集合论与图论

集合论与图论习题册

软件基础教研室

刘峰

2015.02

第一章 集合及其运算

8P 习题

1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

2.下列命题中哪些是真的，哪些为假

a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆；

c)对每个集A ，{}A A ∈；

d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；

f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；

h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；

j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈； l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；

n) {}φφ=； o){}φ中没有任何元素； p)若A B ⊆，则22A B ⊆

q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。 答案：

3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆ ，试证：12n A A A === 。

4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？

5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔= 。

7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。

9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C = 。

10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。

11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。

12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C = 且A B B C = ，试证B=C 。

15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。

(1)(\)\(\)A B C A B C = ；(2)(\)()\A B C A B C = ；

(3)\()()\A B C A B B = 。（答案：都不正确）

16．下列命题哪个为真？ 答案：_________

a)对任何集合A,B,C ，若A B B C = ，则A=C 。

b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C = ，则B=C 。

c)对任何集合A,B ，222A B A B = 。 d)对任何集合A,B ，222A B A B = 。 e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。 f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。

17．填空：设A,B 是两个集合。 a)x A B ∈⇔ ________________； b)x A B ∈⇔ _________________ c)\x A B ∈⇔_________________； d)x A B ∈∆⇔_________________。

18．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C ？答案：____

（a ）(\)(\)A B A C ；（b ）()\()A B A C ；

（c ）(\)(\)A B A C ；（d ）()\()A B A C ；（e ）()()A B A C 。 20P 习题

20．设A,B,C 为集合，并且A B A C = ，则下列断言哪个成立？

(1)B C =；(2)A B A C = ；(3)C C A B A C = ；(4)C C A B A C = 。 答案：

21．设A,B,C 为任意集合，化简

()()()()()()()

C C C C C C C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C

25P 习题

24．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。求2,,,A B B A A C A B ⨯⨯⨯⨯。

25．设A,B 为集合，试证：A×B＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。

26．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：()()()()A B C D A C B D ⨯=⨯⨯

29．设,,A B C 是三个任意集合，证明：()()()A B C A B A C ⨯∆=⨯∆⨯。

30．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？

（1）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈且y B ∈； （2）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈或y B ∈；

（3）222A B A B ⨯=⨯； （4）若A C B C ⨯=⨯，则A B =；

（5）若,A C B C C ⨯=⨯≠∅，则A B =。 答案：______

31．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多

少个不同的子集？ 答案：_______

32．设,A B 是两个集合，B ≠∅，试证：若B B B A ⨯=⨯，则A B =。

33P 习题

33．设A,B 是两个有限集，试求22?A B ⨯=

34.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几

的学生正同时学德文和法文？

第二章 映射习题

39P 习题

1. 设A ，B 是有穷集，,A m B n ==。则

（1）计算B A ； （2）从A 到A 有多少个双射？

43P 习题

3. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。

5. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。

6.设12,,,n a a a 为1,2,3,,n 的任一排列，若n 是奇数且12(1)(2)()0n a a a n ---≠ ，则乘积为偶数。

46P 习题

7.设:f X Y →，,C D Y ⊆，证明111(\)()\()f C D f C f D ---=