集合论与图论第二章
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离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程（集合论与图论）离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数理逻辑集合论:（第1-4章）组合数学初步:（第5-7章）图论:（第8-11章）教师介绍⏹教师：吴永辉博士副教授⏹简历：⏹1984-1988 上海科技大学计算机系本科⏹1988-1991 复旦大学计算机系硕士⏹1991-2003 华东师范大学计算机系工作⏹1998-2001 复旦大学计算机系博士⏹2003-复旦大学计算机系工作⏹答疑E-mail: yhwu@《集合论与图论》课件制作软件⏹Microsoft PowerPoint⏹MathType Equation《集合论与图论》课程大纲⏹课程性质与目的⏹教学内容与要求⏹使用教材、参考书籍⏹命题说明和题型课程性质、目的与基本要求⏹课程性质本课程讲授计算机科学与技术的数学基础课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程之一。
本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。
⏹课程目的使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
⏹基本要求：⏹掌握集合论、组合学和图论的基本概念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。
为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
教学方式本课程以课堂讲授为主。
考核方式⏹平时作业；⏹集合论、组合数学和图论3次课堂练习；⏹期中，期末的两次笔试考试。
教学内容与要求----集合论⏹第一章集合的基本概念掌握：集合的基本概念，集合的运算。
了解：集合论的悖论。
掌握证明两个集合相等的基本法和公式法。
⏹第二章关系掌握：关系的性质、运算和关系的闭包，以及等价关系和偏序关系。
了解：关系在关系数据库中的应用。
掌握证明的类型。
第2章集合
于是2∈N, 于是2∈N,2.5 2∈N
N, N, 2.5∈Q, 3∈I. N,-3 N,但2.5∈Q,-3∈I.
二,集合的表示方法
列举法:按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内, 1,列举法 : 按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内, 元素 之间用逗号隔开. 之间用逗号隔开. 例如:A={2,a,b,9},B={4 例如:A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8} 描述法: 给定一个条件P(x) 当且仅当个体a P(a)成立时 P(x), 成立时, 2 , 描述法 : 给定一个条件 P(x) , 当且仅当个体 a 使 P(a) 成立时 , a∈A.其一般形式为A={a∣P(a)} a∈A.其一般形式为A={a∣P(a)}
2,集合的相等 ,
定义 两个集合间元素完全一样,则称它们相等. 两个集合间元素完全一样,则称它们相等. 能整除24}, 例如 设A={x | x∈N 且 x能整除 , ∈ 能整除 B={1, 2, 则 A=B (1){a, b, c} = {b, c, a} ) (2){a, b, c, c} = {a, b, c} ) }≠ 3, 4, 6, 8, 12, 24}
B. D.
{a} {{a}, a}
A B D
{a }∈{{a}, a}
答案: 答案:
2 设 S = {{a}, 3, 4, } , 试判断下列各式是否正 并将正确的题号填入括号内. 确,并将正确的题号填入括号内. A. B. {} S S C. D. ∈S { }∈S
答案: 答案: A B C
第六章
集 合 论 基 础
本章采用朴素集合论的方法, 本章采用朴素集合论的方法,介绍有关集合的一些 基本知识,内容显得较为直观,学起来易于接受. 基本知识,内容显得较为直观,学起来易于接受.但集 合及其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础, 合及其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础,读 者务必熟练的掌握. 者务必熟练的掌握. 主要内容如下: 主要内容如下: 6.1 6.3 集合的基本概念 集合恒等式 6.2 集合的运算
N, N, 2.5∈Q, 3∈I. N,-3 N,但2.5∈Q,-3∈I.
二,集合的表示方法
列举法:按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内, 1,列举法 : 按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内, 元素 之间用逗号隔开. 之间用逗号隔开. 例如:A={2,a,b,9},B={4 例如:A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8} 描述法: 给定一个条件P(x) 当且仅当个体a P(a)成立时 P(x), 成立时, 2 , 描述法 : 给定一个条件 P(x) , 当且仅当个体 a 使 P(a) 成立时 , a∈A.其一般形式为A={a∣P(a)} a∈A.其一般形式为A={a∣P(a)}
2,集合的相等 ,
定义 两个集合间元素完全一样,则称它们相等. 两个集合间元素完全一样,则称它们相等. 能整除24}, 例如 设A={x | x∈N 且 x能整除 , ∈ 能整除 B={1, 2, 则 A=B (1){a, b, c} = {b, c, a} ) (2){a, b, c, c} = {a, b, c} ) }≠ 3, 4, 6, 8, 12, 24}
B. D.
{a} {{a}, a}
A B D
{a }∈{{a}, a}
答案: 答案:
2 设 S = {{a}, 3, 4, } , 试判断下列各式是否正 并将正确的题号填入括号内. 确,并将正确的题号填入括号内. A. B. {} S S C. D. ∈S { }∈S
答案: 答案: A B C
第六章
集 合 论 基 础
本章采用朴素集合论的方法, 本章采用朴素集合论的方法,介绍有关集合的一些 基本知识,内容显得较为直观,学起来易于接受. 基本知识,内容显得较为直观,学起来易于接受.但集 合及其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础, 合及其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础,读 者务必熟练的掌握. 者务必熟练的掌握. 主要内容如下: 主要内容如下: 6.1 6.3 集合的基本概念 集合恒等式 6.2 集合的运算
哈工大 集合与图论 讲义
第一篇集合论集合论是德国数学家康托（Contor）在1874年建立的，它是现代数学的基础，当今数学中的每个对象本质上都是集合。
有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如数、函数、线、面等都可以用集合来定义。
换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。
例如：几何学是研究点、线、面的集合；数学分析是研究函数的集合；代数学是研究数的集合以及在此集合上有关运算的集合等。
因此，我们把集合论作为现代各种数学的基础是有道理的、合适的。
集合论也是计算机科学的重要工具。
集合论在程序设计、数据结构、形式语言、操作系统等计算机科学中，都有重要应用，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。
计算机科学领域中的大多数基本概念和理论，几乎均采用集合论的术语来描述和论证。
集合论主要有以下几个特点：第一、第一、它所研究的对象十分广泛。
例如数、图形或其它任何客体作为对象。
第二、第二、因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究，就必须寻找对象的共性。
而要做到这一点，就必须进行抽象。
第三、第三、在抽象化的基础上，可以用统一的方法来研究和处理集合论中的各种问题。
总之，集合论的主要特点是研究对象的广泛性，分析思考问题的抽象性和处理问题的统一性。
正是这些特点，使我们便于用它来描述和研究离散对象及其关系。
第一章集合及其运算基本要求1. 1.掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。
熟悉常用的表示集合的方法以及用文氏图来表示集合的方法。
能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相等关系和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。
2. 2.熟练掌握集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。
3. 3.掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及De Morgan公式。
4．掌握求解与有穷集合计数相关的实际问题。
1.1 必备知识和考试要点1.1.1基本定义集合是一个不能精确定义的数学概念。
集合论与图论
注：如果将空集 ∅ 看作集族，则称 ∅ 为空集族。
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
北大集合论与图论
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
7
进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
8
成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
12
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
2013-1-6 《集合论与图论》第1讲 1
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
2
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
集合论与图论课件2
nnmrmr2211又由已知条件知道又由已知条件知道r1212n22mm3322将式22的结果代入式的结果代入式11得得2222mm33mm1212得得mm303033若所有的面均至少由若所有的面均至少由55条边围成条边围成则则55r2mm得得r22mm5544将式2244的结果代入式的结果代入式11得得2222mm33mm22mm55得得m303055式式33与式与式55矛盾矛盾因而必存在至多由因而必存在至多由44条边围成的面条边围成的面
K3，3的子图。
平面图还存在着若干其他特征。
为了描述另外的特征，引入下面定义。
2.2 收缩图
定义3 设G=(V，E)是一个图，则
(1)若uw和wv是图G的两条边且deg(w)=2，用一条边uv代替uw和wv时，则称uw和wv被 缩减。
第十一页，共21页。
(2)若G的某些条边被缩减，产生的图称为G的缩减图，也称二度顶点内缩
第八页，共21页。
一个最大可平面图是一个可平面图，对此可平面图中不能再加入边而不破坏
可平面性。 推论2 设G=(p，q)是一个最大可平面图，则G的每个面都是三角形，而且q=3p-6。
推论3 若G=(p，q)是一个可平面连通图，而且G的每个面都是一个长为4的回路
围成的，则q=2p-4
推论4 若G=(p，q)是一个连通的平面图，p≥3，则q≤3p－6。
证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个
平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
例９给出平面图G的对偶图G*为欧拉图的一个充分必要条件。并证明之。
第十五页，共21页。
分析：当且仅当G中每个面均由偶数条边围成，因为平面图G的每个面对应G*的每个顶， 而G*为欧拉图的充要条件是G*每个顶点的度数为偶数，围成G每个面的边数与对应的G*中
K3，3的子图。
平面图还存在着若干其他特征。
为了描述另外的特征，引入下面定义。
2.2 收缩图
定义3 设G=(V，E)是一个图，则
(1)若uw和wv是图G的两条边且deg(w)=2，用一条边uv代替uw和wv时，则称uw和wv被 缩减。
第十一页，共21页。
(2)若G的某些条边被缩减，产生的图称为G的缩减图，也称二度顶点内缩
第八页，共21页。
一个最大可平面图是一个可平面图，对此可平面图中不能再加入边而不破坏
可平面性。 推论2 设G=(p，q)是一个最大可平面图，则G的每个面都是三角形，而且q=3p-6。
推论3 若G=(p，q)是一个可平面连通图，而且G的每个面都是一个长为4的回路
围成的，则q=2p-4
推论4 若G=(p，q)是一个连通的平面图，p≥3，则q≤3p－6。
证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个
平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
例９给出平面图G的对偶图G*为欧拉图的一个充分必要条件。并证明之。
第十五页，共21页。
分析：当且仅当G中每个面均由偶数条边围成，因为平面图G的每个面对应G*的每个顶， 而G*为欧拉图的充要条件是G*每个顶点的度数为偶数，围成G每个面的边数与对应的G*中
离散数学教程
二、提高 [4] Kenneth H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications. (4th, 5th Edition). 机械工业出版 社, McGraw-Hill. (中、英文版)
本书第4版是全球500多所大学的指定教材， 获得了极大的成功。中文版也已被国内大学广泛 采用为教材。第5版在前四版的基础上做了大量的 改进，使其成为更有效的教学工具。
/*集合论题集，经典习题，集合基础*/
五 定义1.4（全集）：在取定一个集合U以 后，对于U的任何子集而言，称U为全集。
定理1.2：
（1）A (2) AA (3) AU
1.2 集合的子集——证明的方法
证明：（1）A (2) AA (3) AU （1）反证法：假设结论不成立，导出矛盾 结果。 不是A的子集，导致矛盾 （2，3）基本法：由子集定义 x左x右，则左右
第十二章
生成函数与递推关系
掌握：用生成函数和递推关系解决组合计数 问题的方法，以及求解递推关系的生成函数方法。 了解：求解递推关系的特征根方法。
教学内容与要求----图论
第五章 图的基本概念
掌握：图的基本术语，路、回路和连通的基本概念， 求最短路的算法及算法正确性证明，欧拉图和哈密顿图的 基本概念、判别方法以及有关定理。
理论计算机科学经典网站
国内： 国际： /~suresh/theory/the ory-home.html
命题说明和题型
1 填空题：基本概念的理解和掌握 2 判断题：概念的掌握与应用 3 计算、证明题：概念的综合应用，数学 方法的运用
集合论 第2章 映射
（3）举例：上面例2即可说明问题。
§2 鸽巢原理
内容：鸽巢原理、强形式、例题 2.1 鸽巢原理 鸽巢原理：n+1只鸽子飞入n个鸽巢，则一定存在某一鸽巢，里面 至少有两只鸽子。
例1（1）一年365天，今有366个人，则其中至少有两个人生日
相同。 （2）抽屉里有10双手套，从中取11只出来，则其中至少有两只
（2）例 设 X={a,b,c},Y={1,2,3}，f:XY，f(a)=1，f(b)=2，
f(c)=2，令 A={a,b},B={c} 。于是，A∩B=,f(A∩B)=。 但是， f(A)∩f(B)={1,2}∩{2}={2}≠，因此，
f(A∩B) f(A)∩f(B) 同理，可以求其它式子也几个不等。
1.4几个重要的结论
定理1 设Ａ，Ｂ是有限集合，f:AB。则 （1）若f是满射，则 AB； （2）若f是单射，则 AB； （3）若f是双射，则 A=B。
定理2设Ａ,Ｂ是有限集合且A=B，则f:AB是单射f是满射。 说明：（1）f是单射f是满射，从而f是双射；
（2）定理中Ａ，Ｂ为有限集合是必要条件，若Ａ，Ｂ不是 有限 集合，则结论不成立。
§1 函数的一般概念 主要内容
映射的定义 特殊的映射 例题 几个重要结论
在数学分析中，函数概念是这样引入的。
设X和Y是两个数集，若依据某一法则f，使得对于Ｘ中的每 一数ｘ总有Ｙ中的唯一确定的数ｙ与之对应，则称f称为定义在 Ｘ上取值于Ｙ中的函数。Ｘ称为函数f的定义域，而值域包含在 Ｙ中。函数f给x规定的对应值y常记为f(x)。
3.2 性质 定理1 设 f:XY ，C，DY，则
(1) f 1 (C D) f 1(C ) f 1 (D) (2) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1 (D) (3) f 1 (C \ D) f 1(C ) \ f 1(D) (4) f 1 (CD) f 1 (C )f 1 (D) (5) f 1 (C C ) ( f 1 (C ))C
§2 鸽巢原理
内容：鸽巢原理、强形式、例题 2.1 鸽巢原理 鸽巢原理：n+1只鸽子飞入n个鸽巢，则一定存在某一鸽巢，里面 至少有两只鸽子。
例1（1）一年365天，今有366个人，则其中至少有两个人生日
相同。 （2）抽屉里有10双手套，从中取11只出来，则其中至少有两只
（2）例 设 X={a,b,c},Y={1,2,3}，f:XY，f(a)=1，f(b)=2，
f(c)=2，令 A={a,b},B={c} 。于是，A∩B=,f(A∩B)=。 但是， f(A)∩f(B)={1,2}∩{2}={2}≠，因此，
f(A∩B) f(A)∩f(B) 同理，可以求其它式子也几个不等。
1.4几个重要的结论
定理1 设Ａ，Ｂ是有限集合，f:AB。则 （1）若f是满射，则 AB； （2）若f是单射，则 AB； （3）若f是双射，则 A=B。
定理2设Ａ,Ｂ是有限集合且A=B，则f:AB是单射f是满射。 说明：（1）f是单射f是满射，从而f是双射；
（2）定理中Ａ，Ｂ为有限集合是必要条件，若Ａ，Ｂ不是 有限 集合，则结论不成立。
§1 函数的一般概念 主要内容
映射的定义 特殊的映射 例题 几个重要结论
在数学分析中，函数概念是这样引入的。
设X和Y是两个数集，若依据某一法则f，使得对于Ｘ中的每 一数ｘ总有Ｙ中的唯一确定的数ｙ与之对应，则称f称为定义在 Ｘ上取值于Ｙ中的函数。Ｘ称为函数f的定义域，而值域包含在 Ｙ中。函数f给x规定的对应值y常记为f(x)。
3.2 性质 定理1 设 f:XY ，C，DY，则
(1) f 1 (C D) f 1(C ) f 1 (D) (2) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1 (D) (3) f 1 (C \ D) f 1(C ) \ f 1(D) (4) f 1 (CD) f 1 (C )f 1 (D) (5) f 1 (C C ) ( f 1 (C ))C
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32
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
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2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
5
2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
29
2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
35
2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
15
2.2 抽屉原理
1、366个人中必然有至少两人生日相 同(不包括闰年)； 2、抽屉里散放着10双手套，从中任意 抽取11只，其中至少有两只是成双的； 3、某次会议有n位代表参加，则至少 有两个人认识的人数是一样的； 4、任给5个整数，其中至少有3个数的 和被3除尽；
16
2.2 抽屉原理
鸽巢原理：n个鸽子巢，若有n+1只鸽子 在里面，则至少有一个巢里的鸽子数不少于 2。
则m1,m2,…,mn中至少有1个数不小于r。
21
2.2 抽屉原理
例2.2.3：下图中画出了3行9列共27个小方格， 将每一个方格涂上红色或者蓝色，证明：无论如何涂 色，其中必有至少两列它们的涂色方式完全相同。
解：每个方格的涂色方案有红和蓝2种，每 列有3个格子，因此每列有： 2×2×2=8种涂色方案。
现在有9列，根据鸽巢原理，必有至少两列 它们的涂色方式完全相同。
22
2.2 抽屉原理
例2.2.4：能否在一个nn的棋盘的每个方 格填上1,2或3，使得棋盘上各行各列以及对角 线上的数字之和都不相等。 解：棋盘上各行各列以及对角线上的数字 之和共有2n+2个数。
从1,2或3中取n个数， 从1,2或3中取n个数，最大和值是3n,最小 和值是n,共有2n+1个数值。 答案是否定的。
5.满射 定义2.1.7 设f：XY，如果yY,xX,使 得f(x)=y,则称f为从X到Y上的映射，或称为满射。 6.双射或一一对应
定义2.1.8 设f：XY,若f既是单射又是满射, 则称f为双射,或称为一一对应。也称X与Y对等，记 为 X ~Y 。
9
2.1 函数的一般概念映射
7.恒等映射 定义2.1.9 设f：XX,如果xX,f(x)=x, 则称f为X上的恒等映射。X上的恒等映射常记为 Ix或者1x。
定义2.1.3 设f:XY,AX,当把f的定 义域限制在A上时,就得到了一个 :AY,xA,(x)=f(x),被称为f在A上 的限制,并且常用fA来代替,反过来,我们 说f是在X上的扩张。
6
2.1 函数的一般概念映射
2.部分映射(偏函数) 例:X={1,2,3,4},Y={a,b,c} 定义法则f为,f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c, f是A={1,2,3}到Y的映射。 定义2.1.4 设f：AY,AX,则称f是X上的 一个部分映射。
26
2.3 映射的一般性质
显然f是X到Y的满射当且仅当f(X)=Y。
如果ABX，则f(A)f(B)。
27
2.3 映射的一般性质
2.原象的扩展 如果BY，则由f和B唯一确定了X的一个子集。 {xf(x)B,xX} 这个子集习惯上用f-1(B)表示。f-1(B)是X中在f 下的象落在B里的那些元素组成的。 f-1(B)叫做在f下B的原象。 利用这种方法,又得到一个2Y到2X的一个映射, 记为f-1。
33
2.4 映射的合成
定理2.4.1
设f:XY,g:YZ,h:ZW,则： h(gf)=(hg)f 即映射的合成运算满足结合律。
34
2.4 映射的合成
映射的合成运算满足结合律是合成运算的基本 性质。据此h(gf)和(hg)f就可简记为hgf。 设f1:A1A2, f2:A2A3,..., fn:AnAn+1。
30
2.3 映射的一般性质
定理2.3.2 设f：XY,AX,BX,则: (5)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (6)f(A∩B)f(A)∩f(B); (7)f(AB)f(A)f(B)。
**
31
第二章：映射
2.1 函数的一般概念—映射
2.2 抽屉原理 2.3 映射的一般性质 2.4 映射的合成 2.5 逆映射 *2.6 置换 *2.7 二元和n元运算 2.8 集合的特征函数
23
2.2 抽屉原理
例2.2.5 试证6个人在一起，其中至少存在3 个人或互相认识，或互相不认识。
24
推理过程如下：A以外的5个人相对于A
|Friend|≥3? Y Friend中人 互不相识？ N Friend有P，Q 二人互相认识 Y Friend有3人 互不相识。 Y Strange有3人 互相认识。 N Strange中人 互相认识？ N Strange有L,M 互不相识？ A,L,M 互不相识？ ** 25
与已知条件矛盾。
19
2.2 抽屉原理
推广形式之一 设k和n都是任意的正整数，若至少有kn+1 只鸽子分配在n个鸽巢里，则至少存在一个鸽巢 中有不少于k+1只鸽子。 推论3.7 m只鸽子，n个鸽巢，则至少有一 个鸽巢里有不少于
m 1 n 1
只鸽子。
20
2.2 抽屉原理
推论3.8 若取n(m-1)+1个球放进n个盒子， 则至少有1个盒子的球数不少于m个。 推论3.9 若m1,m2,…,mn是n个正整数，而且 m1 m2 ... mn r 1 n
3
2.1 函数的一般概念映射
“f是X到Y的映射”这句话常记为f:XY. x在f下的象y常记为f(x)。 集合{f(x)xX}称为f的值域或象，记为Im(f)。 什么是法则? x与x在f下的象f(x)可以组成有序对，(x,f(x))。 这样的有序对的全体是XY的子集，成为法则。 例:设X={a,b,c},Y={1,2,3,4} f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3 {(a,1),(b,2),(c,3)} ={(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))}
A,P,Q 互相认识
2.3 映射的一般性质
1.映射的扩展—由元素间的对应到子集间的对应 f是一个从X到Y的映射，X中每个元素x都有Y 中唯一确定的元素y与之对应。f给x规定的对应元 素y称为x在f下的象，记作f(x)。 若AX，那么由f和A就唯一地确定了Y的一个 子集,记为f(A): f(A)={f(x)xA}。 f(A)称为A在f下的象。利用这种方法，由f 就确定了一个从2X到2Y的映射，习惯上这个映射 仍记为f。 f()=，f(X)=Imf。
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2.3 映射的一般性质
例2.3.1 设X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d,e}, f：XY, f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b,f(4)=c。 令A={1,2},B={b,c,d}。 求f(A),f-1(B),f-1({d}),f-1({b}) 解：f(A) ={a,b} f-1(B) ={2,3,4}。
抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽 屉里，则必有一个抽屉里至少放了两个物体。
17
2.2 抽屉原理
2.2.1 任取11个数，求证其中至少有两个 数它们的差是10的倍数。 证明： 一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位 数是不是0，是0就是10的倍数； 一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数， 任取11个数，其中必有两个数个位数相同， 那么这两个数的差的个位数必然是0。
12
2.1 函数的一般概念映射
定理2.1.2
设A和B是有限集，A=B，则 f:AB是单射当且仅当f是满射。
13
2.1 函数的一般概念映射
定义 从X到Y的所有映射之集记为YX，即： YX={ff:XY}。
性质1、设X,Y均为有穷集合,X=n,Y=m, 且n≥1,m≥1,则YX=mn 性质2、设X为有穷集合,X=n,且n≥1, 则：从X到X共有n!个双射。
7
2.1 函数的一般概念映射
3.映射相等的概念 定义2.1.5 两个映射f与g称为是相等 的当且仅当f和g都是X到Y的映射，并且 xX, 总有f(x)=g(x)。
8பைடு நூலகம்
2.1 函数的一般概念映射
4.单射 定义2.1.6 设f：XY，如果x,xX,只 要xx，就有f(x)f(x),则称f为从X到Y的单射。
***
14
2.2 抽屉原理
设X={a1,a2,...,am},Y={1,2,...,n｝ 如果把X看作m个物件之集，把Y看作n个盒子时。 则一个映射f：XY就可以看作是把m个物件放进n个 盒子里的一种放法。 若f(ai)=j,则可以看作是把物件ai放进第j个盒子里。 当m>n时,如果把全部m个物件放进n个盒子里, 必有一个盒子至少装了两个物件。 用数学的术语来讲，当m>n时,从X到Y的每个映 射都不是单射，即至少有两个元素的象相同。
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
4
2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
5
2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
29
2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
35
2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
15
2.2 抽屉原理
1、366个人中必然有至少两人生日相 同(不包括闰年)； 2、抽屉里散放着10双手套，从中任意 抽取11只，其中至少有两只是成双的； 3、某次会议有n位代表参加，则至少 有两个人认识的人数是一样的； 4、任给5个整数，其中至少有3个数的 和被3除尽；
16
2.2 抽屉原理
鸽巢原理：n个鸽子巢，若有n+1只鸽子 在里面，则至少有一个巢里的鸽子数不少于 2。
则m1,m2,…,mn中至少有1个数不小于r。
21
2.2 抽屉原理
例2.2.3：下图中画出了3行9列共27个小方格， 将每一个方格涂上红色或者蓝色，证明：无论如何涂 色，其中必有至少两列它们的涂色方式完全相同。
解：每个方格的涂色方案有红和蓝2种，每 列有3个格子，因此每列有： 2×2×2=8种涂色方案。
现在有9列，根据鸽巢原理，必有至少两列 它们的涂色方式完全相同。
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2.2 抽屉原理
例2.2.4：能否在一个nn的棋盘的每个方 格填上1,2或3，使得棋盘上各行各列以及对角 线上的数字之和都不相等。 解：棋盘上各行各列以及对角线上的数字 之和共有2n+2个数。
从1,2或3中取n个数， 从1,2或3中取n个数，最大和值是3n,最小 和值是n,共有2n+1个数值。 答案是否定的。
5.满射 定义2.1.7 设f：XY，如果yY,xX,使 得f(x)=y,则称f为从X到Y上的映射，或称为满射。 6.双射或一一对应
定义2.1.8 设f：XY,若f既是单射又是满射, 则称f为双射,或称为一一对应。也称X与Y对等，记 为 X ~Y 。
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2.1 函数的一般概念映射
7.恒等映射 定义2.1.9 设f：XX,如果xX,f(x)=x, 则称f为X上的恒等映射。X上的恒等映射常记为 Ix或者1x。
定义2.1.3 设f:XY,AX,当把f的定 义域限制在A上时,就得到了一个 :AY,xA,(x)=f(x),被称为f在A上 的限制,并且常用fA来代替,反过来,我们 说f是在X上的扩张。
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2.1 函数的一般概念映射
2.部分映射(偏函数) 例:X={1,2,3,4},Y={a,b,c} 定义法则f为,f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c, f是A={1,2,3}到Y的映射。 定义2.1.4 设f：AY,AX,则称f是X上的 一个部分映射。
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2.3 映射的一般性质
显然f是X到Y的满射当且仅当f(X)=Y。
如果ABX，则f(A)f(B)。
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2.3 映射的一般性质
2.原象的扩展 如果BY，则由f和B唯一确定了X的一个子集。 {xf(x)B,xX} 这个子集习惯上用f-1(B)表示。f-1(B)是X中在f 下的象落在B里的那些元素组成的。 f-1(B)叫做在f下B的原象。 利用这种方法,又得到一个2Y到2X的一个映射, 记为f-1。
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2.4 映射的合成
定理2.4.1
设f:XY,g:YZ,h:ZW,则： h(gf)=(hg)f 即映射的合成运算满足结合律。
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2.4 映射的合成
映射的合成运算满足结合律是合成运算的基本 性质。据此h(gf)和(hg)f就可简记为hgf。 设f1:A1A2, f2:A2A3,..., fn:AnAn+1。
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2.3 映射的一般性质
定理2.3.2 设f：XY,AX,BX,则: (5)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (6)f(A∩B)f(A)∩f(B); (7)f(AB)f(A)f(B)。
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第二章：映射
2.1 函数的一般概念—映射
2.2 抽屉原理 2.3 映射的一般性质 2.4 映射的合成 2.5 逆映射 *2.6 置换 *2.7 二元和n元运算 2.8 集合的特征函数
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2.2 抽屉原理
例2.2.5 试证6个人在一起，其中至少存在3 个人或互相认识，或互相不认识。
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推理过程如下：A以外的5个人相对于A
|Friend|≥3? Y Friend中人 互不相识？ N Friend有P，Q 二人互相认识 Y Friend有3人 互不相识。 Y Strange有3人 互相认识。 N Strange中人 互相认识？ N Strange有L,M 互不相识？ A,L,M 互不相识？ ** 25
与已知条件矛盾。
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2.2 抽屉原理
推广形式之一 设k和n都是任意的正整数，若至少有kn+1 只鸽子分配在n个鸽巢里，则至少存在一个鸽巢 中有不少于k+1只鸽子。 推论3.7 m只鸽子，n个鸽巢，则至少有一 个鸽巢里有不少于
m 1 n 1
只鸽子。
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2.2 抽屉原理
推论3.8 若取n(m-1)+1个球放进n个盒子， 则至少有1个盒子的球数不少于m个。 推论3.9 若m1,m2,…,mn是n个正整数，而且 m1 m2 ... mn r 1 n
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2.1 函数的一般概念映射
“f是X到Y的映射”这句话常记为f:XY. x在f下的象y常记为f(x)。 集合{f(x)xX}称为f的值域或象，记为Im(f)。 什么是法则? x与x在f下的象f(x)可以组成有序对，(x,f(x))。 这样的有序对的全体是XY的子集，成为法则。 例:设X={a,b,c},Y={1,2,3,4} f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3 {(a,1),(b,2),(c,3)} ={(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))}
A,P,Q 互相认识
2.3 映射的一般性质
1.映射的扩展—由元素间的对应到子集间的对应 f是一个从X到Y的映射，X中每个元素x都有Y 中唯一确定的元素y与之对应。f给x规定的对应元 素y称为x在f下的象，记作f(x)。 若AX，那么由f和A就唯一地确定了Y的一个 子集,记为f(A): f(A)={f(x)xA}。 f(A)称为A在f下的象。利用这种方法，由f 就确定了一个从2X到2Y的映射，习惯上这个映射 仍记为f。 f()=，f(X)=Imf。
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2.3 映射的一般性质
例2.3.1 设X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d,e}, f：XY, f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b,f(4)=c。 令A={1,2},B={b,c,d}。 求f(A),f-1(B),f-1({d}),f-1({b}) 解：f(A) ={a,b} f-1(B) ={2,3,4}。
抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽 屉里，则必有一个抽屉里至少放了两个物体。
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2.2 抽屉原理
2.2.1 任取11个数，求证其中至少有两个 数它们的差是10的倍数。 证明： 一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位 数是不是0，是0就是10的倍数； 一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数， 任取11个数，其中必有两个数个位数相同， 那么这两个数的差的个位数必然是0。
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2.1 函数的一般概念映射
定理2.1.2
设A和B是有限集，A=B，则 f:AB是单射当且仅当f是满射。
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2.1 函数的一般概念映射
定义 从X到Y的所有映射之集记为YX，即： YX={ff:XY}。
性质1、设X,Y均为有穷集合,X=n,Y=m, 且n≥1,m≥1,则YX=mn 性质2、设X为有穷集合,X=n,且n≥1, 则：从X到X共有n!个双射。
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2.1 函数的一般概念映射
3.映射相等的概念 定义2.1.5 两个映射f与g称为是相等 的当且仅当f和g都是X到Y的映射，并且 xX, 总有f(x)=g(x)。
8பைடு நூலகம்
2.1 函数的一般概念映射
4.单射 定义2.1.6 设f：XY，如果x,xX,只 要xx，就有f(x)f(x),则称f为从X到Y的单射。
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2.2 抽屉原理
设X={a1,a2,...,am},Y={1,2,...,n｝ 如果把X看作m个物件之集，把Y看作n个盒子时。 则一个映射f：XY就可以看作是把m个物件放进n个 盒子里的一种放法。 若f(ai)=j,则可以看作是把物件ai放进第j个盒子里。 当m>n时,如果把全部m个物件放进n个盒子里, 必有一个盒子至少装了两个物件。 用数学的术语来讲，当m>n时,从X到Y的每个映 射都不是单射，即至少有两个元素的象相同。