自控原理3

一、阶跃信号
t≥0 t<0
A 表达式： 表达式： r (t ) = 0
A为常量，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。 为常量，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。 的阶跃函数称为单位阶跃函数
1 拉氏变换： 拉氏变换： R( s ) = L[1(t )] = s
二、斜坡函数
t≥0 t<0
At 表达式： 表达式： r (t ) = 0
t=3T, y(t)=0.95;
dy(t ) 1 = e dt T
1 − t T
t =0
1 = T
一阶系统的单位阶跃响应如果以初 始速度等速上升至稳态值1 始速度等速上升至稳态值1所需的时间应 恰好为T 恰好为T。
一阶系统的阶跃响应没有超调量， 一阶系统的阶跃响应没有超调量，故 其时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长 Ts来衡量 其时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长 短反映了系统过程的快慢。 短反映了系统过程的快慢。 由以上可知： 由以上可知： 5%的误差 的误差） t=3T （对5%的误差） 2%的误差 的误差） t=4T （对2%的误差） 因此， 越小，系统过渡时间就越短。 因此，T越小，系统过渡时间就越短。
二、一阶系统的单位斜坡响应
1 r(t) = t R(s) = 2 s 1 1 1 T T2 Y(s) = ⋅ 2= 2− + Ts + 1 s s s Ts + 1
输出响应 稳态误差
y(t ) = t − T + Te
− tT
(t ≥ 0)
−t T
e(t ) = r(t ) − y(t ) = T(1 − e
−
1 t T2
y (t )
1
0
单位阶跃响应（ 单位阶跃响应（ζ>1）
t
临界阻尼：ζ=1
y(t)
闭环系统的极点为
1
s1,2 = −ωn
闭环传递函数为 2 ωn Y ( s) GB = = R ( s ) ( s + ωn ) 2
− ωn t
0
ζ =1
}ζ >1
t
单位阶跃响应
3.3 一阶系统的时域响应
1 一阶系统传递函数： 一阶系统传递函数： G(s) = Ts +1
典型系统： 典型系统： 电炉、 电炉、液位
r(t)
一阶系统框图： 一阶系统框图：
-
1 Ts
c(t)
一、单位阶跃响应： 单位阶跃响应：
1 R(s) = s 1 1 T Y(s) = = − s(Ts + 1) s Ts + 1 y(t ) = 1 − e
2 n
• 特征方程： 特征方程：
2 s2 + 2ζωns + wn = 0
• 系统框图： R( s) 系统框图：
2 ωn s( s +2ζωn )
Y( s)
典型二阶系统的结构图
• 二阶系统的特征根：
ω Y(s) G(s) = = 2 R(s) s + 2ξωns + ωn2
2 n
s1 = −ξωn + jωn 1 −ξ2 = −σ+ jωd s2 = −ξωn − jωn 1 −ξ = −σ− jωd
时域分析：是根据微分方程， 时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直 接求出系统的时间响应， 接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来 分析系统的性能。 分析系统的性能。
Stability Input (Typical) Control System (Differential Equation) Laplace Transform Theorem
d1 t ) ( d2t(t ) Qδ(t ) = = 2 dt dt
d d2 y1(t ) = 2 yt (t ) ∴ yδ (t ) = dt dt
线 性 定 常 系 统
• 一个输入信号导数的时域响应等于该信 号时域响应的导数； 号时域响应的导数； • 一个输入信号积分的时域响应等于该信 号时域响应的积分； 号时域响应的积分；
t − T
在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量 在单位阶跃作用下， 随时间变化曲线为一条指数曲线。 随时间变化曲线为一条指数曲线。
y(t )
斜率 =
1 T
1
y(t) = e
− tT
0.865
0.950
0.982
0.632
0
T
2T
3T
4T
t
响应曲线具有非振荡特征： 响应曲线具有非振荡特征： t=T, y(t)=0.632; t=2T, y(t)=0.865; t=4T, y(t)=0.982;
)
ess = lime(t) = T
t →∞
稳态误差趋于T，T越小，动态性能越 快，稳态误差越小，但不能消除。
dy(t ) 初始速度： = 1− e dt t =0
−t T t =0
=0
y(t)
4T
3T
2T T
0
r(
t)
=
Tห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
t
T
2T
3T
4T
t
单位斜坡响应
• 一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是 一阶系统单位斜坡响应的稳态分量， 一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间 上迟后时间常数T的斜坡函数。 上迟后时间常数T的斜坡函数。 • 该曲线的特点是：在t=0处曲线的斜率等 该曲线的特点是： t=0处曲线的斜率等 于零； 于零； • 稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上 存在偏差T 存在偏差T。
3-2 控制系统的时域性能指标
对于线性定常系统，输入为： 对于线性定常系统，输入为：r(t) 输出为： 输出为： y(t ) 用微分方程描述如下： 用微分方程描述如下：
d d d y(t ) + a1 n−1 y(t ) +L+ an−1 y(t ) + an y(t ) n dt dt dt m m−1 d d d = b0 m r(t ) + b1 m−1 r(t ) +L+ bm−1 r(t ) + bmr(t ) dt dt dt
单位阶跃响应性能指标： 单位阶跃响应性能指标：
H(t) 1 0.9 Tα α
阶跃响应输出
超调 误差带 稳态误差Ess 稳态误差
0.5
0.1 0 t Tr Tp Ts
上升时间 峰值时间 调整时间
延迟时间T h(t)上升到稳态的50%所 上升到稳态的50% 1° 延迟时间Tα：指h(t)上升到稳态的50%所 需的时间。 需的时间。 上升时间Tr Tr： h(t)第一次上升到稳态值 2° 上升时间Tr：指h(t)第一次上升到稳态值 的所需的时间。 的所需的时间。 峰值时间Tp h(t)第一次达到峰值所需的 Tp： 3° 峰值时间Tp：h(t)第一次达到峰值所需的 时间。 时间。 上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。 上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。 超调量δ h(t)的最大值与稳态值之差与 4° 超调量δ：h(t)的最大值与稳态值之差与 稳态值之比： 稳态值之比：
Output Response
Accuracy
Ess
Transient Response
Specification
3-1 典型的输入信号
• 系统的数学模型由本身的结构和参数决定； 系统的数学模型由本身的结构和参数决定； • 系统的输出由系统的数学模型、系统的初始 系统的输出由系统的数学模型、 状态和系统的输入信号形式决定； 状态和系统的输入信号形式决定； • 典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号； 典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号； 等加速度信号；脉冲信号；正弦信号； 等加速度信号；脉冲信号；正弦信号； • 典型输入信号的特点：数学表达简单，便于 典型输入信号的特点：数学表达简单， 分析和处理，易于实验室获得。 分析和处理，易于实验室获得。
3.4 二阶系统的时域响应
• 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系 统； • 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且 二阶系统不仅在工程中比较常见， 许多高阶系统也可以转化为二阶系统来 研究， 研究，因此研究二阶系统具有很重要的 意义； 意义；
• 二阶系统的传递函数： 二阶系统的传递函数：
ω G(s) = 2 2 s + 2ζωns + wn
n n−1
时间响应： 时间响应： 动态过程—从初始态到接近稳态的响应。 动态过程 从初始态到接近稳态的响应。 从初始态到接近稳态的响应 稳态过程—t趋于无穷大时的输出状态。 稳态过程 t趋于无穷大时的输出状态。 由微分方程可以得到传递函数 G ( s ) 系统的输出： 系统的输出：
l Ai Bk Y(s) = G(s)R(s) = ∑ +∑ i =1 s − si k=1 s − sk n
三、一阶系统的单位脉冲响应
输入： 输入：
r(t) = δ (t)
R(s) =1
1 y(t ) = e T
−t T
1 输出： 输出： Y(s) = Ts + 1
y(t)
1 T 1 2T
1 y ( t ) = T e-t T
0
T
2T
3T
t
• 由上面分析可知，一阶系统仅有一个 由上面分析可知， 特征参量T 时间常数， 特征参量T——时间常数，调整时间为 时间常数 4T） （3-4T） • 当t=0时单位阶跃响应的变化率和单位 t=0时单位阶跃响应的变化率和单位 脉冲响应的初始值均为1/T 1/T， 脉冲响应的初始值均为1/T，单位斜坡 响应的稳态误差为T 响应的稳态误差为T。 • T越小，系统的动、静态性能越好。 越小，系统的动、静态性能越好。
A为常量，A=1的阶跃函数称为单位斜坡函数。 为常量，A=1的阶跃函数称为单位斜坡函数。 的阶跃函数称为单位斜坡函数