高等土力学(李广信)3.6 土的强度理论
高等土力学主要知识点整理(李广信版)
第二章 土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零 3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中⎩⎨⎧=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
高等土力学教材 第三章 土的强度
第三章 土的强度3.1 概述土与人类的关系十分密切。
在人类进化发展的上万年历史中，挖沟筑堤，疏河开渠，建造房屋殿宇、庙堂墓塔，首先涉及的是土的强度问题。
长期实践经验的积累，使人们对土的强度的重要性有了较深刻的理解。
土的强度理论研究甚至早于“土力学”学科的建立，亦即早在太沙基（Terzaghi ）1925年出版其著作《土力学》之前。
1776年，库仑（Coulomb ）就在试验的基础上提出了著名的库仑公式：ϕστtg c f += (3.1.1)1900年莫尔（Mohr ）提出：在土的破坏面上的抗剪强度是作用在该面上的正应力的单值函数：)(f f f στ= (3.1.2)这样，库仑公式（3.1.1）只是在一定应力水平下式（3.1.2）的线形特例。
从而建立了著名的莫尔－库仑强度理论。
在随后的许多年中，人们针对莫尔－库仑强度理论中抗剪强度与中主应力无关的假设，进行了大量的中主应力对土抗剪强度影响的研究，并且企图在土力学中引进广义密塞斯（Mises ）和广义屈雷斯卡（Tresca ）强度理论， 但它们与土的强度性质实在相差太大。
只有到了20世纪60年代以后，随着计算机技术的发展及大型土木工程的兴建，关于土的应力－应变－强度－时间关系即本构关系的研究广泛开展，人们才逐步认识到土的强度与土的应力－应变关系是密不可分的，它是土受力变形过程的一个阶段；并进一步认识到除剪切强度以外，还有拉伸强度、断裂及与孔隙水压力有关的土的破坏问题。
这样，一些与土的本构模型相应适应的土强度准则也相继被提出。
另一方面，人们也力图从微观机理上研究土的强度及建立强度理论；探索原状土、非饱和土、区域性土和老粘土等的强度问题。
源于土的碎散性、多相性和在长期地质历史造成的多变性，土的强度也呈现其特殊性。
首先，由于土是碎散颗粒的集合，它们之间的相互联系是相对薄弱的。
所以土的强度主要是由颗粒间的相互作用力决定，而不是由颗粒矿物的强度本身直接决定的。
高等土力学(李广信)_教材习题解答
c=10kPa, tan=0.5 固结快剪：v=100kPa =60kPa uf=0
3-35
• 一个正常固结粘土的，准备用这种
粘土做两种三轴排水试验，它们的各向等 压固结压力都是200 kPa，第一个试验是 常规三轴压缩试验（CTC）另一个试验是 三轴伸长试验（RTE），问它们（破坏时） 的轴向应力是多少？
高等土力学教材 习题解答
1-1
• 拟在一种砂土上进行各种应力路径的三轴试验，
施加的各向等压应力都是c=100kPa，首先完成 了常规三轴压缩试验（CTC），当 208.9kPa
1 3
时，试样破坏。根据莫尔－库仑强度理论，试 预测在CTE、TC、TE、RTC和RTE试验中试样破坏 时与各为多少？
(%) 0 1 2 4 6 8 10 12
(kPa 0 3.5 4.5 5.2 5.4 5.5 5.7 5.8
u(kPa 0 1.9 2.8 3.5 3.9 4.1 4.3 4.4
答案：φ’=20 ； φcu=13
3-38
1. 在上题同样的试样上进行减压的三轴压缩试验
（RTC），即首先在=10 kPa下各向等压固结， 然后轴向应力保持=10 kPa不变，围压减少 到4.2 kPa时破坏。结合上题回答： （1）绘出RTC试验的总应力和有效应力路径； （2）绘出RTC试验的(~~u曲线； （3）求RTC试验的cu
2 z
1 b b ( q 1 b b
2
x) ( 3)
1 b b z
2
(2)
y b z
(4)
x
3 p z y 3
计 算 公 式 的 推 导
x
p
高等土力学-习题解答-李广信
第3章习题摩尔-库仑公式推导:ϕ+ϕσ+σ=σ-σcos c sin 223131 即: 231231]cos c 2sin )[()(ϕ+ϕσ+σ=σ-σ,同理有;232232]cos c 2sin )[()(ϕ+ϕσ+σ=σ-σ; 221221]cos c 2sin )[()(ϕ+ϕσ+σ=σ-σ破坏面条件:{}{}{}0]cos c 2sin )[()(]cos c 2sin )[()(]cos c 2sin )[()(221221232232231231=ϕ+ϕσ+σ=σ-σ⨯ϕ+ϕσ+σ=σ-σ⨯ϕ+ϕσ+σ=σ-σ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π-θ-θπ+θ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧σσσ1112321I 31I 31I 31)6cos()sin()6cos(J 32 将该式代入上式得:0cos C J )3sin sin (cos sin I 3121=ϕ+ϕθ+θ-ϕ π平面上各轴的投影:在1σ轴上的投影:2S 2321321=σ-σ-σ在2σ轴上的投影:2S 2322312=σ-σ-σ在3σ轴上的投影:2S 2323213=σ-σ-σ如: 1σ=400kPa, 2σ=3σ=100kPa. 则在三个轴上的投影分别为: 141kPa, -71kPa, -71kPa.1、临界状态：是指土在常应力和常孔隙比下不断变形的状态。
临界孔隙比：表示土在这种密度状态下，受剪作用只产生剪应变而不产生体应变。
水力劈裂：由于孔隙水压力的升高，引起土体产生拉伸裂缝发生和发展的现象。
饱和松砂的流滑：饱和松砂在受静力剪切后，因体积收缩导致超孔压骤然升高，从而失去强度和流动的现象。
真强度理论：为了反映孔隙比对粘土抗剪强度及其指标的影响，将抗剪强度分为受孔隙比影响的粘聚分量与不受孔隙比影响的摩擦分量。
通过不同的固结历史，形成等孔隙比的试样，在不同的法向压力下剪切，试样破坏时的孔隙比相同，强度包线即为孔隙比相同的试样的强度包线，该强度称为在此孔隙比时的真强度。
高等土力学土的强度理论资料.
2k
1
3
J2
sin
π 2
k
0
1=3, 2=2, 3=1, k=(1- 3)/2=1
=0
广义形式
J2
1 2
sij sij
1 6
(1 2)2 ( 2 3)2 (3 1)2
1
K=1
1
3
2k
I 1
J2
sin
π 2
k
1 2
I1
0
图3－79 特雷斯卡与米泽斯准则
六棱柱的表面：
J2
sin
π 2
3. 6 土的强度理论
3.6.1 概述 3.6.2 土的古典强度理论 3.6.3 近代的强度理论 3.6.4 关于强度理论的讨论
3.6.1概述
（1）材料的强度是指材料破坏时的(应 力)状态。
（2）定义破坏的方法（数学表达式） 是破坏准则。破坏准则常常是应力 状态的组合。
（3）强度理论是揭示土破坏的机理的 理论，它也以一定的应力状态的组 合来表示。因而强度理论与破坏准 则的表达式是一致的。
－
图3－85 平面
36.90 对于广义米泽斯及特雷斯卡准则， 将有一个主应力为拉应力（<0）
3.6.3 近代的强度理论
1. 莱特－邓肯(Lade-Duncan)破坏准则 2. 松冈元-中井照夫 （Matsuoka- Nakai）强度理论 3. 双剪应力强度理论 4. 隐式的破坏准则
本构关系－应力应变与强度关系
某土单元上的两个占主导地位的主剪应力及相 应的主正应力的函数达到某一极限值时，土单 元发生破坏。
b、c和为三个试验常数。
图3－93 强度极限面
F 13 b12 13 b12 c 0
高等土力学(李广信)3.6_土的强度理论
m
图3－88 修正的Lade-Duncan破坏准则
2. 松冈元-中井照夫 （Matsuoka- Nakai）破坏准则
基于空间滑动面（SMP：spatial mobilized plane）的 概念
i j sin ij i j
空间滑动面（SMP）
i j sin ij i j
Ⅲc——三剪切角理论（松岗元-中井照夫，沈珠江）
其中Ⅲc考虑三个应力莫尔圆的影响，表示为
1 2 2 2 sin 13 sin 12 sin 23 2
i j sin ij i j
1 2
Байду номын сангаас
sin
其中：
3.6.2 土的经典强度理论
1. 特雷斯卡（Tresca）准则及其广义准则
习题
3－20 3－27 3－37 3－38
J2
3
2
1 1 1 sin 3 I1 J 2 3 27 kf
2
27 3 f p, q, 2q sin 3 9q p 27 1 p 0 kf
1. 莱特－邓肯(Lade-Duncan)强度准则
1 b 2 b k f 2 b 1 b
H p ij
破坏条件隐含在H中
p ij
H H
5. 土的各向异性的强度的表示
f 1 , 2 k
1 11 22 33
2 2 2 22 33 2 2 2 11 22 11 33 12 13 23 6 6 2 2
广义形式
1 3 2k I
高等土力学-土的强度理论
f I1 , J 2 ,
2 3 3
3
J2
3
2
1 Байду номын сангаас 1 sin 3 I1 J 2 3 27 kf
2
27 3 f p, q, 2q sin 3 9q p 27 1 p 0 kf
f ( ij , kn ) 0
理论，它也以一定的应力状态的组
合来表示。因而强度理论与破坏准 则的表达式是一致的。
3.6.1 概述
一般表达式
f ( ij , kn ) 0
f I1 , I 2 , I 3 , kn 0
对于各向同性材料 或者
f p, q, , kn 0
H p ij
破坏条件隐含在H中
p ij
H H
5. 土的各向异性的强度的表示
f 1 , 2 k
1 11 22 33
2 2 2 22 33 2 2 2 11 22 11 33 12 13 23 6 6 2 2
图3－79 特雷斯卡与米泽斯准则
六棱柱的表面：
π J 2 sin k 0 2
π 1 J 2 sin k I1 0 2 2
柱面与锥面
π J 2 sin k 0 2
图3－80 广义的形式
2. 米泽斯（Von Mises）和广义米泽斯（extended Von Mises）准则
4. 隐式的破坏准则 破坏：加微小应力增量dij，会产生不可控制 的或很大的应变增量。
d d
图3－94 强度与应力应变关系
高等土力学主要知识点整理(李广信版)
第二章 土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零 3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中⎩⎨⎧=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
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大（或者不可控制）的应变增量。因而破坏
是应力应变关系的最后阶段。
1. 莱特－邓肯(Lade-Duncan)强度准则
f I1 , I3 I k f I3 0
3 1
(kf>27)
I13 kf I3
3 I1 0
f I1 , J 2 ,
2 3 3
J2
3
2 3 b 1 3
1/3=
Lade-Duncan 破坏准则
图3－86 Lade-Duncan 破坏准则
图3－87 与试验结果的比较
修正的Lade-Duncan破坏准则——微弯的 破坏轨迹
I I1 f I1 , I 3 27 kf 0 I3 pa
图3－89 空间滑动面模型
2=3时，倾角为
与莫尔－库仑准则一致
图3－90 空间滑动面模型
45＋ mo13 ，mo23=0，mo12＝mo13＝，
2. 松冈元-中井照夫 （Matsuoka- Nakai）破坏准则
I1 I 2 kf I3
1 3 2 1 2 2 2 3 2 kf 9 1 2 2 3 1 3
Ⅲc——三剪切角理论（松岗元-中井照夫，沈珠江）
其中Ⅲc考虑三个应力莫尔圆的影响，表示为
1 2 2 2 sin 13 sin 12 sin 23 2
i j sin ij i j
1 2
sin
其中：
3.6.2 土的经典强度理论
1. 特雷斯卡（Tresca）准则及3－37 3－38
3.6.1 概述
一般表达式
f ij , ki 0
f I1 , I 2 , I 3 , ki 0
对于各向同性材料 或者
f p, q, , ki 0
四大古典强度理论
最大正（拉）应力理论（第一强度理论）； 最大正（拉）应变理论（第二强度理论）； 最大剪应力理论（第三强度理论）； 最大变形能理论（第四强度理论）。
应力达到强度时，Et0或者d1
q
p
M
弹塑性模型：
d d d
p
e
g d d ij
p ij
d
A0
1 df 1 f d d ij dH A d ij A H
g f H A p ij H ij
2. 米泽斯（Von Mises）准则及其广义准则
3. 莫尔－库仑（Mohr-Coulomb)强度准则
4. 三个强度准则的讨论
1. 特雷斯卡（Tresca）准则与广义特雷斯卡 （extended Tresca）准则
2k
1 3
π J 2 sin k 0 2
Ⅱ——考虑两个剪应力
Ⅱa——双剪应力理论（俞茂鋐理论）。
Ⅱb——广义双剪应力理论，即在上述理论Ⅱa中
计入平均主应力的影响。
Ⅱc——双剪切角理论：考虑三维应力状态中，两
个较大莫尔圆的剪切角的综合影响。
Ⅲ——考虑三个剪应力
Ⅲa——三剪切力理论（Mises理论）
Ⅲb——广义三剪应力理论（extended Mises理论）
主剪应力
1 13 1 3 2 1 12 1 2 2 1 23 2 3 2
图3－92 双剪应力
1 13 1 3 2 1 12 1 2 2 1 23 2 3 2
2
横向各向同性：等效应力不变量
3.6.4 关于强度理论的讨论
（1）米泽斯和特雷斯卡：只有在饱和软粘土的不排 水情况下，还可以使用。 （2）莫尔－库仑准则表达了破坏面上正应力与抗剪 强度之间的关系。缺点：未考虑中主应力，强度 包线是直线。 （3）土的强度是土的应力应变的一个特殊阶段。因 而土的强度理论可被纳入土的本构模型之中—— 近代的强度理论。
对于土，这些强度理论不适用。
沈珠江的强度理论分类 Ⅰ——只考虑一个剪应力 Ⅰa——单剪应力理论（）（Tresca理论） Ⅰb——广义单剪应力理论（extended Tresca理论） Ⅰc——单剪切角理论（）/（+） =sin （Mohr－Coulomb理论)（c＝0时）
某土单元上的两个占主导地位的主剪应力及相 应的主正应力的函数达到某一极限值时，土单 元发生破坏。
b、c和为三个试验常数。
图3－93 强度极限面
F 13 b 12 13 b 12 c 0 (当 12＋ 12 23＋ 23时) F 13 b 23 13 b 23 c 0 (当 12＋ 12 23＋ 23时)
3 1
m
图3－88 修正的Lade-Duncan破坏准则
2. 松冈元-中井照夫 （Matsuoka- Nakai）破坏准则
基于空间滑动面（SMP：spatial mobilized plane）的 概念
i j sin ij i j
空间滑动面（SMP）
i j sin ij i j
1 2 2 3 3 1
2 2
2
6k
2
J2 k
q 3k
2
J2 k
oct
2 k 3
广义米泽斯—— Drucker-Prager准则
J 2 I1 k 0
3 q p 3k 0 3
1
3
圆柱面与圆锥面 2
H p ij
破坏条件隐含在H中
p ij
H H
5. 土的各向异性的强度的表示
f 1 , 2 k
1 11 22 33
22 33 2 2 2 2 2 2 11 22 11 33 12 13 2 23 6 6
广义形式
1 3 2k I
1
π 1 J 2 sin k I1 0 2 2
图3－79 特雷斯卡与米泽斯准则
六棱柱的表面：
π J 2 sin k 0 2
锥面
图3－80 广义的形式
2. 米泽斯（Von Mises）和广义米泽斯（extended Von Mises）准则
F 13 b 12 13 b 12 c 0 (当 12＋ 12 23＋ 23时) F 13 b 23 13 b 23 c 0 (当 12＋ 12 23＋ 23时)
d d
图3－94 强度与应力应变关系
4. 隐式的破坏准则
1 3 Et Ei 1 Rf 1 3 f
2
Duncan-Chang
' 2d 2 dp 2 d 2 ' Cam-Clay 2 2 1 e M M p
36.9
0 对于广义米泽斯及特雷斯卡准则，
将有一个主应力为拉应力（<0）
3.6.3 近代的强度理论
1. 莱特－邓肯(Lade-Duncan)强度准则
2. 松冈元-中井照夫 （Matsuoka- Nakai）破坏准则
3. 双剪应力强度理论
4. 隐式的破坏准则
本构关系－应力应变与强度关系
土的强度，或者破坏是其应力应变过程的最 后阶段，即在微小的应力增量下，会产生很
图3－81 米泽斯和广义米泽斯准则
图3－82 平面上的各强度准则
3. 莫尔－库仑强度准则
f f
f c tg
莫尔（Mohr）
单值函数
1 3 sin 1 3 2c ctg
在一定的应力范围， 线性关系－库仑公式
I1 1 sin J 2 sin sin cos c cos 0 3 3
3. 6 土的强度理论
3.6.1 概述 3.6.2 土的古典强度理论 3.6.3 近代的强度理论 3.6.4 关于强度理论的讨论
3.6.1概述
（1）材料的强度是指材料破坏时的应力状态。 （2）定义破坏的方法（数学表达式）是破坏准 则。破坏准则常常是应力状态的组合。 （3）强度理论是揭示土破坏的机理的理论，它 也以一定的应力状态的组合来表示。因而强 度理论与破坏准则的表达式是一致的。
tg212+ tg223+ tg213=kf
图3－91 不同强度参数平面上的强度轨迹
3. 双剪应力强度理论 12面体应力的概念
1 13 1 3 2 1 12 1 2 2 1 23 2 3 2
主正应力
1 13 1 3 2 1 12 1 2 2 1 23 2 3 2
3
2
1 1 1 sin 3 I1 J 2 3 27 kf
2
27 3 f p, q, 2q sin 3 9q p 27 1 p 0 kf
3
1. 莱特－邓肯(Lade-Duncan)强度准则
1 b 2 b k f 2 b 1 b
1 1 p sin q sin sin cos c cos 0 3 3
三维空间
平面 图3－83 莫尔－库仑强度准则
三轴平面
4. Tresca、Mises和Mohr-Coulomb
三个强度准则的讨论
图3－84 三维应力空间及平面
－
图3－85 平面
当b＝＝0时，退化成特雷斯卡强度准则。