北京大学集合论与图论SG16期中考试题试题公布
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
集合论与图论SG2017-期中试题-答案(1)
一、（20 分）对于任意集合 A 和 B， （1）证明：P(A)P(B) = P(AB)； （14 分）
对任意的 xP(A)P(B)，有 xP(A)且 xP(B)。即 xA 并且 xB，
则 xAB。所以 xP(AB)。故 P(A)P(B)P(AB)。 （7 分）
对任意的 xP(AB)，有 xAB，即 xA 并且 xB，所以 xP(A)
满射：3!*{4,3} + 4*3! =60 （4 分） 单射: 4*3! + C(4,2)*3*2 + C(4,1)*3 +1 =73 （4 分） 双射： 4*3！=24 （4 分）
得分
四、（20 分）用数学归纳法证明：
任意一个自然数的真子集都和某一个自然数等势。
S={n|nN x( x n m(mN mn))} (6 分)
(2) card P(N) = card N2 （5 分） 证一：同书上证明，子集合的特征函数。 证二：card P(N)= 2^\aleph_0=\aleph_1，card N2=2^\aleph_0=\aleph_1。
(3) 证明 < （5 分） 利用\aleph_0 < \aleph_1。
card NN =card 2N < card P(N) = card N2 （5 分，四者两两之间 6 种 关系每错 1 个扣 1 分）
证明：(1) card NN =card 2N （5 分） 证一：定义双射 H: (NN) (2N)，H(<a,b>)=f，f: 2N，f(0)=a, f(1)=b。 证二：card NN=\aleph_0，card 2N=\aleph_0。
1）S （4 分）
2）nS n+S (2 分 )
北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学理试题WORD版带答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，那么集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．以下函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，那么的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，以下结论错误的选项是A．B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也没必要要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．假设函数且）的图象与线段OA别离交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，那么a，b知足8． 已知函数函数．假设函数恰好有2个不同零点，那么实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ．假设 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．假设n a ＝0 ，那么n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．假设AB a ，那么点B 的坐标为 ． 13．已知函数，假设的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，那么的最小值为 14．关于数列，都有为常数）成立，那么称数列具有性质．⑴ 假设数列的通项公式为，且具有性质，那么t 的最大值为 ；⑵ 假设数列的通项公式为，且具有性质，那么实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明、演算步骤或证明进程． 15．（本小题总分值13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题总分值13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题总分值13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题总分值13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）假设直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）假设函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题总分值14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）假设=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题总分值14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如关于函数f(x)，假设存在，使得，那么称函数函数．（Ⅰ）判定函数 是不是是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是概念R 在上的周期函数，其最小正周期为T ，假设f(x)不是函数，求T 的最小值．（Ⅲ）假设函数是函数，求a 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
集合论图论 期中考试试题及答案
08信安专业离散数学期中考试试题1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A⊆B且C⊆D.证明:A∪C⊆B∪D; A∩C⊆B∩D . (15分)2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分)3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的最小的对称的二元关系. (15分)4.设A={1,2,…,20},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 5)}.证明:R为A上的等价关系. 并求商集A/R. (15分)5.给出下列偏序集的哈斯图,并指出A的最大元,最小元,极大元和极小元. A={a,b,c,d,e},≢A= I A∪{<a,b>,<a,c>, <a,d>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>} (15分)6.设g:A→B, f:B→C.已知g f是单射且g是满射,证明:f是单射. (10分)7.设S={0,1}A, 其中A={a1,a2,…,a n}.证明:P(A)与S等势.(10分)8.证明:任何一组人中都存在两个人,他们在组内认识的人数恰好相等(假设,若a认识b,则a与b互相认识). (10分)期中考试试题解答1.证明: ∀x,x∈A∪C x∈A∩C⇔x∈A∨x∈C ⇔x∈A∧x∈C⇒x∈B∨x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇒x∈B∧x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇔x∈B∪D ⇔x∈B∩D∴A∪C⊆B∪D ∴A∩C⊆B∩D2.解:A∪((B―A)―B)=A∪((B∩∽A)∩∽B)=A∪(∽A∩(B∩∽B))=A∪(∽A∩φ)=A∪ф=A .3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ∀<x,y>,<x,y>∈R∪R-1⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1⇔<y,x>∈R-1∨<y,x>∈R⇔<y,x>∈R-1∪R⇔<y,x>∈R∪R-1∴ R∪R-1是对称关系.再证任何包含R的对称关系一定包含R∪R-1.设R⊆R’且R’是对称关系.∀<x,y>,<x,y>∈R∪R-1⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1⇔<x,y>∈R∨<y,x>∈R⇒<x,y>∈R’∨<y,x>∈R’⇒<x,y>∈R’∨<x,y>∈R’(因为R’是对称关系)⇒<x,y>∈R’.从而R∪R-1⊆R’.4.证明: 设A={1,2,…,20},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y (mod 5)}∀x∈A, x=5k+i,0≢i≢4, ∴x≡x (mod 5), 即xRx;∀x,y∈A,若xRy,即x≡y(mod 5),故有x=5k+i且y=5m+i, 所以有y≡x (mod 5),即有yRx.∀x,y,z∈A,若xRy且yRz,则有x≡y(mod 5)和y≡z(mod 5),即有x=5k+i,y=5m+i且z=5n+i(0≢i≢4),从而x≡z (mod 5) 故有xRz.因为我们证明了G有自反性,对称性和传递性,所以R是等价关系.A/R={{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19},{5,10,15,20}}5. 解:哈斯图见附图(第5题答案).A 的最大元和极大元是e, 最小元和极小元是a.6. 证明:已知g f 是单射且是g 满射.反证法.假设f 不是单射,故存在b 1,b 2∈B,b 1≠b 2,且 f(b 1)=f(b 2)=c.由g 是满射知,存在a 1,a 2∈A,使得g(a 1)=b 1, g(a 2)=b 2. 由于g 是函数且b 1≠b 2,故a 1≠a 2.但是现在有 g f(a 1)=f(g(a 1))=f(b 1)=c=f(b 2)=f(g(a 2))=g f(a 2), 这与g f 是单射函数矛盾.7. 证明:设S={0,1}A ,A={a 1,a 2,…,a n }.P(A)={B|B ⊆A }. 定义特征函数ϕB :A →{0,1},⎩⎨⎧∉∈=Bx B x x B ,0,1)(ϕ 则存在双射f:P(A)→{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.因为∀B ∈P(A),∃唯一的g=B ϕ∈{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.故 f 是P(A)到{0,1}A 的函数.∀B 1,B 2∈P(A),若B 1≠B 2,则f(B 1)=1B ϕ≠2B ϕ=f(B 2),故f 是单射.∀g ∈{0,1}A ,∃B={x|x ∈A ∧g(x)=1}∈P(A),使得f(B)=g= B ϕ,从而f 是满射.综上所述,f是P(A)到{0,1}A的双射. 故P(A)与{0,1}A等势.8.证明:设一组A中有n个人A={a1,a1,…,a n}(n≣2),我们用ϕ(a i)表示a i认识的人数.情形1:A中每个人至少认识同组中的一个人.这时,1≢ϕ(a i)≢n―1, i=1,2,…,n.即ϕ是A到{1,2,…, n―1}的函数.然而|A|=n,|{1,2,…,n―1}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).情形2:A中有一个人a i不认识A中其他任何人,即ϕ(a i)=0.这时,a i以外的每一个人至多认识A中n―2个人.所以0≢ϕ(a j)≢n―2,j=1,2,…,n. 即ϕ是A到{0,1,…,n―2}的函数.然而|A|=n,|{0,1,…,n―2}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).综上所述,在两种情况下,A中都有两个人,他们在组内认识的人数恰好相等.。
北京大学2016年数学分析试题及解答
10. 充分性: ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > m > N 时,
令 x → R− 得
∑n akxk < ε, ∀x ∈ [0, R).
k=m
∑n
∑ ∞
akRk < ε =⇒ anRn 收敛.
k=m
n=1
必要性: 首先注意到
∑ ∞
anxn
=
∑ ∞
anRn
( x )n R
,
n=1
n=1
又因为
中的开集映为开集.
6.
(15
分)
x1
=
√ 2, xn+1
√ = 2 + xn.
证明
{xn}
收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 ∫ +∞ sin x dx 收敛并求值. 写出计算过程.
0
x
8. (15 分)
∫b
(1) 证明存在 [a, b] 上的多项式序列 {pn(x)} 使得 pi(x)pj(x) dx = δij 并使得对于 [a, b] 上的连续函数
准则
(不用证明)
并
i=1
用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) (a, b) 上的连续函数 f (x) 有反函数. 证明反函数连续.
4.
(15
分)
f (x1, x2, x3)
是
C2
映射,
∂f ∂x1
(x01
,
x02,
x03
)
̸=
0.
证明
f (x1, x2, x3)
对于任意 n > m, x0 ∈ U, 因为 rank (J (f )|x=x0 ) = m, 不妨设 J (f )|x=x0 的前 m 列是线性无关的. 定义
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
集合论图论 期中考试试题 2008年11月
关系的传递闭包仍是自反的，因此tr(R)是自反的，因此tr(R)是包含t(R)的自反关系，因此根据闭包
的定义， 。 rt(R) ⊆ tr(R)
反之，由R ⊆ t(R)，自反闭包保持子集关系，因此r(R) ⊆ rt(R)，又t(R)是传递的，而且传递关
系的自反闭包仍是传递的，因此rt(R)是传递的，从而rt(R)是包含r(R)的传递关系，因此根据闭包
六、给定 上的关系 且 是 的倍数 ： 分 A = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 36}
R = { x, y | x, y∈A y x
} (11 )
1. 划出偏序关系R的哈斯图(3分)；
2. 求A的子集B = {3,4,9}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确
界(8分)。
分 ； (2) rt(R) = tr(R)(5 )
分 ，并举例说明有 成立 分 ； (3) st(R) ⊆ ts(R)(5 )
st(R) ⊂ ts(R) (2 )
五、设R是非空集A上的等价关系，定义S = { a, b | ∃c∈A, a, c ∈R ∧ ， c, b ∈R} 证明S也是等价关系。(12分)
// (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
// 结合律 // 吸收律
而C = C ∩ A当且仅当C ⊆ A。
点评：有许多同学直接从 得到 ，这是 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) A ∪ C = A
错误的，将被扣4分。因为对任意集合X, Y, 能得到，因为很显然当X ⊆ Y ∩ Z时总有X
点评：这一题如果说从A = B显然得到P(A) = P(B)将被扣2分，因为出这个题目的本意就是
【真题】16年北京市东城区高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）如果集合A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于（）A．∅B．{﹣1}C．{2}D．{﹣1，2}2．（5分）命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，（）x＜0 B．∀x∈R，（）x≤0 C．∀x∈R，（）x＜0 D．∃x ∈R，（）x≤03．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．4．（5分）下列函数中，其定义域与值域相同的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=3，a10=10，则S7的值是（）A．30 B．29 C．28 D．276．（5分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）三个数a=0.152，b=20.15，c=log20.15之间的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．（5分）“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（5分）已知函数f（x）=的最大值是2，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（1，）C．（0，1） D．（0，）12．（5分）已知函数y=Acos（x+φ）（A＞0）在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ=90°，则A的值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．14．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则sinB=．15．（5分）已知＜α＜π，且tanα=﹣，则sin（α+）=．16．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，其中a为实数，若f（x）在x=﹣1处取得极值，则a=．17．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．18．（5分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=1﹣，n∈N*，则a30=．三、解答题19．（14分）设函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．20．（14分）已知等比数列{a n}满足27a2﹣a5=0，a1a2=a3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3log3a n+3，求证：{b n}是等差数列．21．（15分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a﹣b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，求实数m的取值范围．22．（17分）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）如果集合A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于（）A．∅B．{﹣1}C．{2}D．{﹣1，2}【解答】解：∵A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，∴A∩B={2}．故选：C．2．（5分）命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，（）x＜0 B．∀x∈R，（）x≤0 C．∀x∈R，（）x＜0 D．∃x ∈R，（）x≤0【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是：∃x∈R，（）x≤0，故选：D．3．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα==﹣1，故选：B．4．（5分）下列函数中，其定义域与值域相同的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=【解答】解：对于A，y=2x的值域为（0，+∞），定义域为R，定义域与值域不同，可排除A；对于B，y=x2的值域为[0，+∞），定义域为R，定义域与值域不同，可排除B；对于C，y=log2x的定义域为（0，+∞），值域为R，定义域与值域不同，可排除C；对于D，y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域与值域相同，符合题意．故选：D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=3，a10=10，则S7的值是（）A．30 B．29 C．28 D．27【解答】解：由题意，设等差数列的公差为的d，则d==1，故a4=a3+d=4，故S7===7×4=28故选：C．6．（5分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选：B．7．（5分）三个数a=0.152，b=20.15，c=log20.15之间的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=0.152＜1，b=20.15＞1，c=log20.15＜0，∴b＞a＞c，故选：A．8．（5分）“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当α=β时，sinα=sinβ，成立．当，时，满足sinα=sinβ，但α=β不成立，∴sinα=sinβ是α=β的必要不充分条件．根据逆否命题的等价性可知“α≠β”是“sinα≠sinβ”必要不充分条件．故选：B．9．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣，为减函数，当a＞1时，函数f（x）=a x﹣，为增函数，且当x=﹣1时f（﹣1）=0，即函数恒经过点（﹣1，0），故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，可得ω=2则设将y=f（x）的图象向左平行a个单位得到函数的图象则即2a=解得a=故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=的最大值是2，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（1，）C．（0，1） D．（0，）【解答】解：∵f（）==2，且函数f（x）=的最大值是2，∴当x时，log a x≤2恒成立；当a＞1时，log a x≤2不可能恒成立；当0＜a＜1时，log a x≤2恒成立可化为≥a2，即0＜a≤；故选：A．12．（5分）已知函数y=Acos（x+φ）（A＞0）在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ=90°，则A的值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：过Q，P分别作x轴的垂线于B，C，∵函数的周期T==4，∴MN=2，CN=1，∵∠PMQ=90°，∴PQ=2MN=4，即PN=2，则PC==，即A=，故选：C．二、填空题13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．14．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则sinB=．【解答】解：△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则由正弦定理可得sinA=3sinBsinA，求得sinB=，故答案为：．15．（5分）已知＜α＜π，且tanα=﹣，则sin（α+）=﹣．【解答】解：∵＜α＜π，且tanα=﹣，∴sin（α+）=cosα=﹣=﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，其中a为实数，若f（x）在x=﹣1处取得极值，则a=﹣1．【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣1，∵f（x）在x=﹣1处取得极值，∴3+2a﹣1=0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．17．（5分）已知函数f （x ）=，则f （6）= 1 ．【解答】解：函数f （x ）=， 则f （6）=f （5）=f （4）==1．故答案为：1．18．（5分）在数列{a n }中，已知a 1=，a n +1=1﹣，n ∈N *，则a 30= 2 ．【解答】解：∵a 1=，a n +1=1﹣，n ∈N *，∴a 2=1﹣2=﹣1，a 3=2，a 4=1﹣=，…， ∴a n +3=a n ． 则a 30=a 3×10=a 3=2， 故答案为：2．三、解答题19．（14分）设函数f （x ）=（sinx +cosx ）2+cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）化简已知函数可得f （x ）=（sinx +cosx ）2+cos2x =1+sin2x +cos2x=1+sin （2x +），由2kπ﹣≤2x +≤2kπ+可得kπ﹣≤x ≤kπ+，∴f （x ）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]k ∈Z ； （Ⅱ）∵x ∈[﹣，]，∴2x +∈[﹣，]，∴当2x +=即x=时，f （x ）有最大值+1，当2x +=﹣即x=﹣时，f （x ）有最小值﹣+120．（14分）已知等比数列{a n }满足27a 2﹣a 5=0，a 1a 2=a 3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3log3a n+3，求证：{b n}是等差数列．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}满足27a2﹣a5=0，a1a2=a3，∴27a1q﹣a1q4=0，a12q=a1q2，∴a1=3，q=3，∴a n=3n；（Ⅱ）证明：b n=3log3a n+3=3n+3，∴b n﹣b n=3，+1∴{b n}是等差数列．21．（15分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a﹣b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x2﹣2x]=x2+2x．∴a=1，b=2，∴a﹣b=﹣1．（2）f（x）=，即有f（x）在[﹣1，1]上递增，由于函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，∴[﹣1，m﹣2]⊆[﹣1，1]，∴，解得，1＜m≤3．22．（17分）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵当a=1时，，∴，（1分）∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，（3分）∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；f（x）的极小值为f（1）=1．（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值为1，（5分）令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，（7分）∴，∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+，（8分）（3）假设存在实数a，使，（x∈（0，e]）有最小值﹣1，∴，（9分）①当a≤0时，∵0＜x≤e，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值．（10分）②当0＜a＜e时，若0＜x＜a，则f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上单调递减，若a＜x＜e，则f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上单调递增.，得，满足条件．（12分）③当a≥e时，∵0＜x＜e，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上单调递减，（舍去），所以，此时无解．（13分）综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）（3）法二：假设存在实数a，使，x∈（0，e]）的最小值是﹣1，故原问题等价于：不等式，对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．即不等式a≥﹣x（1+lnx），对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．设g（x）=﹣x（1+lnx），即a=g（x）max，x∈（0，e]（10分）又（11分）令当，g'（x）＞0，则g（x ）在单调递增；当，g'（x）＜0，则g（x ）在单调递减，（13分）故当时，g（x ）取得最大值，其值是故．综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
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集合论与图论期中试题
2016年11月10日共5 大题。
一、设A,B是任意集合，试证明：A-(A-B)=A⋂B.（20分）
二、设A={a,b,c,d}上有二元关系R={<a,b>,<c,b>,<c,d>}，试回答下列问题.（20分）
(1) 给出R的关系图和关系矩阵. （5分）
(2) 判断R满足下列哪些关系性质？（在括号内打√或⨯）（5分）
自反（）反自反（）对称（）反对称（）传递（）
(3) 求出R的自反闭包、对称闭包、传递闭包.（5分）
(4) 计算出R的各次幂.（5分）
三、试回答下列问题，并说明理由.（20分）
（1）在A={a,b,c}上有多少个不同的二元关系？（4分）
（2）其中有多少个二元关系既是偏序关系又是等价关系？（4分）
（3）其中有多少个二元关系是偏序关系而不是等价关系？（4分）
（4）其中有多少个二元关系是等价关系而不是偏序关系？（4分）
（5）其中有多少个二元关系既不是等价关系也不是偏序关系？（4分）
四、是否存在自然数集的无穷真子集是传递集？试给出证明.（20分）
五、设A,B,C都是无穷集，试比较以下三个集合的基数大小，并给出证明.（20分）
(1)A→(B→C) (2) (A⨯B)→C (3) (A→B)→C。