集合论与图论SG2017-期中试题-答案(1)
广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试数学(理)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}032|{2<--=x x x A ，集合}0,2|{≥==x y y B x，则=B A （ ） A ．)3,1(- B ．)3,0[ C ．)3,1[ D ．)3,1( 【答案】C 【解析】试题分析：因为2{|230}{|13}A x x x A x x =--<⇒=-<<，{|2,0}{|1}xB y y x B y y ==≥⇒=≥，所以{|13}A B x x =≤<，故选C ．考点：2.已知向量)23,21(-=BA ，)23,21(=BC ，则=∠ABC （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 【答案】C考点：平面向量的夹角公式．3. 若直线l 与平面α相交，则（ ）A ．平面α内存在直线与l 异面B ．平面α内存在唯一直线与l 平行C ．平面α内存在唯一直线与l 垂直D ．平面α内的直线与l 都相交 【答案】A 【解析】试题分析：因为直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，所以只有A 正确，故选A ．考点：空间直线与平面的位置关系．4.已知q p ,是两个命题，那么“q p ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由p q ∧是真命题，可得p 真q 真；由p ⌝是假命题，知p 为真命题，但若q 为假命题，则不能推出p q ∧是真命题，所以“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件，故选B ． 考点：1、充分条件与必要条件；2、命题的真假．5.已知某路段最高限速h km /60，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：h km /），若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（ ）A ．154 B ．52 C ．158 D ．53【答案】C考点：1、古典概型；2、茎叶图．6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，其底面积为()1321122S =+⨯=，高为3=h ，所以该几何体的体积113333322V Sh ==⨯⨯=，故选C ． 考点：1、空间几何体的三视图；2、三棱锥的体积．【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7.若执行如图所示的框图，输入8,4,2,14321====x x x x ，则输出的结果是（ ）A ．41 B ．47 C ．415D ．4 【答案】C考点：程序框图图．8.已知21,F F 是双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，41sin 21=∠F MF ，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．315 B ．35C ．2D ．3 【答案】A9.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2a b =,ABC ∆的面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是（ ） A ． 30>B B ．B A 2= C ．b c < D ．2b S ≤ 【答案】D 【解析】试题分析：因为21sin sin 2ABC S ab C b C ∆==，又在ABC ∆中sin 1C ≤，所以2S b ≤，故选D ． 考点：三角形面积公式．10.函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图象大致为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为3()(1cos )sin 4sin cos 22x x f x x x =-=，()12f π=，故排除B ；又因为()f x 为奇函数，故排除D ；当0x →时，cos 1,sin 0x x →→，此时()0f x →，故排除C ，故选A ． 考点：三角函数的图象与性质．【知识点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要方面，通过图象可以观察出函数的性质，是数形结合思想应用的必备途径，作函数的图象一般可以研究函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性（对称中心，对称轴），确定特殊点（与坐标轴的交点，最值点等），还有函数值变化的趋势等等．11.已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（ ） A ．12或1- B ．12或2 C.1或2 D ．1-或2 【答案】D12.已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足0)()('<+x f x f ，设)(2m m f a -=，)1(12f eb m m ⋅=+-，则b a 、的大小关系是（ ）A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．b a 、的大小与m 有关 【答案】B 【解析】试题分析：设()()xg x e f x =，因为0)()('<+x f x f ，所以()(()())0xg x e f x f x ''=+<， 所以函数()g x 为R 上的减函数，又因为210m m -+>，所以21m m -<，所以2()(1)g m m g ->，即22()m m ef m m --＞(1)ef ，即221()(1)mm f m m e f -+->，所以a b >，故选B ．考点：利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知i 是虚数单位，复数12i+的模等于 ． 【答案】5 【解析】试题分析：21212|2||||||2|i ii i i i+-++===-==． 考点：1、复数的运算；2、复数的模．【一题多解】1|21||2|||i i i ++=== 14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a = ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为2228228237log log log ()log ()1a a a a a a +===，所以372a a =． 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算． 15.若()()201622016012201621x a a x a x a xx R -=++++∈…，记2016201612iii a S ==∑，则2016S 的值为 ． 【答案】1-考点：二项式定理．16.如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，角23πβα=+的终边与单位圆交于点()22,B x y ，记()12fy y α=-.若角α为锐角，则()f α的取值范围是 ．【答案】)23,23(-考点：1、三角函数定义；2、两角差的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质．【知识点睛】三角函数的定义是研究三角问题的基础，在数学学习中，利用定义解题是一种良好的思维方式，因为定义是一切基本问题的出发点，对数学定义的反复应用必将增强对知识的理解与掌握，是学好数学的有效途径．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若()1223,,k k k a a a k N *++∈恰好依次为等比数列{}n b 的第一、第二、第三项，求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）()2n a n n N *=∈；（Ⅱ）9932883nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用n a 与n S 的关系结合条件等式即可求得通项公式n a ；（Ⅱ）首先利用等比数列的性质求得k 的值，由此求得n b 的通项公式，从而求得数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减法求和即可． 试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112a S ==+=.当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.检验1n =时，上式符合. ∴()2n a n n N *=∈.（Ⅱ）由题知1221,,k k k a a a ++成等比数列，12122++⋅=k k k a a a ， 即)32(2)1(2)22(2+⋅+=⋅k k k ，解得3k =.18.（本小题满分12分）在某天的上午00:12~00:9时段，湛江一间商业银行随机收集了100位客户在营业厅窗口办理业务类型及用时量的信息，相关数据统计如下表1与图2所示.已知这100位客户中办理型和型业务的共占50%（假定一人一次只办一种业务）.（Ⅰ）确定图2中,x y 的值，并求随机一位客户一次办理业务的用时量X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某客户到达柜台时，前面恰有2位客户依次办理业务（第一位客户刚开始办理业务），且各客户之间办理的业务相互独立，求该客户办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率.（注：将频率视为概率，参考数据：535 6.5158231217660.5,⨯+⨯+⨯+⨯=2222351523523235154110,351535232255++⨯⨯+⨯⨯=++⨯=）【答案】（Ⅰ）分布列见解析，()8.105E X =；（Ⅱ）0.411或4111000．（Ⅱ）记A 为事件“该客户在办理业务前的等候时间不超过13分钟”，()1,2X i =为该顾客前面第i 位客户的用时量，则()()()()()1212121255,88,5 6.5P A P X X P X X P X X P X X ===+==+==+==()()12125, 6.5 6.5,5P X X P X X +==+==.由于各客户口的办理业务相互独立，()()()()()()12121212121255,88,5 6.55, 6.5 6.5,5P X X P X X P X X P X X P X X P X X ==+==+==+==+==+==227372373220.4112020201002020⎛⎫⎛⎫=++⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故该顾客办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率为0.411或4111000.考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面α过点11A B ，，且1//CC α平面，平面α与三棱台的面相交，交线围成一个四边形.（Ⅰ）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）； （Ⅱ）若111111826,AB BC B C AB BC BB CC BB C C ABC ===⊥=⊥，，，平面平面，二面角1B -AB-C 等于︒60，求直线1AB 与平面α所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）平行四边形，图形见解析；∴直线1AB 与平面α. 考点：1、直线与平面所成角隅2、空间向量的应用．20.（本小题满分12分）设椭圆()222:11x E y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知FA FA e OF OA+=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）动直线l 过点()2,0N -，l 与椭圆E 交于P Q 、两点，求OPQ ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）a =．（Ⅱ）由题l 与x 轴不重合，设l 的方程是2x my =-， 由22212x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222220my y -+-=，即()222420m y my +-+=， 因直线与椭圆有相异交点，()2216820m m ∆=-+>，解得m >或m <12122242,22m y y y y m m +==++，1y =212OPQS ON y ∆= 令0t =>，则2242224224222=⋅≤+=+=∆tt t t t t S OPQ . 当2t m =⇒=OPQ ∆.考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式．【方法点晴】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1n n f x a x x=+-，其中,n N a *∈为常数. （Ⅰ）当2n =，且0a >时，判断函数()f x 是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若1a =，对任意的正整数n ，当1x ≥时，求证：()1f x x +≤.【答案】；（Ⅱ）见解析．（Ⅱ）证：因为1a =，所以()()1ln n n f x x x -=+. 当n 为偶数时，令()()()1ln 11n g x x x x =--++，则()()()11111111n n n x n g x x x x x ++=+-=+++++′ 1x ≥∴()0g x >′，所以当[)1,x ∈+∞时，()g x 单调递增，()g x 的最小值为()1g ，因此()()()()()()21111ln 111ln 111ln 21ln 222111n n n g x x x g x =--+≥=--+=--≥--++331311121975ln ln ln 0416********e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=>=>， 所以()1f x x +≤成立.当n 为奇数时，要证()1f x x +≤，由于()()1101n n x -<+，所以只需证()ln 1x x +≤.令()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =-=>++′， 当[]1,x ∈+∞时，()()ln 1h x x x =-+单调递增，又()11ln 2ln02e h =-=>， 所以当1x ≥时，恒有()0h x >,命题()ln 1x x +≤成立.综上所述，结论成立.考点：1、函数极值与导数关系；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式恒成立问题请从下面所给的22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为θρsin a =，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）.（1）若2=a ，直线l 与x 轴的交点为M ，N 是圆C 上一动点，求||MN 的最大值；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，求a 的值.【答案】（1）15+；（2）23=a 或1132=a ．（2）由θρsin a =，可化为θρρsin 2a =，∴圆C 的普通方程为4)2(222a a y x =-+. ∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半， ∴2||2134|823|22a a ⋅=+-，解得：23=a 或1132=a . 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数3|2|)(--=x x f ，|3|)(+=x x g .（1）求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式a x g x f +<)()(对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）}2|{->x x ；（2）2>a ．：。
集合论与图论答案 第一章习题
若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。 例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集 为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列 各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个 成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。 其中 2A 表示集合 A 的幂集。 证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。 若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。 同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。 因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。 证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。 所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
图论习题答案
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a ’2, a ’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5. 可以。
7. 同构。
同构的双射如下：8. 记e 1= (v 1,v 2), e 2= ( v 1,v 4), e 3= (v 3,v 1), e 4= (v 2,v 5), e 5= (v 6,v 3), e 6= (v 6,v 4), e 7= (v 5,v 3), e 8= (v 3,v 4), e 9 = (v 6,v 1), 则邻接矩阵为： 关联矩阵为：∑∑∑∑∑∑∑==+====-=++=-==---=--=ni i n i i n i n i n i ni i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 1111121212/)1()1(2)1(])1[(。
， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－22 222 i i C a a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------100110000001001000010100010011010100000001001100000111, 001101000100000000001001010000001010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 )(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 )( 4, 1, 3 )边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).习题二1. 用数学归纳法。
河北衡水中学2017届高三上学期期中考试文科数学试卷(详细答案版)
2017届河北衡水中学高三上学期期中考试文科数学试卷一、单选题（共12小题）1．复数（为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．考点：复数综合运算答案：B试题解析：因为所以2．已知集合，，则的子集个数为（）A．8B．3C．4D．7考点：集合的概念答案：A试题解析：因为所以子集个数3．已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量基本定理答案：D试题解析：由已知得：不平行于，即所以4．将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A．B．C．D．考点：三角函数图像变换答案：A试题解析：的图象向左平移个单位得：，变形为：因为所得函数偶函数，所以即5．已知等比数列中，，则的值为（）A．2B．4C．8D．16考点：等比数列答案：B试题解析：因为，所以所以所以6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：空间几何体的三视图与直观图答案：B试题解析：该几何体是一个底面为梯形的四棱柱截去一个半圆柱，，所以7．如图，偶函数的图象如字母，奇函数的图象如字母，若方程，的实根个数分别为、，则（）A．12B．18C．16D．14考点：零点与方程函数图象答案：B试题解析：若方程则或或此方程有9个解；设的三个零点分别为，若，则或，或此方程有9个解；即所以8．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．考点：均值定理函数图象答案：D试题解析：因为的图象恒过定点，所以,代入直线得：9．三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．考点：空间几何体的表面积与体积答案：A试题解析：如图，取中点,连接,又是三棱锥的外接球心.外接球半径10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．3024B．1007C．2015D．2016考点：算法和程序框图答案：A试题解析：输入可发现：所以11．已知函数的极大值为，极小值为，则（）A．0B．2C．-4D．-2考点：利用导数求最值和极值答案：D试题解析：设函数的两个极值点为则12．某实验室至少需要某种化学药品，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋，价格为12元；另一种是每袋，价格为10元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（）元A．56B．42C．44D．54考点：线性规划答案：C试题解析：设第一种买包，第二种买包，花费为，则当时，当时，当时，当时，当时，所以花费最少为44元.二、填空题（共4小题）13.与直线垂直的直线的倾斜角为考点：两条直线的位置关系答案：试题解析：由得：所以所以直线垂线的所以倾斜角14.若函数为奇函数，则________．考点：函数的奇偶性答案：-1试题解析：因为函数为奇函数，所以即所以15.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．考点：充分条件与必要条件答案：试题解析：因为所以因为是的充分不必要条件，所以所以又因为所以16.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．考点：空间几何体的表面积与体积答案：试题解析：设因为，，为中点所以所以所以当时，三棱锥体积的最大值为.三、解答题（共7小题）17.如图，在中，，，是边上一点．（Ⅰ）求的面积的最大值；（Ⅱ）若的面积为4，为锐角，求的长．考点：解斜三角形答案：见解析试题解析：因为在中，是边上一点，所以由余弦定理得：所以所以所以的面积的最大值为（2）设，在中，因为的面积为，为锐角，所以所以，由余弦定理得，所以，由正弦定理，得，所以，所以，此时，所以,所以的长为18.已知数列中，，记为的前项的和，，．（1）判断数列是否为等比数列，并求出；（2）求.考点：等比数列答案：见解析试题解析：（1），，，即，所以是公比为的等比数列.，，（2）由（1）可知，所以是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列19.如图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，为的中点，．（1）求证：；（2）若，求点到平面的距离．考点：立体几何综合答案：见解析试题解析：（1）取的中点，连接，因为，所以，因为为等边三角形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以（2）因为在中，，所以，因为为等边三角形，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面，又因为，所以，因为，所以,因为，四边形为平行四边形，，所以，设点到平面的距离为，由，得，解得20.如图，四棱锥的底面为矩形，，，点在底面上的射影在上，，分别是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）在边上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.考点：立体几何综合答案：见解析试题解析：（Ⅰ）在矩形中，，且是的中点，∴∠=∠,∴∠=∠,∵∠∠,∴∠∠,即⊥.由题可知面面，且交线为，∴面.（Ⅱ）取的中点，的中点，连结、.∵，且∴四边形为平行四边形，∴∵是的中点，是的中点，∴，∴.过作交于，连结，∵,，∴平面平面，∴平面.由可知：∴21.设函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.考点：导数的综合运用答案：见解析试题解析：（1）函数定义域为：，对函数求导：，若函数在上为减函数，则在恒成立所以：，由，故当，即时，所以：，所以的最小值是.（2）若存在，使成立，则问题等价为：当时，由（1）知：在的最大值为，所以所以问题转化为：（ⅰ）当时，由（1）知：在是减函数，所以的最小值是，解得：（ⅱ）当时，在的值域是①当，即时，在是增函数，于是：，矛盾②当，即时，由的单调性和值域知：存在唯一的，使得且当时，，为减函数；当时，，为增函数所以：的最小值为，即：，矛盾综上有：22.在直角坐标系中，已知直线:（t为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为．（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求．考点：参数和普通方程互化极坐标方程答案：见解析试题解析：（1）直线:，两式相减，消掉参数，得到直线的普通方程是：；曲线的极坐标方程为，两边同乘得到曲线C的普通方程是：.（2）将直线的标准方程化为参数方程是：（t为参数）代入曲线可得，所以23.已知函数，（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．考点：绝对值不等式答案：见解析试题解析：（Ⅰ）由得，，故不等式的解集为（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立，即恒成立∵，∴的取值范围为．。
集合论图论 期中考试试题及答案
08信安专业离散数学期中考试试题1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A⊆B且C⊆D.证明:A∪C⊆B∪D; A∩C⊆B∩D . (15分)2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分)3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的最小的对称的二元关系. (15分)4.设A={1,2,…,20},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 5)}.证明:R为A上的等价关系. 并求商集A/R. (15分)5.给出下列偏序集的哈斯图,并指出A的最大元,最小元,极大元和极小元. A={a,b,c,d,e},≢A= I A∪{<a,b>,<a,c>, <a,d>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>} (15分)6.设g:A→B, f:B→C.已知g f是单射且g是满射,证明:f是单射. (10分)7.设S={0,1}A, 其中A={a1,a2,…,a n}.证明:P(A)与S等势.(10分)8.证明:任何一组人中都存在两个人,他们在组内认识的人数恰好相等(假设,若a认识b,则a与b互相认识). (10分)期中考试试题解答1.证明: ∀x,x∈A∪C x∈A∩C⇔x∈A∨x∈C ⇔x∈A∧x∈C⇒x∈B∨x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇒x∈B∧x∈D (A⊆B,C⊆D) ⇔x∈B∪D ⇔x∈B∩D∴A∪C⊆B∪D ∴A∩C⊆B∩D2.解:A∪((B―A)―B)=A∪((B∩∽A)∩∽B)=A∪(∽A∩(B∩∽B))=A∪(∽A∩φ)=A∪ф=A .3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ∀<x,y>,<x,y>∈R∪R-1⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1⇔<y,x>∈R-1∨<y,x>∈R⇔<y,x>∈R-1∪R⇔<y,x>∈R∪R-1∴ R∪R-1是对称关系.再证任何包含R的对称关系一定包含R∪R-1.设R⊆R’且R’是对称关系.∀<x,y>,<x,y>∈R∪R-1⇔<x,y>∈R∨<x,y>∈R-1⇔<x,y>∈R∨<y,x>∈R⇒<x,y>∈R’∨<y,x>∈R’⇒<x,y>∈R’∨<x,y>∈R’(因为R’是对称关系)⇒<x,y>∈R’.从而R∪R-1⊆R’.4.证明: 设A={1,2,…,20},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y (mod 5)}∀x∈A, x=5k+i,0≢i≢4, ∴x≡x (mod 5), 即xRx;∀x,y∈A,若xRy,即x≡y(mod 5),故有x=5k+i且y=5m+i, 所以有y≡x (mod 5),即有yRx.∀x,y,z∈A,若xRy且yRz,则有x≡y(mod 5)和y≡z(mod 5),即有x=5k+i,y=5m+i且z=5n+i(0≢i≢4),从而x≡z (mod 5) 故有xRz.因为我们证明了G有自反性,对称性和传递性,所以R是等价关系.A/R={{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19},{5,10,15,20}}5. 解:哈斯图见附图(第5题答案).A 的最大元和极大元是e, 最小元和极小元是a.6. 证明:已知g f 是单射且是g 满射.反证法.假设f 不是单射,故存在b 1,b 2∈B,b 1≠b 2,且 f(b 1)=f(b 2)=c.由g 是满射知,存在a 1,a 2∈A,使得g(a 1)=b 1, g(a 2)=b 2. 由于g 是函数且b 1≠b 2,故a 1≠a 2.但是现在有 g f(a 1)=f(g(a 1))=f(b 1)=c=f(b 2)=f(g(a 2))=g f(a 2), 这与g f 是单射函数矛盾.7. 证明:设S={0,1}A ,A={a 1,a 2,…,a n }.P(A)={B|B ⊆A }. 定义特征函数ϕB :A →{0,1},⎩⎨⎧∉∈=Bx B x x B ,0,1)(ϕ 则存在双射f:P(A)→{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.因为∀B ∈P(A),∃唯一的g=B ϕ∈{0,1}A ,使得f(B)=B ϕ.故 f 是P(A)到{0,1}A 的函数.∀B 1,B 2∈P(A),若B 1≠B 2,则f(B 1)=1B ϕ≠2B ϕ=f(B 2),故f 是单射.∀g ∈{0,1}A ,∃B={x|x ∈A ∧g(x)=1}∈P(A),使得f(B)=g= B ϕ,从而f 是满射.综上所述,f是P(A)到{0,1}A的双射. 故P(A)与{0,1}A等势.8.证明:设一组A中有n个人A={a1,a1,…,a n}(n≣2),我们用ϕ(a i)表示a i认识的人数.情形1:A中每个人至少认识同组中的一个人.这时,1≢ϕ(a i)≢n―1, i=1,2,…,n.即ϕ是A到{1,2,…, n―1}的函数.然而|A|=n,|{1,2,…,n―1}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).情形2:A中有一个人a i不认识A中其他任何人,即ϕ(a i)=0.这时,a i以外的每一个人至多认识A中n―2个人.所以0≢ϕ(a j)≢n―2,j=1,2,…,n. 即ϕ是A到{0,1,…,n―2}的函数.然而|A|=n,|{0,1,…,n―2}|=n―1,由鸽笼原理,存在1≢s<t≢n,使得ϕ(a s)=ϕ(a t).综上所述,在两种情况下,A中都有两个人,他们在组内认识的人数恰好相等.。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
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一、（20 分）对于任意集合 A 和 B， （1）证明：P(A)P(B) = P(AB)； （14 分）
对任意的 xP(A)P(B)，有 xP(A)且 xP(B)。即 xA 并且 xB，
则 xAB。所以 xP(AB)。故 P(A)P(B)P(AB)。 （7 分）
对任意的 xP(AB)，有 xAB，即 xA 并且 xB，所以 xP(A)
满射：3!*{4,3} + 4*3! =60 （4 分） 单射: 4*3! + C(4,2)*3*2 + C(4,1)*3 +1 =73 （4 分） 双射： 4*3！=24 （4 分）
得分
四、（20 分）用数学归纳法证明：
任意一个自然数的真子集都和某一个自然数等势。
S={n|nN x( x n m(mN mn))} (6 分)
(2) card P(N) = card N2 （5 分） 证一：同书上证明，子集合的特征函数。 证二：card P(N)= 2^\aleph_0=\aleph_1，card N2=2^\aleph_0=\aleph_1。
(3) 证明 < （5 分） 利用\aleph_0 < \aleph_1。
card NN =card 2N < card P(N) = card N2 （5 分，四者两两之间 6 种 关系每错 1 个扣 1 分）
证明：(1) card NN =card 2N （5 分） 证一：定义双射 H: (NN) (2N)，H(<a,b>)=f，f: 2N，f(0)=a, f(1)=b。 证二：card NN=\aleph_0，card 2N=\aleph_0。
1）S （4 分）
2）nS n+S (2 分 )
n+ = n{n}, x n+ 分三种 情况讨论 ：(2 分 )
a) x n, mx
(2 分 )
b) x=n, xn
(2 分 )
3) nx, x-{n} n, x -{n} m，则 xm+ (2 分 )
得分
五、（20 分）设 N 是自然数集，试比较以下四个集合的基数大小，并 给出证明. （1）NN （2）P(N) （3）N2 （4）2N
因为(f, a)RS，则存在 gA，使得(f, g)R，(g, a)S；因为 R 是传递的，
由(c, f)R，(f, g)R，则(c, g)R；因为(c, g)R，(g, a)S，所以(c, a)RS。 因为已经证明，RS 是对称的，所以(a, c)RS
得分
三、（20 分）试回答下列问题，并说明理由. （1）集合 A={a,b,c,d}, B={1,2,3}, 求 A 到 B 的所有偏函数、 全函数分别有多少个？ (8 分)
所有偏函数： 3^4 + C(4,3)*3^3 + C(4,2)*3^2 + C(4,1)*3^1+1=256 （4 分）
全函数：3^4 =81 （4 分）
（2）把所有偏函数 f : AB 通过 f : dom(f)B 转换成全函数，问这些全函数中 包含多少个单射函数？多少个满射函数？和多少个双射函数？ （12 分）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
且 xP(B)。因此 P(AB)P(A)P(B)。
（7 分）
综上所述，P(A)P(B)=P(AB)
（2）举例说明 P(A)P(B) P(AB). （6 分）
A={1}, B={2}, AB={1, 2}; P(A)={, {1}}, P(B)={, {2}},
P(A)P(B)= {, {1}, {2}},
P(AB)= {, {1}, {2}, {1, 2}}; 所以 P(A)P(B)P(AB)
得分
二、（20 分）设 R, S 是 A 上的等价关系且 RS=SR，证明： RS 是 A 上的等价关系.
自反性和对称性容易证明，略。（5 分） 传递性证明： 对任意 a, b, cA，如果(a, b)RS, (b, c)RS，要证明(a, c)RS。 因为 RS=SR，则有(b, c)SR，即存在 e, fA，使(a, e)R，(e, b)S，(b, f)S， (f, c)R。 因为 S 是传递的，(e, b)S，(b, f)S，所以(e, f)S；因为(a, e)R，所以(a, f)RS；RS 是对称的，则(f, a)RS；因为 R 是对称的，(f, c)R，则(c, f)R。