人教A版高中数学必修2二面角教案

◆教案

二面角

教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2

【教学目标】

1、知识目标：

(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。

(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

2、能力目标：

培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。

3、过程与方法目标：

引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。

4、情感、态度、价值观目标：

(1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。

(2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。

(3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；

(4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

【教学重点与难点】

重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。

难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。

【教学方法与手段】

(1)教学方法：

采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。

(2)教学手段：

借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。

【学法指导】

通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。

【教学流程】

【教学过程】

教学过程设计意图一、复习引入、创设情境导入新课

通过前面的学习我们知道空间内线与线、线与面都能够形成角，而且线线角与线面角的大小最终都是通过相应的平面角进行度量的。

抛出问题：

(1)空间内面与面能否构成角呢？

(2)如果能又如何称谓它呢？

(3)它的大小能否用相应的平面角进行度量呢？

这连续三个类比发问会使学生兴趣盎然,带着明确的学习目标积极主动地投入课堂的教学中来。

二、二面角的概念

首先观察以下三个动画来回答我们刚才提出的第一个问题——空间中面与面是否能够形成角？

发射人造卫星时，必须使卫星旋转轨道平面与地球赤道平面成适当角度才行。老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，承上启下引出课题，帮助学生形成完整、系统的知识体系。

在这个过程中，放映动画辅助学生回顾相关内容。

教师板书，将这三个问题写在黑板上，便于以问题为中心展开本节课的教学。

（复习引入用时约2分钟）

带着问题观察动画，把“二面角”概念的引出置于生活的背景之中，自然引起学生的学习兴趣，既具体、生动，又注意培养学生用数学的意识，同时使学生认识到本节课题研究的必要性。

我们要读到书里面的全部内容，必须使书所在平面与封面所在平面成适当的角度。

为了使堤坝更加坚固耐用，必须使堤坝所在平面与水所在平面成一定的角度。

通过这三个动画回答了我们第一个问题，空间中面与面是可以形成角的，并且自然而然地引出“二面角”的说法，从而回答了我们第二个问题。接下来通过与“平面角”类比，得出二面角的具体定义及表示方法。 角

二面角

引入

直线上一点把直线分割成两条射线

平面内一条直线把平面分割成两部分，每一部分称为半平面

定义 从一点出发的两条射线所组成的图形

从一点出发的两个半平面所组成的图形

构成 边——顶点——边

半平面——直线——半平面 （面） （棱） （面）

表示法 AOB ∠

l AB αβαβ----或

现实生活中的许多问题，只须给予适当的数学化，便可转化为数学问题，然后用数学知识加以解决。

通过将平面几何中的“角”与立体几何中的“二面角”做类比，使学生温故而知新，符合学生的认知规律，使学生能较深刻地把握概念的本质。

（二面角的概念 用时约8分钟）

三、二面角的平面角的概念——回答第三个问题情境问题一

观察以上两个图形有什么不同？（电脑打出图片）

答案：大小不一样，也就是说两个二面角相对张合程度不同

情境问题二

应该如何把它们的大小度量出来呢？

情境问题三

我们以前碰到过类似的问题吗？

大屏幕演示，以提高效率。

情境问题四

两定义的共同特点是什么？——空间中线线角与线面角都是通过相应的平面角进行度量的。

情境问题五

那么二面角的大小能否能用相应的平面角进行度量呢？

——答案是肯定的，因为在我们所学的知识范围内，能够度量的只是平面角而已。所以我们要想度量空间角必须把他转换成平面角。这样就回答了我们刚刚提出的第三个问题。引导学生发现并提出问题，激发学生的探索欲望，从而培养学生的创造性思维。

揭示二面角的平面角概念产生的背景。

引导学生寻找类比联想的对象。

总结性语言，明确答案。类比猜想得出结论

情境问题六

凭直觉猜想二面角的平面角的顶点以及两边应该在什么位置？ ——顶点在棱上，两边分布在两个半平面内。 给出二面角平面角的定义：

在公共棱l 上任意取一点O ，以点O 为垂足，在半平面内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB 叫做二面角的平面角。

情境问题七

你能找出二面角的平面角的特征吗？(找同学来回答，然后教师补充完整) (1)顶点在棱上；

(2)平面角的两边分布在两个面内； (3)平面角的两边与棱垂直；

(4)平面角的范围[00

0,180]

根据学情避免了“二面角的平面角的唯一性”的纯理论性证明，后面把这个问题作为一个探究试验来处理。

给出图片加深印象。

让学生学会归纳总结，体现知识的条理性。

（二面角的平面角 用时约10分钟）

四、应用举例

例1、一张长为10厘米的正三角形纸片ABC ，以它的高AD 为折痕，

折叠成一个0120的二面角，求此时B 、C 两点间的距离

电脑屏幕演示折叠动画，帮助学生理解题意。

以动态的动画演示来辅助学生理解题意，清楚的展现折叠后哪些量发生改变，哪些保持不变。

小结：涉及到二面角的计算问题，关键在于找出（或做出）二面角的平面角。

练习一、如图在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱

PD=a ，PA=PC=2a ，求二面角P-BC-D 的大小。

例2、如图正方体1111ABCD A B C D ，

11A BD C BD 求平面与平面的夹角的余弦值。

小结：若两个面是特殊三角形，注意找公共棱的中点。

问题归类，培养学生归纳总结能力。

讲练结合，更容易让学生掌握知识要点。

由于学生刚刚接触二面角，所以在探究作二面角的平面角时会有困难，此时教师可以启发学生紧紧抓住二面角的平面角定义这一核心依据。

由浅入深逐渐深入，激发学生的探索欲望——例1只是要求找出二面角的平面角就可以了，而例2则要求同学们自己亲手把它作出来。

提升学生归纳总结，解决问题的能力。

练习二、立体图形P-ABC的四个面为全等的正三角形，求二面角P-AB-C的平面角的大小考察学生对上一题的理解掌握情况。

（应用举例用时约20分钟）

五、课堂小结

1、知识点小结

（1）二面角的定义；

（2）二面角的表示方法；

（3）二面角的平面角的定义；

2、数学思想——化归思想

即求二面角大小转化为求二面角平面角大小问题；

3、求二面角解题步骤

（1）找出（或作出）二面角的平面角；

（2）根据画图证明所找（或作）图形为二面角的平面角；（3）作出这个角的所在三角形，解三角形求出角；

（4）答；

简单的说就是一“作”；二“证”；三“求”；四“答”；①引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，有利于学生对已有的知识结构加深理解。

②引导学生对学习过程进行反思，为今后的学习中进行有效调控打下良好基础。

（课堂小结用时约3分钟）

六、布置作业

我本着因材施教，顾全大局，兼顾个人的原则布置三道题，两易一难，从而体现分层教学。（详见课件）布置作业的目的是为了及时反馈教学中的不足，了解学生掌握情况。

七、课外分组研究

我们在作二面角的平面角的时候，为什么一定要使两边与公共棱垂直？由于教材上没有明确在做二面角的平面角时，为什么一定要使两边与侧棱垂直，直接给出做法，显得有些突兀。而根据本班实际学情，无法在课堂

上完成这一问题的探究，

然而为了锻炼少数有能

力同学的数学思维，因此

在这里把这个问题作为

一个探究，留给那些学有

余力的同学去思考，必要

时候做一定的讲解。

【评价分析】

大多数学生之所以学习有困难，解决问题能力差，问题在于他们所获得的概念、知识不是通过研究事实和现象的途径形成的，而是死记硬背得来的。本课例设计不是简单地将二面角及二面角的平面角定义直接“抛售”给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，创设实际问题情景，调动学生积极参与探索、发现问题、解决问题的全过程。这样，学生学到的不单是知识本身，也经历了知识的发生、形成的过程，同时在分析、探索的过程中，依靠自己的独立智慧和努力，而获得了一些能够概括大量事实和现象的知识，这种知识对学生来说是极为宝贵的。在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，倡导自主探索、合作交流与实践创新，促进他们在活动的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。

请各位专家多提宝贵意见，谢谢您的指导！

◆教案说明

二面角

教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2

一、设计理念

《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方

式．为使教学真正做到以学生为本，我对教材的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究中发展.

二、授课内容的数学本质：

二面角是继空间内线线角与线面角之后，又一重点研究的空间角,它的产生完善了空间角的概念,而二面角的平面角能定量的描述两相交平面的相对位置关系，故为即将研究的面面垂直提供了定义的依据。因此，本节课在教材中有承前启后的作用。同时二面角的平面角也是空间内线与线,线与面,面与面垂直关系的一个汇集点，故搞好本课的学习，对学生系统地构建知识体系乃至于创新能力的培养都有着十分重要的意义。另外本节课的教学中所涉及的重要数学思想有：

1、类比思想：如平面角和二面角形成过程的类比；

2、降维思想：把三维的空间问题降为二维的平面问题再加以解决。

三、教学目标定位：

知识目标：

(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。

(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

能力目标：

培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。

过程与方法目标：

引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。

情感、态度、价值观目标：

(1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。

(2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。

(3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；

(4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

四、知识的基础与外延：

它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，又一个要重点研究的空间角，它是为了研究两个平面的垂直关系而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体和旋转体的基础。通过本节课的学习可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机。

五、教学诊断分析：

学生刚刚接触二面角，让他们找出（或作出）二面角的平面角，是有一定困难的。

例题由浅入深，第一个例题较容易，主要考察学生对二面角的平面角概念的理解，直接找出二面角的平面角就可以了，通过动画演示，学生可以根据二面角的平面角的定义做出答案。第二个例题则要求学生自己作出二面角的平面角。因此教师要有足够的耐心来引导他们。六、教法特点：

《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法”。

考虑授课对象是高二年级文科生，数学的知识基础和数学基本能力差异较大，所以本节课设计为教师启发引导式教学模式，并借助多媒体动画演示来吸引学生的注意力。

教学过程中提供更多的机会给学生进行自主实践，主动建构知识体系。相信学生可以按自己的方法和速度学习数学知识、理解数学原理、掌握数学方法，并应用所学知识解决实际问题，给学生更多成功的体验。教学中始终关注后进生的活动，及时给与肯定和鼓励，也作为合作者协助他们获得知识。通过教师的长期培养，学生慢慢养成探索的习惯，最终达到主动探索，提高学生的数学学习能力。

七、预期效果分析：

知识的引入符合学生的认知规律，避免了理论的严格推导过程，把二面角平面角的唯一性作为一个探究，留给那些感兴趣的同学去课后思考。借助动画演示和教室里的现场素材，让学生形象直观去认识和感受二面角，从形的直观感知进而到度量大小的探究，再分层练习，逐步加深学生对知识的理解。达到能够找出或作出二面角的平面角的目标。

在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，促进他们在过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。

请各位专家多提宝贵意见，谢谢您的指导！