集合论与图论
集合论与图论-超图
超图表示
结点用标号表示 超边用环绕它的全部关联结点的封闭曲
线表示 例
通路
设H=<V, E>是一个超图，A、B是V中的 结点，则H中从A到B的一条通路是一个 边的序列E1, E2, …, Ek (k1)，该序列满 足下列条件：
（1）AE1, BEk； （2）对于所有1 i k，Ei Ei+1 。 边序列E1, E2, …, Ek为从E1到E每条边的关联结点为两个， 限制了线图的表达能力。现实世界中， 广泛地存在着各种各样的多元联系，难 以用线图直观地表达。
超图
一个超图H是一个有序二元组H=<V, E>， 其中V是一个有限集，V中的元素称为H 的结点，E是一个超边的集合。E中每一 条超边都是V的一个非空子集，并使得V 中每个结点至少属于E中的一条超边。
连通
在超图H中，如果两个结点（或边）之间 存在一条通路，则称它们是连通的。
如果一个边的集合中每一对边都是连通 的，则称该边集是连通的。
连通支
一个超图H中的任一极大连通边集以及它 们的关联结点一起称作H的一个连通支。
子图
设H=<V, E>，H’=<V’, E’>都是超图，如 果V’ V，E’ E，则称H’是H的一个子 图。
化简超图
设H=<V, E>是一个超图，如果边集E中 不存在任何一条边是另一条边的真子集， 则称H是一个化简超图。
对于任意一个超图H，通过从图中删去那 些为别的边所真包含的超边而得到一个 化简超图，称这个化简超图为H的化简图， 记为RED(H)。
投影图
设H=<V, E>是一个超图，结点集V’ V， 则我们称超图RED(<V’, EV’>)为H到V’的 投影, 记作HV’，其中EV’={e EV’: eE}{ }，EV中的每一条边通常也称作H的一 条子边。
集合论与图论第一章
1.3
集合的基本运算
与并运算类似，可以将集合的交推广到有限个或 可数个集合：
A1 A2 ... An Ai {x i {1,2,..., n}, x Ai )}
类似定义
i 1 n
A1 A2 ... An ... An {x n N , x An }
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1.2
子集、集合的相等
(2)、真子集的概念 定义1.2.2 设A，B为二集合，若AB且x(xB 并且xA),则称A是B的真子集,记作AB,读作A是B的 真子集。 ABAB并且x(xB并且xA), 例如：{a,b}是{a,b,c}的真子集。 设A,B,C为3个集合，下面3个命题为真： (1)AA。 (2)AB，则BA。
集合论与图论
课时：30学时
平时成绩30分，期末考试成绩70分。 平时成绩考核方法：安排5次课堂作业，每次6 分，共30分。 课件邮箱:hjh20130225@ 密码:20130225
1
集合论和图论的应用范畴 集合论和图论都属于离散数学 离散数学分为： 数论、集合论、图论、近世代数、数 理逻辑、组合数学 计算机科学领域的大多数基本概念和理论， 几乎均采用集合论和图论的有关术语来描述。
(1)集合中的元素是各不相同的； (2)集合中的元素不规定顺序； (3)集合的两种表示法有时是可以互相转化的。 例如：正偶数集合用列举法可表示为： B={2,4,6,8,...}。
用描述法可表示为： B={x|x>0且x为偶数}
或{x|x=2(k+1),k为非负整数}。
** 15
1.2
子集、集合的相等
22
1.2
子集、集合的相等
设A1,A2,A3为集合, 那么{A1,A2,A3}为一个集族。 集族的表示方法： 若令I={1,2,3}，则iI,i确定了一个唯一的集合Ai。 于是集族{A1,A2,A3}又常写成{Ah}hI。 若J为任一集合，对J中每个元素i有唯一的 一个集合与之对应，这个集合记为Ai,那么所有 这些Ai,形成的集族就用{Ai}iJ表示，其J称为标 号集。
集合论与图论第十章 树
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
北大集合论与图论1PPT课件
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
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《集合论与图论》第1讲
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常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
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《集合论与图论》第1讲
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常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
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《集合论与图论》第1讲
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常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
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《集合论与图论》第1讲
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常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
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等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
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《集合论与图论》第1讲
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推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
集合论与图论第二章
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
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2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
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2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
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2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
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2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
集合论与图论基础题
集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。
集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。
本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。
1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。
- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。
记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。
- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。
记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。
1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。
- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。
2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。
- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。
集合论与图论
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
北大集合论与图论
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
7
进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
8
成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
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《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
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《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
12
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
2013-1-6 《集合论与图论》第1讲 1
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
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《集合论与图论》第1讲
2
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
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《集合论与图论》课程示范性教学设计
1 本课程教学方法
（一）教学方法
在这里，仅总结一下我的教学方法，不细展开，因此不涉及专业术语和与专业有关的例子。
以下仅是一些指导思想：
（1 ）启发式、由浅入深、从直观到抽象。
要用些生动的例子帮助学生理解抽象概念的含义，但要做到生动而有趣又不失概念的准确性和推理的严格性，使学生易于接受，又了解直观背景。
（2 ）突出基本思想及方法，强调规律性，提高学生的抽象能力。
要从哲学的高度强调概念是第一位的，引导学生思考问题时必须清楚理解所涉及的概念，使问题有一个明确的提法，引导学生掌握从问题到建立数学模型这一抽象过程的方法。
（3 ）利用集合论某些概念和理论与方法总结已学过的知识（如微积分、线性代数）找出本质的规律或主线，使学生认识事物内部的深刻规律。
其次，随时指出在后继课如何应用这些知识、在科技论文中将怎样出现这些知识的应用。
这不仅提高了学习的积极性，也使学生增强了学习的目的性。
（4 ）只要有可能就要以建立数学模型组织教学，讲习题也不例外。
这样，能使学生加深印象—任何时候都要抓住事物的本质与事物之间的联系。
（5 ）鼓励学生多问为什么，为什么会是这样子而不是那个样子。
不是教会学生怎样去使用工具、去模仿或复制，而是要教会学生独立思考，发现问题，提出问题和解决问题的思考，否则思维会退化。
（5 ）适当地提出一些未解决的问题。
尚无答案的问题是摆在我们及学生面前的有无限价值的东西，因为支持大学的最高准则是探究未知领域。
事实上，在每年教此课时，提一些问题确实有学生在思考。
（6 ）注意每个学科（内部）的美。
如果某部分很丑或太复杂，人们倾向于认为是不清楚的和暂时的，它没有真正反映客观规律，因为我们相信，越接近终极真理，我们的解释中的不自然的东西就越少。
科学是以越来越完美、有力的理论向终极真理发展的。
（二）关于素质教育、培养创新精神的人才的思考
素质教育应该是各类教育的核心，而培养创新人才则是高等教育的任务（见高等教育法，第五条）。
在这里讨论这个题目不太合适，因为题太大。
其实，在（五）中就本课的特点贯穿了素质教育和培养创新人才的思想。
以下只扼要地总结一下。
1 ）教会学生如何进行逻辑推理，如何进行正确地思维，如何在纷繁的事物中抓住主要的联
系，如何使用明确的概念等至关重要，在任何一个学科中这些工作都是至关重要。
•教会学生理解基本概念、基本原理，强调真正理解，只教会他们使用公式、工具会限制学生的未来，甚至使思维蜕化。
•重在理解信息，从中获取知识。
重点是主动地理解，而不是被动地使用，以提高学习能力，增强适应性，创造我们的生活。
•我鼓励学生多提些问题，要有“刨根问底”的精神，不要轻信书本和老师讲的东西，只有理解了的知识才是你学到了的。
•只要可能应介绍其中的美，简单蕴含着美。
复杂的理论和概念可能是我们尚未抓住事物的本质，自然界应该是美的。
•结合教学内容，站在哲学的高度，利用辩证法的思想作适当评述是绝对必要的。
2 各部分重点及难点
本课程的内容分为两部分，即集合论、图论。
集合论是整个数学基础之一，在这里讲的是朴素集合论，而不是公理化集合。
图论虽是一个独立的分支，在本课中可视为集合论的一个应用，它研究在一个有限集合上定义了一个二元关系所组成的系统。
研究任一离散系统，要为它建立数学模型，就要描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事务的运动规律。
集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推力理论，而具有一个二元关系的有限系统用图作为模型是十分自然而有用。
•集合及其运算
集合、子集、集合的相等关系、幂集；集合并、交、差、对称差、补集、迪卡尔乘积运算，各运算的性质及相互联系；有穷集合的基数、基本计数法则、容斥原理及应用。
本章中证明两个集合相等的方法是学生必须掌握的重点，也是各门课都用的地方。
告诉学生必考！
•映射
基本定义、鸽巢原理、映射的一般性质、映射的合成、逆映射、置换、二元运算、应用。
重点：映射的性质、合成运算和应用。
讲授时强调映射是描述事物之间联系的工具。
从计算的角度看微积分*
•关系
二（n ）元关系、几个特殊二元关系、二元关系的表示、关系的合成运算、传递闭包、等价关系与集合的划分、偏序关系。
重点：合成运算、传递闭包、等价关系。
讲授时要做到：
1 ）利用等价关系为线性代数穿一条主线* ；
2 ）介绍合成运算、传递闭包在专业课中是怎样应用的；
3 ）（偏序）关系是数学三大结构之一。
•无穷集合的基数
可数集及其性质、存在不可数集—对角线法，基数及其比较、连续统、罗素悖论与数学危机。
重点：可数集的性质、对角线法、基数的概念、存在不可数集。
本章特点：本课最难的部分，建立合理的“无穷观”涉及到认识论、逻辑、哲学。
建议教师读点数学史、方法论的书。
下面的书是值得读的：
1 ．M. 克莱因著，数学—确定性的丧失，李宏魁译，湖南科学基数出版社，1997 。
2 ．徐利治著，数学方法论选讲，华中工学院出版社，198
3 。
3 ．A.W.Moore, 无穷简史，科学，1996.?
•模糊集合论
由于学时限制，本章只介绍这一新兴分支是怎样由经典集合推广到模糊集合、介绍它的应用范围。
因此，只让学生了解这一分支，在应用中有能力自学或看懂有关文献。
•图
图、路、圈、连通图、偶图、补图、欧拉图、哈密顿图、图的邻接矩阵、最短路径问题。
重点：图、路、圈、欧拉图、哈密顿图
•树、割点和桥
树及其性质、生成树、割点和桥及其特征性质，最小生成树问题。
重点：树及其性质，为了避免与“数据结构与算法”课重复，最小生成树问题只讲基本思想。
•连通度和匹配
顶点连通度与边连通度及其关系、偶图的匹配、Hall 定理。
重点：基本概念、Hall 定理。
讲法：联系通信系统，交叉开关网络，任务安排讲解背景、意义及应用介绍。
•平面图和图的着色
平面图及其欧拉公式、图的着色、五色定理，介绍计算机证明四色猜想。
重点：平面图和图的着色概念，欧拉公式。
讲法：借此机会介绍Turing 奖、NP- 完全问题等“常识”知识。
•有向图
强连通、有根树、有序树、二元树。
3 参考教材
[1] 王义和，离散数学引论（修订版），哈尔滨工业大学出版社，2000 年3 月，第1-10 章。
[2] C.L.Liu ，Elements of Discrete Mathematics ，Second Edition ，McGraw-Hill Book Company ，1990 。
[3] J.A. 邦迪，U.S.R. 默蒂，图论及其应用，吴望名等译，科学出版社，1987 。
[4] 朱一清，离散数学，电子工业出版社，1997 。
4 作业安排
我们的教材每节后均有习题。
习题分两类，一类是只要理解了基本概念、理论和方法就能容易做出。
另一类习题是需要灵活应用学过的知识才能解答出来。
本课的特点是习题几乎都是证明题，很少有计算题。
从批改作业情况看，学生缺乏证明中的
逻辑推理训练。
由于没有公式可套，全靠语言表达，这又暴露出很多学生的语言表达能力差。
答疑不仅是回答学生提出的问题，也是了解学生的思想、基础、心状的机会，指导他们如何学习，也是向学生学习的机会。
5 考题设计
本课笔试，考卷中考核概念是否理解；是否掌握基本理论和基本方法；考核学生能否灵活应用基本概念、基本理论、基本方法；较难题。
6 成绩评定
基本概念占30% ，基本理论和基本方法占40% ，灵活应用基本概念、基本理论、基本方法占20% ，较难题占10% 。
合计100% 。