清华大学计算固体力学第六次课件_求解方法和稳定性
固体物理(中科大PPT)6-2
N va V k N 3 3 b 8 8
V Nva 晶体体积
在简约区中，波矢k的取值总数为
k b N 晶体的原胞数
2. Bloch函数的性质
Bloch函数
ik r
k r eikr uk r
周期性边界条件：
r r N a
而 得 所以
r N a TN r N r r
N 1 ei 2 h
2 h exp i N
h＝整数， ＝1, 2, 3
{ T r r + a r
＝1, 2, 3
其中是平移算符T 的本征值。为了确定平移算符 的本征值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向， N1，N2和N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，，即 晶体的总原胞数为N＝N1N2N3 。
零级近似方程：
能量本征值： Ek(0)
H 0 k(0) Ek(0) k(0)
2k 2 2k 2 U0 2m 2m
令U0 0
2 d 2 H0 U0 2 2m dx 2 nx H U n exp i a n 0
零级近似 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数(k)展开
E k Ek(0) Ek(1) Ek(2)
k k(0) k(1) k(2)
r + R eikR r ik r 定义一个新函数： uk r e k r
uk r R e
ik r R
固体物理(清华大学)--N01_C02
第二章：化学键与晶体形成在固体物理发展的早期阶段，人们从化学的角度来研究固体，所以化很大的精力去计算各种固体的结合能(binding energy)，并依此对固体进行粗略的分类。
后来在原子物理和量子力学发展以后，人们依据电子在实空间的分布来对固体进行分类，也就是化学键或者是晶体的键合(crystal binding)的理论。
最精确的固体分类是在能带理论发展以后才实现的。
原子物理研究了单个原子中的电子能级.首先,考虑一个电子,单个电子是以一定的几率在原子核周围的空间中分布,几率分布的密度()()2r r ψ=ρ(()r ψ是单个电子的波函数). 根据量子力学,三维空间中单个电子的波函数),()()( φθ=ψlm n Y r R r 是能量E,轨道角动量2L和分量z L 三个算符的共同本征函数,其量子数分别为n, l, m(221n E n -=,n=n ’+l+1),一组量子数确定电子的一个轨道.在考虑一个原子中的多个电子的时候,忽略了电子之间很强的库仑排斥作用(很奇怪和大胆的近似,但误差不大),认为多个电子根据泡利不相容原理(Pauli ’s exclusion principle)以及洪特规则(Hund ’s rule)依次排入单个电子的轨道.这就分别形成了（1s,2s,2p,3s,3p,3d,...）等电子壳层和亚壳层.在原子结合成为固体的过程中，内部满壳层的电子(core electrons)基本保持稳定，价电子(valence electrons)在实空间会随着原子之间的相互作用重新分布。
按化学家的语言说，就是在原子之间形成了化学键(Chemical bond)。
不同的固体拥有不同的化学键。
晶体：原子、离子或分子呈空间周期性排列的固体，以区别于内部不具有周期性的非晶体。
原子间引力：一般来说，晶体比自由原子的空间混乱集合稳定，这意味着原子之间存在等效的相互吸引力(本质是库仑相互作用加上量子效应)，从而构成晶体。
固体物理(清华大学)--N01_C03B
3.4 倒易点阵与布里渊区(Reciprocal Lattice and Brillouin Zone) 在晶格振动理论中原子的振动以机械波的形式在晶体中传播，在能带理论中电子的几率分布用波函数的形式描述,是在整个晶体中分布的几率波。
上述两种波都受制于晶格的周期性。
倒易空间就是定义在晶格上的波()r ψ的波矢k 的空间.从数学上讲,倒易点阵和Bravais 点阵互相是对应的傅里叶空间。
倒易点阵基矢(Reciprocal Basis)与晶格基矢正交归一： a a i j ij *⋅=2πδ。
倒易点阵基矢：()()()()a a a a a a a a a a a a ccc c 123231123312222***,=⨯=⨯=⋅⨯=⨯πππΩΩΩΩ即原胞体积。
倒易格矢量：*3*2*1a l a k a h G hkl ++=，其中h, k, l 为任意整数.构成倒易点阵。
Bravais 点阵的倒易点阵也是Bravais 点阵，在绝大多数情况傅里叶变换并不改变点阵的晶格结构.普遍而言倒易点阵属于点阵同一晶系.(1) 面心立方与体心立方互为正、倒易点阵。
例子：面心---体心互换。
)ˆˆˆ(2),ˆˆˆ(2),ˆˆˆ(2321z y x a a z y x a a z y x a a -+=+-=++-= (2) 体心四方变成面心四方,也就是回到体心四方.)ˆˆˆ(21),ˆˆˆ(21),ˆˆˆ(21321z c y a x a a z c y a x a a z c y a x a a -+=+-=++-= (3) 底心正交还是变成体心正交.z c a y a x a a y b x a a ˆ),ˆˆ(21),ˆˆ(21321=-=+= 倒易点阵在晶体学中的应用：晶面的定量描述。
倒格矢G ha ka la hkl =++123***垂直于()hkl 晶面。
面间距d G hkl hkl =2π/。
计算固体力学中的重要研究领域PPT课件
在这一研究趋势下，计算固体力学算法研究的若干重要问题可列举如下:
（a） 计算细观力学. 为深入研究材料的本构和破坏行为，提出了多种细观的离散模型，例如 分子动力学模拟、缺陷和裂纹的损伤演化模拟等。
（b） 解析法与数值法的结合. 采用数值法并不就是这种结合的产物。对于旋转体或多种对称的结构可用群论方法求解。这类 有效算法应当集成到通用有限元程序中。
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结构的主动控制是大型结构抗风、抗震的发展趋势。应当认真研究数据采集，参数识别，控制反 作用（actuate）的全套过程，用算法与程序系统贯通起来。
应用中不可避免地要处理不确定的因素，例如制造误差与环境因素等。随机振动在工程中有广泛 的应用，目前对于平衡或非平稳，多点同相位或异相位激励的快速计算方面都已取得突破性进展。应 当大力提倡这方面的应用研究。
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⑤ 结构优化. 结构优化是应用中的重大课题。近年来已从结构尺寸优化发展到结构形状和拓 扑的优化。与优化相关联的反问题是许多应用课题中的基础，应大力予以研究。在优化与反问题 中，可应用序列线性规划与序列二次规划法。
结构优化分析反过来对于力学基础理论也作出了重要推动。在板的优化研究深入之际，已发 现传统的连续体并不是最优的，真实的优化解应当是由无限密肋组成的板结构形式。这个结构影 响深远，由此启发出微结构材料设计这一尖端领域。一般的结构优化问题中未知量是连续变化的， 而拓扑优化则是离散的，而且改变着区域的拓扑性质，所以拓扑优化的非线性性质更高出一个层 次; 至于设计方案、总体布局等问题，甚至都无法找到恰当的数学模型来进行表达，这一类非线 性只能用人工智能、专家系统的手段来处理。
清华大学计算固体力学全套课件
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全套课件
计算固体力学
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第1章 绪论
计算固体力学课程体系
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全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
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计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.
固体物理(清华大学)--N01_C03A
第三章：晶体结构(Crystal Structures)3.1 晶格的几何描述(Geometrical description of crystals) （略）严格地讲，由于表面、原子振动、杂质(最小浓度为10-12cm-3)等的存在,没有完美的晶体.“完美”晶体的讨论基于表面、振动、杂质等缺陷对要讨论的晶体性质的影响可忽略不计。
晶体的非完美性本身大多是很有意义的课题：例如原子振动之于电阻、杂质之于半导体等.晶格(Crystal lattice)：用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形（区分不同原子）.处于原子平衡位置的几何点被称为格点(Lattice site).基矢(Basis)：在Bravais点阵中,人为选取的与晶格维数同样多的一组矢量,使得晶格中任意两个格点间的位移矢量(即格矢量,position vectors)可以表达为该组矢量的整数线性组合.基矢的选取不唯一。
在三维布拉伐晶格中, 格矢量R na mb lc=++，其中a b c,,为一组基矢。
二维布拉伐晶格中格矢量R na mb=+，其中a b,为一组基矢。
原胞(Primitive unit cell)：产生完全平移覆盖的晶格最小单元。
不唯一，以方便为准。
同一晶格中的各种原胞选择之间体积大小相同.Bravais点阵的原胞只含一个原子,非Bravais点阵的原胞含多个原子。
Wigner-Seitz原胞由Bravais点阵中以一个格点为中心的最短和次短的格矢量的中垂面围合而成。
原胞与基矢的围合不一定一样(变形虫可以满铺二维空间).例子：三角晶格，计算面积。
单胞(Conventional unit cell)：为更好显示晶格的旋转和镜像反射对称性而选的一倍或几倍于原胞的晶格单位. 注意单胞的定义与非Bravais点阵无关.晶格常数a通常指单胞的边长。
例子：三角晶格。
晶向(Direction)：晶向的概念是以格点组成互相平行的直线，再构成晶体。
固体物理第6课化学键ppt课件
泡利不相容原理：
描述电子的运动状态：(n l ml ms）
❖n：主量子数，n=1，2，3， ❖l：角量子数，l＝0，1，2， n-1 ❖ml：磁量子数，ml＝0，1，2， l ❖ms：自旋磁量子数，1/2
原子核外不存在运动状态完全相同的两个电子
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泡利不相容原理
1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：即 一切由自旋等于半整数的粒子——费米子组成的系统 中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状 态。 这一原理解释了原子的 电子壳层结构和元素周 期律，推动了电子自旋 概念的确立。
原子轨道的角分布Ylm(θ，Φ)的球极坐标图与氢原 子的讨论完全一样。电子云分布|ψ|的角度分布也相似。
2.1 结合能
❖自由粒子系统能量与由此组成的晶体的能量差。 ❖ EN：N个原子处于自由状态时的总能 ❖ E0：N个原子结合为晶体后，晶体的总能量 ❖N个自由原子组成的晶体其结合能为：
❖ Eb＝EN－E0=-W= -U(R0) ❖若取 EN＝0，则Eb＝－E0＝－U(V0)
固体物理第6课化学键ppt课件
卢瑟福原子结构的行星式模型
1911年，著名英国物理学 家卢瑟福提出了关于原子结构的 行星式模型。但是，行星式原子 模型存在两大困难：
1、原子坍塌，电子绕核做椭圆运动，这是一种加速运 动，按经典电动力学理论电子在运动过程中必然辐射 能量，电子能量逐渐减少，轨道半径随之变小，只要 10-8秒，电子就会落到核上，发生坍塌； 2、是在坍塌前原子连续辐射，应得连续的原子光谱。 实际上，原子没有发生坍塌；实验上，原子光谱是分 立的线光谱。
晶体的 势内 能 动 能 能 忽 略 动 内 能能＝
N个原子，相邻原子间互作用势能 u(rij ) 则整个晶体的势能函数为：
清华大学计算固体力学第六次课件 求解方法和稳定性
非线性有限元
第6章 求解方法和稳定性
第6章 求解方法和稳定性
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引言 显式方法 平衡解答和隐式时间积分 线性化 稳定性和连续方法 数值稳定性 材料稳定性
1 引言
描述非线性有限元的求解过程，瞬态问题的显式和隐式求解方法， 以及平衡问题的解决方法，并且检验它们的编程和性质。展示了计算 结果的稳定性、数值过程的稳定性和材料的稳定性。 显式时间积分的中心差分方法，编程方法，相关技术如质量缩放、 子循环和动态松弛。 以Newmark -方法为模型描述了隐式方法，静态问题的平衡求解。
(d n 1 2d n d n 1 ) d a n 2 (t )
n n
是已知的关于函数二阶导数的中心差分公式。
考虑半离散运动方程的时间积分，在第n 时间步给出为
Ma n f n f ext (d n , t n ) f int (d n ,t n )
当质量矩阵M为对角阵时，实现节点速度和位移的更新不用求解 任何方程。这是显式方法的一个突出特征：对离散动量方程的时间积 分不需要求解任何方程，关键在于应用了对角质量矩阵。
2 显式方法
编程
1. 初始条件和初始化 设定v0，0和其它材料状态参数的初始值； d0=0， n=0， t=0；计算质量M， 给出作用力
双曲线型偏微分方程，典型问题是波的传播
utt c (uxx u yy uzz ) 0
2
在双曲线型系统中，信息 以有限的速度传播，波速为c＝ x/t的直线斜率。 一个力在 t ＝0 时刻施加在杆的左端，在 右侧 x处的观察者直到波传播 到理解应用显式动力学算法时应力是如何在模型中传播 的。在这个例子中，考虑应力波沿着一个由三个单元构成的杆件模 型传播的过程，随着时间增量的变化，将研究杆件的各个状态。
清华大学物理课件---------力学.第6章.振动_ppt课件
A cos( t ) 合成仍是同频率简谐振动： x n sin n1 2 Aa , 2 sin 2 17
重要特例： n 个分振动同相： 2 k π ( k 0 , 1 , 2 )
A na
π 2 k ( k ຫໍສະໝຸດ k ) n 个分振动初相依次差： n
9
2. 振动曲线
mm m
o A x x 0< A (伸长量) 00 <= xA
0
x A o -A -
= /2
=0
t >0 T=2
10
3. 旋转矢量法 用旋转矢量法定初相 很方便。
x 0 A2
v0 0
t+
0 A
t
例：已知
3
v0< 0
0 x0 A/2 x
x = A cos( t + )
一. 简谐振动定义 物理量随时间按正弦或余弦变化的过程：
x A cos( t ) — 简谐振动
x 可以是位移、电流、场强、温度…
▲ 简谐振动是最简单、最基本的振动，可用 来研究复杂振动。 ▲ 简谐振动是理想化模型，许多实际的小幅 振动都可以看成简谐振动。
4
二. 简谐振动的判据（针对机械振动） 1. 受力特征
上面1、2、3中任何一条成立即可判定为是
简谐振动。
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三. 简谐振动的特征量 1. 角频率
k m
只由系统本身决定，也称为固有频率 频率
2
1 2π T
周期
7
2. 振幅
2 v 2 E 2 0 A x 0 2 k
由初始条件和系统本身情况决定 3. 初相（位）
固体力学概论PPT学习教案
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9. 专有名词的翻译
1. 材料力学：strength of materials, mechanics of materials 2. 弹性力学： theory of elasticity, elasticity, (elastic mechanics 错误); 3. 塑性力学：theory of plasticity, plasticity, (plastic mechanics 错误); 4. 介观力学：mesomechanics； 细观力学，可是，在专著
外力
内力
内力
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6. 任务
固体力学的发展主要动力是社会实
践：
任务是研究工程结构在服役条件下的安全性、可靠 性; 就是强度问题(应力值不超过许用值) 、刚度问 题(变形不太大)、稳定性问题、振动问题. 工程结构 包括: 飞机、火箭、船舶、车辆、桥梁、房屋、水 坝、反应堆、坦克等等.
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《 》 Micromechanics of defects in solids , T Mura，
“micromechanics” 可翻译为细观力学,不翻成微观力学。 5. 宏（微）观力学；macromechanics, micromechanics
这里，英语书籍里“micromechanics”包含介观尺度问题。 6. 经典力学：Classic mechanics, （牛顿力学） 7 理论力学：theoretical mechanics.
“Theory of Elastic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”与符拉索夫 (薄壁杆件).
中国东汉(127~200)郑玄提出线性弹性关系; 宋代李诫《营造法式》；隋代