测量学 第六章
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测量学第六章控制测量
根据已知点的坐标，反算坐标方位角
R tan1 y2 y1 tan1 y12
x2 x1
x12
12 R ，当 x 0, y 0 时
12 180 R ，当 x 0 时
12 360 R ，当 x 0, y 0 时
表6－5 闭合导线坐标计算表
1．闭合导线 起讫于同一已知点的导线，称为闭合导线
2．附合导线
布设在两已知点间的导线，称为附合导线。 此种布设形式，具有检核观测成果的作用，
并能提高成果的精度。
3．支导线
由一已知点和一已知边的方向出发，既不附合到 另一已知点，又不回到原起始点的导线，称为支 导线。
因支导线缺乏检核条件，故其边数一般不超过4条。
-61.10
85.66
-61.12 +85.68
2 107 48 30 +13 107 48 43
438.88 585.68
-0.02 +0.02
53 18 43 80.18
+47.88 +64.32
47.90 64.30
3 73 00 20 +12 73 00 32
486.76 650.00
-0.03 +0.02
当 A、B、C、P 四点共圆时，则
ac
bd
k
ac
0
bd 0
（6-31）
为不定解。因此，式（6-31）就是 P 点落在危险圆上的判别式。
量改正数，即
Vxi
fx D
Di
Vyi
f
y
D
Di
R tan1 y2 y1 tan1 y12
x2 x1
x12
12 R ，当 x 0, y 0 时
12 180 R ，当 x 0 时
12 360 R ，当 x 0, y 0 时
表6－5 闭合导线坐标计算表
1．闭合导线 起讫于同一已知点的导线，称为闭合导线
2．附合导线
布设在两已知点间的导线，称为附合导线。 此种布设形式，具有检核观测成果的作用，
并能提高成果的精度。
3．支导线
由一已知点和一已知边的方向出发，既不附合到 另一已知点，又不回到原起始点的导线，称为支 导线。
因支导线缺乏检核条件，故其边数一般不超过4条。
-61.10
85.66
-61.12 +85.68
2 107 48 30 +13 107 48 43
438.88 585.68
-0.02 +0.02
53 18 43 80.18
+47.88 +64.32
47.90 64.30
3 73 00 20 +12 73 00 32
486.76 650.00
-0.03 +0.02
当 A、B、C、P 四点共圆时，则
ac
bd
k
ac
0
bd 0
（6-31）
为不定解。因此，式（6-31）就是 P 点落在危险圆上的判别式。
量改正数，即
Vxi
fx D
Di
Vyi
f
y
D
Di
测量学第六章
精度高。
用中误差m 用中误差m表示不同精度的误差分布曲线
中误差的大小反映出 一组观测值的离散的 程度。 程度。 较小, m1较小, 误差分布比 较集中， 较集中，观测值精度 较高； 较高； 较大， m2较大，误差分布比 较离散， 较离散，观测值精度 较低。 较低。
2、相对误差
2、相对误差 相对误差K 相对误差K是中误差的绝对值与相应观 测值之比。 测值之比。
k
=
m D D
=
1 D m D
3、极限误差
由偶然误差分布的第一特性（有界性）知：在 由偶然误差分布的第一特性（有界性） 一定的观测条件下， 一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定限值，这个限值就是极限误差. 过一定限值，这个限值就是极限误差. 由概率论知: 由概率论知:
P {− σ 〈 ∆ 〈+ σ
测 量 学基础
地大江城学院 陈文玲
第六章 测量误差的基本知识
教学要求： 了解测量误差产生的原因和评 教学要求： 定精度的标准，掌握偶然误差的特性、误 差传播定律及其在测量数据处理中的应用 方法。 本章重点 偶然误差的特性、评定精度的标 准，误差传播定律及其应用。
第六章 测量误差的基本知识
第一节 第二节 第三节 第四节 测量误差概述 衡量精度的指标 误差传播定律 等精度直接观测值的最可靠值
∆ ∆
容 容
= 2σ = 3σ
≈ 2 m ≈ 3m
第三节 误差传播定律
在实际工作中，某些未知量不可能或不便于 在实际工作中， 直接进行观测， 直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据 函数中误差与 一定的函数关系计算出来，这时函数中误差 一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观 测值中误差必定有一定的关系 必定有一定的关系。 测值中误差必定有一定的关系。 阐述这种关系的定律称为误差传播定律。 误差传播定律 阐述这种关系的定律称为误差传播定律。 函数关系可以分为： 函数关系可以分为： 线性函数关系：和差函数、 线性函数关系：和差函数、倍数函数 非性函数关系 首先研究一般函数的误差传播律通式。 首先研究一般函数的误差传播律通式。
测量学第六章到第十二章复习
测量学第六章到第十二章复习第六章地形图测绘1、名词：比例尺地图上某一线段的长度与地面上相应线段的水平距离之比，称为比例尺。
2、名词：比例尺的最大精度相当于图上0.1mm的实地水平距离D，称为比例尺的最大精度。
3、何谓等高线、等高距、等高线平距？等高线是地图上地面高程相等的各相邻点所连成的曲线；地图上相邻等高线的高差叫做等高距；地图上相邻两条等高线之间的水平距离，称为等高线平距。
4、试述等高线的特性。
（1）等高性。
同一条等高线上各点高程相等，但高程相等的点不一定在同一等高线上。
（2）闭合性。
等高线为连续闭合曲线。
（3）非交性。
除了悬崖和绝壁外，等高线在图上不能相交或相切。
（4）正交性。
山背和山谷处等高线与山背线和山谷线正交。
（5）密陡疏缓性。
同一幅图内，等高线愈密，坡度愈陡；等高线愈稀，坡度愈缓。
5、碎部测量中经纬仪测绘法有哪几个主要步骤？（1）安置仪器；（2）定向；（3）立尺；（4）观测；（5）记录；（6）计算。
第七章大比例尺数字化测图1、数字化测图系统硬件的组成由哪些？数字化测图系统硬件主要有计算机、全站仪、GPS、数据记录器（电子手簿）、数字化仪、打印机、绘图仪及输入输出设备等。
2、数字化测图软件的基本功能是什么？数字化测图软件是数字化测图系统的核心，应具备以下基本功能：（1）数据采集功能；（2）数据输入功能；（3）编辑处理功能；（4）数据管理功能；（5）整饰功能；（6）数据的输出功能。
3、地图原图数字化通常有两种方法：（手扶跟踪数字化和扫描数字化）第八章地形图基本知识1、我国规定的基本比例尺地形图有哪些？我国规定的基本比例尺地形图有：1:100万，1:50万，1:25万，1:10万，1:5万，1:2.5万；1:1万，1:5000。
2、地形图为什么要分幅与编号？我国地域辽阔，测制地形图时不可能将其全部测绘在一张有限的图纸上。
因此对大须臾的地形图需分块测量，拼接使用，这就需要按照统一的规则对地形图进行分幅与编号。
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
测量学第6章测量误差及数据处理的基本知识
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2020年8月2日星期日
m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
安徽工业大学
土木工程系
16
2020年8月2日星期日
2.容许误差(极限误差)
标准差 的数学意义
y f ()
1
e
2
2 2
2
y 较小 较大
上式中， 2称为方差：
表示的 x=
离散程度
2 lim 21 22 2n lim [2 ]
n
n
n n
称为标准差：
lim
[2 ] lim
n n
n
安徽工业大学
土木工程系ห้องสมุดไป่ตู้
[] n
13
2020年8月2日星期日
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
安徽工业大学
土木工程系
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2020年8月2日星期日
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
安徽工业大学
土木工程系
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)
lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
测量学 习题和答案 第六章 测量误差的基本理论
第六章测量误差的基本理论1、在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除什么误差？答：在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除仪器误差以及外界环境的影响。
2、在水准测量中，有下列各种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质：①视准轴与水准管轴不平行；②仪器下沉；③读数不正确；④水准尺下沉。
答：①视准轴与水准管轴不平行；仪器误差。
②仪器下沉；外界条件的影响。
③读数不正确；人为误差。
④水准尺下沉。
外界条件的影响。
3、偶然误差和系统误差有什么不同？偶然误差具有哪些特性？答：系统误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差。
偶然误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性的误差。
偶然误差具有以下统计特性（1）有界性（2）单峰性（3）对称性（4）补偿性4、什么是中误差？为什么中误差能作为衡量精度的指标？答：中误差是指同一组中的每一个观测值都具有这个值的精度5、函数z=z1+z2，其中z1=x+2y，z2=2x-y，x和y相互独立，其m x=m y=m，求m z。
m m m m yx y x y x z z z y x z 1093222221=+±=+=-++=+=6、进行三角高程测量，按h=Dtan α计算高差，已知α=20°，m α=±1′，D=250m ，m D =±0.13m ，求高差中误差m h 。
m m D m m D h 094.0)20626560()20sec 250(13.0)20(tan )sec ()(tan 2222222222±=⨯⨯+⨯±=+±=ααα 7、用经纬仪观测某角共8个测回，结果如下：56°32′13″，56°32′21″，56°32′17″，56°32′14″，56°32′19″，56°32′23″，56°32′21″，56°32′18″，试求该角最或是值及其中误差。
测量学6小地区控制测量
二、国家控制 网的概念
为了统一全国各地区的测量工作，必须进行全国性的 控制测量，以建立国家控制网，供整个国民经济规划 和国防建设等使用。国家控制网分平面控制网和高程 控制网。
国家平面控制网
国家平面控制网主要是采用三角测量方法建立的，即 在全国范围内将控制点组成一系列的三角形，通过测 定所有三角形的内角，推算出各控制点的坐标。国家 控制网也是按照“由高级到低级、由整体到局部”的 原则布设的。国家平面控制网按其精度可分为一、二、 三、四等四个等级。
根据坐标方位角的定义，它是 从坐标轴北端开始顺时针旋转 至某边的水平角。因此有相同 端点的两条边，右侧边的坐标 方位角就等于左侧边的坐标方 位角加上两边之间的夹角，同 一条边的正反方位角相差180°。 即沿导线前进方向：
1
4
上式中包含具相同端点两条边 的方位角关系以及正反方位角 的关系。
2
3
5
α前=α后-180°+β左 =α后+180°-β右。
(四) 起始边方位角的测定
与高级已知点连接的导线，因有已知边方 位角，只需观测连接角便可以推算各边的 方位角，然后推算各点的坐标。对于不与 高级已知点相连接的闭合导线，则可用罗 盘仪测定一条起始边的磁方位角，便可推 算其他各边的方位角，并推算各点的坐标。
(五) 导线测量记录
导线测量的外业记录有规定的表格。
二、 经纬仪附合导线计算 附合导线计算角度闭合差和坐标增量闭合差的公式
不同。 (一) 角度闭合差的计算与调整
附合导线的角度闭合差为从一已知边方位角出发， 使用观测角推算至另一条已知边，推算方位角与已知 方位角之差。 (二) 坐标方位角的推算
推算出的已知边的坐标方位角应与已知值相同，以 此作为计算的检核。 (三) 坐标增量的计算 根据导线各边的方位角和边长，计算各坐标增量，计 算方法与闭合导线相同。
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P() f ()d
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性)；
(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；
(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 (抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
测量误差 = 真值 - 观测值
测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
第一节 测量误差的分类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差 1.粗差(错误)——超限的误差 2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差： |容|=3|m| 或 |容|=2|m|
评定误差精度指标
• 三、相对误差(相对中误差)
• ——误差绝对值与观测量之比。 • 用于表示距离的精度。 • 用分子为1的分数表示。 • 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 • 例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； • S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)
时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为
“正态分布曲线”，
y
又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。
正态分布曲线
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
m1=2.7是第一组观测值 的中误差；
m2=3.6是第二组观测值 的中误差。 m1小于m2,说明第一组 观测值的误差分布比较 集中，其精度较高；相 对地，第二组观测值的 误差分布比 较离散，其 精度较低：
第三节 评定误差精度指标
三、允许误差
• 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
• 率为：
规律性变化，具有积累性。 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同表 面看无规律性。
• 例： 误差
处理方法
• 钢尺尺长误差ld 计算改正
• 钢尺温度误差lt 计算改正
• 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
• 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
K1=—100.0—02
=——1 5000
；
K2=
—0.—02 200
=
—1— 10000
K2<K1，所以距离S2精度较高。
第三节 误差传播定律
在实际工作中，某些未知量不可能或不 便于直接进行观测，而需要由另一些直接 观测量根据一定的函数关系计算出来，这 时函数中误差与观测值中误差必定有一定 的关系。本节所要讨论的就是在观测值中 误差为已知的情况下，如何求观测值函数 中误差的问题。阐述观测值中误差与函数 中误差之间数学关系的定律，称为误差传 播定律。
第三节 误差传播定律
观测值的函数
例：高差
h a b
和或差函数
平均距离
S平均
1 n
(s1
s2
sn )
线性函数
实地距离 D M • d
倍数函数
三角边 坐标增量
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形
lim []
n n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形
m 21 22 2n []
n
n
上式中，偶然误差为观测值 与真值X之差：
i= i - X
第二节 评定误差精度指标
第二节 评定误差精度指标
频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 • 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称
于y轴。
各条形顶边中点连线经光 滑后的曲线形状，表现出 偶然误差的普遍规律
第一节 测量误差的分类
偶然误差的特性
从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特 性：
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值(有界性)；
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
第一节 测量误差的分类
第一节 测量误差的分类
用频率直方图表示的偶然误差统计： • 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的
第五章 测量误差的基本知识
1.测量误差的分类 2.评定精度的指标 3.误差的传播定律 4.算术平均值及中误差 5.同精度观测值的中误差 6.不同精度观测
第一节 测量误差的分类
在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一 段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得 的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质 上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之 间的差值，这种差值称为测量误差，即:
第二节 评定误差精度指标
几个概念
准确度 (测量成果与真值的差异） 精（密）度（观测值之间的离散程度） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差（求解最或是值并评定精度）
一、平均误差
在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值 来求得算术平均值，即：
n
i1
n
第二节 评定误差精度指标
二、中误差
第一节 测量误差的分类
• 误差的处理原则
• 1.避免错误 • 2.多余观测：为了防止错误和提高观测精度，在测量工作
中一般需要进行多余必要的观测（距离、角度…） • 3.系统误差应当近可能的按照其产生的原因和规律加以改
正
第一节 测量误差的分类
偶然误差特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性)；
(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；
(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 (抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
测量误差 = 真值 - 观测值
测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
第一节 测量误差的分类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差 1.粗差(错误)——超限的误差 2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差： |容|=3|m| 或 |容|=2|m|
评定误差精度指标
• 三、相对误差(相对中误差)
• ——误差绝对值与观测量之比。 • 用于表示距离的精度。 • 用分子为1的分数表示。 • 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 • 例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； • S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)
时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为
“正态分布曲线”，
y
又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。
正态分布曲线
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
m1=2.7是第一组观测值 的中误差；
m2=3.6是第二组观测值 的中误差。 m1小于m2,说明第一组 观测值的误差分布比较 集中，其精度较高；相 对地，第二组观测值的 误差分布比 较离散，其 精度较低：
第三节 评定误差精度指标
三、允许误差
• 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
• 率为：
规律性变化，具有积累性。 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同表 面看无规律性。
• 例： 误差
处理方法
• 钢尺尺长误差ld 计算改正
• 钢尺温度误差lt 计算改正
• 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
• 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
K1=—100.0—02
=——1 5000
；
K2=
—0.—02 200
=
—1— 10000
K2<K1，所以距离S2精度较高。
第三节 误差传播定律
在实际工作中，某些未知量不可能或不 便于直接进行观测，而需要由另一些直接 观测量根据一定的函数关系计算出来，这 时函数中误差与观测值中误差必定有一定 的关系。本节所要讨论的就是在观测值中 误差为已知的情况下，如何求观测值函数 中误差的问题。阐述观测值中误差与函数 中误差之间数学关系的定律，称为误差传 播定律。
第三节 误差传播定律
观测值的函数
例：高差
h a b
和或差函数
平均距离
S平均
1 n
(s1
s2
sn )
线性函数
实地距离 D M • d
倍数函数
三角边 坐标增量
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形
lim []
n n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形
m 21 22 2n []
n
n
上式中，偶然误差为观测值 与真值X之差：
i= i - X
第二节 评定误差精度指标
第二节 评定误差精度指标
频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 • 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称
于y轴。
各条形顶边中点连线经光 滑后的曲线形状，表现出 偶然误差的普遍规律
第一节 测量误差的分类
偶然误差的特性
从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特 性：
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值(有界性)；
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
第一节 测量误差的分类
第一节 测量误差的分类
用频率直方图表示的偶然误差统计： • 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的
第五章 测量误差的基本知识
1.测量误差的分类 2.评定精度的指标 3.误差的传播定律 4.算术平均值及中误差 5.同精度观测值的中误差 6.不同精度观测
第一节 测量误差的分类
在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一 段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得 的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质 上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之 间的差值，这种差值称为测量误差，即:
第二节 评定误差精度指标
几个概念
准确度 (测量成果与真值的差异） 精（密）度（观测值之间的离散程度） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差（求解最或是值并评定精度）
一、平均误差
在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值 来求得算术平均值，即：
n
i1
n
第二节 评定误差精度指标
二、中误差
第一节 测量误差的分类
• 误差的处理原则
• 1.避免错误 • 2.多余观测：为了防止错误和提高观测精度，在测量工作
中一般需要进行多余必要的观测（距离、角度…） • 3.系统误差应当近可能的按照其产生的原因和规律加以改
正
第一节 测量误差的分类
偶然误差特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内