集合论与图论
集合论与图论-超图
超图表示
结点用标号表示 超边用环绕它的全部关联结点的封闭曲
线表示 例
通路
设H=<V, E>是一个超图，A、B是V中的 结点，则H中从A到B的一条通路是一个 边的序列E1, E2, …, Ek (k1)，该序列满 足下列条件：
（1）AE1, BEk； （2）对于所有1 i k，Ei Ei+1 。 边序列E1, E2, …, Ek为从E1到E每条边的关联结点为两个， 限制了线图的表达能力。现实世界中， 广泛地存在着各种各样的多元联系，难 以用线图直观地表达。
超图
一个超图H是一个有序二元组H=<V, E>， 其中V是一个有限集，V中的元素称为H 的结点，E是一个超边的集合。E中每一 条超边都是V的一个非空子集，并使得V 中每个结点至少属于E中的一条超边。
连通
在超图H中，如果两个结点（或边）之间 存在一条通路，则称它们是连通的。
如果一个边的集合中每一对边都是连通 的，则称该边集是连通的。
连通支
一个超图H中的任一极大连通边集以及它 们的关联结点一起称作H的一个连通支。
子图
设H=<V, E>，H’=<V’, E’>都是超图，如 果V’ V，E’ E，则称H’是H的一个子 图。
化简超图
设H=<V, E>是一个超图，如果边集E中 不存在任何一条边是另一条边的真子集， 则称H是一个化简超图。
对于任意一个超图H，通过从图中删去那 些为别的边所真包含的超边而得到一个 化简超图，称这个化简超图为H的化简图， 记为RED(H)。
投影图
设H=<V, E>是一个超图，结点集V’ V， 则我们称超图RED(<V’, EV’>)为H到V’的 投影, 记作HV’，其中EV’={e EV’: eE}{ }，EV中的每一条边通常也称作H的一 条子边。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
北大集合论与图论1PPT课件
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
集合论与图论基础题
集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。
集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。
本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。
1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。
- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。
记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。
- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。
记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。
1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。
- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。
2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。
- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。
集合论与图论
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学作为现代数学的一门重要分支，在计算机科学、通信工程、信息技术等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍离散数学的基础知识，共分为三个部分：集合论、逻辑和图论。
一、集合论集合是离散数学中的基本概念，它是一个由元素组成的整体。
例如，{1，2，3}就是一个集合，其中1、2、3是元素。
集合的描述通常采用列举法或描述法。
列举法即列举集合中的元素。
例如，{1，2，3}、{a，b，c，d}等都是集合。
描述法则是通过一些规则来描述集合中的元素。
例如，{x | x是正整数且小于10}表示由所有小于10的正整数组成的集合。
集合之间有一些常见的运算：并集：将两个集合中的元素合并起来，形成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的并集为{1，2，3，4，5}。
交集：取两个集合中相同的元素组合成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的交集为{3}。
补集：设A为一个集合，A'为其补集，则A'包含所有不在A 中的元素。
除此之外，集合中还有子集、空集、全集等重要概念。
子集指的是一个集合中的所有元素为另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
空集指的是一个不包含任何元素的集合，全集则是该领域的所有元素的集合。
二、逻辑逻辑是进行推理和论证的基础。
在离散数学中，布尔代数是逻辑的一种基础形式。
它是一种将推理和论证过程化为运算的数学体系。
常见的布尔运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）。
与运算表示只有两个值同时为真，结果才为真。
例如，1 AND 1 为真，1 AND 0 为假。
或运算表示两个值中至少一个值为真，结果才为真。
例如，1 OR 0 为真，0 OR 0 为假。
非运算表示取反，将真变为假，将假变为真。
例如，NOT 1 为假，NOT 0 为真。
布尔代数的一个重要应用是逻辑电路的设计。
逻辑电路是指由逻辑门和连线构成的电路，其中逻辑门实现着不同的布尔运算。
三、图论图论是离散数学中的重要分支。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2015.02第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆；c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈； l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n) {}φφ=； o){}φ中没有任何元素； p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。
答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆ ，试证：12n A A A === 。
4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔= 。
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。
9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C = 。
10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。
11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。
12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C = 且A B B C = ，试证B=C 。
15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。
(1)(\)\(\)A B C A B C = ；(2)(\)()\A B C A B C = ；(3)\()()\A B C A B B = 。
（答案：都不正确）16．下列命题哪个为真？ 答案：_________a)对任何集合A,B,C ，若A B B C = ，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C = ，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A B A B = 。
d)对任何集合A,B ，222A B A B = 。
e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。
f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。
17．填空：设A,B 是两个集合。
a)x A B ∈⇔ ________________； b)x A B ∈⇔ _________________ c)\x A B ∈⇔_________________； d)x A B ∈∆⇔_________________。
18．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C ？答案：____（a ）(\)(\)A B A C ；（b ）()\()A B A C ；（c ）(\)(\)A B A C ；（d ）()\()A B A C ；（e ）()()A B A C 。
20P 习题20．设A,B,C 为集合，并且A B A C = ，则下列断言哪个成立？(1)B C =；(2)A B A C = ；(3)C C A B A C = ；(4)C C A B A C = 。
答案：21．设A,B,C 为任意集合，化简()()()()()()()C C C C C C C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C25P 习题24．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。
求2,,,A B B A A C A B ⨯⨯⨯⨯。
25．设A,B 为集合，试证：A×B＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。
26．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：()()()()A B C D A C B D ⨯=⨯⨯29．设,,A B C 是三个任意集合，证明：()()()A B C A B A C ⨯∆=⨯∆⨯。
30．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？（1）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈且y B ∈； （2）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈或y B ∈；（3）222A B A B ⨯=⨯； （4）若A C B C ⨯=⨯，则A B =；（5）若,A C B C C ⨯=⨯≠∅，则A B =。
答案：______31．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多少个不同的子集？ 答案：_______32．设,A B 是两个集合，B ≠∅，试证：若B B B A ⨯=⨯，则A B =。
33P 习题33．设A,B 是两个有限集，试求22?A B ⨯=34.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。
问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？第二章 映射习题39P 习题1. 设A ，B 是有穷集，,A m B n ==。
则（1）计算B A ； （2）从A 到A 有多少个双射？43P 习题3. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
5. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。
6.设12,,,n a a a 为1,2,3,,n 的任一排列，若n 是奇数且12(1)(2)()0n a a a n ---≠ ，则乘积为偶数。
46P 习题7.设:f X Y →，,C D Y ⊆，证明111(\)()\()f C D f C f D ---=8. 设:f X Y →，X B A ⊆,，，证明)(\)()\(B f A f B A f ⊇。
10.设:,,f X Y A X B Y →⊆⊆。
以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。
（1）（a ）若()()f x f A ∈，则x 未必在A 中；（b ）若()()f x f A ∈，则x A ∈；（c ）若()()f x f A ∈，则x A ∈； （d ）若()()f x f A ∈，则c x A ∈。
（2）（a ）1(())f f B B -=； （b ）1(())f f B B -⊆；（c ）1(())f f B B -⊇； （d ）1(())c f f B B -=。
（3）（a ）1(())f f A A -=； （b ）1(())f f A A -⊆；（c ）1(())f f A A -⊇； （d ）上面三个均不对。
（4）（a ）()f A ≠∅； （b ）()f B ≠∅；（c ）若1,()y Y f y x -∈∈则； （d ）若1,()y Y f y x -∈⊆则。
50P 习题15. 设{,,},{0,1},{2,3},:,()()0X a b c Y Z f X Y f a f b ===→==，()1;:f c g Y =→Z ，(0)2,(1)3g g ==，试求g f 。
55P 习题17．设{1,2,3,}N = ，试构造两个映射f 和g ：N N →，使得（1）N fg I =，但N gf I ≠；（2）N gf I =，但N fg I ≠。
18.设:f X Y →则（1）若存在唯一的一个映射:g Y X →，使得X gf I =，则f 是可逆的吗？（2）若存在唯一的一个映射:g Y X →，使得Y fg I =，则f 是可逆的吗？20. 是否有一个从X 到X 的一一对应f ，使得1f f -=，但X f I ≠？63P 习题21.设1212345123454321532514σσ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，＝，求11122112,,,σσσσσσ--。
22.将置换123456789791652348⎛⎫ ⎪⎝⎭分解成对换的乘积。
第三章 关系习题86P 习题1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的 二元关系？3.设R ，S 是X 上的二元关系，下列命题哪些成立：a)若R 与S 是自反的，则,R S R S 分别也是自反的；b) 若R 与S 是对称的，则,R S R S 分别对称的；c) 若R 与S 是传递的，则R S 也是传递的；d) 若R 与S 不是自反的，则R S 也不是自反的；e) 若R 与S 是反自反的，则,R S R S 也是反自反的；f) 若R 是自反的，则c R 也是反自反的；g) 若R 与S 是传递的，则R\S 是传递的。
答案：________________________________________________4.实数集合上的“小于”关系<是否是反自反的？集合X 的幂集上的“真包含”关系⊂是否是反自反的？为什么？5.设R 、S 是X 上的二元关系。
证明：（1）11()R R --=； （2）111()R S R S ---= ；（3）111()R S R S ---= ； （4）若R S ⊆，则11R S --⊆；6．设R 是X 上的二元关系，证明：1R R - 是对称的二元关系。
7．设R 为X 上的是反自反的和传递的二元关系,证明：R 是反对称的。
92P 习题9.“父子“关系的平方是什么关系？ 答案：_____________11.设R 与S 为X 上的任两个二元关系，下列命题哪些为真？ 答案：_______a ）若R,S 都是自反的，则R S 也是自反的；b ）若R,S 都是对称的，则R S 也是对称的；c ）若R,S 都是反自反的，则R S 也是反自反的；d ）若R,S 都是反对称的，则R S 也是反对称的；e ）若R,S 都是传递的，则R S 也是传递的。
12．设R 1是A 到B ，R 2和R 3是B 到C 的二元关系，则一般情况下：1231213(\)()\()R R R R R R R ≠ 。
但有人声称等号成立，他的证明如下：设123(,)(\)a c R R R ∈ ，则b X ∃∈，使得1(,)a b R ∈且23(,)\b c R R ∈。
于是2(,)b c R ∈且3(,)b c R ∈。