北大集合论与图论往年考题.pdf
集合论与图论答案 第一章习题
若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。 例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集 为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列 各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个 成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。 其中 2A 表示集合 A 的幂集。 证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。 若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。 同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。 因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。 证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。 所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。
大学集合论试题及答案
大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。
A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。
A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。
A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。
A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。
A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。
A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。
A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。
2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。
3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。
4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。
5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。
6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。
7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。
8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。
9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。
集合论与图论习题册
集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2019.03第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈； d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆； f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆；i)对每个集A ，{}2A A ⊆； j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =； n) {}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。
答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===。
4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=。
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。
9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C =。
10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
集合论与图论基础题
集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。
集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。
本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。
1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。
- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。
记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。
- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。
记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。
1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。
- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。
2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。
- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。
集合论与图论 期末考试试题 A 卷,2008年1月
0 1 2 3 4 5
0
1/v1 1 /v1
4/v1 3/v2 3 /v2
∞ 8/v2 8/v2 7/v5 7 /v5
∞ 6/v2 4/v3 4 /v3
∞ ∞ ∞ 10/v5 9/v4 9 /v4
解 答：由 不饱 和 点x 出 发 构 造增 广 路 径P ：
u eu x1 •
y1
3 4 5 2g www gg qqq g PPg gg ww g {{ {{ P q g { q PPqqg gg ww g {{ {{ g { q w gg ww {g qq PP ggg {{ gg ww {{{ g PP gg {{{ qqqq www gg {{ g g { PP g{ g g { qq ww {g PP {{{{gggg qqq {{ ggg wwww g q g { q wq g g g P{ g g {{ {{PP qqqwww ww g ggg ggg {{ { q q P { { gg g { PP qqqggg www {{ g g {{{ ww qqq {{
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《 集合论与图论》期末考试试题（A 卷，2008年1月）
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面的关系中是等价关系的是：
A. (A × A) − R B. R◦R C. R−S D.
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面命题中正确的是： A A. 若R和S 是自反的， 则R ◦ S也是自反的 B. 若R和S 是对称的， 则R ◦ S也是对称的 C. 若R和S 是反对称的， 则R ◦ S也是反对称的 D. 若R和S 是传递的， 则R ◦ S也是传递的 4. 设f ◦ g 是满函数， 则： A A. f 必定是满函数 B. f 必定是单函数 C. g 必定是满函数 D. g 必定是单函数 5. 记Z是整数集合， 函数f : Z→Z定义为，∀x ∈ Z, f (x) = |x| − 2x，则f 是： A A. 单函数 B. 满函数 C. 双函数 D. 既不是单函数也不是满函数 6. 下列哪个序列不可能构成一个图的结点度数序列？ C
北京大学集合论与图论SG2017-期末考试题试题-final-答案
北京大学信息科学技术学院期末试卷考试科目：集合论与图论姓名：学号：考试时间：2018 年 1 月 2 日任课教师: 参考答案以下为试题和答题纸，共 5 大题。
一、（20分）设n是某个自然数，N是自然数集，回答下列问题并给出证明：(1) P(n)是否传递集？证明：n为传递集，A为传递集当且仅当P(A)为传递集所以P(n)为传递集(2) P(N)是否归纳集？P(N)不是归纳集，N+=N⋃{N}∉P(N)，因为P(N)的任意元素A都是N的子集，所以A的元素都是自然数。
因此是有限集，所以P(N)对后继运算不封闭，故P(N)不是归纳集二、（20分）对于无向图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，如果有函数f:V1→V2满足以下性质：对于任意的u,v∈ V1，(u,v) ∈ E1 ⇒ ( f(u), f(v) ) ∈ E2，则说f是从G1到G2的同态。
把同态看作全体无向图上的二元关系，试回答下列问题并给出证明。
(1) 同态关系是否自反的？是，恒等映射(2) 同态关系是否反自反的？不是，实际是自反的(3) 同态关系是否对称的？不是，K1同态到K2，反之不然。
(4) 同态关系是否反对称的？不是，K2和K1,2互相同态(5) 同态关系是否传递的？是，由定义可知同态的合成还是同态(6) 证明：图G可以k-着色当且仅当G可以同态到k个顶点的完全图。
（⇒）设颜色集为{1,2,…,k}，设完全图的顶点集为{u1,u2,…,u k}，设k-着色为g: V→{1,2,…,k}，则同态为f:V→{u1,u2,…,u k}，f(v)=u g(v)，即着g(v)色的同色顶点都对应到完全图同一个点u g(v)上。
（⇐）设完全图的顶点集为{u1,u2,…,u k}，设同态为f:V→{u1,u2,…,u k}，则给f-1(u i)中的顶点都着颜色i。
三、（20分）（1）证明：一棵树的完美匹配若存在则是唯一的。
证明：假设有两个不同的完美匹配M1和M2，则M1⊕M2不为空，G(M1⊕M2)每个点的度数都为2，则有圈，与树矛盾。
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一、用真值表证明德*摩根律（证明其中一条即可）。
二、设A,B,C是集合，试问在什么条件下(A-B)-C=A-(B-C)？给出证明。
三、设A={a,b,c}，问A上有多少种不同的：二元关系？自反关系？对称关系？传递关系？等价关系？偏序关系？良序关系？
四、用花括号和空集来表示1⨯2（注意⨯表示集合的叉乘）.
五、设R是实数集，Q是有理数集，试构造出R-Q与R之间的双射.
1．简单叙述构造的思路；
2．给出双射f：R-Q -> R 或f：R -> R-Q的严格定义。
2008年期末考题：
一、在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的有向通路，则说u可达v；如果顶点u和顶点v互相可达，则说u双向可达v。
回答下列问题：
1．顶点集上的可达关系是不是等价关系？为什么？
2．顶点集上的双向可达关系是不是等价关系？为什么？
3．对于上述两个关系，如果是等价关系，其等价类的导出子图称为什么？
二、一棵树有13个顶点，除了3个2度顶点和若干个树叶之外，其余顶点都是5度。
1．求出5度顶点的个数（写出计算过程）；
2．画出所有互不同构的这种树。
三、计算出右图中v1到v4长度为4的通路数（要写出计算过程
的主要步骤），并写出一个最小支配集、一个最大团、一个最小
边覆盖、一个最大匹配。
四、如果一个图中所有顶点度数都为k，则称为k正则图。
8阶3
正则简单图一定是平面图吗？一定不是平面图吗？为什么？
五、证明：如果正则简单图G和补图G都是连通图，则G和G中至少有一个是欧拉图。
六、证明：如果n阶（n≥3）简单图G中，对于任何1≤j<n/2，G中度数不超过j的顶点个数都小于j，则G一定是哈密顿图。
2007年期中考题
一、设A,B为集合, P(A)为A的幂集, 证明: P(A)⊆P(B)当且仅当A⊆B.
二、设A={1,2,3,4}, R是A上的二元关系且R={<1,2>,<2,3>,<3,2>, <3,4>}.
(1) 给出R的矩阵表示, 画出R的关系图;
(2) 判断R具有哪些关系性质(自反,反自反,对称,反对称,传递);
(3) 求出R的自反闭包r(R), 对称闭包s(R), 传递闭包t(R). (用关系图表示)
三、设X,Y,Z是任意集合, 构造下列集合对之间的双射, 并给出是双射的证明.
(1) Z(X⨯Y)与(Z X)Y ;
(2) P(X⋃Y) 与P(X)⨯P(Y). (假设X⋂Y=∅)
四、已知对每个自然数n, 都存在唯一后继n+=n⋃{n}. 证明: 对于每个非零自然数n, 都存在唯一前驱n-, 满足n=(n-)+.
五、设f: A→B是单射, g: B→A是单射, 证明: 存在集合C,D,E,F, 使得A=C⋃D, C⋂D=∅, B=E⋃F,
E⋂F=∅, 并且f(C)=E, g(F)=D.
一、化简自然数的集合表达式（注意所有运算都是集合运算）：⋃⋃(2⨯3).
二、证明集合之间的等势关系是等价关系.
三、每个奇数阶竞赛图都可既是有向欧拉图又是有向哈密顿图吗？为什么？
四、完全图K4在对边进行标定的情况下有多少棵不同的生成树？为
什么？画出两棵不同构的生成树，并写出其中一棵对应的基本回路
系统和基本割集系统.
五、计算出右图中v2到v2长度为5的回路数，并计算出全体极小支
配集和全体极小点覆盖集（要写出计算过程的主要步骤）.
六、求彼德森图的点色数、边色数、点连通度、边连通度，并说明
理由.
七、证明简单平面图中至少有一个顶点的度数不超过5.
八、证明：在8×8的国际象棋棋盘的一条主对角线上移去两端1×1的方格后，所得棋盘不
能用1×2的长方形恰好填满。