数学图论模型

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常用术语
6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
7) 若V (G) X Y，X Y ，且X 中任意两顶点不
相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或
偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称
为完全二部图或完全偶图,记为Km,n (m=|X|,n=|Y|)．
定义 设 G (V , E)和 G (V , E)是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G是 G 的一个子图,记 G G. 2) 若V V，E E ，则称 G是G的生成子图.
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为G的由 V 导出的子图，记为 G[V ] .
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本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.
本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条 经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达
到最小的闭链（闭迹）. 如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四
个旅行售货员问题. 众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，
即求解没有多项式时间算法. 显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，
8) 图 K1,n 叫做星. X : x1 x2 x3
X : x1 x2 x3
K6
Y : y1 y2 y3 y4 二部图
Y : y1
y2 y3 K3,4
y4
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K1,4
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2) 赋权图与子图
定义 若图G=(V(G),E(G)) 的每一条边e 都赋以
一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图.
一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到 解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较 大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
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二、图论的基本概念
1) 图的概念 2) 赋权图与子图 3) 图的矩阵表示 4) 图的顶点度 5) 路和连通
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1) 图的概念
若图G中的边均为无序偶对 viv j，称G为无向图.称 边e viv j 为无向边，称e连接vi 和 v j，顶点 vi 和v j 称
为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
例 设H (V (H ),E(H ))，其中：
V (H ) {u1,u2,u3,u4,u5}， E(H ) {a1,a2,a3, a4, a5, a6, a7}， a1 (u1,u2)，a2 (u2,u2 )， a3 (u4,u2 )，a4 (u4,u5)， a5 (u4,u3)，a6 (u3,u4)， a7 (u1,u3). （见右图 3）
（见图 2）
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称
其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的
所有图都称为非平凡图.
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定义若图G中的边均为有序偶对(vi,vj)，称G为有向 图. 称边 e (vi ,v j )为有向边或弧,称 e (vi ,v j )是从 vi 连接 v j , 称vi 为e的尾， 称v j为e的头.
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、 组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政 府所在地的路线.
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1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最 短且各组尽可能均衡的巡视路线.
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，其中: 1) V (G) {v1,v2, ,v }是非空有限集，称为顶点集，
其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对
(vi ,v j ) 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边. 定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 v 来表示；
数学建模简明教程
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第二章 图论模型
▪ 一、问题引入与分析 ▪ 二、图论的基本概念 ▪ 三、最短路问题及算法 ▪ 四、最小生成树及算法 ▪ 五、旅行售货员问题 ▪ 六、模型建立与求解
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一、问题引入与分析
1. 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾 情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
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常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联. 2)与同一条边关联的两个端点称
为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边. 3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆. 4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边． 5) 既没有环也没有重边的图，称为简单图．
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各 条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权， 所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论 中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网 络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一 次再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2 小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分 几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
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公路边的数字为该路段的公里数.
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Hale Waihona Puke 2.问题分析：本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
图的边的数目|E(G)|用 来表示. 用 G (V (G), E(G)) 表示图，简记 G (V , E).
也用 viv j 来表示边 (vi ,v j ).
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例 设 G (V (G), E(G)) ， 其 中 ： V (G) {v1,v2,v3,v4} ， E(G) {e1,e2, e3,e4,e5,e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3， e4 v1v4，e5 v3v4，e6 v3v4.