第2章图论
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图论期末考试整理复习资料
目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。
2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。
3.边集为空的图称为空图。
4.既没有环也没有重边的图称为简单图。
5.其他所有的图都称为复合图。
6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。
10. 图G 的顶点的最大度。
11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。
例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。
12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。
13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。
15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。
16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义： 联图 在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。
最短路课程设计
最短路课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解最短路径问题的基本概念，掌握其在现实生活中的应用。
2. 学生掌握图的基本表示方法，能够建立问题的图模型。
3. 学生能够阐述Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理，并理解其适用场景。
技能目标：1. 学生能够运用图的相关知识建立实际问题模型，解决最短路径问题。
2. 学生通过案例学习和实践操作，掌握Dijkstra算法和Floyd算法的具体步骤，具备运用算法解决问题的能力。
3. 学生能够运用所学知识，对实际生活中的最短路径问题进行合理分析和有效解决。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对图论和算法的兴趣，激发他们探究问题的热情。
2. 培养学生面对复杂问题时，运用所学知识进行分析和解决的能力，增强自信心。
3. 通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高他们的集体荣誉感。
本课程针对学生年级特点，结合图论和算法知识，以实际问题为载体，引导学生通过自主学习、合作探究和实际操作，培养解决问题的能力。
课程目标具体、可衡量，旨在使学生在掌握知识、技能的同时，培养积极的情感态度和价值观。
二、教学内容1. 图的基本概念：图、顶点、边、权、路径、最短路径等。
相关教材章节：第二章 图论基础2. 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等。
相关教材章节：第二章 图论基础3. 最短路径问题：介绍最短路径问题的背景和应用。
相关教材章节：第三章 最短路径问题4. Dijkstra算法：算法原理、步骤、示例。
相关教材章节：第三章 最短路径问题5. Floyd算法：算法原理、步骤、示例。
相关教材章节：第三章 最短路径问题6. 实践案例分析：结合实际案例，运用Dijkstra和Floyd算法解决最短路径问题。
相关教材章节：第三章 最短路径问题教学内容安排和进度：第一课时：图的基本概念及表示方法。
第二课时：最短路径问题引入，介绍Dijkstra算法。
第三课时：Dijkstra算法实践操作。
图论 第二章 树(tree)
定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
图论-图的基本概念
若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈； 若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。 例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。 证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三 数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
图论第二章(1)
12
m=|E1|+|E2| ≤ n1(n1-1)/2+ n2(n2-1)/2 ≤(n-1)(n1-1)/2+(n-1)(n2-1)/2 ≤(n-1)(n-2)/2， ，
2.2
道路与回路的判定
1.判定各点对间是否有道路相通:邻接矩阵方法 1.判定各点对间是否有道路相通: 判定各点对间是否有道路相通
有向图或无向图)的 设A＝(aij)n×n是图 有向图或无向图 的 ＝ × 是图G(有向图或无向图 邻接矩阵， 的长度为1的道路 邻接矩阵，则aij是vi到vj的长度为 的道路 (边)的条数。 的条数。 边 的条数 一般地， 一般地，设Ak＝( aij(k) )n×n ，则aij(k)是vi到 × vj的长度恰为 的道路的条数 k=1,2,…。 的长度恰为k的道路的条数 的道路的条数, 。 这可用数学归纳法予以证明： 这可用数学归纳法予以证明： 因为 Ak＝ Ak-1A, 所以
16
定义道路矩阵 定义道路矩阵P=(pij) n×n ，其中 道路矩阵 × , v 路 通 1 若 i , v j 有 相 pij = , v 路 通 0 若 i , v j无 相 则 P=A∨A(2)∨A (3)∨…∨A (n) ∨ ∨ (布尔运算 布尔运算) 布尔运算
17
v1
例 v2
命题：若简单 1 命题： 图G的每个结点 的每个结点 的度数≥ ， 的度数≥3，则G 中必含带弦的回 路。 5
3
4
6
证明： 证明：设 P=(e1,e2,…,ek)是G的一条最长 是 的一条最长 的初级道路， 的初级道路，e1=(v0,v1)。由于 为最长的 。由于P为最长的 初级道路，所以与v 初级道路，所以与 0有边相边的结点都在 P上。( 否则与 是最长的假设矛盾 否则与P是最长的假设矛盾 是最长的假设矛盾) 上 v0至少有三个相邻结点 1, vi, vj,它们与 1 至少有三个相邻结点v 它们与v 它们与 相连的边e 中最多有两个在P中 即 相连的边 1, e’, e”中最多有两个在 中,即 中最多有两个在 其中至少有一边不在P上 此边就是C的 其中至少有一边不在 上，此边就是 的 一条弦 一条弦。 v1 e2 e1 v0 e” e’
m=|E1|+|E2| ≤ n1(n1-1)/2+ n2(n2-1)/2 ≤(n-1)(n1-1)/2+(n-1)(n2-1)/2 ≤(n-1)(n-2)/2， ，
2.2
道路与回路的判定
1.判定各点对间是否有道路相通:邻接矩阵方法 1.判定各点对间是否有道路相通: 判定各点对间是否有道路相通
有向图或无向图)的 设A＝(aij)n×n是图 有向图或无向图 的 ＝ × 是图G(有向图或无向图 邻接矩阵， 的长度为1的道路 邻接矩阵，则aij是vi到vj的长度为 的道路 (边)的条数。 的条数。 边 的条数 一般地， 一般地，设Ak＝( aij(k) )n×n ，则aij(k)是vi到 × vj的长度恰为 的道路的条数 k=1,2,…。 的长度恰为k的道路的条数 的道路的条数, 。 这可用数学归纳法予以证明： 这可用数学归纳法予以证明： 因为 Ak＝ Ak-1A, 所以
16
定义道路矩阵 定义道路矩阵P=(pij) n×n ，其中 道路矩阵 × , v 路 通 1 若 i , v j 有 相 pij = , v 路 通 0 若 i , v j无 相 则 P=A∨A(2)∨A (3)∨…∨A (n) ∨ ∨ (布尔运算 布尔运算) 布尔运算
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v1
例 v2
命题：若简单 1 命题： 图G的每个结点 的每个结点 的度数≥ ， 的度数≥3，则G 中必含带弦的回 路。 5
3
4
6
证明： 证明：设 P=(e1,e2,…,ek)是G的一条最长 是 的一条最长 的初级道路， 的初级道路，e1=(v0,v1)。由于 为最长的 。由于P为最长的 初级道路，所以与v 初级道路，所以与 0有边相边的结点都在 P上。( 否则与 是最长的假设矛盾 否则与P是最长的假设矛盾 是最长的假设矛盾) 上 v0至少有三个相邻结点 1, vi, vj,它们与 1 至少有三个相邻结点v 它们与v 它们与 相连的边e 中最多有两个在P中 即 相连的边 1, e’, e”中最多有两个在 中,即 中最多有两个在 其中至少有一边不在P上 此边就是C的 其中至少有一边不在 上，此边就是 的 一条弦 一条弦。 v1 e2 e1 v0 e” e’
第二章(1)电路基本分析方法
I3
U s1
R1
R2
I2
②
U s3
R3
①
1
3
2
②
2.1.1 电路图与拓扑图
②
R2
① R3
R4
R5
③
R6 ④
U s1
R1
实际电路图
②
2
4
①
5
③
3
6
④
1
对应的线图
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际 电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
有向图
如果线图各支路规定了一个方向（用 箭头表示，一般取与电路图中支路电流 方向一致），则称为有向图。
回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0
回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数=b（支路数）－n（节点数）＋1
解出支路电流
4>. 由n1个节点电流方程和bn+1个网孔电压方程（共b
个方程）可解出b个支路电流变量。
R3
I 3
U s3
第二章(1) 电路基本分析方法
本章内容
1.网络图论初步 2.支路电流法 3.网孔电流法 4.回路电流法 5.节点电压法
2.1 网络图论的概念
图的概念：对于一个由集中参数元件组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一
个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓
扑图，简称为图。
I1 ①
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3 －13=0
解得： I1 =1A， I2 =3A， I3 =2A
离散数学——图论
2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
2021/10/10
2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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40
练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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41
❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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29
多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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30
电网络理论-第二章
T i B il Q i 0
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意
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连支的集合称为补（余）树。
林：分离图G的各部分子图的树构成林；K个分离部分构成K个树的林。
六、 单连支回路（基本回路）和单树支割集（基本割集）
6
c1
l3 4
c2
5
c3
l1
l2
12
3
树支: 1、2、 3; 连支：4、5、6 单连支回路: l1(1、2、4) ， l2(2、3、5)， l3(1、3、6) 单树支割集: c1(1、4、6)， c2(2、4、5)， c3(3、5、6)
c3 Q 0 1 0 1 1 1 1t Ql
4 4
0 0 1 0 1 1
6
定理2
QBT 0 (BQT 0) 则 1 t
Ql BtT At1Al
Q l
B
T t
1l
BtT
Ql
0
由A可得Q： Q [1t At1 Al ]
Aa
1 0
1 0
0 1
0 0
1 1
0
1
01源自1100
1 0 0 1 0 1
A 1 1 0
0
1
0
0 0 1 0 1 1
选支路1、2、3为树支，则 A A t A l
增广矩阵 关联矩阵
二、 回路矩阵 图G中的回路与支路的关系矩阵。
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
1 支路 j 在割集i中且与割集方向一致
qij= -1 支路 j 在割集i中且与割集方向相反
0 支路 j 不在割集中
例 选树支: 1、2、 3, 列写Qf .
基本割集?
c2 2
1
5
1 0 0 1 0 1
c1
2 3
三、 割集矩阵 主要讲单树支割集矩阵，也称基本割集矩阵Qf 。
基本割集与支路的关联性质
４ ①
② ５
３
③
２
６
01
选树支: 4、5、 6
割集支 4 5 6 1 2 3
C1 1
Qf=C2 0
C3 0
0 0 -1 -1 0 1 0 1 1 -1 0 1 0 -1 1
规定：(1)割集方向为树支方向 (2)支路排列顺序先树支后连支 (3)割集顺序与树支次序一致
四. 拓扑矩阵及KCL、KVL方程
约定 假设支路电流与支路电压的参考方向相关联, 电压源支路的电压参考方向从电源的正端指向负端， 电流源支路的电流参考方向与电流源的电流方向相同。
1. 关联矩阵与KCL、KVL
４ ①
② ５
３
③
２
６
01
结支 1 2 1 -1 -1
A= 2 0 0 310
3456 0100 1 -1 -1 0 0 0 11
l1 1 -1 0 1 0 0 Bf==l2 -1 0 1 0 1 0
l3 0 - 1 1 0 0 1
Bt
Bl
割集支 3 4 5 1 2 6
C1 1
Qf=C2 0
C3 0
0 0 -1 101 01 0 Qt
10 01 -1 -1 Ql
矩阵A、Bf和Qf的关系
关联矩阵与回路矩阵，以及割集矩阵与回路矩阵 并不是独立的，存在如下关系：
４ ①
２
② ５
３ ６
④1
回支 4 11
③ Bf =2 1 30
l b的矩阵描述
56123
-1 0 1 0 0
-1 1 0 1 0 1 -1 0 0 1
Bt
Bl
= [ Bt 1l ]
设 [u] [u4 u5u6 u1 u2u3 ]T
ut
ul
矩阵形式的KVL： [ Bf ][ u ]= 0
设:
i1
i2
i
i3
i4
i5
i6
u1
u2
u
u3 u4
u5
u6
un1
un
un2
un3
４ ①
② ５
３
③
结支 1 2 3 4 5 6 1 -1 -1 0 1 0 0 A= 2 0 0 1 -1 -1 0 3 1 0 00 1 1
第二章 网络图论
图论是工程数学的分支，在许多其他领域均有应用。 如：城市规划，交通，系统工程，物流，医学等
第一节 网络与图 第二节 图的基本概念 第三节 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 第四节 路径矩阵 第五节 矩阵A、B和Q的关系
第一节 网络与图
图 —— 点和线的集合（二元关系）； 反映网络的拓扑结构，与元件无关。
[ Bf ][ u ]= 0
可写成
[ Bt
1
]uult
0
u1
ul
u2
u3
u4
ut
u5
u6
Btut+ul=0 ul= - Btut
连支电压用树支电压表示
设 [i] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T 则 [Bf ]T[ il ]=[ i ]
基本回路矩阵Bf (描述基本回路和支路的关联性质)
l b的矩阵描述
②
回支 4 5 6 1 2 3
４
５
1 1 -1 0 1 0 0
①
３
③ Bf =2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1l ]
２
６
3 0 1 -1 0 0 1
④1
规定：
Bt
Bl
选树支:
1. 连支电流方向为回路电流方向
4、5、 6;
u5
u6
u1
u2
0 1 1
u5 u6 u3
[u]
ut ul
Qf
T ut
1t QlT
ut
ul QlT ut 连支电压用树支电压表示
3. 回路矩阵与KCL、KVL
二、全通图、连通图及分离图 全通图：G中任意两节点均有支路.
连通图：任意两节点间均至少有一条路径（支路序列）.
分离图：
2
1
1
2
3 3
2
1
1
2
3 3
0 0
孤立节点也是图的一部分
三、平面图、有向图及无向图 平面图：可使各支路不相交；否则为非平面图
有向图：各支路标有方向图 无向图： 各支路无方向图
四、断点与可断图 G中任一节点移去时，与之相连的所有支路必须同时移去， 由此所得的子图不再连通了，该点就称为断点。 具有断点的图称为可断图。
ABf T ＝ 0 ，或 Bf AT ＝ 0 Bf Qf T 0 ，或 Qf Bf T ＝ 0
设连通图G，按先树支后连支顺序编号，各矩阵可分 解成相应的子矩阵，即
A At Al
Bf Bt 1l
Qf 1t Ql
则可得 或：
ABf T
At
Al
Bt
T
0 0 1
i3 i3
Bf=[ Bt 1 ]
[Bf
]T
BtT 1
BtT 1
[il
]
it il
BTt il it 树支电流用连支电流表出
矩阵形式的KCL： [ Bf ]T[ il ]=[ i ]
小结：
A
断点点
断点
五、路径、树和树支、连支和补树、林
路径：两节点的通路，有始端点和终端点，各节点和支路只能出现一次； 有向图与无向图有差别，有向图不能逆向走。
2
树和树支：连接所有节点，但不构成回路的最少支路集合；
1
至少有两个悬挂节点，树中支路称树支,树支数=n-1。 1
2
3
3
0
连支和补（余）树：G中除去树支以外的支路为连支，连支数=b-(n-1);
若按2、4、5为树支，1、3、6为连支，情况如何？
第三节 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、 关联矩阵 图G的节点与支路的关系数字化，用矩阵的形式表示。
A为降阶的关联矩阵(n-1)b
４ ①
２
② ５
节点和支路关联性 图的拓扑结构用nb的矩阵描述
３ ６
0④ 1
③
节支 1 2
1 -1 -1
Aa= 2 0 0 参考结点 3 1 0
Bf
KCL Ai = 0
BTil=i
BTt il it
KVL ATun=u
Bfu=0 ul= - Btut
Ql BtT
Qf
Qf i=0
it Ql il
QfTut=u
ul QlT ut
练习 列写基本回路矩阵和基本割集矩阵。
6
①
②
③
1
2
3
5
4
0
选树支: 3、4、 5
回支 3 4 5 1 2 6
6
①
2② 4
③
3 1
5
电路图 Fig.
o 有向图G
1、 KCL：在节点上的支路，KVL：回路上的支路； 2、方向：信号的转移。
第二节 图的基本概念
一、图与子图
图 G =（V，E）
a
1
支路连接两个节点：
相邻 两节点（同类）， 节点与支路关联（非同类）
b 自环：
a
孤立节点
林：分离图G的各部分子图的树构成林；K个分离部分构成K个树的林。
六、 单连支回路（基本回路）和单树支割集（基本割集）
6
c1
l3 4
c2
5
c3
l1
l2
12
3
树支: 1、2、 3; 连支：4、5、6 单连支回路: l1(1、2、4) ， l2(2、3、5)， l3(1、3、6) 单树支割集: c1(1、4、6)， c2(2、4、5)， c3(3、5、6)
c3 Q 0 1 0 1 1 1 1t Ql
4 4
0 0 1 0 1 1
6
定理2
QBT 0 (BQT 0) 则 1 t
Ql BtT At1Al
Q l
B
T t
1l
BtT
Ql
0
由A可得Q： Q [1t At1 Al ]
Aa
1 0
1 0
0 1
0 0
1 1
0
1
01源自1100
1 0 0 1 0 1
A 1 1 0
0
1
0
0 0 1 0 1 1
选支路1、2、3为树支，则 A A t A l
增广矩阵 关联矩阵
二、 回路矩阵 图G中的回路与支路的关系矩阵。
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
1 支路 j 在割集i中且与割集方向一致
qij= -1 支路 j 在割集i中且与割集方向相反
0 支路 j 不在割集中
例 选树支: 1、2、 3, 列写Qf .
基本割集?
c2 2
1
5
1 0 0 1 0 1
c1
2 3
三、 割集矩阵 主要讲单树支割集矩阵，也称基本割集矩阵Qf 。
基本割集与支路的关联性质
４ ①
② ５
３
③
２
６
01
选树支: 4、5、 6
割集支 4 5 6 1 2 3
C1 1
Qf=C2 0
C3 0
0 0 -1 -1 0 1 0 1 1 -1 0 1 0 -1 1
规定：(1)割集方向为树支方向 (2)支路排列顺序先树支后连支 (3)割集顺序与树支次序一致
四. 拓扑矩阵及KCL、KVL方程
约定 假设支路电流与支路电压的参考方向相关联, 电压源支路的电压参考方向从电源的正端指向负端， 电流源支路的电流参考方向与电流源的电流方向相同。
1. 关联矩阵与KCL、KVL
４ ①
② ５
３
③
２
６
01
结支 1 2 1 -1 -1
A= 2 0 0 310
3456 0100 1 -1 -1 0 0 0 11
l1 1 -1 0 1 0 0 Bf==l2 -1 0 1 0 1 0
l3 0 - 1 1 0 0 1
Bt
Bl
割集支 3 4 5 1 2 6
C1 1
Qf=C2 0
C3 0
0 0 -1 101 01 0 Qt
10 01 -1 -1 Ql
矩阵A、Bf和Qf的关系
关联矩阵与回路矩阵，以及割集矩阵与回路矩阵 并不是独立的，存在如下关系：
４ ①
２
② ５
３ ６
④1
回支 4 11
③ Bf =2 1 30
l b的矩阵描述
56123
-1 0 1 0 0
-1 1 0 1 0 1 -1 0 0 1
Bt
Bl
= [ Bt 1l ]
设 [u] [u4 u5u6 u1 u2u3 ]T
ut
ul
矩阵形式的KVL： [ Bf ][ u ]= 0
设:
i1
i2
i
i3
i4
i5
i6
u1
u2
u
u3 u4
u5
u6
un1
un
un2
un3
４ ①
② ５
３
③
结支 1 2 3 4 5 6 1 -1 -1 0 1 0 0 A= 2 0 0 1 -1 -1 0 3 1 0 00 1 1
第二章 网络图论
图论是工程数学的分支，在许多其他领域均有应用。 如：城市规划，交通，系统工程，物流，医学等
第一节 网络与图 第二节 图的基本概念 第三节 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 第四节 路径矩阵 第五节 矩阵A、B和Q的关系
第一节 网络与图
图 —— 点和线的集合（二元关系）； 反映网络的拓扑结构，与元件无关。
[ Bf ][ u ]= 0
可写成
[ Bt
1
]uult
0
u1
ul
u2
u3
u4
ut
u5
u6
Btut+ul=0 ul= - Btut
连支电压用树支电压表示
设 [i] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T 则 [Bf ]T[ il ]=[ i ]
基本回路矩阵Bf (描述基本回路和支路的关联性质)
l b的矩阵描述
②
回支 4 5 6 1 2 3
４
５
1 1 -1 0 1 0 0
①
３
③ Bf =2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1l ]
２
６
3 0 1 -1 0 0 1
④1
规定：
Bt
Bl
选树支:
1. 连支电流方向为回路电流方向
4、5、 6;
u5
u6
u1
u2
0 1 1
u5 u6 u3
[u]
ut ul
Qf
T ut
1t QlT
ut
ul QlT ut 连支电压用树支电压表示
3. 回路矩阵与KCL、KVL
二、全通图、连通图及分离图 全通图：G中任意两节点均有支路.
连通图：任意两节点间均至少有一条路径（支路序列）.
分离图：
2
1
1
2
3 3
2
1
1
2
3 3
0 0
孤立节点也是图的一部分
三、平面图、有向图及无向图 平面图：可使各支路不相交；否则为非平面图
有向图：各支路标有方向图 无向图： 各支路无方向图
四、断点与可断图 G中任一节点移去时，与之相连的所有支路必须同时移去， 由此所得的子图不再连通了，该点就称为断点。 具有断点的图称为可断图。
ABf T ＝ 0 ，或 Bf AT ＝ 0 Bf Qf T 0 ，或 Qf Bf T ＝ 0
设连通图G，按先树支后连支顺序编号，各矩阵可分 解成相应的子矩阵，即
A At Al
Bf Bt 1l
Qf 1t Ql
则可得 或：
ABf T
At
Al
Bt
T
0 0 1
i3 i3
Bf=[ Bt 1 ]
[Bf
]T
BtT 1
BtT 1
[il
]
it il
BTt il it 树支电流用连支电流表出
矩阵形式的KCL： [ Bf ]T[ il ]=[ i ]
小结：
A
断点点
断点
五、路径、树和树支、连支和补树、林
路径：两节点的通路，有始端点和终端点，各节点和支路只能出现一次； 有向图与无向图有差别，有向图不能逆向走。
2
树和树支：连接所有节点，但不构成回路的最少支路集合；
1
至少有两个悬挂节点，树中支路称树支,树支数=n-1。 1
2
3
3
0
连支和补（余）树：G中除去树支以外的支路为连支，连支数=b-(n-1);
若按2、4、5为树支，1、3、6为连支，情况如何？
第三节 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、 关联矩阵 图G的节点与支路的关系数字化，用矩阵的形式表示。
A为降阶的关联矩阵(n-1)b
４ ①
２
② ５
节点和支路关联性 图的拓扑结构用nb的矩阵描述
３ ６
0④ 1
③
节支 1 2
1 -1 -1
Aa= 2 0 0 参考结点 3 1 0
Bf
KCL Ai = 0
BTil=i
BTt il it
KVL ATun=u
Bfu=0 ul= - Btut
Ql BtT
Qf
Qf i=0
it Ql il
QfTut=u
ul QlT ut
练习 列写基本回路矩阵和基本割集矩阵。
6
①
②
③
1
2
3
5
4
0
选树支: 3、4、 5
回支 3 4 5 1 2 6
6
①
2② 4
③
3 1
5
电路图 Fig.
o 有向图G
1、 KCL：在节点上的支路，KVL：回路上的支路； 2、方向：信号的转移。
第二节 图的基本概念
一、图与子图
图 G =（V，E）
a
1
支路连接两个节点：
相邻 两节点（同类）， 节点与支路关联（非同类）
b 自环：
a
孤立节点