解，则实数m 的取值范围是_________三、解答题23．（2020·上海高一课时练习）已知21sin(),sin()35+=-=αβαβ，求tan cot ⋅αβ的值．24．（2020·上海高一课时练习）已知31tan(),tan443⎛⎫+=+=⎪⎝⎭παββ，求tan4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．25．（2020·上海高一课时练习）化简下列各式：（1）1tan151tan15︒︒-+；（2）tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++⋅；（3）tan tan tan tan 44⎛⎫⎛⎫+-+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππθθθθ．26．（2020·上海高一课时练习）求证：1csc1022︒︒-=．27．（2020·上海高一课时练习）已知3sin 3cos ),(0,2)-=+∈αααϕϕπ，求ϕ的值．28．（2020·上海高一课时练习）已知,αβ是锐角，且sin==αβ，求αβ+的值．29．（2020·上海高一课时练习）在斜三角形ABC 中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.30．（2020·上海高一课时练习）已知8sin 17α=，5cos 13β=-，,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()cos αβ+.31．（2020·上海高一课时练习）是否存在锐角,αβ，使得：223παβ+=，tantan 22αβ⋅=,αβ的值；若不存在，说明理由.32．（2020·上海高一课时练习）已知tan α=α+β)=-1114,α,β均为锐角,求cos β的值.33．（2020·上海高一课时练习）已知3,24ππβα<<<且123cos()sin()135αβαβ-=+=-，，求：cos2α的值．能力提升一、填空题1．若1cos()cos()3αβαβ+-=，则22cos cos +=αβ_________.2．若23sin ,,,tan ,3272ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()αβ-=________.3．若3tan ,,42⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭πθθπ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 4．sin cos sin sin 44⎛⎫⎛⎫+⋅--⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαααα的值为_________．二、解答题5．若0,sin cos ,sin cos 4<<<+=+=p q παβααββ，判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）1<pq ； （2）p q <； （3）2>pq ．6．化简下列各式：（1cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()cos101sin 40︒︒︒+；（3）sin 2cos 3⎛⎫-+-⎪⎝⎭πααα．7．已知,αβ都是锐角，且11sin )14=+=-ααβ，求角β的值.8．已知3,,,sin 2510⎛⎫∈=-=- ⎪⎝⎭παβπαβ，求角αβ-的值.9．已知tan ,tan αβ是方程23410x x +-=的两根，0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ. 求：（1）角αβ+的值；（2）cot()-αβ的值.10．（1）证明：22sin3sin1sin 2sin 1=-；（2）推广上述结论，使（1）成为其特例，并证明推广的等式．11．在ABC 中，已知35sin ,cos 513A B ==，求sin C 和cos C 的值．12．已知343sin(),cos(),,5522+=--=-<<<<παβαβπαπβπ，求sin2β．13．已知13cos(),cos,0,,0,3422⎛⎫⎛⎫-==-∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαββαββ，求sinα的值．14．已知23sin(),sin()34+=-=αβαβ，求tantanαβ的值．15．已知3cos45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，35sin413πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，344ππα<<，04πβ<<，求()cosαβ+的值．。
两角和与差的正弦余弦正切公式课后练习
3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 s ｉn （α±β)=s ｉn_αcos ＿β±cos_αsin ＿β. cos(α∓β)=ｃos_αc ｏs_β±sin_αsin_β． t ａn(α±β）=错误!．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 s ｉn 2α=2ｓin_αcos_α.cos 2α=cos 2α－ｓｉｎ２α＝2ｃｏs ２α-1=1-２ｓin 2α． ｔa ｎ 2α＝错误!. 3.有关公式的逆用、变形等（1）ta ｎ α±tan β＝t ａn(α±β)（1∓ta ｎ_αt ａn_β). (2)co ｓ2α＝＼f(1＋cos 2α,2),sin 2α=错误!．(３)１+sin 2α＝（si ｎ α+ｃo ｓ α)2,1－ｓin 2α＝(ｓｉｎ α－cos α）2,sin α±co ｓ α＝＼r(2）sin 错误!.4.函数f （α）＝a sin α+ｂｃｏs α(a ，b 为常数),可以化为f （α）＝a 2＋b 2s ｉn(α＋φ),其中t ａn φ＝＼f(b,a ) 一、选择题1.给出如下四个命题ﻩﻩ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立;②存在实数α,β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ﻩ( )A ．①②ﻩB.②③ Ｃ．③④ﻩD.②③④2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是ﻩﻩ( )A ．21+ﻩB ．12-ﻩC ．2ﻩD ． 2 ３．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的ﻩﻩ( ） A.最大值为１,最小值为-1ﻩB ．最大值为１,最小值为21-C ．最大值为２,最小值为－２D ．最大值为2,最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值ﻩﻩ( ） A.21 B ．22 Ｃ.22-D.22±５.已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A.6556ﻩB ．-6556ﻩＣ．5665 Ｄ.－5665 6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于ﻩﻩ( ） A ．43 B ．83ﻩＣ．81 Ｄ.417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是ﻩﻩ（ ）A.)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与Ｃ.)()(x f x h 与ﻩD.)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 ( ) A.3πB.4πﻩC.π65ﻩＤ．π45 9.设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p 、q 之间的关系是( ）A.p ＋q ＋1=０ B ．p-q ＋1＝0ﻩC.p+q-1=0 D ．p-q-1＝０ 10.已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ )A.412--a a ﻩB.-412--a a ﻩC.214a a --± D ．412--±a a11.在△ABC 中,90C >,则B A tan tan ⋅与1的关系为ﻩ（ ）A.1tan tan >+B A ﻩB ．1tan tan <⋅B A Ｃ．1tan tan =⋅B A Ｄ．不能确定 １2. 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是ﻩ（ )Ａ．41Ｂ．23ﻩC.21Ｄ．43二、填空题(每小题4分，共16分,将答案填在横线上)13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14.在△ＡＢC 中，33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.１5．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . １6.若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—2１题每题12分，２2题14分） 17.化简求值:)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18.已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根,求)2tan(αβ-的值.１9．求证:yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20.已知α,β∈（0,π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.2１．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2Ｂ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.Ｃ 2．A ３．D 4.D 5.B 6.C ７.C 8.B 9.B １０．D １1．B 12．A二、1３.m 14.3π１５．32-- 16.]214,214[- 三、1７．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-.18.)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ,12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====ﻩ3275tan )2tan(+==- αβ． １9．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． ２0．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21.左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22.由题设B=6０°,A ＋C=1２0°,设2CA -=α知A=60°+α, Ｃ=６０°－α,22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A .。
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是 （ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）A ．3π B ．4π C ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1) $cos(\alpha-\beta): cos(\alpha-\beta)=cos\alphacos\beta+sin\alpha sin\beta$2) $cos(\alpha+\beta): cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$3) $sin(\alpha+\beta): sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+cos\alpha sin\beta$4) $sin(\alpha-\beta): sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta$5) $tan(\alpha+\beta):tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$6) $tan(\alpha-\beta): tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1) $sin2\alpha: sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$2) $cos2\alpha: cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$3) $tan2\alpha: tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$3.常用的公式变形1) $tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$2) $cos2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}$，$sin2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}$3) $1+sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^2$，$1-sin2\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)^2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=2\sin\frac{\alpha+\beta}{4}$基础题必做1.若$tan\alpha=3$，则$\frac{sin2\alpha}{2sin\alphacos\alpha}$的值等于$2tan\alpha=2\times3=6$。
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两角和差的正弦余弦正切公式练习题
知 识 梳 理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝
tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝
2tan α
1－tan 2α
.
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝
1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2
，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a
一、选择题
1．给出如下四个命题
①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(
-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(
+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ
αβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2
Z k k ∈+≠ππα且)(2
Z k k ∈+≠ππβ；
④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是
（ ）
A ．21+
B ．12-
C ．2
D ． 2
3．当]2
,2[π
π-
∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）
A ．最大值为1，最小值为－1
B ．最大值为1，最小值为2
1-
C ．最大值为2，最小值为－2
D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3
2
tan tan ,7)tan(βαβαβα-=
⋅=+则的值 （ ）
A ．2
1 B ．
2
2 C ．2
2-
D ．2
2±
5．已知
=-=+=-<<<αβαβαπαβπ
2sin ,53
)sin(,1312)cos(,432则 （ ）
A ．6556
B ．－6556
C ．5665
D ．－56
65
6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于
（ ）
A ．
4
3 B ．
8
3 C ．8
1
D ．
4
1 7．函数)4
cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=π
π其中为相同函数的是
（ ）
A ．)()(x g x f 与
B ．)()(x h x g 与
C ．)()(x f x h 与
D ．)()()(x h x g x f 及与
8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===
则,8
1
tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．
3
π
B ．
4
π C ．π65 D ．π4
5
9．设0)4
tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπ
θ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）
A ．p+q+1=0
B ．p －q+1=0
C ．p+q －1=0
D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是
（ ）
A ．
4
12
--a a
B ．－
4
12
--a a
C ．2
14a a --±
D ．4
12
--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为
（ ）
A ．1tan tan >+
B A B ．1tan tan <⋅B A
C ．1tan tan =⋅B A
D ．不能确定
12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是
（ ）
A ．4
1
B ．
2
3
C ．2
1
D ．4
3
二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）
13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .
14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=
.
15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,2
2
sin sin +=
+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34
sin(x +⋅π
．
18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02
1
50sin 50sin 222=-
+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.
19．求证：y
x x
y x y x 2
2sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．
20．已知α，β∈（0，π）且7
1
tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.
21．证明：x
x x
x x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.
22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，
B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2
cos C
A -的值.
两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案
一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A
二、13．m 14．3π
15．32-- 16．]214,214[-
三、17．原式=)34
cos()33
sin()33
cos()34
sin(x x x x -----ππππ=
4
6
2-．
18．)4550sin(2
)
21
50(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，
12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====
3275tan )2tan(+==- αβ．
19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2
222sin sin cos cos )]
()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左
=-=+-=y
x x
y x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13
tan ,
tan(2)1,
2.3
4
ααβαβπ=-=-=-
21．左=
=+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22
cos
23cos sin 2cos 23cos 2sin
23cos 2cos 23sin
右．
22．由题设B=60°，A+C=120°，设2
C
A -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,224
3cos cos cos 1
cos 12
=
-=-
=+ααα
即C A
故222cos =-C A ．。