《集合论与图论》课堂理解理解练习2
集合练习题加答案
集合练习题加答案集合是数学中的基本概念之一，它提供了一种描述对象集合的方式。
在集合论中，集合是由一些明确的或不明确的确定的对象构成的整体。
这些对象被称为集合的元素。
集合论是现代数学的基础之一，它在各个数学领域都有广泛的应用。
以下是一些集合练习题，以及相应的答案，供学习者练习和检验自己的理解。
练习题1：确定以下集合的元素。
- A = {x | x 是一个偶数}- B = {y | y > 5}- C = {z | z 是一个质数}答案1：- A的元素是所有偶数，例如2, 4, 6, 8等。
- B的元素是所有大于5的实数。
- C的元素是所有质数，如2, 3, 5, 7, 11等。
练习题2：判断以下集合是否相等。
- X = {1, 2, 3}- Y = {1, 3, 2}答案2：- X和Y是相等的，因为集合的元素是无序的，只考虑元素的种类和数量。
练习题3：计算以下集合的并集。
- A = {1, 2, 3}- B = {3, 4, 5}- C = {2, 5, 6}答案3：- A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}练习题4：计算以下集合的交集。
- D = {1, 2, 3, 4}- E = {3, 4, 5}答案4：- D ∩ E = {3, 4}练习题5：计算集合D的补集，假设全集U包含所有自然数。
- D = {1, 2, 3, 4}答案5：- D' = U - D = {所有自然数除了1, 2, 3, 4}练习题6：如果A = {x | x 是一个偶数}，B = {x | x 是一个奇数}，计算A和B的差集。
答案6：- A - B = {x | x 是一个偶数但不是奇数}，即A本身，因为奇数和偶数是互补的。
练习题7：给定集合F = {x | x 是一个整数，且 -3 ≤ x ≤ 3}，计算F的幂集。
答案7：- F的幂集包含F的所有子集，共有2^7个子集，因为F有7个元素（-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3）。
集合论与图论答案 第一章习题
若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。 例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集 为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列 各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个 成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。 其中 2A 表示集合 A 的幂集。 证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。 若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。 同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。 因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。 证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。 所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题答案
[证] 因 g o f
则 y ∈ Y 且g ( y ) = g ( f ( x ) ) = Σ 。因此， g 是一个满射。 四、 1.设 X = {1, 2,3} ， y {1, 2} ， Y X = { f f : X → Y } 在 Y X 上害义二无关系 ≅ ： ∀f , g ∈ Y X ， f ≅ g 当且仅当 f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = g (1) + g ( 2 ) + g ( 3) （1）证明 ≅ 是等价关系。 （2）求等价类的个数。
[证] Ⅰ（1）Q f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) ，故 ≅ 是自反的。
（2）若 f ≅ g , 则 f (i ) =
i=1
3 2
3 g (i), 但 3 g (i) = 3 f (i), 故 g ≅ 2 2 2
i=1 i=1 i=1
故当 p ≥ 11 时 qc > 3 p − 6 ， Gc 不是平面图。 八、1.用数学归纳法证明每个比赛图中必有有向哈密顿路。 [证]设 D 是 p 个顶点的比赛图。施归纳于 p： 当 p=1，2 时结论显然成立。假设 当 p ≥ 2 时结论成立，往证对 p+1 个顶点的比赛图 D 也成立。从 D 中去掉一个顶点
6
i=1 3
有四个等价类。 2.设 R 为 X 上的二元关系，试证： R 是传递的当且仅当 R o R ⊆ R 。
北工大-集合与图论习题整理版
习题集（一） 一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
二、选择2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。
D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。
A．0；B．1；C．2；D．3。
图论习题二答案
图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。
本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。
1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。
答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。
对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。
如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。
对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。
对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。
如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。
对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。
答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。
对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。
对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。
第二篇 图论习题
习题课 2
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 （1）顶点u与v连通；（2）G连通G+uv连通。 例1 设G为p阶简单无向图，p＞2且p为奇数，G和G的 补图GC 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等？ 试证明你的结论。 例2 设V={v1,v2,…,vp}，计算以V为顶点集的无向图 的个数是多少？(KP有多少个生成子图) 例3 设V={v1,v2,…,vp},q≤p(p-1)/2，计算以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数是多少？ 例4 设G是（p,q）图，r≤q，则具有r条边的G的生成 子图有多少？ 答案： 2p(p-1)/2 ，Cqp(p-1)/2 ，Crq。
习题课 2
1. 说明图中所示图(1)(2)是否是非平面图？ 2．证明:彼得森图不是平面图。 (1) 收缩法；(2) 欧拉公式法；(3)收缩到K3,3。 3.设G是无向图,p<8,则G与Gc中至少有一个是平面图。 4.设平面图G的顶点数p=7,边数q=15，证明G是连通的。
习 题 课 3
1．判断下面命题是否正确，并说明理由。 任意平面图G的对偶图G*的对偶图G**与G同构。 2. 设G*是平面图G的对偶图，证明：p*=f，q*=q， f*=p-k+1。其中k(k≥1)为G的连通分支数。 3. 证明：若G是自对偶的平面图，则q=2p-2。其中p 和q是G的边与顶点数。 4．把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，问p最 大为多少？ 5.证明：不存在具有5个面，每两个面都共享一条公 共边的平面图G。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。 例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送 一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自 其送过卡的相同人？为什么？ 解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
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《集合论与图论》课堂练习3
（2011年12月复旦大学计算机学院10级）学号姓名
1．证明：任何平面图是5-可着色的。
证明：
2．证明：n个顶点的简单图G的边数超过(n-1)(n-2)/2条边，则G是连通的。
证明：
3．证明：马在国际象棋3 4的棋盘上可以遍历。
证明：
4．如果一个带有e条边和n个顶点的连通简单平面图不包含长度为4或更短的回路。
证明：若n≥4，则e≤（5/3）n-（10/3）。
5 用下述算法为简单图着色：
（1）以度数递减的顺序给出顶点的列表v1, v2, …, v n，使得d(v1)≥d(v2)≥…
d(v n)；
（2）把颜色1着色给顶点v1和在列表中不与顶点v1相邻的下一个顶点（若存在一个这样的顶点），并且继续给列表中每一个不与着颜色1 的顶点相邻的顶点着颜色1；然后，把颜色2 着色给列表中还没有着色的第一个顶点，并继续按上述步骤对列表中的顶点着颜色2；然后，以此类推，直到所有的顶点都被着色。
举例说明这一算法不是最优的，也就是说，这个算法所产生的着色所需的颜色数可能比某个图的色数大。
6简单图的定向就是指定它的各边的方向，使得所得的图是强连通图。
证明：若一个图有割边，则它不是可定向的。
7 三对夫妇到达一条河流的岸边，每个妻子都是妒忌的，当她的丈夫与其他人的妻子在一起而她不在场时，她就无法忍受。
只用一条只能运载两个人的船，如何能使三对夫妇到达河的另一边，且没有一个丈夫在他妻子不在场时与他的妻子之外的女人相处？使用图论模型解答。