三角函数的定义
高中数学三角函数专题：三角函数定义
高中数学三角函数专题：三角函数定义第一部分：三角函数的定义知识点一：直角三角形中三角函数定义。
“正”的含义：“正”指的是“正对面”，在直角三角形中指的是角的“对边”。
“余”的含义：“余”指的是“余光”，只有站在相邻的位置需要用余光去看对方，在直角三角形中指的是是角的“邻边”。
“弦”的含义：“弦”指的是直角三角形中“勾、股、弦”中的“弦”，指的是“斜边”。
“切”的含义：“切”指的是“直线与圆相切”，直线与圆相切最重要的性质是：圆心和切点的连线与切线垂直，“切”指的是“垂直”。
在直角三角形ABC 中，如下图所示：||||sin AC BC A =；||||cos AC AB A =；||||tan AB BC A =。
||||sin AC AB C =；||||cos AC BC C =；||||tan BC AB C =。
知识点二：特殊角三角函数值。
第一类直角三角形：三个内角分别为：030，060，090。
性质：在直角三角形中，030的对边为斜边的一半。
如下图所示：假设：030的对边a AB =||。
根据030的对边等于斜边的一半得到：a AB AC 2||2||==。
根据勾股定理得到：a BC a a a a a AB AC BC 3||34)2(||||||22222222=⇒=-=-=-=。
根据三角函数的定义得到：212||||30sin 0===a a AC AB ，2323||||30cos 0===a a AC BC ，33313||||30tan 0====a a BC AB 。
根据三角函数的定义得到：2323||||60sin 0===a a AC BC ，212||||60cos 0===a a AC AB ，33||||60tan 0===aaAB BC 。
第二类直角三角形：三个内角分别为：045，045，090。
性质：等腰直角三角形，两条直角边相等。
如下图所示：假设：a BC AB ==||||。
三角函数
三角函数三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。
也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数（SinX）、余弦函数（Cosx）和正切函数（tanx）。
在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
三角函数在数学中属于一类重要的周期函数也是初等函数里的超越函数的一类函数。
它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数（亦称为单调函数）意义上的反函数。
三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。
例如在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学及图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用。
三角函数一般用于计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中。
现代比较常用的三角函数有6个，其中sin和cos还常用于模拟周期函数现象，比如说声波和光波，谐振子的位置和速度，光照强度和白昼长度，过去一年中的平均气温变化等等。
初中数学三角函数的定义与应用
初中数学三角函数的定义与应用三角函数是初中数学中的一个重要概念，它是数学中用于研究三角形和周期性现象的函数。
三角函数有正弦、余弦和正切三种常见形式，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义和其在初中数学中的应用。
一、正弦函数的定义与应用正弦函数是三角函数中最基本的一种，通常用sin表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinα = 对边/斜边。
正弦函数在初中数学中的应用非常广泛，例如在解决直角三角形的问题中，我们可以利用正弦函数来求解未知边长或角度。
二、余弦函数的定义与应用余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosα = 邻边/斜边。
与正弦函数类似，余弦函数也在解决直角三角形的问题中起到了重要作用。
三、正切函数的定义与应用正切函数是三角函数中的第三种形式，通常用tan表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanα = 对边/邻边。
正切函数的应用也非常广泛，特别是在解决梯度问题、角度关系问题等方面具有重要意义。
四、三角函数的周期性三角函数具有周期性的特点，即在一定范围内呈现出重复的规律性。
正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π（弧度制下）或360°（角度制下）。
因此，我们可以利用周期性特点来简化计算，并在解决周期性问题时加以应用。
五、三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数和正切函数都具有特定的图像形态和性质。
例如，正弦函数的图像呈现出上下波动的曲线，余弦函数的图像则是波浪形的曲线，而正切函数的图像则是以原点为对称中心的S形曲线。
对于初中生来说，理解这些图像形态及其性质对于学习和应用三角函数非常有帮助。
六、三角函数的应用举例在实际生活中，三角函数有许多应用。
例如，利用三角函数可以解决测量高楼大厦的高度问题，通过测量垂直角和距离，可以利用三角函数计算出高楼大厦的实际高度。
三角函数的概念
三角函数的概念三角函数是数学中一种重要的函数类型，它描述了角度和长度之间的关系。
它在几何、物理、工程和计算机图形等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的概念以及它们的定义、性质和图像特征。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值，用sin表示。
在三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的横坐标值，用cos表示。
在三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值与横坐标值的比值，用tan表示。
在三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
例如，sin(θ)=sin(θ+360°)=sin(θ+2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数（sin(-θ)=-sin(θ)），余弦函数和正切函数是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)，tan(-θ)=tan(θ)）。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。
三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像呈现出周期性的波形，对于一个周期内的任意值，其取值范围在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是在横坐标上有一个相位差。
3. 正切函数的图像在某些角度上会出现无穷大或无穷小，这些角度被称为正切函数的奇点。
四、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中广泛应用于解决三角形相关的问题，如计算三角形的边长、角度和面积等。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中用于描述波动、振动和周期性现象，如声音和光的传播。
3. 工程学应用：三角函数在工程学中用于解决各种实际问题，如测量、设计和建模等。
三角函数微分
三角函数微分三角函数是高中数学中经常出现的一个知识点，涉及到三角函数的微分，在微积分中也扮演着重要的角色。
下面我们将针对三角函数的微分进行详细的讲解。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
其中，正弦函数和余弦函数经常用到，它们的定义如下：正弦函数：在数轴上取定一点O，以O为圆心、OA为半径作圆，对于圆上任意一点P，设其对应的圆心角为θ，则点P的y坐标即为sinθ，记作y=sinθ。
1.正弦函数的导数由正弦函数的定义可知，当θ增大时，sinθ也在增加，而sinθ的增量是一个小量。
那么，当θ增加到Δθ时，其对应的正弦函数值的增量为：Δy = sin(θ + Δθ) - sinθ∴ Δy/Δθ = cosθ因此，正弦函数的导数为cosθ。
根据导数的定义可知，对于三角函数f(x)，其微分df即为：df = f'(x)dx由三角函数的导数可知，正弦函数的导数是余弦函数，而余弦函数的导数是负的正弦函数。
因此，我们可以得到以下的三角函数微分公式：（1）d(sin x) = cos x dx注：sec x = 1/cos x，cosec x = 1/sin x解：根据微分公式，有：2. 求f(x) = 3cos (2x)的微分df。
3. 求y = sin x与y = x的夹角在x = π/4处的斜率。
解：由题意可知，当x = π/4时，y = sin (π/4) = √2/2。
根据正弦函数的导数可知，f'(x) = cos x，因此当x = π/4时，斜率k为：因此，夹角的斜率为√2/2。
总结：三角函数的微分是数学中一个重要的知识点，它在微积分中有着广泛的应用。
在学习三角函数微分时，需要掌握三角函数的导数和微分公式，较为熟练地应用它们来解决问题。
三角函数的定义和计算方法
三角函数的定义和计算方法三角函数是数学中的一个重要概念，它的定义和计算方法在解决几何问题和数学建模中起着重要的作用。
本文将介绍三角函数的定义以及常用的计算方法。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用sin表示。
对于任意实数x，它的正弦值表示为sin(x)。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一个基本的三角函数，用cos表示。
对于任意实数x，它的余弦值表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域也是[-1, 1]。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中较为常用的函数，用tan表示。
对于任意实数x，它的正切值表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但在某些特殊点上它的值是无穷大或者无穷小。
二、三角函数的计算方法1. 单位圆上的定义三角函数的计算方法可以通过单位圆上的定义来了解。
单位圆是指半径为1的圆，在x轴上的坐标为1，即(1,0)。
对于任意角度θ，单位圆上的点P的坐标可以表示为(Px, Py) = (cosθ, sinθ)，其中Px和Py 分别表示点P在x轴和y轴上的坐标。
2. 用角度确定三角函数值三角函数的计算方法可以通过给定角度来确定对应的函数值。
以正弦函数为例，给定一个角度θ，可以使用特殊角的数值来计算sinθ。
特殊角的数值可以通过查表或者计算器获得，例如，sin30° = 0.5，sin45° = 0.707，sin60° = 0.866等等。
通过特殊角的数值，可以通过三角函数的性质计算出其他角度的函数值。
3. 用三角函数值确定角度反函数也是计算三角函数的重要方法之一。
给定一个三角函数的值，可以通过反函数来确定对应的角度。
例如，给定一个值0.5，可以使用反正弦函数来计算对应的角度，即sin^(-1)(0.5)。
三角函数的定义与性质
有界性
三角函数的有 界性是指它们 在一定范围内 取值有限
有界性的证明 通常需要利用 三角函数的定 义和性质，如 周期性、对称 性等
有界性是三角函 数在解决实际问 题中非常重要的 性质之一，例如 在信号处理、控 制系统等领域
有界性还可以 帮助我们理解 三角函数的其 他性质，如单 调性、周期性 等
图像与性质
PART 05
三角函数的和差 化积公式
和差化积公式的基本形式
正弦和差化积公式： sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
余弦和差化积公式： cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB
正切和差化积公式 ：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1tanAtanB)
性质：余弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
图像：余弦函数的图像是一个正弦曲线，其最大值为1，最小值为-1。
正切函数
定义：正切函数是三角函数之一，表示单位圆上某点与x轴正方向的夹角。 公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) 性质：正切函数在定义域内是连续的，但在某些点处不可导。 应用：正切函数在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
THANK YOU
汇报人：
数学竞赛：诱 导公式是数学 竞赛中常见的 题型，掌握诱 导公式有助于 提高解题能力
特殊角度的三角函数值
0 °： s i n ( 0 °) = 0 , co s ( 0 °) = 1 , ta n ( 0 °) = 0
4 5 °： s i n ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , co s ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , ta n ( 4 5 °) = 1
高一数学必修4三角函数的定义讲义
三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。
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（4 ） tan3π
9π 11 π tan( ; （5）cos ; （6 ） − ) . 6 4
小结作业
1.三角函数都是以角为自变量， 1.三角函数都是以角为自变量，在弧度 三角函数都是以角为自变量 制中， 制中，三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值. 在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基 2.三角函数的定义是三角函数的理论基 三角函数的定义域、函数值符号、 础，三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等，都是在此基础上推导出来的. 公式一等，都是在此基础上推导出来的.
k·360° k∈Z） β=α＋k·360°（k∈Z）或 b = a + 2kp(k Z )
问题提出
1.如图，在直角三角形ABC中 sinα， 1.如图，在直角三角形ABC中，sinα， 如图 ABC cosα，tanα分别叫做角 分别叫做角α 正弦、 cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余 弦和正切，它们的值分别等于什么？ 弦和正切，它们的值分别等于什么？
知识探究（ ）：三角函数符号与公式 知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考1 当角α在某个象限时， 思考1：当角α在某个象限时，设其终 边经过点P ），根据三角函数定 边经过点P（x，y），根据三角函数定 sinα，cosα，tanα的函数值符 义，sinα，cosα，tanα的函数值符 号是否确定？为什么？ 号是否确定？为什么？
{α | α ≠ kπ +
π
2
, k ∈ Z}
思考8：若点P（x，y）为角α终边上任 思考8 若点P 为角α 意一点，那么sinα，cosα，tanα对应 意一点，那么sinα，cosα，tanα对应 sinα 的函数值分别等于什么？ 的函数值分别等于什么？
sinα = y x +y
2 2
y
cosα =
b sinα = r a cosα = r b tanα = a
y
P(a， P( ，b) α
r
o x
思考2： 思考 ：我们现在把角推广到了任意 角，那么任意角的三角函数应该如何 定义？
A b y P(a， P( ，b) sinα = r r a α cosα = r o B x b tanα = a 思考3 对于确定的角α 思考3：对于确定的角α，上述三个比值 是否随点P在角α 是否随点P在角α的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？ 而改变呢？为什么？
x x +y
2 2
O
x
P(x， P(x，y)
y tanα = x
有时我们还用到下面三个函数：
1 r 角α的正割：secα = = cos α x 1 r 角α的余割： α = csc = sin α y 1 x 角α的余切： α = cot = tan α y
理论迁移
已知角的终边过点P（－3，－4 例1 已知角的终边过点P（－3，－4）， 求角的正弦、余弦和正切值. 求角的正弦、余弦和正切值.
思考4 为了使sinα，cosα的表示式更 思考4：为了使sinα，cosα的表示式更 sinα 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 此时，sinα，cosα分别等于什么 分别等于什么？ 此时，sinα，cosα分别等于什么？
sinα = b
cosα = a
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα
+ + +
+ － －
－ － +
－ + －
cosα
tanα
你有什么办法记住这些信息？ 你有什么办法记住这些信息？
确定下列三角函数值的符号. 例4 确定下列三角函数值的符号. π ° ° （1）cos250 ;（2）sin(− ) ;（3）tan(−672 ) ;
BC sin a = AB BC tan a = AC
AC cos a = AB
B α
C
A
2.当角α不是锐角时， 2.当角α不是锐角时，我们必须对 当角 sinα，cosα，tanα的值进行推广 的值进行推广， sinα，cosα，tanα的值进行推广， 以适应任意角的需要. 以适应任意角的需要.
知识探究（ ）：任意角的三角函数 知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1 为了研究方便，我们把锐角α 思考1：为了研究方便，我们把锐角α 锐角 放到直角坐标系中，并使角α 放到直角坐标系中，并使角α的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α的终边上取一点P 在角α的终边上取一点P（a，b）,设点 ， 与原点的距离为r 那么，sinα， P与原点的距离为r，那么，sinα， cosα，tanα的值分别如何表示 的值分别如何表示？ cosα，tanα的值分别如何表示？
3.若已知角α的一个三角函数符号， 3.若已知角α的一个三角函数符号，则 若已知角 所在的象限有两种可能； 角α所在的象限有两种可能；若已知角 的两个三角函数符号，则角α α的两个三角函数符号，则角α所在的 象限就惟一确定. 象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P 终边位置有关，与点P（x，y）在终边上 的位置无关. 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化， 周期性变化，即角的终边绕原点每旋转 一周，函数值重复出现. 一周，函数值重复出现.
α的终边 P(x， P(x，y)来自yOx
思考2 思考2：设α是一个任意的象限角，那么 是一个任意的象限角， 在第一、 四象限时， 当α在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 取值符号分别如何？ 取值符号分别如何？
思考3 综上分析， 思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表： 的取值符号如下表：
b tanα = a
o
y
1
α
P(a，b) P( ，
x
思考5 依据函数的定义， 思考5：依据函数的定义，这几个比值可以分 别构成函数吗？若能够成， 别构成函数吗？若能够成，他们的自变量是 什么？ 还是y 还是角α 什么？x还是y？r还是角α？
函数 y=sinα y=cosα y=tanα 定义域 R R
青云学府数学组 王斌
知识回顾
1.什么叫做1弧度的角？ 1.什么叫做1弧度的角？角度与弧度是 什么叫做 怎样换算的？ 怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. 弧度的角. 180° （2）180°＝ πrad.
与角α 2. 与角α终边相同的角的一般表达式 是什么？ 是什么？