时间序列分析第五章非平稳序列的随机分析
SAS系统和数据分析非平稳序列的随机分析
第四十二课 非平稳序列的随机分析20世纪70年代，G. P. Box 和G. M. Jenkins 发表了专著《时间序列分析：预测和控制》，对平稳时间序列数据，提出了自回归滑动平均模型ARIMA ，以及一整套的建模、估计、检验和控制方法。
使时间序列分析广泛地运用成为可能。
为了纪念Box 和Jenkins 对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常把ARIMA 模型称为Box-Jenkins 模型。
当我们拟合一个时间序列时，先通过差分法或适当的变换使非平稳序列化成为平稳序列，我们再要考虑的是参数化和记忆特征的有效性，用这种参数方法拟合序列为某种特定的结构，只用很少量的参数，使参数的有效估计成为可能。
相对于一个序列的过去值，可用传统的Box 和Jenkins 方法建模。
实际上，Box-Jenkins 模型主要是运用于单变量、同方差场合的线性模型。
随着对时间序列应用的深入研究，发现还存在着许多局限性。
所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量、异方差和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得突破性的进展，其中Engle 和Granger 一起获得2003年诺贝尔经济学奖。
在异方差场合，Robert F.Engle 在1982年提出了自回归条件异方差ARCH 模型，以及在ARCH 模型上衍生出的一系列拓展模型。
在多变量场合，70年代末，G. E. P. Box 教授和刁锦寰教授在处理洛山矶的环境数据时，提出了干预分析和异常值检验方法。
1987年，C.Granger 提出了协整（co-integration ）理论，在多变量时间序列建模过程中“变量是平稳的”不再是必须条件了，而只要求它们的某种组合是平稳的。
非线性时间序列分析也有重大发展，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造门限自回归模型。
一、 ARIMA 模型随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）存在一些问题，它只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。
时 间 序 列 分 析 实 验 报 告实例
应用时间序列分析实验报告实验名称第五章非平稳序列的随机分析专业班级姓名学号一、上机练习程序及其结果分析：data ex3_1;input x@@;time=_n_;cards;0.30 -0.45 0.36 0.00 0.17 0.45 2.154.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.960.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34-1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36-0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.18 -0.39 -0.52-2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.210.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36-0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.771.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 -2.470.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.391.06 -0.39 -0.162.07 1.35 1.46 1.500.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05;procgplot data=ex3_1;plot x*time=1;symbol1c=red I=join v=star;run;结果分析：上图是数据对应的时序图，从图上曲线分析来看，数据并没有周期性或者趋向性规律，因而可以初步判断这是平稳数列。
procarima data=ex3_1;identifyVar=x nlag=8;run;结果分析：本过程中，我们建立了8阶自回归分析模型，图上依次是变量的描述性统计量、样本自相关图、样本逆相关图和样本偏自相关图。
由于本次实验探究的是平稳序列，因而样本逆相关图先不作分析。
从自相关图来看，自相关系数趋于0的速度是比较快的，再结合时序图来看，可以确定这组数列是属于平稳数列。
【2019年整理】时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
4/8/2019
时间序列分析
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
4/8/2019
时间序列分析
例5.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
4/8/2019
时间序列分析
差分后序列时序图
4/8/2019
时间序列分析
差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分 就可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶 或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的 影响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为 周期长度的差分运算，通常可以较好地 提取周期信息
时间序列分析
4/8/2019
例5.1
时间序列分析
ARIMA模型建模步骤
获 得 观 察 值 序 列 平稳性 检验 N 差分 运算 Y 白噪声 检验 N 拟合 ARMA 模型
时间序列分析
Y
分 析 结 束
4/8/2019
例5.6
对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
4/8/2019
时间序列分析
一阶差分序列时序图
第五章
非平稳序列的随机分析
4/8/2019
时间序列分析
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
4/8/2019
时间序列分析
5.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
《时间序列分析》课程教学大纲
《时间序列分析》课程教学大纲课程编号：33330775课程名称：时间序列分析课程基本情况：1．学分：3 学时：51学时（课内学时：45 课内实验：6）2．课程性质：专业必修课3．适用专业：统计学适用对象：本科4.先修课程：概率论、数理统计、随机过程5．首选教材：王燕：《应用时间序列分析》，中国人民大学出版社，2008出版。
备选教材：王振龙等编著：《时间序列分析》，中国统计出版社，2000年。
6．考核形式：闭卷考试7．教学环境：多媒体教室及实验室一、教学目的与要求本课程是数理统计学的一个重要分支，先期需完成的课程有概率论、随机过程。
通过本课程的学习，使学生掌握时间序列数据的分析方法，包括时间序列简介、平稳时间序列分析、时间序列分解、非平稳序列的随机分析、多元时间序列分析。
利用Eviews软件进行本课程的实验教学。
二、教学内容及学时分配课程内容及学时分配表三、教学内容安排第一章时间序列分析简介【教学目的】1、了解时间序列的定义及常用分析方法；2、掌握时间序列的几个基本概念：随机过程、平稳随机过程、非平稳随机过程、自相关、记忆性。
【教学重点】时间序列的相关概念。
【教学难点】随机过程、系统自相关性。
【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节时间序列的定义第二节时间序列分析方法第三节时间序列分析软件EVIEWS简介第二章时间序列的预处理【教学目的】1、掌握平稳性检验的原理和方法；2、掌握纯随机性检验的原理和方法。
【教学重点】平稳时间序列的定义及统计性质。
【教学难点】时间序列的相关统计量。
【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节平稳性检验一、特征统计量二、平稳时间序列的定义三、平稳时间序列的统计性质四、平稳时间序列的意义五、平稳时间序列的检验第二节纯随机性检验一、纯随机序列的定义二、白噪声序列的定义三、纯随机性检验第三章平稳时间序列序列分析【教学目的】1、理解ARMA模型的定义及性质。
2、掌握平稳序列建模方法。
3、掌握平稳时间序列的预测【教学重点】平稳时间序列建模【教学难点】模型识别，参数估计，序列预测【教学方法】课堂讲授与上机实验【教学内容】第一节方法性工具一、差分运算二、延迟算子三、线性差分方程第二节 ARMA模型的性质一、AR模型二、MA模型三、ARMA模型第三节平稳序列建模一、建模步骤二、样本自相关系数与偏相关系数三、模型识别四、参数估计五、模型检验六、模型优化第四节序列预测一、线性预测函数二、预测方差最小原则三、线性最小方差预测的性质四、修正预测第四章非平稳序列的确定性分析【教学目的】1、理解时间序列的分解原理。
时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
非平稳序列的随机分析
2020/6/14
课件
1
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
2020/6/14
课件
2
5.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
2020/6/14
课件
3
差分运算的实质
方差大
Var(xt ) Var(at at1)
2 2
Var(2xt ) Var(at 2at1 at2 )
6 2
2020/6/14
课件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14
5.2 ARIMA模型
ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
2020/6/14
1 1 1 2 1 1 2 2
j 1 j1 pd j pd j
2020/6/14
课件
28
预测值
xtl ( tl 1 tl1 l1 t1) ( l t l1 t1 )
et (l)
xˆt (l)
E[et (l)] 0
Var[et (l)]
(1
2 1
2 l 1
)
2
2020/6/14
课件
29
例5.7
已知ARIMA(1,1,1)模型为
(1 0.8B)(1 B)xt (1 0.6B) t
且 xt1 4.5
xt 5.3
t 0.8
2
1
求 xt3 的95％的置信区间
2020/6/14
课件
30
预测值
等价形式
(11.8B 0.8B2 )xt (1 0.6B)t xt 1.8xt1 0.8xt2 t 0.6t1
时间序列分析中的平稳性与非平稳性
时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。
在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。
1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。
具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。
此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。
2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。
常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。
ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。
3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。
趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。
4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。
常见的处理方法有差分法、对数变换等。
差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。
5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。
- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。
- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。
平稳性和非平稳时间序列分析
“单积”（Integrated）的，并记I为(d) 。
14
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X1, , X n 是同阶单积
的（I (d) ），并且存在向量 (1, , n )
使加权组合1X1 n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的”
（Cointegrated），其中 (1, , n ) 称为
“协积向量”。
15
具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
16
11
不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序 列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的 差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效 的。
由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含 许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以 相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也 是有意义的。
并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平 稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差 分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位 根检验用于时间序列的差分序列。
Yt Yt1 t ，其中 t 为白噪声过程。
（2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型
Yt Yt 1 t
6
如果其中 1 ，或者变换成如下的回归 模型 Yt Yt 1 t
中的 0 ，那么时间序列{Yt }就是最基
本的单位根过程 Yt Yt1 t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
时间序列分析教学大纲
时间序列分析TimeSeriesAna1ysis一、课程基本信息课程编号：∏1094适用专业：统计学课程性质：专业必修开课单位：数学与数据科学学院学时：48学分：3考核方式：考试，平时成绩占总成绩的30%中文简介：《应用时间序列分析》研究按时间顺序记录下来的有序数据，对其进行观察和研究，找出事物发展的规律性，并对未来状态作出估计和预测。
应用足迹遍及日常生产、生活中各个环节。
作为数理统计的一个分支，时间序列分析遵循数理统计的基本原理，即利用观察信息估计总体性质。
在理论上是对统计专业基础课程的一个综合应用。
二、教学目的与要求本课程内容是统计学的重要分支，着重讲解时间序列分析的基本理论与方法，目的是为了让学生掌握该内容的基本理论和方法，并能运用到实践中去。
课程教学基本目标是使学生初步掌握利用时间序列分析方法处理问题的能力。
预修课程：数学分析、高等代数、概率论、数理统计，回归分析后续课程：计量经济学，随机过程。
《时间序列分析》是一门数理与经济交叉的新兴学科，通过综合地采用数据建模、统计分析以及相关统计软件，将时间序列模型应用到金融和经济分析中，可用于金融产品以及金融衍生产品的预测，金融经济现象是定量分析。
在讲授课程的过程中，可以融入严谨求真的职业精神。
统计专业学生毕业后可能会进入银行、证券等金融机构,所以应该引导学生树立正确的人生价值观，以专业知识来提升学生的服务意识和创新意识，引导学生要注重责任感、使命感的培养。
教学过程中分别融入严谨的科学思维，实事求是的专业素养，学术道德与学术规范，不畏艰难、尽心尽力的敬业精神，社会热点选题中的爱国主义情怀、社会主义制度自信，实现民族复兴的理想和责任感等思政教育元素。
三、教学方法与手段本课程的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。
基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分（主要是*号部分）由学生自学提高。
注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。
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考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作用
2020/3/12
时间序列分析
差分前后时序图
原序列时序图
差分后序列时序图
2020/3/12
时间序列分析
例5.2
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
2020/3/12
时间序列分析
Green函数递推公式
1 1 1 2 1 1 2 2
j 1 j1 pd j pd j
t
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t
2020/3/12
时间序列分析
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
2020/3/12
时间序列分析
例5.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
2020/3/12
时间序列分析
差分后差分
2020/3/12
时间序列分析
过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原 序列中的非平稳确定性信息
2020/3/12
时间序列分析
随机游走模型( random walk)
模型结构
xt xt1 t
E(
t
)
0，Var(
t
)
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t
模型产生典故
Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个 醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊
时间序列分析
建模
定阶
ARIMA(0,1,1)
参数估计
(1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Var(t ) 56.48763
模型检验
模型显著 参数显著
2020/3/12
时间序列分析
ARIMA模型预测
原则
最小均方误差预测原理
第五章
非平稳序列的随机分析
2020/3/12
时间序列分析
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
2020/3/12
时间序列分析
5.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
2020/3/12
2020/3/12
时间序列分析
一阶差分序列自相关图
2020/3/12
时间序列分析
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量 15.33 18.33 24.66
P值 0.0178 0.1060 0.1344
2020/3/12
时间序列分析
拟合ARMA模型
偏自相关图
2020/3/12
非平稳。
2020/3/12
时间序列分析
ARIMA模型的方差齐性
d 0时，原序列方差非齐性
ARIMA(0,1,0)模型
Var(xt
)
Var(x0
t
t1
1)
t
2
d阶差分后，差分后序列方差齐性
ARIMA(0,1,0)模型
V
ar(xt
)
V
ar(
t
)
2
时间序列分析
差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分 就可以实现趋势平稳
序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶 或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的 影响
对于蕴含着固定周期的序列进行步长为 周期长度的差分运算，通常可以较好地 提取周期信息
2020/3/12
时间序列分析
例5.1
【例1.1】1964年——1999年中国纱年产 量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。 对该序列进行一阶差分运算
野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的
概率最大呢？
2020/3/12
时间序列分析
ARIMA模型的平稳性
ARIMA(p,d,q) 模 型 例5.5
共 有 p+d 个 特 征 根 ， 其中p个在单位圆
ARIMA(0,1,0)时序图
内，d个在单位圆
上。所以当 d 0时
ARIMA(p,d,q) 模 型
2020/3/12
时间序列分析
ARIMA模型建模步骤
获 得 观 察 值 序 列
2020/3/12
平稳性 检验
N
差分 运算
Y 白噪声 检验
N
拟合 ARMA 模型
Y分 析 结 束
时间序列分析
例5.6
对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
2020/3/12
时间序列分析
一阶差分序列时序图
ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
2020/3/12
时间序列分析
ARIMA模型结构
使用场合
差分平稳序列拟合
模型结构
( B) d
E( t )
xt (B) 0，Var( t )
但过度的差分会造成有用信息的浪费
2020/3/12
时间序列分析
例5.4
假设序列如下
xt 0 1t at
考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差
2020/3/12
时间序列分析
比较
一阶差分
平稳
xt xt xt1
1 at at1 方差小
二阶差分（过差分）
平稳
2 xt xt xt1 at 2at1 at2
方差大
Var(xt ) Var(at at1)
2 2
Var(2xt ) Var(at 2at1 at2 )
6 2
2020/3/12
时间序列分析
5.2 ARIMA模型
时间序列分析
差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定 性信息提取方法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶 数的差分一定可以充分提取确定性信息
差分运算的实质是使用自回归的方式提 取确定性信息
d
d xt (1 B)d xt
(1)
i
C
i d
xt
i
i0
2020/3/12